中考数学一轮复习第一讲与圆有关的概念及性质（解析版）

模块六圆

第一讲与圆有关的概念及性质

知识梳理夯实基础

知识点1:与圆有关的概念

1.圆的定义

如图，在平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，则另一个端点A所

形成的封闭曲线叫做圆，固定的端点0叫做圆心，线段0A的长为r,叫做半

径.以点0为圆心的圆，记作“0”，读作“圆0”.

注：圆也可以看成到定点的距离等于定长的点的集合.

2.圆的有关概念

同圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆。

匮

等能够重合的两个圆叫做等圆

匮

4圆的任意一条的两端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

匮

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号"”表示。大于半圆的弧叫做—，

况

如ABC；小于半圆的弧叫做_______,如A3.

等在

见同

弦连接圆上任意两点的_________叫做弦，如弦AC

弓由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

无

经过的弦叫做直径，如直径BC。

右

匮顶点在________的角叫做圆心角，如NA0B。

K

祥

匮顶点在圆上，并且_______都与圆还有另一个交点的角叫做圆周角，如NACB。

指

祥

3.确定圆的条件

不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

4.圆的对称性

(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是圆所在的平面内任意一条过圆心的直线.

1.因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的

对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直

线”或“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”.

2.圆的对称轴有无数条.

⑵圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，都能与自身重合，旋转中心为

圆心，圆的这种性质叫做圆的旋转不变性.

(3)圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

知识点2:垂径分弦

1.垂径定理：垂直于弦的直径,并且弦所对的两条弧。

注意：垂径定理使用时必须具备两个条件：一是直径；二是垂直，二者缺一不可。

2.垂径定理的逆定理：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

注意：定理中括号内“非直径”这三个字不能省略，否则定理不成立。

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助

线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.

知识点3:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧,所对的弦相等，所对弦的弦心距相

等。

2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心

距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。

可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等今弧相等今弦相等=弦心距相等。

注意：

(1)定理(推论)成立的前提条件是“在同圆或等圆中”，缺少这一前提条件定理(推论)不成立。

⑵在这个推论中，四组量中只要有一组量“不等”，其余各组量也“不等”。

知识点4:圆周角定理及其推论

一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的

C

常

见

图

形3

结

ZACB=_____________

论

1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________,相等的圆周角所

推对的弧也相等。

论2.半圆或直径所对的圆周角是_________；

90。的圆周角所对的弦是________。

知识点5:圆内接四边形的概念和定理

一个四边形的四个顶点

都在同一个圆上，这个四

边形叫做圆的内接四边

概念

形，这个圆叫做这个四边

形的外接圆。

圆内接四边形的对ZA+NBCD=

定理角______,且任何一个外ZB+ZD=

角都等于它的内对角。NDCE=______________

直击中考胜券在握

1.（2023•长沙中考）如图，点A,B,C在国。上，NR4c=54。，则NBOC的度数为（）

C.116°D.128°

【答案】B

【分析】

直接利用圆周角定理即可得.

【详解】

解：QZBAC=54°,

二由圆周角定理得：ZBOC=2ZBAC=108°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键.

2.（2023•甘肃省中考）如图，点A3,C,D,E在O上，AB=CD,NAOB=42°,则NCED=（）

A.48°B.24°C.22°D.21°

【答案】D

【分析】

先证明AB=CD,再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案.

【详解】

解：点A,B,C,D,E在。上，AB=CD,ZAOB=42°,

AB=CD,

NCED=-ZAOB=-x42°=21°,

22

故选：D

【点睛】

本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧

的概念与性质是解题的关键.

3.（2023•四川南充中考）如图，AB是。的直径，弦。0,48于点£,CD=2OE,则4CQ的度数为

()

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】

连接。。，根据垂径定理得8=2。£,从而得二QDE是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解.

【详解】

解：连接OD,

蜘8是C。的直径，弦CDLAB于点E,

0CD=2DE,

^CD=2OE,

SDE=OE,

0ODE是等腰直角三角形，即回BOD=45。，

^ZBCD=^BOD=22.5°,

故选B.

【点睛】

本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键.

4.(2023•宜昌中考)如图，C,D是。上直径A3两侧的两点.设ZABC=25。，则NBDC=()

D

A.85°B.75°C.70°D.65°

【答案】D

【分析】

先利用直径所对的圆周角是直角得到MCB=90。，从而求出团BAC,再利用同弧所对的圆周角相等即可求出

0BDC.

