2023九年级数学下册 第三章 圆3 垂径定理教案 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第三章圆3垂径定理教案（新版）北师大版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容为北师大版2023九年级数学下册第三章“圆”中的第3节“垂径定理”。内容包括：垂径定理的探索与证明，垂径定理在实际问题中的应用，以及通过垂径定理解决圆形图形的相关问题。教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在八年级时已学习过圆的基本性质和直径的相关知识，为理解垂径定理奠定了基础。此外，学生在九年级上册中学习了相似三角形的性质和应用，这有助于他们理解垂径定理的证明过程及在圆形问题中的应用。本节课将在此基础上，深化学生对圆的性质的理解，并提高他们解决实际问题的能力。核心素养目标本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：通过探究垂径定理，提升学生的几何直观与逻辑推理能力；强化学生运用数学语言表达几何关系的能力；提高学生解决实际问题时运用数学知识的能力。通过学习，使学生能够理解圆的性质，运用垂径定理分析并解决相关问题，培养他们的空间观念和问题解决能力，进一步深化对数学学科本质的认识，增强数学抽象和数学建模的核心素养。重点难点及解决办法本节课的重点在于垂径定理的证明及其应用。难点在于理解垂径定理与圆的性质之间的联系，并能将其灵活应用于解决实际问题。

重点解决办法：

1.通过动态几何软件或实物模型演示，帮助学生直观理解垂径定理的形成过程，加深记忆。

2.设计不同难度的练习题，由浅入深地引导学生运用垂径定理解决实际问题，巩固知识点。

难点突破策略：

1.引导学生通过画图、分析、讨论的方式，发现并理解垂径定理与圆的性质之间的关系。

2.利用小组合作学习，让学生互相交流解题思路，共同突破难点。

3.教师针对学生的薄弱环节进行个别辅导，针对性地解决问题。

4.结合生活实例，让学生体会垂径定理在实际生活中的应用，提高学习兴趣，降低学习难度。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过生动的语言和直观的图形，向学生讲解垂径定理的证明过程和性质应用。

