二次根式 讲义-2024年中考数学一轮复习原卷版

考点04.二次根式（精讲）

【命题趋势】

二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其

取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解

答题形式考察。此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是

也多属于中考必考题。

【知识清单】

1：二次根式的相关概念（☆☆）

（1）二次根式的概念：形如、份（a>0）的式子叫做二次根式。其中符号“，”叫做二次根号，二次根号

下的数叫做被开方数。

注意：被开方数。只能是非负数。即要使二次根式如有意义，则生0。

（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的，二次根式,

叫做最简二次根式。

（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。

2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）

（1）二次根式的性质：

a（a>0）

1）双重非负性：（«>0）；2）（V«）2=a（a>0）;3）行=|a[=<0（a=0）；

-a（a<0）

（2）二次根式的化简方法：

1）利用二次根式的基本性质进行化简；

2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。

（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）

积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个

因数（或因式）的指数都小于根指数2。

3：二次根式的的运算（☆☆☆）

(1)加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后,再将被开方数相同的二次根式合并。

口诀：一化、二找、三合并。

(2)乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：&/=疝SNO.bNO)。

除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：_^=^(a>0,b>0)_o

(3)

(4)分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。

分母有理化因式:

1_4a_4a

1)分母为单项式时,分母的有理化因式是分母本身带根号的部分;即:

4a4a->[aa

2)分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分:

„„14a+4b&+扬

oJ.________=___________________-__________

4a.-4b-扬)(&+振)a-b

(5)混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括

号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。

【易错点归纳】

1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如："、-后都

是二次根式。

2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件:①开方数所含因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号);

②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。

3.根据二次根式的性质化简时，右前无&化简出来就不可能是一个负数。

4.利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化

简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的

取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。

5.化简(或计算)后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。

6.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。

【核心考点】

核心考点1.二次根式的相关概念

1_x

例1;（2023・四川绵阳•中考真题）使式子+尸石在实数范围内有意义的整数有（)

Jx+3

A.5个B.3个C.4个D.2个

变式1.（2023•浙江金华・统考中考真题）要使用与有意义，则x的值可以是（）

A.0B.-1C.-2D.2

变式2.（2023•江苏•校考模拟预测）己知x、y为实数，且y=4-2023+校3-x-1,则炉的值是

例2：（2023・山东烟台・统考中考真题）下列二次根式中，与0是同类二次根式的是（）

A.-^4B.y/^C.-^8D.J12

变式1.（2023•广东•九年级校考阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（）

A.735B.血C.值D.

变式2.（2020•山东济宁市•中考真题）下列各式是最简二次根式的是（）

A.V13B.712C.而D.

变式3.（2023•河南驻马店•九年级校考阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式：

例3：（2023・重庆•九年级校考期中）如果最简二次根式石与石和是同类二次根式，那么。的值是（）

A.4B.5C.6D.8

变式1.（2023•湖南衡阳•九年级统考期中）最简二次根式而I与36是同类二次根式,则a的值为

例4：（2023•湖北黄冈・统考中考真题）请写出一个正整数机的值使得痂是整数；m.

变式1.（2023上•广东惠州•九年级校考期中）已知。为正整数，且辰也为正整数，贝U。的最小值为

核心考点2.二次根式的性质与化简

例5：（2023•江苏泰州•统考中考真题）计算必了等于（）

A.±2B.2C.4D.0

变式1.（2023」可北保定•统考二模）若旧=24，回=6后，贝；

变式2.（2022•广西桂林•中考真题）化简疵的结果是（）

A.26B.3C.20D.2

变式3.（2023・安徽蚌埠•统考三模）已知一组数百，76,3,20,厉,36,后,2或…,排列方

式如下：也,灰,3,2A/3;而,3VL后,276;....若3的位置记为（1,3）,3亚的位置记为（2,2）,

则3店的位置记为.

例6：（2023上•湖北•九年级专题练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题:

化简：（Jl-3x）-|l-x|

解:隐含条件1—3x20,解得：x<1,01-x>O,

回原式=（1—3x）—（1—x）=1—3x—1+x=—2x,

【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简向牙-（月可2；

【类比迁移】（2）实数d6在数轴上的位置如图所示，化简：4^+^a+b）2-\b-a\;

—a------------------L

（3）已知a,b,c为一ABC的三边长.化简：J（a+b+c）~++J（b-a-c）2+J（c-b-a）。.

变式1.（2023上•吉林长春•九年级校联考阶段练习）若“<0,则化简病的结果为

变式2.（2023・广东广州•统考中考真题）已知关于x的方程x?-（2"2）x+K-1=0有两个实数根，则

万I）?的化简结果是（）

A.-1B.1C.-l—2kD.2k-3

变式3.（2023上•山西晋城•九年级统考期中）当。=6时，求a+Jl—2a+02的值.如图

（1）的解法是错误的.⑵当a<4时，求J/-8a+l6T5-4的值.

例7.（2023•广东•校考模拟预测）若|1001-4+Ja—1002=a,则a—10012=.

变式1.（2023・河南周口•校考模拟预测）若也属于真分数，任意写出一个符合条件的机的值_____

6

例8.（2023上•山西长治•九年级校考期中）阅读与思考

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.

双层二次根式的化简

二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内

又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号.

例如：要化简g+20，可以先思考（1+应了=12+2、心忘+（0了=3+2应（根据1）.

13+20=jF+2xlx应+（0）2=+=1+应.通过计算，我还发现设

++=m+n四（其中w,a,b都为正整数），则有a+80=+2/+2W〃>/鼠0

a=rrr+2/z2,b—.