【详解】

解：0C,。是国。上直径A8两侧的两点，

幽4CB=90°,

0EMBC=25°,

EB8AC=90°-25°=65°,

00BDC=0B/IC=65O,

故选：D.

【点睛】

本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90。和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的

关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法.

5.（2023•重庆中考A卷）如图，四边形ABCD内接于团。，若蜘=80。，贝腼C的度数是（）

A.80°B.100°C.110°D.120°

【答案】B

【分析】

根据圆内接四边形的对角互补计算即可.

【详解】

解：回四边形ABCD内接于回。，

00C=18O°-EM=1OO°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

6.如图，AB为国。的直径，C、D为田。上两点，0CDB=30°,BC=4.5,则AB的长度为（）

c

D

A.6B.3C.9D.12

【答案】C

【分析】

连接AC,由圆周角定理得NACB=90。，NC4B=NCDB=30。，再由含30。角的直角三角形的性质求解即

可.

【详解】

解：如图，连接AC.

.-.ZACS=90°,

ZCAB=ZCDB=30P,BC=4.5,

:.AB=2BC=9,

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、含30。角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造

直角三角形解决问题.

7.（2023•黔东南中考）如图，以A3为直径的半圆。过点C,AB=4,在半径03上取一点O,使

AD=AC,NC4B=30。，则点。到C£»的距离0£是（）

c

A.72B.1C.2D.2>/2

【答案】A

【分析】

在等腰AACD中，顶角NA=30。，易求得Z4CD=75。，根据等边对等角，可得/OC4=/A=30。，由此可

得/。8=45。，即AOCE是等腰直角三角形，则OE=0.

【详解】

SAC=AD,ZA=30°,

BlZACD=ZADC=75°,

B1AO=OC,

团NOC4=NA=30。，

®NOCD=45。，即AOCE是等腰直角三角形.

在等腰比AOCE中，OC=2,

因此OE=也.

故选：A.

【点睛】

本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识的应用.

8.（2023•广东省中考）如图，AB是团。的直径，点C为圆上一点，AC=3,/A3C的平分线交AC于点

D,。=1,贝腼。的直径为（）

A.73B.2也C.1D.2

【答案】B

【分析】

过。作垂足为E,先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1,再说明RtSDEBBRtSDCB得

到BE=BC,然后再利用勾股定理求得AE,设8E=BC=x,AB=AE+BE=x+y/3,最后根据勾股定理列式求出x,

进而求得AB.

【详解】

解：如图：过。作DE0AB,垂足为E

EMB是直径

回蜘CB=90°

0EM6C的角平分线BD

0DF=DC=1

在Rt^DEB和RtfflDCfi中

DE=DC、BD=BD

^RtSDEB^Rt^DCB(HL)

EIBE=BC

在RtH/WE中，AD=AC-DC=3-1=2

AE=-JAD2-DE2=722-l2=6

设BE=BC=x,AB=AE+BE=x+y/3

在Rt^ABC中,AB2=AC2+BC2

则(x+N)2=32+X2,解得X=G

+也=26

故填：2石.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的

关键.

9.(2023•巴中中考)如图，A3是国。的弦，且AB=6,点C是弧A3中点，点。是优弧上的一点,

A.273B.73C.1D.日

【答案】B

【分析】

连接。4OC,OC交AB于E,根据圆周角定理求出MOC=2/ADC=60。，由点C是弧A3中点，得到

MEO=90。，AE=^AB=3,AO=2EO,利用勾股定理得到OA2=OE2+AE2,求出OE即可得到答案.

【详解】

解：连接。A、OC,OC交48于E,

0ZADC=30°,

EE49C=2NADC=60°,

回点C是弧A3中点，

回0电8,

的AEO=90°,AE=-AB=3

2f

mOAE=30°f

BAO=2EO,

0O42=OE2+AE2,

0(219£)2=OE2+32,

团=即圆心。到弦A3的距离等于也，

故选：B.

D

【点睛】

此题考查圆的知识，圆周角定理，垂径定理，以及勾股定理，熟记圆周角定理及垂径定理是解题的关键.

10.如图，AC是国。的直径，弦BD0A。于E,连接BC,过点。作。用BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,

则回。FC的面积是（）

20cm2C.10cm2D.5cm2

【答案】D

【分析】

根据垂径定理得出0£的长，进而利用勾股定理得出BC的长，从而得到。C的长，即可求出鼬。C的面积,

再根据三线合一定理得到BF=CF,则S&OFC=$△.=J%Bg=5cm2,由此求解即可.

