湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2024年下学期长大附中高二入学考试数学数学考试范围：必修部分；考试时间：120分钟，满分120分.注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（共40分）1.命题：的否定是（）A.使得B.使得C.都有D.都有【答案】B【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可。【详解】命题：的否定是使得.故选：B【点睛】本题考查全称命题的否定，是基础题。2.若：，：，则是的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】解出命题为真时对应的范围，结合充分、必要性定义分析即可得答案.【详解】由，得，即，由，得，即，所以是的既不充分也不必要条件，故选：D3.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】运用偶次根式被开方数非负，求得的定义域.【详解】解：解得即函数的定义域为故选：【点睛】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力，属于基础题．4.已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，①；②点是的一个对称中心；③直线是函数的一条对称轴；④函数的单调递增区间是.其中正确的（）A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④【答案】D【解析】【分析】由题得，所以，所以①正确；函数没有对称中心，对称轴方程为，故②不正确，③正确；令，得单调递增区间是，故④正确.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，所以①正确；函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当k=1时，对称轴方程为，故②不正确，③正确；令，解得，所以的单调递增区间是，故④正确.故选：D5.已知实数，，，则，，这三个数的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数对数函数的单调性即可判断大小.【详解】由于，即，由，即，由，即，故.故选：C6.在直三棱柱中，底面是以B为直角的等腰三角形，且，.若点D为棱的中点，点M为面的一动点，则的最小值为（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直三棱柱、等腰直角三角形的性质易证面，由面面垂直的判定有面面，进而可确定关于平面对称点E的位置，则有，应用勾股定理即可求的最小值.【详解】由题意知，，为直三棱柱，即面面，面面，面，∴面，又面，∴面面.∴易得关于平面对称点E落在的延长线上，且，即，如下图所示，的最小时，、、三点共线.∴.故选：C【点睛】关键点点睛：利用面面垂直确定关于平面对称点位置，根据知当、、三点共线时的最小.7.已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案.【详解】已知由正弦定理可知：，，整理得：，两边同除得：，根据余弦定理得：，即，，，，当且仅当，即时等号成立.又，当且仅当时，等号成立.综上所述：且，故得：，此时且，，.故选：B8.已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围.【详解】因为，所以，即，所以，整理得：，因为，所以，由正弦定理得：，因为，所以，因为为锐角三角形，所以为锐角，所以，即，由，解得：，因为，所以，解得：，故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二、多选题（共18分）9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）AB.在方向上的投影向量为C.与垂直的单位向量的坐标为D.若向量与向量共线，则【答案】AD【解析】【分析】根据向量的坐标运算求，，对于A：根据向量的夹角公式运算求解；对于B：根据投影向量的定义分析运算；对于C：根据向量垂直的坐标运算求解；对于D：根据向量共线的判定定理分析运算.【详解】由题意知，，对于选项A：，故A正确；对于选项B：在方向上的投影向量为，故B错误；对于选项C：设与垂直的单位向量的坐标为，可得，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；对于选项D：因为向量与向量共线，所以若存在，使得，则，解得，故D正确．故选：AD.10.已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（）A.-2 B.3 C.5 D.8【答案】CD【解析】【分析】由解析式可作出图象，将所求不等式变为，分别在、和三种情况下得到不等式的解，通过图象观察可确定1个整数解的值，由此确定临界状态得到取值范围.【详解】由解析式可得图象如下图所示，由得：，当时，，不等式无解；当时，由得：，若不等式恰有1个整数解，则整数解为，又，，，所以；当时，由得：，此时有多个解，故舍去；综上所述：实数的取值范围为.故选：CD.11.对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间,使在上的值域为.那么把称为闭函数.下列结论正确的是A.函数是闭函数B.函数是闭函数C.函数是闭函数D.时,函数是闭函数E.时,函数是闭函数【答案】BD【解析】【分析】依次判断每个选项：根据单调性排除；在上的值域为B正确；根据闭函数定义得到，故D正确，E错误，得到答案.【详解】因为在定义域上不是单调函数，所以函数不是闭函数，A错误；在定义域上是减函数，由题意设，则，解得因此存在区间，使在上的值域为，B正确；在上单调递增，在上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；若是闭函数，则存在区间，使函数的值域为，即，所以a，b为方程的两个实数根，即方程有两个不等的实根.当时，有，解得；当时，有，此不等式组无解.综上所述，，因此D正确，E错误；故选：BD【点睛】本题考查了函数的新定义，单调性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.