大二轮高考文科数学总复习检测：圆锥曲线

自检13：圆锥曲线

A组高考真题集中训练

O考点1椭圆

1.（2016•全国乙卷）直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到/的距离为其

短轴长的%则该椭圆的离心率为（）

11

A.B.

32

23

C.D.

34

解析：不妨设直线/经过椭圆的一个顶点5（0,份和一个焦点/c,0）,则直线/的方程为

\—bc\c1即e=T.故选B.

即融+cy—Ac=O.由题意知=4X2/?,解得

yj^+c2

答案：B

2,（2017•全国卷III）已知椭圆C：、右顶点分别为4,A2,且以线

段A曲为直径的圆与直线法一冲+2"=0相切，则C的离心率为（）

A.当B・半

C.乎D.|

解析：由题意知以44为直径的圆的圆心为（0,0）,半径为

又直线bx—ay+2ab=0与圆相切,

2ab.也

・•・圆心到直线的距离d==Cl解得a=y[3b,J_

y/a2+b2"a一小'

产上毛=普.故选A.

aaY4Y弋33

答案：A

3.（2017・全国卷I）设A,B是椭圆C：弓+\=1长轴的两个端点.若C上存在点加满

足/AMB=120。，则机的取值范围是（）

A.(0,1]U[9,+8)

B.(0,小]U[9,+°°)

C.(0,1]U[4,+8)

D.(0,V3]U[4,+8)

解析：方法一■设焦点在x轴上，点M(%,y).

过点M作x轴的垂线，交x轴于点N,

贝IN(%,0).

故tanZAMB=tan(ZAMN+ZBMN)

_lyl+lyl_2®|

,小+x小—Xf+y2-3・

—IM.IM

又tanZAMB=tan120°=一小，

且由?+芷=1可得f=3—直，

3mm，

加2sly|2sly|

则Sv2=34

3—^+y2—31——y

m-m

2m

解得用h?

又0<1丁1《4^,即结合0<m<3解得OVnWl.

对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得机N9.

则相的取值范围是(0,1]U[9,+8).故选A.

方法二当0＜加＜3时，焦点在无轴上，

要使C上存在点M满足NAMB=120°,

贝愤》tan60°=小，即;^2小，

解得0＜m^1.

当机＞3时，焦点在y轴上，

要使C上存在点M满足NAM2=120°,

则£》tan60°=小，即小，解得根29.

故相的取值范围为(0,1]U[9,+8).故选A.

答案：A

口考点2双曲线

1.(2017•全国卷II)若〃＞1,则双曲线最一丁=1的离心率的取值范围是()

A.(/，+8)B.(^2,2)

C.(1,^2)D.(1,2)

解析：由题意得双曲线的离心率e=^a+'.

94+1

«=丁=

•，-0<^2<1,1<1+^2<2,

*：a>l,

l<e<Vl故选C.

答案：C

72

2.（2016•全国乙卷）已知方程Tr~-E—=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距

m-\~n3mn

离为4,则“的取值范围是（）

A.（-1,3）B.（-1,佝

C.（0,3）D.（0,小）

解析：由题意得（苏+〃）（3徵2—〃）>0,解得一苏<〃<3病，又由该双曲线两焦点间的距离

为4,得川+孔+3m2—〃=4,即m2=1,所以一lv〃<3.

答案:A

3.（2017・全国卷I）已知尸是双曲线C：/一5=1的右焦点，尸是C上一点，且尸尸与

无轴垂直，点A的坐标是（1,3）,则的面积为（）

解析：因为尸是双曲线C:x2一丁=1的右焦点，所以尸（2,0）.因为轴，所以可

设P的坐标为（2,yP）.

因为P是C上一点，所以4—1=1,解得妙=±3,

所以尸（2,±3）,\PF\=3.

又因为A（l,3）,所以点A到直线PF的距离为1,

113

所以SAAPF—2XFHX1=1X3X1=1故选D.

答案：D

4.（2015•全国卷II）已知A,B为双曲线£的左，右顶点，点M在£上，△A2M为等腰

三角形，且顶角为120。，则E的离心率为（）

A.小B.2

C.^3D.y[2

解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为无一齐=1（〃>0,fc>0）,贝力5M

=\AB\=2a,ZMBx=180°-120°=60°,

点的坐标为（2a,小a）.