【详解】

解：连接。B,

是回。的直径，弦8DM。于E,BD=8cm,AE=2cm.

团BE=gBD=4cm,

在/?曲OEB中，OE2+BE2=O82,即。£2+42二（。&2）2

解得：OE=3cm,

团OC=OA=OE+AE=5cm,

19

团S&BOC=3OC.BE=10cm2,

0OB=OC,0P3\BC,

S\BF=CF,

1,

0SAOFC=—OF-FC=5cm",

故选D.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理.

11.（2023•西藏中考）如图，团BCD内接于回。，ED=70",OAI3BC交回。于点A,连接AC,贝胞。AC的度数为

A.40°B.55°C.70°D.110°

【答案】B

【分析】

连接08,OC,根据圆周角定理得到鼬OC=2回。=140。，根据垂径定理得至峋COZ=GNBOC=70。，根据等

2

腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】

解：连接08,OC,

盟D=70°,

回团80c=2回。=140°,

团04团3C,

^COA=-ZBOC=70°

29

团OA=OC,

1

^OAC=^\OCA=-(180°-70°)=55°,

2

故选：B.

D

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助

线是解题的关键.

12.（2023•山东滨州中考）如图，。是ABC的外接圆，CD是。的直径.若CD=10,弦AC=6,贝！J

cos/ABC的值为（）

【答案】A

【分析】

连接A。，根据直径所对的圆周角等于90。和勾股定理，可以求得A。的长，然后即可求得加。C的余弦值,

再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到附从而可以得到cosIMBC的值.

【详解】

解：连接AD,如右图所示，

E1CD是团。的直径，CD=10,弦AC=6,

00D/\C=9O°,

EWD=7CD2-AC2=8-

A£>84

0cosEMDC=一=—=—

CD105

00/lBC=EMDC,

故选：A.

【点睛】

本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cos蜘DC的

值，利用数形结合的思想解答.

13.（2023•黑龙江牡丹江中考）如图，点A,B,C为国。上的三点，SAOB=^3\BOC,0BAC=30°,则加。C

的度数为（）

【答案】C

【分析】

根据圆周角定理得出EICOB=2EiaAC=60。，结合已知得出蜘。8=牺。。=20。，从而得出蜘0c的度数

【详解】

解:回8c对的圆心角为姐。C,BC对的圆周角为回BAC,EIBAC=30。，

fflBOC=20C4B=6O°,

B3\AOB=j3\BOC,

国M。8=20°,

0EMOC=EMOB+0BOC=8O",

故选：C

【点睛】

本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出EICOB=2[aCAB是解此题的关键.

14.已知团O的直径CD=10cm,AB是mO的弦，AB=8cm,且AB团CD,垂足为M,则AC的长为（）

A.2v5cmB.cmC.5cm或cmD.3cm或cm

【答案】C

【解析】

试题分析：先根据题意画出图形，由于点c的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论.

解：连接AC,AO,

团回。的直径CD=10cm,AB团CD,AB=8cm,

回AM」ABJx8=4cm,OD=OC=5cm,

22

当C点位置如图1所示时，

团0A=5cm,AM=4cm,CD回AB,

0OM^QA2_AH2=^52_42=3cm'

0CM=OC+OM=5+3=8cm,

国AC=4AM2+CM2=442+82=4加cm；

当C点位置如图2所示时，同理可得0M=3cm,

0OC=5cm,

0MC=5-3=2cm,

在RtEIAMC中，AC={AM2+MC2=«42+22=2"\/^cm.

故选：C.

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

15.（2023•青海省中考）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交

于A,B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，4?=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出

海平面的时间为16分钟，贝！J"图上”太阳升起的速度为（）.

A.1.0厘米/分B.0.8厘米分C.12厘米/分D.1.4厘米/分

【答案】A

【分析】

首先过回。的圆心。作CDM8于C,交回。于D,连接。A,由垂径定理，即可求得。C的长，继而求得CD

的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得"图上"太阳升起的速度.

【详解】

解：过回。的圆心。作于C,交回。于D,连接。A,

蜘C=；AB=；xl6=8（厘米）,

在RtMOC中，OC=>JO^-AC2=V102-82=6（厘米），

0CD=OC+OD=16（厘米），

团从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，

0164-16=1（厘米/分）.

