湖北省荆州市洪湖市2024年中考数学模拟试题（含解析）

湖北省荆州市洪湖市一重点达标名校2024年中考数学模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.若正六边形的边长为6,则其外接圆半径为（）

A.3B.3叵C.373D.6

2.如图，点A为Na边上任意一点，作ACLBC于点C,CDLAB于点D,下列用线段比表示sina的值，错误的是

CD

BC

如果kVO,b>0,那么一次函数y=kx+b的图象经过（

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

把多项式ax3-262+依分解因式，结果正确的是（

B.ax2(x-2)

C.ax(x+1)(x-1)D.ax(x-1)

5.太原市出租车的收费标准是：白天起步价8元（即行驶距离不超过3km都需付8元车费），超过3km以后，每增

加1km,加收1.6元（不足1km按1km计），某人从甲地到乙地经过的路程是xkm,出租车费为16元，那么x的最

大值是（）

6.下列四个图案中，不是轴对称图案的是（

7.如果t>0,那么a+t与a的大小关系是（

A.a+t>aB.a+t<aC.a+t>aD.不能确定

8.抛物线y=x?+2x+3的对称轴是（）

A.直线x=lB.直线x=11

C.直线x=-2D.直线x=2

9.目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004处将0.00000004用科学记数法表示为（）

A.0.4xl08B.4xl08C.4x108D.-4xl08

10.如图，已知RtAABC中，ZBAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转，使点D落在射线CA上，DE的延长线交

C.100°D.120°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.将直尺和直角三角尺按如图方式摆放.若Nl=45°,Z2=35°,则N3=

12.如图，在四边形ABCD中，AD/7BC,AB=CD且AB与CD不平行，AD=2,ZBCD=60°,对角线CA平分NBCD,

E,F分别是底边AD,BC的中点，连接EF,点P是EF上的任意一点，连接PA,PB,则PA+PB的最小值为.

13.如图1,AB是半圆。的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点.一只机器甲虫从

点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B,再沿半圆爬回到点A,一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程.设甲虫爬行

的时间为t,甲虫与微型记录仪之间的距离为y,表示y与t的函数关系的图象如图2所示，那么微型记录仪可能位于

图1中的（）

M

A.点MB.点NC.点PD.点Q

_3

14.已知AABCs^DEF,若△ABC』与△DEF的相似比为一，则△ABC与△DEF对应中线的比为

4

15.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈,周三尺，有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶，问葛藤之长

几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺,有葛藤自点4处

缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺.

B

6x

16.分式方程一二-1=^—的解是x=_____.

X2-93-X

17.如图，矩形中，AB=8,BC=6,尸为40上一点，将AA5P沿5尸翻折至△EBP,尸E与CD相交于点0,

BE与CD相交于点G,KOE=OD,则AP的长为

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然

生态原貌.某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，

该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%,结果提前11天完成任务，求实际平均每天施

工多少平方米？

19.（5分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF.

Q

求证：BE=DF；连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM、FM.判

断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论.

20.（8分）如图，抛物线y=ax?—2ax+c（ar0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3,0）,与y轴交于点C（0,

4）,以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.

求抛物线的解析式；抛物线的对称轴1在边OA（不包括O、A两点）上平行移动,

分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示

PM的长；在（2）的条件下，连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的

三角形和AAEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由.

21.（10分）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点一处测得正前方小岛，：的俯角为_：二，面向小岛

方向继续飞行：-小到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为-5.如果小岛高度忽略不计，求飞机

飞行的高度（结果保留根号）.

22.（10分）山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元,

二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元.求

二月份每辆车售价是多少元？为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%,

求每辆山地自行车的进价是多少元？

23.（12分）经过江汉平原的沪蓉（上海-成都）高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一

测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100

米到达点C处，测得NACB=68。.

(1)求所测之处江的宽度(5也68。加.93,cos68°~0.37,tan68°=2.1.)；

(2)除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.(不用考虑计算问题，叙述清楚

24.(14分)正方形ABC。的边长是10,点E是A3的中点，动点F在边3c上，且不与点3、C重合，将AEB歹沿

E尸折叠，得到AEH足

(1)如图1,连接4B，.

①若△AE0为等边三角形，则NBEF等于多少度.

②在运动过程中，线段A夕与E厂有何位置关系？请证明你的结论.