三、填空题（共15分）12.若函数具有性质：①为偶函数，②对任意，都有，则函数的解析式是_____________．（只需写出满足条件的一个解析式即可）【答案】，，，（答案不唯一）【解析】【分析】若函数具有性质：①为偶函数，说明②对任意，都有，说明，是周期函数.【详解】若函数具有性质：①为偶函数，说明②对任意，都有，说明，是周期函数.所以，或或，故答案为：，，，（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了抽象函数的周期性、对称性、以及奇偶性，属于开放性题，属于中档题.13.若正实数x，y满足，则的最小值为______．【答案】9【解析】【分析】首先将化为，再利用基本不等式进行求解.【详解】由得，又因，，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为9．故答案为：9.14.已知三棱锥外接球直径为SC，球表面积为，且，则三棱锥的体积为______.【答案】##【解析】【分析】求出外接球半径，得到，，作出辅助线，求出⊥平面，由勾股定理求出各边长，由余弦定理得到，进而得到，求出，利用锥体体积公式求出答案.【详解】设外接球半径为，则，解得，故，由于均在球面上，故，由勾股定理得，取的中点，连接，则⊥，⊥，，又，平面，故⊥平面，其中，由勾股定理得，在中，由余弦定理得，故，故，故三棱锥的体积为故答案为：【点睛】关键点点睛：取的中点，连接，证明出⊥平面，从而利用求出三棱锥的体积.四、解答题（共77分）15.已知函数，.（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）设的内角的对边分别为，满足，，且的面积为，求的值.【答案】（1）最小正周期为，对称轴为：；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数式可得即可求的最小正周期和对称轴；（2）利用三角形面积公式、余弦定理有，即可求的值.【详解】（1）解：，∴函数的最小正周期为；而对称轴为，∴函数的对称轴为：.（2）且，则，由，可知①，由余弦定理及，可知②；结合①②：.【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，利用三角恒等变换化简函数式，结合三角函数的性质求周期、对称轴，并应用三角形面积公式、余弦定理解三角形，属于中档题.16.如图，在五面体中，四边形是正方形，，，.（1）求证：平面平面；（2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】【详解】（1）证明：在正方形中，可得，又，，，平面，所以平面，又平面,所以平面平面.（2）解：因为，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，分别取，上的点，使得，又因为，故四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，取中点，则，又，故四边形是平行四边形，所以，又因为，是的中点，故是的中位线，所以，又由平面，平面，所以平面，，平面所以平面平面，又由平面，所以平面，此时.【点睛】方法点睛：对于这类探索性问题，通常是利用面面平行，证得线面平行，并确定点的位置.17.已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；（2）设且，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B型手机各1万部的生产：方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．【答案】（1）（2），应选择方案二【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，即可求解频率，进而可求解，（2）分别计算两种方案的费用，即可比较作答.【小问1详解】临界值时，I级品中该指标大于60的频率为，II级品中该指标大于60的频率为0.1故该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个II级品中应用于型手机的芯片个数估计为：【小问2详解】当临界值时，若采用方案一：I级品中该指标小于或等于临界值的概率为，可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误；II级品中该指标大于临界值的概率为，可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误；故可以估计芯片生产商的损失费用又采用方案二需要检测费用共130万元故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二18.设A是符合以下性质的函数组成的集合，对任意的且在上是减函数。（Ⅰ）判断函数及是否属于集合A，并简要说明理由；（Ⅱ）把（Ⅰ）中你认为是集合A中的一个函数记为，若不等式对任意的总成立，求实数k的取值范围。【答案】（Ⅰ）不在集合A中，在集合A中；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根据集合的性质检验；（Ⅱ）求出的最大值，可得的范围．【详解】（Ⅰ）因为在时是减函数，且，所以不在集合A中，又因为时，，所以且在上是减函数，在集合A中，（Ⅱ）当时，，又由对任意的恒成立，所以，所以所求的实数的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性与值域，考查不等式恒成立问题．不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．如恒成立，恒成立．19.已知函数.（1）若，，且在上的最大值为，最小值为，试求，的值；（2）若，，且对任意恒成立，求的取值范围.（用来表示）【答案】(1)；(2)当时，；当时，.【解析】【分析】（1）求得二次函数的对称轴，根据对称轴和区间的位置关系，分类讨论，待定系数即可求得；（2）对参数进行分类讨论，利用对勾函数的单调性，求得函数的最值，即可容易求得参数范围.【详解】（1）由题可知是开口向下，对称轴为的二次函数，当时，二次函数在区间上单调递增，故可得显然不符合题意，故舍去；当，二次函数在单调递增