团"图上"太阳升起的速度为1.0厘米/分.

故选：A.

【点睛】

此题考查了垂径定理的应用.解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解.

16.（2023•安徽省中考）如图，圆。的半径为1,ABC内接于圆。.若NA=60。，ZB=75°,则AB=

【答案】行

【分析】

先根据圆的半径相等及圆周角定理得出MBO二45。，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解

直角三角形即可

【详解】

解：连接08、0C、作0DM8

团NA=60。

盟B0C=2M=120°

回08=0。

团团。8。=30°又4=75。

的4BO=45°

在碓08。中，08=1

团0DM8

^\BD=AD=-

2

^AB=y[2

故答案为：42

【点睛】

本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键

17.（2023•青海西宁中考）如图，A3是。的直径，弦CD_LAB于点&CD=109BE=2,贝!I。的半

径OC=.

29

【答案】丁

【分析】

设半径为r,则OC=O3=r,得到匿=厂-2,由垂径定理得到"=5,再根据勾股定理，即可求出答

案.

【详解】

解：由题意，设半径为r,

则OC=OB=厂，

回跖=2,

0OE=r-2,

0ABM（。的直径，弦8,48于点£,

团点E是CD的中点，

0CD=1O,

EICE=—=5,

2

在直角回OCE中，由勾股定理得

oc2=CE2+OE2,

即r2=52+（—2）2,

29

解得：

4

29

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题.

18.（2023•广西河池中考）如图，在平面直角坐标系中，以“（2,3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切,

与y轴交于A,C两点，则点B的坐标是.

x

【答案】（4,3-局

【分析】

如图，连接3C,设圆与X轴相切于点。，连接交2C与点E,结合已知条件，则可得3C_LM。，勾

股定理求解进而即可求得8的坐标.

【详解】

如图，连接BC,设圆与x轴相切于点。，连接交BC与点E,

则ATO_Lx轴，

QAB为直径，则/ACB=90。，

:.BCLMD,

:.BCHx^,

M（2,3）,

:.MB=MD=3,CE=EB=2,

:.ME=JMB°-EB，=心-*=亚,CB=4,

:.DE=MD-ME=3-^/5,

3C〃龙轴，

B（4,3-A/5）.

故答案为：（4,3-君）.

【点睛】

本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握

以上知识是解题的关键.

19.（2023•四川德阳中考）如图，在圆内接五边形ABCDE中，E!E/4B0+fflC+EICDE+S]E=430",贝脂CDA=

度.

B

E

D

【答案】70

【分析】

先利用多边的内角和得到回EAB+姐+团C+回CDE+回E=540。，则可计算出团8=110。，然后根据圆内接四边形的性质

求13aM的度数.

【详解】

解：回五边形A8COE的内角和为（5-2）xl80°=540°,

00E/lB+0B+0C+aCDE+aE=54O",

00£>4B+0C+[aCDE+0E=43Oo,

008=540°-430°=110°,

团四边形A8CD为mO的内接四边形，

00B+0CD/l=180°,

00CD^=18O°-11O°=7O".

故答案为70.

【点睛】

本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键.

20.（2023•辽宁朝阳中考）已知回。的半径是7,AB是团。的弦，且AB的长为7石，则弦AB所对的圆周角

的度数为.

【答案】60。或120°

【分析】

MCB和EMDB为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB,如图，过。点作。于“，根据垂径定理得到

=BH=宣1,则利用余弦的定义可求出EIOAH=30。，所以0408=120。，然后根据圆周角定理得到H4cB=

2

60°,根据圆内接四边形的性质得到120。.

【详解】

解：刖CB和射为弦AB所对的圆周角，

连接04OB,如图，

过。点作OHMB于“，贝I]4"=8"=!/18=递，

22

AH拽n

在RtWAH中,ScosSOAH=—=o=—，

OA40

7

团团O/AH=30°,

团OA=OB,

WOBH=^OAH=30°f

豳408=120°,

aZMCB=；EMOB=60°,

0EMDB+EMCB=18O°,

0ELADB=18O°-60°=120°,

即弦AB所对的圆周角的度数为60。或120°.

故答案为60。或120°.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂

径定理.

21.（2023•四川德阳中考）在锐角三角形ABC中，04=30°,BC=2,设8c边上的高为人，则b的取值范围

是.