(2)如图2,连接C8，，求△周长的最小值.

(3)如图3,连接并延长5®,交AC于点P,当50=6时，求P肥的长度.

图1图2图3

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、D

【解析】

连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边

形的外接圆半径.

【详解】

如图为正六边形的外接圆，ABCDEF是正六边形,

/.ZAOF=10°,VOA=OF,AAAOF是等边三角形，OA=AF=1.

।fi

所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为1.

故选D.

【点睛】

本题考查了正六边形的外接圆的知识，解题的关键是画出图形，找出线段之间的关系.

2^D

【解析】

【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案.

【详解】VZBDC=90°,.,.ZB+ZBCD=90°,

•.,ZACB=90°,即NBCD+NACD=90。，

/.ZACD=ZB=a,

CD

A、在RtABCD中，sina=—,故A正确，不符合题意；

BC

Ar

B、在RtAABC中，sina=——,故B正确，不符合题意；

AB

C、在R3ACD中，sina=——,故C正确，不符合题意；

CD

D、在RtAACD中，cosa=-----，故D错误，符合题意，

AC

故选D.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正

切为对边比邻边.

3、D

【解析】

根据k、b的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限.

【详解】

Vk<0,

...一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限.

又•；b>0时，

...一次函数y=kx+b的图象与y轴交与正半轴.

综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限.

故选D.

【点睛】

本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系.解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、

b的符号有直接的关系.k>0时，直线必经过一、三象限.k<0时，直线必经过二、四象限.b>0时，直线与y轴

正半轴相交.b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交.

4、D

【解析】

先提取公因式ax,再根据完全平方公式把x2-2x+l继续分解即可.

【详解】

原式=ax(x2-2x+l)=ax(x-1)2,

故选D.

【点睛】

本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式

法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.

5、B

【解析】

根据等量关系，即(经过的路程-3)X1.6+起步价2元W1.列出不等式求解.

【详解】

可设此人从甲地到乙地经过的路程为xkm,

根据题意可知:(x-3)*1.6+2<1,

解得：x<2.

即此人从甲地到乙地经过的路程最多为2km.

故选B.

【点睛】

考查了一元一次方程的应用.关键是掌握正确理解题意，找出题目中的数量关系.

6,B

【解析】

根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重

合，这样的图形叫做轴对称图形.

【详解】

4、是轴对称图形，故本选项错误；

5、不是轴对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

是轴对称图形，故本选项错误.

故选:B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.

7、A

【解析】

试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.

,t>0,

••a-!-1>a,

故选A.

考点：本题考查的是不等式的基本性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.

8、B

【解析】

b

根据抛物线的对称轴公式：x=—-计算即可.

2a

【详解】

2

解：抛物线y=x?+2x+3的对称轴是直线》=-----=-1

2x1

故选B.

【点睛】

此题考查的是求抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴公式是解决此题的关键.

9,C

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1。卜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少

位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

【详解】

0.00000004=4x108,

故选c

【点睛】

此题考查科学记数法，难度不大

10、B

【解析】

根据旋转的性质得出全等，推出NB=ND,求出NB+NBEF=ND+NAED=90。，根据三角形外角性质得出

ZCFD=ZB+ZBEF,代入求出即可.

【详解】

解：•.•将AABC绕点A顺时针旋转得到AADE,

/.△ABC^AADE,

/.ZB=ZD,

VZCAB=ZBAD=90°,ZBEF=ZAED,ZB+ZBEF+ZBFE=180°,ZD+ZBAD+ZAED=180°,

/.ZB+ZBEF=ZD+ZAED=180°-90°=90°,

ZCFD=ZB+ZBEF=90°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，掌握旋转变换的性

质是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11,80°.

【解析】

由于直尺外形是矩形，根据矩形的性质可知对边平行，所以N4=N3,再根据外角的性质即可求出结果.

【详解】

解：如图所示，依题意得：Z4=Z3,

VZ4=Z2+Z1=8O°

:.Z3=80°.

故答案为80°.

1

【点睛】

本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键.

12、26

【解析】

将PA+PB转化为PA+PC的值即可求出最小值.

【详解】

解：

E,F分别是底边AD,BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形,

B点关于EF的对称点C点，

AC即为PA+PB的最小值，

ZBCD=60°,对角线AC平分NBCD,

•••ZABC=60°,ZBCA=30",

ZBAC=90°,

AD=2,

•••PA+PB的最小值=AB-tan60°=273.