4〃23〃2

二M点在双曲线上，p-=l,a=b,

；.c=也a,6=\=也.故选D.

答案：D

5.（2015•全国卷I）已知M（尤o,加）是双曲线C：5—^=1上的一点，尸i，B是C的两

个焦点.若加1•加2<0,则加的取值范围是（）

解析：由题意知〃=也，b=l,c=y[3,

・・出（一小，0）,尸2（小,0）,

—

.\MFi=（—y[3—xof—yo）,MF2=（y/3~xofyo）.

・・•加i•而2<0,・・・（一小一的）（小一配）十%<0,

即%o—3+^o<O.

2

:点M（xo,州）在双曲线上，,\y-j§=l,即端=2+2为；.2+2的-3+赤：0,

­--<3；0<3-

答案：A

f«3

6.（2017•全国卷III）双曲线，一5=1（。>0）的一条渐近线方程为y=fr,贝|.

解析：,/双曲线的标准方程为最一]=1（。>0）,

3

・••双曲线的渐近线方程为y=±-x

'a

3

又双曲线的一条渐近线方程为>=尹，.*.a=5,

答案；5

7.（2015•全国卷I）已知产是双曲线C：^~~=1的右焦点，P是C的左支上一点，

O

4（0,6加）.当△APP周长最小时，该三角形的面积为.

解析：由双曲线方程f-甘=1可知，a=l,c=3,故F（3,0）,Fi（-3,0）.当点尸在双

O

曲线左支上运动时，由双曲线定义知|尸尸|一|尸碎=2,所以|PF|=|PQ|+2,仄而LAPF的周

长=\AP\+\PF]+\AF\=\AP\+|PF||+2+\AF\.因为|AF|=^32+（6^6）2=15为定值，所以当（\AP\

+|尸为|）最小时，AAPF的周长最小，由图象可知,此时点尸在线段AFi与双曲线的交点处（如

图所示）.

由题意可知直线A—的方程为y=2y[6x+&\[6,

y=2\l6x+6y[6

由,y2得J+6加厂96=0,

/-0=1

解得y=2加或y=—8加（舍去），

所以SAAPF=SAAFIF-SAPFiF

=^X6X676-1x6X2^6=12^6.

答案：12班

8.（2015•全国卷II）已知双曲线过点（4,小）,且渐近线方程为＞=±5,则该双曲线的标

准方程为.

解析：法一：•••双曲线的渐近线方程为尸±5,

可设双曲线的方程为X2一分2=%（丸#0）.

•・•双曲线过点（4,5），・・）=16—4X（、3）2=4,

%2

，双曲线的标准方程为a—y之=i.

法二：•.•渐近线＞=%过点（4,2）,而小＜2,

...点（4,6）在渐近线y=%的下方，在y=—%的上方（如图）.

y

X4（4,A）

4/

双曲线的焦点在X轴上，故可设双曲线方程为

'—5=l（a>0,b>0）.由已知条件可得

a~2f]/=4

163,解得1

丁产1，

，双曲线的标准方程为，一）？=1.

2

答案：^X-/=1.

口考点3抛物线

1.（2016・全国甲卷）设厂为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（（4>0）与c交于点P,

PFLx轴，贝隈=（）

A.yB.1

3

C.2D.2

解析：：丁=4无，.•.网1,0）.

又•.,曲线y=（a>0）与C交于点P,PP_Lx轴，，P（1,2）.

将点尸（1,2）的坐标代入y=1（左>0）,得上=2.故选D.

答案：D

2.（2016•全国乙卷）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,

E两点.已知|AB|=4/，|。月=2小，则C的焦点到准线的距离为（）

A.2B.4

C.6D.8

解析：设抛物线的方程为y2=2px（p>0）,圆的方程为一+产二尺

V\AB\=4y[2,|。月=2小，抛物线的准线方程为x=一圣

・・・不妨设Ae，2的,。（一次小）.