【答案】2百＜生2+6

【分析】

如图，BC为Q的弦，OB=OC=2,证明A08C为等边三角形得到NBOC=60。，则根据圆周角定理得

至IJ/BAC=30。，作直径3D、CE,连接BE、CD,则ZDCB=ZEBC=90。，当点A在£）£■上（不含。、E

点）时，AABC为锐角三角形，易得CD=6BC=26,当A点为QE的中点时，A点到BC的距离最大，即

/?最大，延长49交于H,如图，根据垂径定理得到所以BH=CH=1,OH=43,贝U

AH=2+出,然后写出/z的范围.

【详解】

解:如图，BC为，。的弦，OB=OC=2,

BC=2,

:.OB=OC=BC,

.•・△O3C为等边三角形，

:.ZBOC=60°,

ABAC=-ZBOC=30°,

2

作直径3D、CE,连接BE、CD,JJ（IJZDCB=Z£BC=9O。，

当点A在QE上（不含。、E点、）时，AABC为锐角三角形,

在RtABCD中，ZD=ZBAC=3O°,

CD=y/3BC=2s/3,

当A点为。E的中点时，A点到8c的距离最大，即"最大，

延长AO交BC于如图，

A点为的中点，

'''淞=，

AH1.BC,

:.BH=CH=l,

OH=y[3BH=«，

:.AH=OA+OH=1+43,

，/7的范围为2代＜心2+百.

故答案为2豆＜生2+白.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和勾股定

理.

22.（2023•辽宁盘锦中考）如图，在平面直角坐标系立川中，点A在x轴负半轴上，点B在V轴正半轴

上，13。经过4B,O,C四点，MCO=120。，AB=4,则圆心点。的坐标是

c

【答案】D「6,1)

【分析】

先利用圆内接四边形的性质得到蜘8。=60。，再根据圆周角定理得到AB为回。的直径，则D点为AB的中

点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到0B=2,OA=2相，所以A(-2括，0),B(0,2),

然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标.

【详解】

解:回四边形ABOC为圆的内接四边形，

^S\ABO+^ACO^180°,

0EMeO=18Oo-12O°=6O°,

aaAOB=90",

EMB为回。的直径，

国。点为AB的中点，

在RtMB。中，0EMBO=6O",

0OB=y/\B=2,

WA=sl3OB=2y/3,

EM(-273,0),B(0,2),

勖点坐标为(-V3,1).

故答案为(-拒,1).

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了坐标与图形性质.

23.如图，团。与团0AB的边AB相切，切点为B.将团OAB绕点B按顺时针方向旋转得到国。7TB,使点。，落

在国。上，边AB交线段A。于点C.若蜘,=20。，贝腼OCB='

【答案】80

【分析】

根据切线的性质得到回。&4=90。，连接。0',如图，再根据旋转的性质得EM=M'=20。，EMB4,=0OBO/,BO

=BO',则判断回。。缶为等边三角形得至gOB。，=60。，所以MBA=60。，然后利用三角形外角性质计算

EIOCB.

【详解】

解：000与130AB的边AB/目切

0OBI2L4B,

回团。8>4=90°,

连接。。一如图，

00O4B绕点B按顺时针方向旋转得到回。'48,

团附=附'=20°,^ABA'^OBO',BO=B。',

SOB=00',

盟。。缶为等边三角形，

03。8。'=60°,

国蜘84=60°,

00OCB=蜘+B48C=20°+60°=80°.

故答案为：80.

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了旋转的性质.

24.如图，。是AABC的外接圆，4c=45。，于点。，延长AD交于点E,若3。=4,

CD=1,则。E的长是.

［答案］包二

2

【分析】

连结OB,OC,OA,过。点作OFI3BC于F,作OGEIAE于G,根据圆周角定理可得I3BOC=90。，根据等腰直

角三角形的性质和勾股定理可得DG,AG,可求AD,再根据相似三角形的判定和性质可求DE.

【详解】

解：连结OB,OC,OA,过O点作OFEIBC于F,作OGEIAE于G,

03。是13ABe的夕卜接圆，I3BAC=45°,

fflBOC=90°,

EIBD=4,CD=1,

0BC=4+1=5,

5/?

［30B=0C=土，

2

S万5

回0A二^±,OF=BF=一,

22

3

团DF=BD-BF=一,

2

35

团0G=—,GD=—,

22

在Rt回AGO中，AG=JOR2-OG2二—,

2

团AD=AG+GD=历+5,

2

团连接BE,AD与BE相交于D,

回团BED二回ACD,团BDE二团ADC,

MBDE^ADC,

BDDE

团----------

ADCD

BDCD4x1V41-5

AD国-5~2

2

故答案为：巫虫

【点睛】

考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性

质，解题的难点是求出AD的长.

