2024年高一数学必修一知识点总结

2024年高一数学必修一知识点总结

高一数学必修一知识点总结1

知识点总结

本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和

函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称

性是学习函数的'图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数

的图象就迎刃而解了。

一、函数的单调性

L函数单调性的定义

2、函数单调性的判断和证明：⑴定义法(2)复合函数分析法⑶导数证明法(4)图象法

二、函数的奇偶性和周期性

1、函数的奇偶性和周期性的定义

2、函数的奇偶性的判定和证明方法

3、函数的周期性的判定方法

三、函数的图象

1、函数图象的作法⑴描点法⑵图象变换法

2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

常见考法

本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题

和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于

拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。

误区提醒

1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循"函数问题定义域优先的原则"。

2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考

虑端点问题。

3、在多个单调区间之间不能用"或"和""连接，只能用逗号隔开。

4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称,

则函数一定是非奇非偶函数。

5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

高一数学必修一知识点总结2

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

Q)元素的确定性，

(2)元素的互异性，

(3)元素的无序性，

3.集合的表示：｛…｝如：｛我校的篮球队员｝，｛太平洋，大西洋,印度洋，北冰洋｝

Q)用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝力=｛123,4,5｝

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

?注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

1)列举法：｛a,b,c……｝

2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn图：

4、集合的分类：

Q)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

⑶空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系

1."包含"关系一子集

注意：有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2."相等"关系:A=B(5>5,H5<5,则5=5)

实例：设人=仅仅2-1=0出={-11}"元素相同则两集合相等"

即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果A?B,B?C,那么A?C

④如果A?B同时B?A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为①

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

?有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-l个真子集

三、集合的运算

运算类型交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.记作AB(读作'A交B'),

即AB={x|xA，且xB}.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作:AB(读作‘A

并B'),即AB={x|xA,或xB}).

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中

子集A的补集(或余集)

二、函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中

的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A-B为从集合A

到集合B的一个函数.记作：y=f(x),XGA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定

义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xwA}叫做函数的值域.

注意：

1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

Q)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有

意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两

点必须同时具备)

2.值域:先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

⑶代换法

3.函数图象知识归纳

⑴定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xeA)中的x为横坐标，函数值v为纵坐标

的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(xeA)的图象.C上每一点的'坐标(x,y)均满足函数关系

y=f(x),反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.

⑵画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4.区间的概念

Q)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的

任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素V与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A

到集合B的一个映射。记作f:A-B

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

补充：复合函数

如果y=f(u)(ueM),u=g(x)(xwA),则y=f[g(x)]=F(x)(xeA)称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

Q)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xl/2,

当xl

如果对于区间D上的任意两个自变量的值xl,x2,当xlf(x2),那么就说f(x)在这个区间上

是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

(2)图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格

的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法:

ol任取xl,X2GD,且xl

。2作差f(xl)-f(x2);

。3变形(通常是因式分解和配方)；

。4定号(即判断差f(xl)-f(x2)的正负);

。5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其规律："同

增异减"

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其

并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

ol首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

。2确定f(-x)与f(x)的关系;

。3作出相应结论若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=O则f(x)是偶函数若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=O,

则f(x)是奇函数.

(2)由f(-x)±f(x)=O或f(x)/f(-x)=±l来判定;

(3)利用定理，或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它

们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有：

1)凑配法

2)待定系数法

3)换元法

4)消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

。:L利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

02利用图象求函数的最大(小)值

o3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递增，在区间［b,c］上单调递减则函数y=f(x)在x=b

处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递增则函数y=f(x)在x=b

处有最小值f(b);

高一数学必修一知识点总结3

集合的运算

运算类型交集并集补集

定义域R定义域R

值域＞0值域＞0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

(1)在[a,b]±，值域是或;

(2)若，贝;取遍所有正数当且仅当；

(3)对于指数函数，总有；

二、对数函数

(—)对数

1.对数的概念：

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：(一底数，一真数，一对数式)

说明：O1注意底数的限制，且；

o2;

o3注意对数的书写格式.

两个重要对数：

01常用对数：以10为底的对数；

o2自然对数：以无理数为底的对数的对数.

指数式与对数式的互化

幕值真数

=N=b

底数

指数对数

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

O1+；

o2-;

o3.

注意：换底公式：（，且；，且；）.

利用换底公式推导下面的结论：（1）；（2）.

（3）、重要的公式①、负数与零没有对数；②、，③、对数恒等式

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0,+8）.

注意：。1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是对数

函数，而只能称其为对数型函数.

o2对数函数对底数的限制：，且.

2、对数函数的性质：

a>10定义域x>0定义域x>0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都过定点（1,0）函数图象都过定点（1,0）

（三）幕函数

L幕函数定义：一般地，形如的函数称为幕函数，其中为常数.