•・•点A6，2吸），。（一多方）在圆上，

$+8=凡

，手+8=勺+5,♦..p=4（负值舍去）,工。的焦点到准线的距离为4.

9+5='

答案：B

3.（2015・全国卷I）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为3,E的右焦点与抛物线C：

/=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，贝U|A3|=（）

A.3B.6

C.9D.12

解析：抛物线＞2=8］的焦点为（2,0）,

c1

222

二・椭圆中c=2,又£=］，.•・〃=4,b=a—c=12f

从而椭圆的方程为之+缶=1.

Io12

抛物线y^—Sx的准线为尤=—2,•'•XA=XB=-2,

将办=-2代入椭圆方程可得网|=3,

由图象可知|42|=2|以|=6.故选B.

答案：B

4.（2014.全国卷I）已知抛物线C：尸=8尤的焦点为/，准线为/,P是/上一点，。是

直线PF与C的一个交点，若苏=4的，则|01=（）

A-2B'2

C.3D.2

解析：过点。作Q。'交/于点。，因为成=4的，所以|PQ：『尸|=3：4,又焦

点厂到准线/的距离为4,所以|。/|=|。。'|=3.故选C.

答案：C

5.（2017•全国卷II）过抛物线C：丁=4工的焦点P,且斜率为小的直线交C于点在

无轴的上方），/为C的准线，点N在/上，且MN，/,则M到直线NF的距离为（）

A.巾B.2^2

C.2小D.35

解析：抛物线y2=4x的焦点为尸（1,0）,准线方程为x=-l.由直线方程的点斜式可得直

线MF的方程为〉=小。-1）.

联立得方程组

lv2=4x,

卜3，x=3,

解得〈c片或r

2s〔丫二26.

卜=一3

•.•点〃在无轴的上方，

:.M（3,2事）.

:.NL1,2回

：.\NF\=AJ（1+1）2+（0-2V3）2=4,

\MF\=\MN\=1（3+1）2+（2小一2$）2=4.

...△MNE是边长为4的等边三角形.

二点M到直线NF的距离为2小.故选C.

答案：C

B组高考对接限时训练（十三）

（时间：35分钟满分70分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.

1.（2017•九江十校二模）已知抛物线C：y2=20M?>0）的焦点为尸，4（4,%）为抛物线C

3

上一点，满足|A尸|=不，则p=（）

A.1B.2

C.4D.8

解析：由题意可知：抛物线Cy2=2px（p>0\焦点在x轴上，焦点坐标造，0）,由

抛物线的定义可知：|AF|=4+2，|AF|=|p,.*.^=4+2，则p=4,故选C.

答案：C

2.（2017・韶关一模）已知过抛物线丁=4x的焦点/的直线/交抛物线于A,B两点,且

点A在第一象限，若[4尸|=3,则直线/的斜率为（）

A.1B.y[2

C.事D.2^2

解析：由题意可知焦点网1,0）,设A（XA,划），B（XB,yB）,由归月=3=川+1,得以=2,

又点A在第一象限，故A（2,2小），故直线/的斜率为26，选D.

答案：D

3.设西，西是椭圆E：，+3=1（°>6>0）的左、右焦点，尸为直线工=当上一点，△

BPQ是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率为（）

A.；B.1

34

C.D.

45

解析：由题意可得|尸尸2|=|尸I厂21,所以2（:一，=2c,所以3〃=4g所以e=*

答案：C

4.（2017•东北四校联考）已知点尸1，B为双曲线C：g=l（a>0,6>0）的左、右焦

点，点尸在双曲线C的右支上，且满足|刊囹=旧四，ZFIF2P=120°,则双曲线的离心率为

（）

A①B①

A.2a-2

C.小D.y[5

解析：如图，在△PAF2中，|尸西|=回/2|=2°,又NAF2P=120°,由余弦定理可得

222

=|FIF2|+|PF2|-2|FIF2|.|PF2|-COS120°=12C,所以|PB|=2小C.

由双曲线的定义可得2a=\PFl\~\PF2\=2小c—2c=2（小一l）c.

故双曲线的离心率-=务丽丘=华.

独案.