25.（2023•济宁中考）如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D.AC与BD相交于点

E,CD2=CE-CA,分别延长AB,DC相交于点P,PB=BO,CD=20.则BO的长是.

【答案】4

【分析】

连结OC,设团O的半径为r,由DC2=CE・CA和回ACD=EIDCE,可判断EJCADEBCDE,得到国CAD=EICDE,再根据圆

周角定理得国CADWCBD,所以回CDBWCBD,利用等腰三角形的判定得BC=DC,证明0C回AD,利用平行线分

PCpn

线段成比例定理得到烹=分=2,则尸C=2CD=4也，然后证明△PCBsA*,利用相似比得到

CDCZZT.

—=-^,再利用比例的性质可计算出r的值即可.

3r6V2

【详解】

解：连结OC,如图，设。的半径为厂,

DC2=CE.CA,

.DCCA

,,=9

CEDC

而NACD=NDCE,

..△CAD^ACDE,

,\ZCAD=ZCDEf

,NCAD=NCBD,

:./CDB=/CBD,

:.BC=DC,

-CD=CB，

:.ZBOC=ZBAD9

OC//AD,

PCPO2rc

而=赤=；=2'

PC=2CD=4四,

NPCB=ZPAD,ZCPB=ZAPD,

:.△PCBSNAD,

.P£_PB_„4A/2_r

PAPD3r672

:.r=4,

即0B=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形

相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三

角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构

造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运

用，都要具备应有的条件方可.也考查了圆周角定理.

26.如图，AB是半圆直径，半径OCBAB于点O,D为半圆上一点，AC0OD,AD与0C交于点E,连结

CD、BD,给出以下三个结论：①0D平分国C0B；②BD=CD；③CD?=CE•CO,其中正确结论的序号是

【答案】①②③

【详解】

试题分析：①由003AB就可以得出EIBOC=EIAOC=90°,再由OC=OA就可以得出E1OCA=I3OAC=45°,由ACI30D

就可以得出I3BOD=45。，进而得出EIDOC=45。，从而得出0D平分团COB.故①正确；

②由EIBOD=I3COD即可得出BD=CD,故②正确；

DCOC

③由EIAOC=90°就可以得出IBCDA=45°,得出E1DOC=I3CDA,就可以得出E1DOCEBEDC.进而得出——=-―,

ECDC

得出CD2=CE-CO.故③正确.

故答案为①②③.

考点：1、圆周角定理，2、平行线的性质，3、圆的性质，4、圆心角与弦的关系定理的运用，5、相似三

角形的判定及性质

27.（2023•山东临沂中考）如图，已知在团。中，AB=BC=CD,OC与AD相交于点E.求证:

（1）ADSBC

（2）四边形BCDE为菱形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）连接BD,根据圆周角定理可得MDBWCBD,根据平行线的判定可得结论；

（2）证明MEFEBBCF,得至UDE=BC,证明四边形BCDE为平行四边形，再根据BC=C。得到BC=CD,从而

证明菱形.

【详解】

解：(1)连接BD,

团AB=BC=CD，

S\BADB^BCBD,

04D0BC；

(2)连接CD,

ELAD0BC,

aBEDF=EICBF,

^BC=CD，

SiBC^CD,

0Bf=Df,又回。FE=E18FC,

03DE用I2BCF(ASA),

5\DE=BC,

回四边形BCOE是平行四边形，又BC=CD,

回四边形BCDE是菱形.

【点睛】

本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解

题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF.

28.(2023•北京中考)如图，。是ABC的外接圆，AD是。的直径，MLBC于点E.

(1)求证：ZBAD=ZCAD；

(2)连接B。并延长，交AC于点歹，交。于点G,连接GC.若。的半径为5,OE=3,求GC和

O尸的长.

25

【答案】(1)见详解；(2)GC=6,0F=—

【分析】

(1)由题意易得8£)=CD，然后问题可求证；

(2)由题意可先作图，由(1)可得点E为8C的中点，贝g有OK=LcG,。石〃CG,进而可得

2

AOFs_CGF,然后根据相似三角形的性质可进行求解.