这样，我就找到了一种把部分向麻化简的方法.

任务：（1）文中的"根据1"是，b=.

⑵根据上面的思路，化简：714-675.（3）已知Ja+4石=x+yG，其中。，尤，y均为正整数，求。的值.

变式1.（2023上•湖北•九年级校考周测）小（-4）2+昉'+"+26_"_2百=.

核心考点3.二次根式的的运算

例9：（2023•青海西宁•统考中考真题）下列运算正确的是（）

2

A.72+73=75B.J（-5）2=-5C.（3-72）2=11-6>/2D.6+月x6=3

变式1.（2023•辽宁大连•统考中考真题）下列计算正确的是（）

A.（旬°=应B.26+36=5木C：.册=4五D.石（2后-2）=6-2百

变式2.（2023・重庆•统考中考真题）估计石x（

的值应在（）

A.4和5之间B.5和6之间C：.6和7之间D.7和8之间

会一0+2T

例10：（2023・上海•统考中考真题）计算：我T

君+ij非+i=（）

变式1.（2021•湖南常德市•中考真题）计算：

、2）2

A.0B.1C：.2D.

2

变式2.（2023•甘肃武威•统考中考真题）计算:V27--X2V2-6A/2.

2

例11：（2023•河南驻马店•模拟预测）斐波那契（约n70-1250）是意大利数学家，他研究了一列数，被称

为"斐波那契数列”.他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第〃为正整数）个数

凡可表示为不且连续三个数为t，an,am之间存在以下关系%7+a,=

（«>2）.①第1个数％=1；②第2个数：%=2；③"斐波那契数列"中的前8个数是1,1,2,3,5,8,

13,21；④若把"斐波那契数列”中的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列

中，第2017项的值是1.以上说法正确的有.（请把你认为正确的序号全都填上去）

变式1.（2022・四川达州,统考中考真题）人们把W0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法

2

中的"0.618法”就应用了黄金比.设°=正1,6=且里，记'=」一+」，邑=3+三，…，

221+a1+b1+a-1+b2

。100100„„„„

400=]+储°°+]+加°°，贝n'JS]+S2++^100=-----------

变式2.（2023・四川内江•九年级校考期中）定义：我们将（，?+而）与（右-9）称为一对"对偶式"，因为

（&+JF）（而-扬）=（Cf-（JFy=a-b,可以有效的去掉根号，若J18-x-=l,则

J18—x+Jl1—x=•

例12：（2022•四川宜宾•统考中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了

已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是："以小斜募并大斜哥减中斜累，余半之，自乘于上，以

小斜基乘大斜累减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为

S=g.现有周长为18的三角形的三边满足a/：c=4：3:2,则用以上给出的公式

求得这个三角形的面积为

变式1.（2022•山东聊城,中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=0晟进行计算，其中。为

子弹的加速度，$为枪筒的长.如果a=5xl（）5m/s2,5=0.64m,那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数

法表示）为（）

A.0.4xl02m/sB.0.8xl02m/sC.4xl02m/sD.8xl02m/s

例13：（2023・重庆•校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代

数式相乘，积不含有二次根式，例如，（如-2）（行+2）=1,6.&=a,（2后-0）（26+&）=10.通过

查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式.小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论:

甲：3，=3；乙：设有理数处“满足：濡+1+3l=-6拒+4,则“+6=6；

丙：^022-72021>72020-^019；丁：已知石三一而二二4,则所1+旧^=6；

戊：~^+广1厂+厂1厂++—"-33-而.以上结论正确的有（

3+V35V3+3V57V5+5V799V97+9779966

A.甲丙丁B.甲丙戊C.甲乙戊D.乙丙丁

变式1.（2023・重庆•九年级校考阶段练习）阅读材料：

材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有

理化因式.

例如：品$3,（A/6-A/2）（V6+A/2）=6-2=4,我们称有的一个有理化因式是君，卡-血的一个有

理化因式是痛+声.

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中

不含根号，这种变形叫做分母有理化.

斯力n1lx-V3

例如：1TET丁

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题:

⑴万的有理化因式为,近+6的有理化因式为;（均写出一个即可）

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（2）将下列各式分母有理化（要求；写出变形过程）：①右；②m；

⑶计算：金十七石+舟石+…+而天匕砺的结果.

变式2.（2023•北京西城•九年级校考期中）阅读下述材料：

我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用.其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化",

与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：

V7+v6J7+J6

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：

比较近-6和布-q的大小.可以先将它们分子有理化如下：币—底=不'+瓜,娓一加=娓;下,

因为用+瓜>瓜+也,所以5-娓〈娓-非.

再例如：求>=Jx+2-J尤-2的最大值.做法如下:

4

解：由尤+220,X—2N0可知xN2,而y=Jx+2-Jx-2=

Jx+2+Jx-2

当x=2时，分母^/^+G工有最小值2,所以y的最大值是2.

解决下述问题：⑴比较3近-4和2古-M的大小；（2）求、=&^7+后！-«的最大值和最小值.

例14：（2023上•福建泉州•九年级校联考阶段练习）已知。，6为两个正实数，

a+b一（6）+（扬）2G.扬一（后4b）>0,a+bN2而,即：等2疝，当且仅当"。=，’时，

等号成立.我们把等叫做正数。，6的算术平均数，把府叫做正数“，b的几何平均数，于是上述不等

式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数.它在数学中有广泛的应

用，是解决最值问题的有力工具.示例：当x>0时，求y=x+Ll的最小值；

解：y=（^+-）+1>2./%--+1=3,当％=L即X=1