2.讨论法：组织学生分组讨论，共同探索垂径定理在解决实际问题中的应用，培养学生的合作能力和问题解决能力。

3.实验法：利用几何画板等教学软件，让学生亲自动手操作，观察垂径定理在图形中的表现，提高学生的实践操作能力。

教学手段：

1.多媒体设备：通过PPT展示定理的推导过程，以及相关例题的解答步骤，增强视觉效果，提高学生的学习兴趣。

2.教学软件：运用几何画板等软件，动态演示垂径定理的图形变化，帮助学生更好地理解定理的内涵。

3.网络资源：提供在线学习平台，让学生在课后自主查阅相关资料，拓展学习深度和广度。教学过程第一环节：导入新课

1.复习提问：上节课我们学习了圆的哪些性质？（学生回答）很好，今天我们将进一步学习圆的一个重要性质——垂径定理。

2.引入新课：请大家观察黑板上这个圆，如果我们在圆中画一条弦，再画一条垂直于这条弦的直径，你们觉得这两者之间会有什么关系呢？（引导学生思考并回答）

第二环节：探究垂径定理

1.分组讨论：请同学们分成小组，利用手中的圆和直尺、圆规等工具，画图探究垂径定理。

2.小组汇报：请各小组代表汇报你们探究的结果。

3.教师总结：根据大家的探究结果，我们可以得出垂径定理：在一个圆中，如果一条弦垂直于另一条弦，那么这两条弦互相平分。

4.证明垂径定理：引导学生利用几何知识，通过添加辅助线、证明三角形全等或相似，来证明垂径定理。

第三环节：应用垂径定理

1.例题讲解：请同学们打开课本，看例题3.3.1。我们一起来看如何运用垂径定理解决这个问题。

2.学生练习：请同学们独立完成课本上的练习题3.3.2。

3.答疑解难：针对学生在练习过程中遇到的问题，进行解答和指导。

第四环节：巩固拓展

1.拓展题目：请同学们尝试解决以下拓展题目（出示PPT上的题目）。

2.小组讨论：各小组讨论解题思路，共同解决问题。

3.全班交流：请各小组汇报解题过程和答案，大家共同讨论，总结解题方法。

第五环节：课堂小结

1.学生总结：通过本节课的学习，大家有什么收获？

2.教师总结：本节课我们学习了垂径定理，并学会了如何运用它解决实际问题。希望大家在课后加强练习，熟练掌握垂径定理。

第六环节：作业布置

1.完成课本习题3.3.3、3.3.4。

2.预习下一节课内容。

3.查阅资料，了解垂径定理在实际生活中的应用。教学资源拓展拓展资源：

1.相关书籍：《几何明珠》、《圆的密码》等，这些书籍中详细介绍了圆的性质及其在实际中的应用，有助于学生更深入地理解垂径定理。

2.视频资料：可以查找一些教学视频，如《几何原本》中关于圆的性质的讲解，帮助学生直观地理解垂径定理的证明过程。

3.实物模型：准备一些圆形实物模型，如圆盘、硬币等，让学生观察并动手操作，加深对垂径定理的理解。

拓展建议：

1.阅读建议：鼓励学生阅读相关书籍，了解圆的性质在历史发展中的重要作用，激发学生的学习兴趣。

2.观看建议：指导学生观看教学视频，注意观察垂径定理的证明过程，学会运用几何知识分析问题。

3.实践建议：

a.利用实物模型，让学生自己动手画圆、画弦、画垂径，观察垂径定理在实际中的表现。

b.组织学生进行户外实践活动，如测量圆形花坛的直径、半径等，将垂径定理应用于实际生活。

c.鼓励学生发现生活中的圆形物体，并运用垂径定理分析其性质，提高学生的观察能力和实践能力。板书设计1.标题：垂径定理

-引出主题，明确本节课的教学内容。

2.关键概念：

-圆

-弦

-直径

-垂径定理

-突出重点，明确基本概念。

3.垂径定理内容：

-在圆中，如果一条弦垂直于另一条弦，则这两条弦互相平分。

-精炼准确地表达垂径定理的内容。

4.证明过程：

-利用图形展示证明步骤，简洁明了。

-突出关键步骤和几何证明方法。

5.应用实例：

-通过示例题目的解答，展示垂径定理在实际问题中的应用。

-简洁呈现解题步骤和答案。

6.课堂小结：

-总结本节课学习的主要内容和知识点。

-概括性语言，条理分明。

7.艺术设计：

-使用不同颜色的粉笔，区分概念、定理、例题等不同部分。

-运用箭头、框线等元素，使板书结构清晰、层次分明。

-增加趣味性图案，如圆形、弦线等，增强视觉效果。

板书设计旨在通过清晰的结构、简洁的内容和艺术性的呈现，帮助学生更好地理解和记忆垂径定理，同时激发学生的学习兴趣。教学反思今天我们在九年级学习了垂径定理，整个教学过程下来，我觉得有几个地方值得反思。

首先，我发现同学们在探究垂径定理的过程中，对于画图和观察几何关系还存在一定的困难。这让我意识到，在之后的教学中，我需要更加注重培养大家的几何直观能力，可以通过多做一些实际操作，比如用圆规和直尺亲自画图，帮助同学们更好地理解几何关系。

其次，讨论环节中，有些同学并不是很积极，可能是因为他们对垂径定理还不够熟悉，或者是对自己的解题思路不够自信。针对这个问题，我打算在接下来的课程中，多设置一些简单的问题，鼓励大家大胆发言，逐步提高他们的自信心。

另外，我发现通过多媒体设备和教学软件的演示，同学们对垂径定理的理解更加深刻。这说明现代化教学手段在几何教学中的优势非常明显。因此，我会在后续的教学中，继续充分利用这些资源，让同学们在视觉和感官上更好地理解和记忆几何知识。

还有一点让我印象深刻的是，当同学们将垂径定理应用到解决实际问题中时，他们表现出了很高的兴趣。这说明我们教学中的实例选择非常重要，要尽量贴近生活，让同学们感受到数学的实用价值。

