2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练：线性规划归类（学生版全国）

专题7-1线性规划归类

:%点取型归的

【题函1】三大基础题型：截距，斜率与距离（圆系）

【典例分析】

XV4

/

yW3

若实数X,y满意'3X+2,则x2+y2的取值范围是

4V

【提分秘籍】

基本规律

1.线性，留意Z与截距之间的正反比例关系，如变式2

2.斜率型，要写层标准的斜率公式形式，如变式1

3.距离型，留意圆与直线（线段）的位置关系：点到线的垂直关系还是点到点的关系，如典

例分析

【变式演练】

%-y-2<0

1.设羽y满意约束条件｛2x-y+3N0,则上士士的取值范围是（）

x+6

x+^<0

A[T』]R_3,yC.（^o,-3]u[l,+oo）D.[-3,1]

'XN2,

2.若实数x,y满意约束条件x+丫56,则目标函数z=2x-3y的最大值是________

x-ya0,

x<0

3.设点P（x,y）是平面区域｛x+y+lKO内的随意一点，则/+/—4x的最小值为

2x+y+2>0

【题型二】由参数确定图像形态

【典例分析】

x-y>0

2x+y<2

若不等式组1,表示的平面区域是一个三角形区域，则Q的取值范围是（）

y>0

x+y<a

444

k.a>—B.0<<2<1C.l<a<—D.0<〃Vl或〃>—

333

【提分秘籍】

基本规律

分类探讨，动图探讨

【变式演练】

x+y<4,

1.设不等式组L-x>0,表示的平面区域为D,若圆C:(x+1)?+(y+1)?=/(厂>0)不

%-1>0,

经过区域。上的点，则厂的取值范围是

A.[20,2百]B.(2&,30]C.(20,26]D.(0,20〉(2君,+功

x.O

y.0

2.不等式组1厂表示的是一个对称四边形围成的区域，贝4左=

%+y—12—L,0

x-ky+k^O

3.已知圆的方程为V+y2=4,P是圆。上的一个动点，若0P的垂直平分线总是被平面区

域|x|+|y|2a覆盖，则实数。的取值范围是()

A.a>1B.c.0<«1D,a<Q

【题型三】含参线性规划

【典例分析】

给出平面区域如图所示，其中A(l,1),B(2,5),C(4,3),若使目标函数Z=ax-y(a>0)

取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是

A.-B.1C.4D.-

7*>

【提分秘籍】

基本规律

含参型，留意区分参数所在位置而实行的不同处理方法。

(1)参数在目标函数X系数位置，如典例分析

(2)参数在目标函数y系数位置，如变式1

(3)参数在约束不等式位置，如变式2

(4)多参数，如变式3

(5)授课时要讲清晰“秒杀”法原理：三线共点法

【变式演练】

1.设x,y满意约束条件x〈+y>a,且2=%+冲的最小值为7,则。=

x-y<-l,

(A)-5(B)3(C)-5或3(D)5或-3

x+y>0

2.变量％y满意约束条件］x-2y+2>0,若z=2x-y的最大值为2,则实数7〃等于

mx-y<0

A.—2B.—1C.1D.2

x>1

3.已知点(x,y)是不等式组<x+_y<4表示的平面区域内的一个动点，且目标函数

ax+by+c>Q

a—i—b—i—

z=2x+y的最大值为7,最小值为1,则--------的值为()

a

1

A.2B.—C.-2D.-1

2

【题型四】目标函数改变型1：肯定值型

【典例分析】

x+3y-7<0

已知x,y满意,则z=|的最大值为

yzi

【提分秘籍】

基本规律

留意肯定值所在的位置，实行不同的策略：

1.目标函数整体位置，典例分析

2.单个变量位置，变式1

3.双肯定值位置，变式2

4.高考难题，变式3

【变式演练】

x+3y-3Vo

1.已知实数x,y满意<x-y+120,则z=2|x1+y的取值范围是.

y>-1

x+2y-2>0

2.变量九,丁满意约束条件（2x+y—4<0,则目标函数z=2|x|—3|y—1|的取值范围是

九一y+120

3.已知实数x,y满意好+>2<1,则|2尤+'一4|+|6—》一3”的最大值是

【题型五】目标函数改变型2：分式型

【典例分析】

x—4y>—4

2x+y+3,,

已知<3x+5yV15，则----------的最B大值为

x+2

x>l,y>-2

【提分秘籍】

基本规律

1.分式型，假如是斜率型，要留意分别常数，还要留意x,y的系数要提出来，如典例分析

2.齐次分式型，可以同除换元，如变式1,但是要留意同除时，是否要探讨为0的状况。

3.困难分式型，实质是划归后（主要是同除或者分别常数），可换元转为基础型，如变式2

【变式演练】

1.点M（x,y）在圆好+（丫—2）2=1上运动，则，丁2的取值范围是（）

4%+y

儿（-,—5：,+8）收）3。｝C.小5。。D.—

<x+"2Z_（X+2）£+3

2.若乂>满意不等式组U20,则目标函数x+2y+l的取值范围是

%-y-1>0,

2x2+y2+3xy+12x+8y+16

3.已知满意《冗+y20,贝!Jz二-----------------------——的最小值是()