故答案为：2G.

【点睛】

求PA+PB的最小值,PA+PB不能直接求，可考虑转化PA+PC的值，从而找出其最小值求解.

13、D

【解析】

D

试题分析：应用排他法分析求解：

若微型记录仪位于图1中的点M,AM最小，与图2不符，可排除A.

若微型记录仪位于图1中的点N,由于AN=BM,即甲虫从A到B时是对称的，与图2不符，可排除B.

若微型记录仪位于图1中的点P,由于甲虫从A到OP与圆弧的交点时甲虫与微型记录仪之间的距离y逐渐减小；甲

虫从OP与圆弧的交点到A时甲虫与微型记录仪之间的距离y逐渐增大，即y与t的函数关系的图象只有两个趋势，

与图2不符，可排除C.

故选D.

考点：1.动点问题的函数图象分析；2.排他法的应用.

14、3:4

【解析】

由于相似三角形的相似比等于对应中线的比，

.•.△ABC与ADEF对应中线的比为3：4

故答案为34.

15、1.

【解析】

试题分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形

求斜边的问题，根据勾股定理可求出葛藤长为4/T-=1（尺）.

考点：平面展开最短路径问题

16、-5

【解析】

两边同时乘以（x+3）（x-3）,得

6-X2+9=-X2-3X,

解得:x=-5,

检验：当x=-5时，（x+3）（x-3）#0,所以x=-5是分式方程的解,

故答案为：-5.

【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边同时乘以最简公分母，切记要进行检验.

17、4.1

【解析】

解：如图所示：•••四边形ABCD是矩形，

.*.ND=NA=NC=90°,AD=BC=6,CD=AB=1,

根据题意得：AABPg^EBP,

；.EP=AP,ZE=ZA=90°,BE=AB=1,

在4(^^和小OEG中，

(ZDsZB

OlteOE,

IZDOP=ZEOG

/.△ODP^AOEG(ASA),

.\OP=OG,PD=GE,

/.DG=EP,

设AP=EP=x,贝！］PD=GE=6-x,DG=x,

/.CG=1-x,BG=1-(6-x)=2+x,

根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2,

BP62+(1-x)2=(x+2)2,

解得：x=4.1,

/.AP=4.1；

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、1平方米

【解析】

设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据时间=工作总量+工作效率结合提前11天完

成任务，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论.

【详解】

解：设原计划平均每天施工X平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，

根据题意得：出U-三里里=11,

X1.2x

解得：x=500,

经检验，x=500是原方程的解，

1.2x=L

答：实际平均每天施工1平方米.

【点睛】

考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程.

19、(1)证明见解析；(2)四边形AEMF是菱形，证明见解析.

【解析】

(1)求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证AABE义AADF；

(2)由于四边形ABCD是正方形，易得NECO=NFCO=45。，BC=CD；联立(1)的结论，可证得EC=CF,根据等

腰三角形三线合一的性质可证得OC(即AM)垂直平分EF；已知OA=OM,则EF、AM互相平分，再根据一组邻

边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形.

【详解】

(1)证明：•.•四边形ABCD是正方形，

.*.AB=AD,ZB=ZD=90°,

在RtAABE和RtAADF中,

[AD=AB

.[AF=AE'

/.RtAADF^RtAABE(HL)

/.BE=DF；

(2)四边形AEMF是菱形，理由为：

证明：•••四边形ABCD是正方形，

•*.NBCA=NDCA=45°(正方形的对角线平分一组对角),

BC=DC(正方形四条边相等)，

VBE=DF(已证),

.,.BC-BE=DC-DF(等式的性质)，

即CE=CF,

在小COE和△COF中，

CE=CF

ZACB=ZACD,

OC=OC

/.△COE^ACOF(SAS),

.\OE=OF,

又OM=OA,

二四边形AEMF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，

；AE=AF,

二平行四边形AEMF是菱形.

4,84,

20、(1)抛物线的解析式为y=—§x2+§x+4；(2)PM=--m-+4m(0<m<3)；(3)存在这样的点P使APFC

23

与4AEM相似.此时m的值为一或1,△PCM为直角三角形或等腰三角形.

16

【解析】

(1)将A(3,0),C(0,4)代入y=ax?-2ax+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

(2)先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点

P、点M的坐标，即可得到PM的长.