在讲解垂径定理的应用时，我发现有些同学在解题步骤上还存在一定的困惑。这可能是因为我对解题步骤的讲解还不够细致。为了解决这个问题，我计划在之后的课程中，对解题步骤进行更加详细的讲解，并鼓励同学们在课后多做一些相关练习，巩固所学知识。重点题型整理题型一：证明垂径定理

题目：在圆O中，AB是直径，C是弦，且AB垂直于C。证明：AC=BC。

解答：由于AB是直径，根据圆的性质，直径所对的圆周角是直角。因此，∠ACB=90°。又因为AB垂直于C，所以∠AOC=∠BOC=90°。在直角三角形AOC和BOC中，它们有一个共同的角∠O，且AO=BO（直径相等），因此根据直角三角形的性质，AC=BC。

题型二：应用垂径定理解决实际问题

题目：一个圆形花坛直径为10米，在花坛中心垂直于一条宽2米的路径。求这条路径将花坛分成的两个部分的面积。

解答：路径将花坛分成两个半圆和一个矩形。由于路径宽2米，所以矩形的宽也是2米。根据垂径定理，路径将半圆分成的两部分面积相等，因此只需计算一个半圆的面积加上矩形的面积。半圆的半径为5米，面积为π×5²/2=39.27平方米。矩形的面积为长（半圆的周长）×宽，即2×π×5×2=62.83平方米。所以，整个路径将花坛分成的两个部分的面积为39.27+62.83=102.1平方米。

题型三：垂径定理在多边形中的应用

题目：四边形ABCD内接于圆O，且对角线AC垂直于BD。证明：AB=CD。

解答：连接BD，由于ABCD内接于圆O，根据圆的性质，对角线互相垂直。所以∠AOD=∠BOC=90°。根据垂径定理，AD=BC。同理，由于AC垂直于BD，∠BAD=∠BCD，所以三角形ABD和三角形CDB全等，从而得出AB=CD。

题型四：垂径定理与相似三角形结合

题目：在圆O中，AB是直径，C在AB上，且OC垂直于AB。若OC=4，求AC的长度。

解答：由于OC垂直于AB，根据垂径定理，AC=BC。在直角三角形OCB中，OC=4，所以AB=2×OC=8。由于C在AB上，AC+BC=AB，因此AC=AB/2=4。

题型五：垂径定理在圆形设计中的应用

题目：设计一个直径为20米的圆形花园，要在花园中建一条宽为4米的笔直小路，使小路将花园分成面积相等的两部分。

解答：根据垂径定理，要使小路将花园分成面积相等的两部分，小路必须通过花园的中心。在花园中心O处，垂直于直径AB建一条宽4米的小路。这样，小路将花园分成两个半径为10米的半圆，面积相等。由于小路宽4米，所以每个半圆的半径实际为10-2=8米。这样设计的花园可以使两部分面积相等。教学评价与反馈1.课堂表现：在本节课中，同学们的课堂表现整体良好。大家能够认真听讲，积极参与课堂讨论，对于垂径定理的探究表现出较高的兴趣和热情。特别是在小组讨论环节，同学们能够相互协作，共同探讨，体现了良好的团队合作精神。

2.小组讨论成果展示：各小组在讨论垂径定理的证明和应用过程中，展示出了不同的解题思路和技巧。大家通过互相借鉴，共同提高，使得课堂氛围更加活跃。在成果展示环节，同学们能够清晰地表达自己的观点，为其他同学提供了很好的学习范例。

3.随堂测试：在随堂测试环节，大部分同学能够正确回答关于垂径定理的问题，说明大家对本节课的知识点掌握较好。但也有一小部分同学在应用垂径定理解决实际问题时存在困难，需要加强练习。

4.作业完成情况：课后作业的完成情况总体较好，同学们能够按照要求完成习题，并在作业中体现了对垂径定理的理解和应用。但仍有部分同学在解题过程中出现步骤不清晰、计算错误等问题，需要进一步提高。

5.教师评价与反馈：针对本节课的教学，我认为