I=I■CA

72

5.从椭圆，+%=l（a>6>0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点B，A是椭圆与x

轴正半轴的交点，8是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB〃OP（。是坐标原点），则该椭圆的

离心率是（）

A.（B.1

C.坐D.当

解析：由题意可设尸（一c,yo）（c为半焦距），kOp=--,kAB=/由于。尸〃AB,；.一

%=一§,yo=~>把尸（一c,勺代入椭圆方程得即82=3，^弋二坐

选c.

答案：c

3

6.（2017・铜川二模）己知抛物线/=2尤的弦48的中点的横坐标为5,则|A8|的最大值为

（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：设A（xi,力），8（x2,yi）,则xi+&=3,利用抛物线的定义可知，|AF|+|B尸|=占

+X2+1=4,由图可知|AF|+|BF|N|A8|0|AB|W4,当且仅当直线AB过焦点/时，取得

最大值4.

答案：D

7.（2017•濮阳一模）双曲线”一6=1（。>0，b>0）的左、右焦点分别为Q,F2,过后作x

轴的垂线交双曲线于A,B两点，若/4巳8<1,则双曲线离心率的取值范围是（）

A.（1,小）B.（1,黄）

C.（1,2V3）D.（小，3小）

2b2

解析：由题意可知，双曲线的通径为二一，因为过焦点尸1且垂直于x轴的弦为A3,若

b2

ZAF2B<?,所以:^;=tanNA尸28V卓，e=~>lf所以.?〃<坐,〈坐,由解得e

j乙cJa乙acJ乙zeJ

G（l,事）.故选A.

答案：A

8.（2017•汕头二模）过双曲线最一方=130,b>0）的左焦点厂作直线/与双曲线交于A，

2两点，使得|A2|=46,若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）

A.（1,B.（y[5,+°0）

C.偿,小）D.11,堂U（下,+8）

解析：由题意过双曲线$=l（a>0,6>0）的左焦点/，作直线/与双曲线交于A,B

（1b1

—<\AB\=4b

两点,①当A、8位于双曲线左支时，需满足｛2a>4b

可得1<

le>l

"2a<4b

②当A、8位于双曲线两支时，需满足<手>46,可得e>小,所以，满足条件的e

、e>l

的取值范围是（1,坐'）u（小，+°°）.故选D.

答案：D

9.（2017・清远一模）已知椭圆C：捻+胃=1（。>6>°）的离心率为坐，四个顶点构成的四边

形的面积为4,过原点的直线/（斜率不为零）与椭圆C交于A,B两点,人,&为椭圆的左、

右焦点，则四边形AFiBB的周长为（）

A.4B.4^3

C.8D.85

解析：由题意可知：椭圆。：^1+3=1（0>6>0）焦点在x轴上，由椭圆的离心率e=，坐,

即4c2=3片，

由四个顶点构成的四边形的面积为4,根据菱形的面积公式可知S=gx2aX26=4,即

ab=2,由a2=c2+b2,解得：a=2,b=l,则椭圆的标准方程为：^+）/=1,由椭圆的定

义可知：四边形4尸山后的周长4a=8,故选C.

答案：C

10.（2017•河南六市二模）已知尸2、尸1是双曲线，一白=1（。>0,b>0）的上、下焦点，点

后关于渐近线的对称点恰好落在以Q为圆心，|。碎为半径的圆上，则双曲线的离心率为

（）

A.3B.小

C.2D.表

解析：由题意，Fi（0,-c）,F2（0,C）,一条渐近线方程为了=齐，则&到渐近线的距

、he

离为.设尸2关于渐近线的对称点为尸2M与渐近线交于A,\MFo\=2b,A为

尸2M的中点，又O是尸1尸2的中点，：.OA//FiM,J尸2为直角，J为直角三

222

角形，二・由勾股定理得4c2=02+4。2,.,.3c2=4(c—/),/.c=4d:,.\c=2af.,.e=2.故选

C.

答案：c

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分.

11.（2016•北京高考）已知双曲线，一g=1（。>0,6>0）的一条渐近线为2x+y=0,一个

焦点为（小，0）,则〃=,b=.

y22

解析：因为双曲线萨一方v=1（〃>0,匕>0）的一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,所以

b

4=2.①