2、幕函数性质归纳.

(1)所有的幕函数在(0,+8)都有定义并且图象都过点(1,1)；

(2)时，幕函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幕函数的图象

下凸；当时，幕函数的图象上凸；

(3)时，幕函数的'图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在

轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.

第四章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

3、函数零点的求法：

ol(代数法)求方程的实数根；

o2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数

的性质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数.

(1)△>0,方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.

(2)△=0,方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重

零点或二阶零点.

(3)0,方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.

5.函数的模型

高一数学必修一知识点总结4

解三角形

Q)正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

(2)应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

数列

(1)数列的‘概念和简单表示法

①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

②了解数列是自变量为正整数的一类函数.

(2)等差数列、等比数列

①理解等差数列、等比数列的概念.

②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.

③能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.

④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.

高一数学必修一知识点总结5

一、直线与方程

(1)直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行

或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0*a<180°(2)直线的斜

率

①定义：倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用

k表示。即ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当0,90时，k0;当90,180时，k0;当90时，k不存在。

yyl（xlx2）②过两点的直线的斜率公式：k2x2xl注意下面四点：（1）当xlx2时，公式右边无

意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90。；（2）k与Pl、P2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通

过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程

①点斜式：yylk（xxl）直线斜率k,且过点xl,yl

注意：当直线的斜率为0°时，k=0,直线的方程是y=yL

当直线的斜率为90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因I上每一点

的横坐标都等于xl,所以它的方程是x=xl。

②斜截式：ykxb,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：④截矩式：

yyly2ylxayxxlx2xl（xlx2,yly2）直线两点xl,yl,x2,y2

1b其中直线I与x轴交于点（a,0）,与y轴交于点（0,b）,即I与x轴、y轴的截距分别为a,bo

⑤一般式：AxByCO（A,B不全为0）

1各式的适用范围。2特殊的方程如：注意：。

平行于x轴的直线：yb（b为常数）；平行于y轴的直线：xa（a为常数）；（5）直线系

方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系

平行于已知直线AOxBOyCOO（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

AOxBOyCO（C为常数）

（二）过定点的直线系

（）斜率为k的直线系：yyOkxxO,直线过定点xO,yO;

()过两条直线ILAlxBlyClO,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为

,其中直线12不在直线系中。AlxBlyClA2xB2yC20(为参数)(6)两直线平行与垂直

当ll:yklxbl,I2:yk2xb2时，Il〃l2klk2,blb2;Ill2klk21

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。(7)两条直线的交点

H:AlxBlyC10l2:A2xB2yC20相交交点坐标即方程组AlxBlyClO的一组解。

A2xB2yC2O方程组无解I1//I2;方程组有无数解II与12重合(8)两点间距离公式：设

A(xl,yl),B是平面直角坐标系中的两个点，(x2,y2)则|AB|(x2xl)2(y2y1)2

(9)点到直线距离公式：一点PxO,yO到直线ILAxByC。的距离d(10)两平行直线距离

公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

AxOByOCAB22

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的

格至。

2、圆的方程

(1)标准方程xaybr2,圆心a,b,半径为r;

22(2)一般方程x2y2DxEyF0当DE2224F0时，方程表示圆，此时圆心为22D2,1E,半

径为r22D2E24F

当DE4F0时，表示一个点；当DE4F0时，方程不表示任何图

形。

(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，

若利用圆的标准方程，需求出a,b,r;若利用一般方程，需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、

直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

(1)设直线l:AxByCO,圆C:xa2yb2r2,圆心Ca,b到I的距离为

dAaBbCAB222,贝!］有drl与C相离；drl与C相切；drl与C相交

22(2)设直线kAxByCO，圆C:xaybr2,先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，

令其中的判别式为，则有

01与C相离；01与C相切；01与C相交

2注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xxOyyOr去解直线与圆相切的问题，其中xO,yO

表示切点坐标，।•表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

22

①圆x2+y2=r,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为xxOyyOr(课本命题).

2222

②圆(x-a)+(y-b)=r,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为

(xO-a)(x-a)+(yO-b)(y-b)=r(课本命题的推广).

