陕西省西安某中学2023-2024学年度高二数学第二学期期末考试试题及答案

西安中学2023-2024学年度第二学期期末考试

高二数学试题

（时间：120分钟满分：100分）

一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.曲线/河=3苫2_^在（0,-1）处的切线方程为（）

A.x+y+l=0B.x-y+1=0C.x-y-1=0D.x+y-\=0

2.若随机变量J〜N（3,9）,尸（1<4<3）=0.35,则尸5）=（）

A.0.15B.0.3C.0.35D.0.7

3.随机变量X的分布列如下：

X-212

£

Pab

2

若E（X）=1,则。（X）=（）

A.0B.2C.3D.4

4.若［加+：］的二项展开式中常数项为（）

A.1B.2C.4D.6

5.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”.甲、乙等6名网红主播

在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，

若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单

独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）

A.96种B.132种C.168种D.204种

6.某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国

防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图1

所示，则下列说法正确的是（）

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①频率分布直方图中。的值为0.005②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80

③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78④估计总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为150

A.①②③B.①②④C.①③④D.②④

7.质数（0〃机加6夕）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然

数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“享生素数”，在不超过30的自然

数中，随机选取两个不同的数，记事件N="这两个数都是素数”；事件8="这两个数不是挛生

素数”，则尸（切/）=（）

11374341

A.—B.—C.—D.—

15454545

8.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如

图2所示，去除所有为1的项,依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，则此数列的前45项的

和为（）

第

Z行

01

第

Z厅

1T

第

2X行11

T

第

Z厅121

31

第

4亍1331

第

4亍14641

51

第

Z厅15101051

61

1615201561

图2

A.2026B.2025C.2024D,2023

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二、选择题(本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.)

9.某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的30%,70%,各自产

品中的次品率分别为6%,5%.记“任取一个零件为第i台车床加工(i=1,2)”为事件4,“任取

一个零件是次品”为事件3,贝iJ()

35

A.尸(8)=0.053B,P(5|4)=0.05C.P(A2B)=0.035D,P(4J8)=公

10.2024年6月18日，很多商场都在搞促销活动.西安市物价局派人对5个商场某商品同一天

A.变量x与y负相关且相关性较强B.＜2=40

C.当x=85时，y的估计值为13D.相应于点(105,6)的残差为-0.4

H.关于函数/(x)=2+lnx,下列判断正确的是().

x

A.x=2是/(x)的极小值点

B.函数y=/(x)-x有且只有1个零点

C.存在正实数"使得/(幻＞丘恒成立

D,对任意两个正实数七广2,且再＞%2，若/(再)=/(%2),则西+》2〉4

三、填空题(本题共3小题，每小题4分，共12分.把答案填在答题卡上的相应位

置.)

12.五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、

土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，贝胪木、土”相邻的排法种数是种.

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13.若函数/（无）=x2-x+alnx在（1,+⑼上单调递增，则实数0的取值范围为.

14.已知二项式（1+2«）"的二项式系数和为32.给出下列四个结论：

①〃=5②展开式中只有第三项的二项式系数最大

③展开式各项系数之和是243④展开式中的有理项有3项

其中，所有正确结论的序号是.

四、解答题（本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）

15.（本小题满分8分）当前，以。为代表的4GC（利用//技术自动生成内容的生产方

式）领域一系列创新技术有了革命性突破.全球各大科技企业都在积极拥抱N/GC,我国的

百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷

纷加码布局//GC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国N/GC发展研究报告》，先期准备

从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访.记选取的3个科技企业中3/T中的个数为X,求

X的分布列与期望.

16.（本小题满分8分）下表是某单位在2024年1〜5月份用水量（单位：百吨）的一组数据:

月份X12345

用水量y2.5344.55.2

⑴从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概

率；

（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05,视为“预测可靠"，那么

由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由.

参考公式：对于一组数据（无Qi）,（%,%）,…，⑴,力）,其回归直线夕=必+G的斜率和截

£-x）（%7）£Xiyt-nxy

距的最小二乘估计公式分别为：刃=「-----------=与---------，a=y-b^.

一反2

Z=1Z=1

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17.(本小题满分10分)2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网

4

站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占X，并将这200人按年龄分组,

第1组［15,25),第2组［25,35),第3组［35,45),第4组［45,55),第5组［55,65］,得到的频率分布

直方图如图3所示.

图3

⑴估计参与调查者的平均年龄；

(2)把年龄在第1,2,3组的居民称为青少年组，年龄在第4,5组的居民称为中老年组，若选

出的这200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2x2列联表。请将列联表补充

完整填入答题卡，并回答：依据小概率值a=0.050的独立性检验，能否认为是否关注民生与

年龄有关？

关注民生问题不关注民生问题合计

青少年

中老年10

合计200

(3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记这4人中“不关注民生问题

的人数为Y,求随机变量¥=2时的概率和随机变量Y的数学期望E(Y\

n(ad-be)2..