【详解】

(1)证明：回AD是C。的直径，AD1BC,

◎BD=CD，

SZBAD=ZCAD；

回点。是BG的中点，

^OE=-CG,OEHCG,

2

0_AOFs_CGF,

回OE—3,

团CG=6,

团。的半径为5,

国OA=OG=5,

5OF

团一二---,

6GF

525

团。尸=—0G=——.

1111

【点睛】

本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及

相似三角形的性质与判定是解题的关键.

29.（2023•贵州毕节中考）如图，。是ABC的外接圆，点E是ABC的内心，AE的延长线交8c于点

F,交。于点D,连接BD,BE.

（1）求证：DB=DE；

⑵若AE=3,DF=4,求DB的长.

【答案】（1）证明过程见详解；（2）DB=6.

【分析】

（1）根据三角形的内心得到蜘8£=配8£,SBAE^CAD,根据圆周角定理推论得到E1C>8C=I3CAD,结合三角形

的外角性质，进而根据"等角对等边"证明结论；

（2）通过证明ODBFEHDAB,利用对应边成比例求解即可.

【详解】

解：（1）证明：回£是凶8（：的内心，

加。平分团BAC,8E平分团A8C,

团二团CBE,二回G4D,

根据圆周角定理推论，可知团DBC=mGW,

团团DBC二厘BAE,

团团D3E二团CBE+团。8C,WEB=BABE+^\BAE,

回回DBE二团。£8,

回DE=DB；

(2)由(1)矢口团。A8二团CAD,WBF=^\CAD,

^\DBF=WAB.

回回D二团。，

回团DBF回团DAB.

DBDF

团---=---,

DADB

团DE二D8,

DF+EFDF

团------------=--------,

AE+EF+DFDF+EF

团AE=3,DF=4,

BEF=2,

⑦BD=DE=6.

【点睛】

本题主要考查了三角形的内心，圆周角定理推论，相似的判定与性质，涉及了等腰三角形的判定与性质,

三角形的外角定理.关键是正确理解三角形的内心定义.

30.(2023•苏州中考)如图，四边形ABC。内接于。，Z1=Z2,延长8C到点E,使得CE=AB,连接

ED.

(1)求证：BD=ED；

(2)若AB=4,BC=6,ZABC=60。，求tan/。。的值.

D

E

【答案】(1)见解析；(2)正

3

【分析】

(1)由圆内接四边形的性质可知NA+/3c0=180。，再由/DCE+/BCD=180。，即可得出

ZA=ZDCE.根据圆周角定理结合题意可知AD=CD，即得出AD=CD.由此易证

△ABD2ACED(SAS),即得出=ED.

(2)过点。作垂足为根据题意可求出座=10,结合(1)可知BM=EM=；BE=5,

即可求出CN=1.根据题意又可求出N2=30。，利用三角函数即可求出=±叵，最后再利用三角函数

3

即可求出最后结果.

【详解】

(1)证明：回四边形ABCD是圆的内接四边形，

0ZA+ZBC»=180°.

0ZDCE+Z.BCD=180°,

0ZA=ZDCE.

0Z1=Z2,

S\AD=CD，

SAD=CD.

AB=CE

在△ABD和，CEO中，\ZA=ZDCE

AD=CD

0AABD/ACE£>(&45),

BBD=ED.

(2)解：如图，过点。作垂足为M.

A

D

团BC=6,AB=CE=4,

^\BE=BC+CE=10.

由（1）知BD=ED.

BBM=EM=-BE^5.

2

团CM=BC-BM=1.

0ZABC=6O°,Z1=Z2,

13/2=30°.

EIDM=BM-tan30°=5x—=—

33

EltanZr>CB=—=—.

CM3

【点睛】

本题为圆的综合题.考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判

定和性质以及解直角三角形.利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键.

31.(2023•浙江省湖州中考)如图，已知是回。的直径，Z4CD是AD所对的圆周角，ZACD=3Q°.

(1)求的度数；

(2)过点。作垂足为E,DE的延长线交回。于点尸.若AB=4,求£＞尸的长.

【答案】⑴60°；(2)2百

【分析】

(1)连结3D,根据圆周角性质，得NB=NACD；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余

的性质计算，即可得到答案；

(2)根据含30。角的直角三角形性质，得=根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即

可得到答案.

【详解】

(1)连结8D,

ZACD=30°

\?B2ACD30?

(2至是(。的直径，

.-.ZADB=90°,

ZD