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。

设圆Cl:xal2ybl2r2,C2:xa22yb22R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距

(d)之间的大小比较来确定。当dRr时两圆外离，此时有公切线四条；

当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当RrdRr时两圆相

交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有

一条公切线；当dRr时，两圆内含；当d0时，为同心圆。

三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共

边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母,如五棱柱ABCDEA"B"C"D"E"或用对角线的端点字母，如五棱柱

"AD

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且

相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何

体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母,如五棱锥PABCDE

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到

截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：

以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

"""""表示：用各顶点字母，如五棱台PABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆

柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图

是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何

体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆

台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底

面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以

半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球

面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图

（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了

物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高,I为母线）

S直棱柱侧面积S正棱台侧面积12chS圆柱侧2rhS正棱锥侧面积（clc2）h”S圆台侧面积

(rR)l

12ch"S圆锥侧面积rl

S圆柱表2rrlS圆锥表rrlS圆台表r2rlRIR2

(3)柱体、锥体、台体的体积公式V柱ShV圆柱ShV台13(S--21rhV锥ShV圆锥lr2h

33SSS)hV圆台13(S"SSS)h"13(rrRR)h

22

(4)球体的表面积和体积公式：V球4、空间点、直线、平面的位置关系

球面=4R2

(1)平面

①平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；

②平面的表示：通常用希腊字母a、,丫表示，如平面«(通常写在一个锐角内)；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③点与平面的关系：点A在平面内，记作A;点A不在平面内，记作A点与直线的关系:

点A的直线I上，记作：AWI;点A在直线I外，记作AI;

直线与平面的关系：直线I在平面a内，记作la;直线I不在平面a内，记作la。(2)公

理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

(即直线在平面内，或者平面经过直线)

应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1:AI,BI,A,BI(3)公理2:经过不在同一条直线上的三点，有且只有

一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据(4)公理

3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面a和B相交，交线是a,记作anp=a。

符号语言：PABABLPI公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以判断点

在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平

行（6）空间直线与直线之间的位置关系

①异面直线定义不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质:既不平行又不相交。

③异面直线判定过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④

异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点0,分别引直线a'lla,b（lib,

则把直线a）和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角

的范围是（0°,90。］,若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说

明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）

在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点。的位置无关。②求异面直线所成角

步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点

选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示：aaaDa=Aaiia

（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点；。1甲

相交有一条公共直线。an|3=b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

线线平行线面平行

线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行

（1）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理

（2）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行一面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行

一面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行一线面

平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行一线线

平行）7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是

直角，就说这两条异面直线互相垂直。②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线

垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组

成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质

定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的'两条相交直线都

垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直

线平行。②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为O0

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。③

两条异面直线所成的角：过空间任意一点0,分别作与两条异面直线a,b平行的直线a,b,形

成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线

和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算"。

第6页

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时,

注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线

的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定

义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个

半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别

作垂直于棱的两条射........线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面

角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面

垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法

定义法在棱上选择有关点过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法:

已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面

角7、空间直角坐标系

(1)定义：如图，OBCDDABC,是单位正方体以A为原点，分别以ODQAQB的方向

为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1)0叫做坐标原点2)x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向

为x轴正方向，食指指向为v轴正向，中指指向则为z轴正向这样也可以决定三轴间的相位置。

(3X壬意点坐标表示空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)

叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)(x叫做点M的横坐标，y叫做点M的

纵坐标，z叫做点M的竖坐标)

(4)空间两点距离坐标公式：d(x2xl)2(y2yl)2(z2zl)2

高一数学必修一知识点总结6

数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。我准备了高

一数学必修1期末考知识点，希望你喜欢。

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素.

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性

说明：Q)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给

定的集合的元素.

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时，仅算

一个元素.

(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素

是否一样，不需考查排列顺序是否一样.

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.

3、集合的表示:｛｝如｛我校的篮球队员｝，｛太平洋，大西洋,印度洋，北冰洋｝

1.用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,5｝

2.集合的表示方法：列举法与描述法.

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

关于属于的.概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aA,

相反,a不属于集合A记作a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上.

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件

表示某些对象是否属于这个集合的方法.

①语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是｛x?R|x-32｝或｛x|x-32｝

4、集合的分类：

1.有限集含有有限个元素的集合

2.无限集含有无限个元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系

L包含关系子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分,;（2）A与B是同一集合.

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2相等关系（55,且55厕5=5）

实例：设A={x|x2-l=0}B={-1,1）元素相同

结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的

任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集.AA

②真子集:如果AB,且AlB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

三、集合的运算

1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.

记作AB（读作A交B）,即AB={x|xA,且xB}.

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的

并集.记作：AB（读作A并B）,即AB={x|xA,或xB）.

3、交集与并集的性质：AA=A,A=,AB=BA,AA=A,

A=A,AB=BA.

4、全集与补集

(1)补集：设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,

叫做S中子集A的补集(或余集)

(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全

集.通常用U来表示.

(3)性质:(i)CU(CUA)=A(2)(CUA)(3)(CUA)A=U

高一数学必修一知识点总结7

高一数学必修一知识点

指数函数

(一)指数与指数幕的运算

1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1,且e_.

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号

表示.式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand).

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号

表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有

偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。

注意：当是奇数时，当是偶数时，

2.分数指数幕

正数的分数指数幕的意义，规定：

0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义

指出：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整

数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕.