x(y+4)

x<3,

2028

A.20+3B.——C.—D.6

33

【题型六】目标函数改变型3：二次型

【典例分析】

若Xy满意约束条件fix+2y|W2,贝lj（x+i）y的取值范围为（）

U2y-3x|W6

A，［TO］B.卜调C.［。制

D.卜调

【提分秘籍】

基本规律

这几道题，处理的方法各有特色，授课时留意分析其中的区分和联系

【变式演练】

x+y-620

1.设实数》,》满意｛x+2_y—14W0,则2孙的最大值为（）

2x+y-10<0

A.25B.49C.12D.24

2.已知实数x、y满意三个不等式：3x+4yV12,x+4yN4,3x+2yN6则孙的最大值是

2x-y<0,

3.已知变量工、》满意，％-2,+3»0,贝!|2=4%2+4盯+/+1的最大值为.

x>0,

【题型七】目标函数改变型4：向量型

【典例分析】

"x-y>0

已知点户为不等式2<0所表示的可行域内随意一点，点A（-1,6）,。为坐标原

7>0

OAOP

点，则的最大值为（）

A.5/3B.1C.2D.—

2

【提分秘籍】

基本规律

.把向量转化为截距型等各类常规型求解。

【变式演练】

1.已知e,a为平面上的单位向量，®与与的起点均为坐标原点0,2与金夹角为平面区

x3

X+UW

域〃由全部湖意根二的点?组成，其中V,那么平面区域〃的面

o/入

OWU

积为（）

A.iB.^/3C.9D.的

2~~4~

2.已知AQ—1),5(4,0),C(2,2),平面区域E是由全部满意

AD=AAB+4AC(1«4<2,1<〃<3)的点D(x,y)组成的区域，则区域E的面积是

().

A.8B.12C.16D.20

x+y-2,\/220,

3.已知不等式组｛尤＜2形，表示平面区域。，过区域。中的随意一个点P,作圆

y＜2y/2

/+；/=1的两条切线且切点分别为48,当/4/＞3最大时，的值为（）

A.2B.—C.一D.3

22

【题型八】导数和函数型

【典例分析】

已知二次函数=+2袱+2b有两个零点玉,与，且一1＜玉＜1＜々＜2，则直线

乐一（。—l）y+3=0的斜率的取值范围是（

22、221>

A.B.C.）D.

552,52

【提分秘籍】

基本规律

函数和导数型涉及到线性规划，多是在函数性质以及“根的分布”题型中

【变式演练】

1.设函数f（x）=InC-s/x2+1-x),若a,b满意不等式f(a2-2a)+f(2b-b2)W0,则当

1WaW4时，2a-b

的最大值为（)

A.1B.10C.5D.8

2.已知函数/(%)=%3+2,g(%)=(iog2%)2+2Hog2%+b-2,若函数/(%)=/(g(x))-l

有两个零点七,乙，且满意1<%<2<々<4,则----^的取值范围()

a-1

1243434123

A.(一--)B・C・(-oo,--]U,+°o)D.(一--)

3.已知函数/(x)=ln±e,若九,y满意y(x)V(—Ly)»0,则工一的取值范围是()

1+x2x+3

B.(-11)

C.(-1,1)D.[-1,1]

次区景新模考敢组秣

"7^

1x|+|y|<2

1.设不等式组F1B所表示的平面区域为。，其面积为S.①若S=4,则左的

y+2<k（x+V）

1?

值唯一；②若s=5,则左的值有2个；③若。为三角形，则0〈发w§；④若。为五边形,

则上>4.以上命题中，真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

x—y—1<0_

2.已知满意约束条件〈，当目标函数2=依+勿（。>0/>0）在该约束

2x-y-3>Q

条件下取到最小值2时，/+廿的最小值为（）

A.5B.4C.A/5D.2

x+2y-4<0,

3.当实数x,y满意y—1V0,时，lWax+yW4恒成立，则实数a的取值范围是

x>1,

4.如图，在AQ钻中，点尸是线段05及A8、A。的延长线所围成的阴影区域内（含边

UUUUUUUU

界）的随意一点，且则在直角坐标平面上，实数对（尤,y）所表示的区

域在直线y-%=3的右下侧部分的面积是（）

79

A.-B.-C.4D.不能求

22

5.设m,k为整数，方程mx?-kx+2=0在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值

为

A.-8B.8C.12D.13

6.已知函数满意：①对随意04玉<%，都有"…)一"％)<o；②函数y=/(x+2)的

Xy一

图象关于点(-2,0)对称.若实数a,6满意/■("+26)4-/■(42—24,则当*p1时，

的取值范围为()

|-|x+l|+l|,j;<0

7.已知函数/(%)=,ln(ex)，若方程[7(%)丁-时(%)+〃=0(〃w0)有7个不同的

-----+1.x>0

Ix

实数解，则2%+3九的取值范围()

A.(2,6)B.(6,9)C.(2,12)D.(4,13)

|x+2y|<2

8.已知实数x,y满意条件｛1则(尤+Dy的最大值是()

闪一2y<6

49

A.1B.-C.-D.3