(3)由于NPFC和NAEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况

进行讨论：①△PFCSAAEM,②△CFPSAAEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据

相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判

断出APCM的形状.

【详解】

解：(1),抛物线丫=ax?-2ax+c(ar0)经过点A(3,0),点C(0,4),

4

,9a-6a-c.0,a=—

/.，解得｛3.

.c-4c=4

48

・・・抛物线的解析式为y=--x29+-x+4.

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

VA(3,0),点C(0,4),

k-

3k+b=0

，解得｛3.

b=4

b=4

4

・・・直线AC的解析式为y=--x+4.

丁点M的横坐标为m,点M在AC上，

一4

，M点的坐标为(m,——m+4).

3

48

•.•点P的横坐标为m,点P在抛物线y=-§x29+]x+4上，

_48

点P的坐标为(m,——nr9+-m+4).

33

4844

,\PM=PE-ME=(——nr9+-m+4)-(——m+4)=——m92+4m.

3333

4

•\PM=——m-+49m(0<m<3).

3

(3)在(2)的条件下，连接PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM

相似.理由如下:

44848

由题意，可得AE=3-m,EM=—m+4,CF=m,PF=—m2H—m+4—4=—m-H—m,

33333

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：

4,84

①若APFCs^AEM,贝！JPF：AE=FC：EM,即(一一m~+—m)：(3—m)=m：(—m+4),

333

23

■:m/0且m/3,.m=—

16

VAPFC^AAEM,.\ZPCF=ZAME.

VZAME=ZCMF,AZPCF=ZCMF.

在直角ACMF中，；NCMF+NMCF=90。，/.ZPCF+ZMCF=90°,BPZPCM=90°.

.•.△PCM为直角三角形.

4

②若△CFP^AAEM,则CF：AE=PF：EM,即m：(3-m)=—m+4),

333

m/0且m/3,m=l.

VACFP^AAEM,AZCPF=ZAME.

,/ZAME=ZCMF,/.ZCPF=ZCMF..*.CP=CM.

.,.△PCM为等腰三角形.

23

综上所述，存在这样的点P使APFC与AAEM相似.此时m的值为一或1,△PCM为直角三角形或等腰三角形.

16

21、蜷至-零小,

【解析】

CD

过点C作。。_LAb,由NC5O=45。知5O=CD=x,由NACD=30。知AD=----------------=J3x,根据AD+5D=A5

tanZC4D

列方程求解可得.

【详解】

解：过点。作CDLA5于点D,

设CD=x,

9

：ZCBD=45°9

:・BD=CD=x,

在RtAAC。中，

CD

VtanZC4D=——，

AD

X

・CDX—/=r-

..AD=---------------=----------=J3=V3

tanX.CADtan30°—

3

由AO+BO=4B可得&x+x=10,

解得：x=56-5,

答：飞机飞行的高度为(573-5)km.

22、(1)二月份每辆车售价是900元；(2)每辆山地自行车的进价是600元.

【解析】

(1)设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为(x+100)元，根据数量=总价+单价，即可得出关于x的分

式方程，解之经检验后即可得出结论;

(2)设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】

(1)设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为(x+100)元,

坦省时无汨3000027000

根据题后得：77156=-

解得：x=900,

经检验，x=900是原分式方程的解,

答:二月份每辆车售价是900元；

(2)设每辆山地自行车的进价为y元，

根据题意得：900x(1-10%)-y=35%y,

解得：y=600,

答：每辆山地自行车的进价是600元.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

23、⑴21米(2)见解析

【解析】

试题分析：(1)根据题意易发现，直角三角形A3C中，已知AC的长度，又知道了NAC3的度数，那么45的长就不

难求出了.

(2)从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的.

解：(1)在RtABAC中，ZACB=68°,

/.AB=AC«tan68°=l00x2.1=21(米)

答：所测之处江的宽度约为21米.

①延长BA至C,测得AC做记录；②从C沿平行于河岸的方向走到D,测得CD,做记录；③测AE,做记录.根据

△BAE-ABCD,得到比例线段，从而解答

8

24、(1)①NBEF=60。；②Aa〃EF,证明见解析；(2)△周长的最小值5+5百；(3)PB'=-.

【解析】

(1)①当△AEB，为等边三角形时，ZAEBf=60o