附:%2=7---------------------------------,n=a+b+c+a.

(〃+6)(c+d)(〃+c)(Z)+d)

a0.0500.0100.0050.001

%3.8416.6357.87910.828

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18.(本小题满分10分)已知函数/(x)=/-alnx(ae7?).

⑴若。=2,求〃x)的极值；

⑵若函数g(x)=/(%)+(l-2a)x恰有两个零点，求a的取值范围.

19.(本小题满分12分)某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号

登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为2；从第二次

7

摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为若前一次抽中奖品，则这次抽中的

2

概率为1.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为Pn.

(1)求巴、鸟的值；

(2)探究数列｛々｝的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过

程.

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西安中学2023-2024学年度第二学期期末考试

高二数学答案

选择题

1234567891011

AABCCBDAACDABDABD

填空题

12.4813.14.①③④.

解答题

15.解：易知X的所有可能取值为0,1,2,3,

「3A1oC2cl12

此时尸(X=0)=V=—,P{X=1)==—P(X=2)=皆

穹35C；35335

C31

P(X=3)=式=寸——4分

则X的分布列为:

X0123

418121

p

35353535

---------6分

4181219

止匕时E(X)=0x——+lx—+2x——+3x——=—----------8分

353535357

16.解：⑴从这5个月中任取2个月，包含的可能的情况有C；=10个,

其中所取2个月的用水量之和不超过7（百吨）的可能情况有以下4个:

（2.5,3）,（2,5,4）,（2.5,4.5）,（3,4）,

42

故所求概率P=—=—.-------------4分

105

（2）由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程，

西安中学高二年级数学试题第1页共5页

则由数据得钎勺*2.5,_2.5+3+4+4.5一

y=----------------------=3.5

4

4

2玉%-4亚

2.5+6+12+18-35”

由公式计算得b=与-------------------------------------=0.7

£._缶21+4+9+16-25

Z=1

a=y-bx=U5，所以y关于x的经验回归方程为9=0.7X+1.75,

当x=5时，得估计值9=0.7x5+1.75=5.25,而|5.2-5.25|=0.05^0.05

所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的.-------8分

17.解：x=0.01x10x20+0.015x10x30+0.035x10x40+0.03x10x50+0.010x10x60

=41.5,

二估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁.-------3分

⑵选出的200人中，各组的人数分别为：

第1组：200x0.010x10=20人，第2组：200x0.015x10=30人，

第3组：200x0.035x10=70A,第4组：200x0.030x10=60A,

第5组：200x0.010x10=20人，

•••青少年组有20+30+70=120人，中老年组有200-120=80人，

・•・参与调查者中关注此问题的约占80%，，有200x(l-80%)=40人不关心民生问题,

选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人,

.•.2x2列联表如下:

关注民生向中不关注民生科・合计

百少年50120

-------5分

中卷年7010XO

合计16040200

零假设M：假设关注民生问题与性别相互独立,

200(90>10-70x30)2

z2=4.6875>3.841,

160x40x80x120

根据独立性检验，可以认为零假设用不成立,7分

西安中学高二年级数学试题第2页共5页

即能依据小概率值a=0.050的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关.

301

⑶由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为一=—,将频率视为概率，每个青少

1204

年“不关注民生间题”的概率为4，

4

因为每次抽取的结果是相互独立的，所以ys5(4,-),

4

尸(丫=左)=《,)/1-；)4-左，k=0,1,2,3,4

1127

所以尸(y=2)=c；(/2(i广2=翔，

4412o

E(y)=4xLl.-------10分

4

18.解：⑴/(x)的定义域为(0,+与，

2

当a=2时，/(x)=x2-21nx,f'(x)-2x---,令/'(x)=0,得x=l,

x

当xe(0,1)时，/(x)<0;当xe(l,+oo)时,f'(x)>0,

所以在(0,1)上单调递减，在(1,+功上单调递增，

所以x=l是〃x)的极小值点，

又八1)=1-2山1=1,故/(x)的极小值为1,无极大值；-------4分

(2)由g(x)=f(x)+(1-2a)x=x2-alnx+(l-2a)x得，

“、一。八八、(2x+l)(x-a)

g'(x)=2x——+(1-2a)=-----------,

XX

当我0时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+s)上单调递增，

则g(x)最多有一个零点，不合题意；-------6分

当a>0时，当xe(0,a)时，g，(x)<0,当xe(a,+oo)时，g，(x)>0,

所以g(x)在。。)上单调递减，在(。,+8)上单调递增，

X—>0,g(x)T+8,XT+8,g(x)—>+oo

所以：g(x)的极小值为g(a)=/-alna+(1-2a)a=a-alna_1n。_。)<0,8分

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