3.实数指数幕的运算性质

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential),其中x是自变量，函数的

定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

高一上册数学必修一知识点梳理

空间几何体表面积体积公式：

1、圆柱体:表面积:2TrRr+2nRh体积:nR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)

2、圆锥体:表面积:TTR2+nR[(h2+R2)的]体积:irR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高

3、a-边长,S=6a2,V=a3

4、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc

5、棱柱541-高丫=511

6、棱锥5-＞高丫=$»3

7、S1和S2-上、Th-MV=h[Sl+S2+(SlS2)Al/2]/3

8、S1-上底面积,S2-下底面积,SO-中h-高,V=h(Sl+S2+4S0)/6

9、圆柱r-底半径,h-高,C一底面周长S底一底面积,S侧一,S表一表面积C=2mS底=irr2,S

侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=nr2h

10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=TTh(RA2-S2)

11、r-底半径小高丫=9人293

12、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=nh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径

V=4/3TirA3=TidA3/6

14、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=Tih(3a2+h2)/6=Tih2(3r-h)/3

15、球台rl和2球台上、下底半径h^V=nh[3"2+r22)+h2]/6

16、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2n2Rr2=n2Dd2/4

17、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=Trh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形，圆心是桶

的中心\)V=nh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)

人教版高一数学必修一知识点梳理

1、柱、锥、台、球的结构特征

⑴棱柱：

定义有两个面互相平行其余各面都是四边形目每相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相

等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

⑵棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何

体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到

截面距离与高的比的平方。

⑶棱台:

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的.顶点

（4）圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一

个矩形。

⑸圆锥:

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

⑹圆台:

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体:

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）;侧视图（从左向右）、俯视图（从上向

下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

高一数学必修一知识点总结8

集合间的基本关系

1."包含"关系一子集

注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之：集合A不包含于集

合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2."相等”关系(525，且545,则5=5)

实例:设A={x|x2-l=0}B={-1,1}"元素相同"

结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B

的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,即：A=B

A?①任何一个集合是它本身的子集。A

B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)?B,且A?②真子集如果A

C?C,那么A?B,B?③如果A

A那么A=B?B同时B?④如果A

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为①

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

集合的运算

1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的.交集.

记作ADB（读作"A交B"）,即ADB={x|xdA,且xdB}.

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B

的并集。记作：AUB(读作"A并B"),即AUB={x|xeA,或xeB}.

3、交集与并集的性质：ADA=A,AA(p=ip,AAB=BAA,AUA=A,AUcp=A,AUB=

BUA.

4、全集与补集

(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的集

合，叫做S中子集A的补集(或余集)

A}?S且x?X?记作：CSA即CSA={x

(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个

全集。通常用U来表示。

(3)性质:(i)CU(CUA)=A(2)(CUA)nA=(P(3)(CUA)UA=U

高一数学必修一知识点总结9

棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几

何体叫做棱锥

棱推的的性质：

Q)侧棱交于一点。侧面都是三角形

(2)平行于底面的‘截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高

的比的平方

正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这

样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，

它叫做正棱锥的斜高。

(3)多个特殊的直角三角形

esp:

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的

垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底

面的射影为底面三角形的垂心。

高一数学必修一知识点总结10

一、指数函数

(一)指数与指数幕的运算

1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1,且w_.

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号

表示式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand).

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号

表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有

偶次方根;0的.任何次方根都是0,记作。

注意：当是奇数时，当是偶数时，

2.分数指数幕

正数的分数指数幕的意义，规定：

0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义

指出：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整

数指数悬的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕.

3.实数指数幕的运算性质

（二）指数函数及其性质

L指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential）,其中x是自变量，函数的

定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

3、函数零点的求法：

求函数的零点：

1（代数法）求方程的实数根；

2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性

质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数.

1卜＞0,方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.

2卜=0,方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二

重零点或二阶零点.

3)^2｝,｛x|x-3>2｝,｛(x,y)|y=x2+l)

③语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

例：不等式x-3>2的解集是｛x?R|x-3>2｝或｛x|x-3>2｝

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素

A=｛(x,y)|y=x2+3x+2｝与B=｛y|y=x2+3x+2｝不同。集合A中是数组元素(x,y),集合B中

只有元素y。

3、集合的三个特性

(1)无序性

指集合中的元素排列没有顺序，如集合A=｛L2｝,集合B=｛2,1｝，则集合A=B。

例题：集合A=｛1,2｝,B=｛a,b｝，若A=B,求a、b的值。

解：，A=B

注意：该题有两组解。

(2)互异性

指集合中的元素不能重复,A=｛2,2｝只能表示为｛2｝

(3)确定性

集合的确定性是指组成集合的元素的性质必