安徽省某中学2023-2024学年高一年级下册6月期末考试数学试题（含解析）

太和中学高一下学期第四次教学质量检测

数学试卷

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教A版必修第一册（30%）,必修第二册（70%）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

3+2i

1.复数T+2i的虚部为（）

88c8.D.—3

A.-B.C.—i

5555

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘、除法运算可得存|i,结合复数的有关概念即可求解.

3+2i（3+2i）（-l-2i）l-8i18.

【详解】由题意‘复数F=J2：）=亏=丁「

所以复数三包的虚部为-5.

-l+2i5

故选：B.

2.已知一组数据：55,64,92,76,88,67,76,90,则这组数据的第80百分位数是（）

A.90B.88C.82D.76

【答案】A

【解析】

【分析】根据百分位数计算规则计算可得.

【详解】将数据从小到大排列为：55,64,67,76,76,88,90,92,

又8x80%=6.4,

所以这组数据的第80百分位数是90.

故选：A

3.函数/（x）=lg（4—忖）的单调递增区间为（）

A.（T,0）B.（-oo,0）C.（0,4）D,（0,+oo）

【答案】A

【解析】

【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可.

【详解】对于函数〃x）=lg（4—忖），令4—冈＞0,即国＜4,解得T（尤＜4,

所以函数的定义域为（-4,4）,

4—JQxN0

又y=4—国=[―,所以y=4—W在（0,+。）上单调递减，在（―。,0）上单调递增,

i"I

函数y=lgx在定义域（0,+。）上单调递增，

所以/（%）=lg（4—|船的单调递增区间为（10）,单调递减区间为（0,4）.

故选：A

4.已知相，w是两条不同的直线，«,£是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A.若mHn,mlla＞n//（3,则a//〃B.若a//〃，mlla＞nu（3,则7〃〃〃

C.若m_L〃，ml.a,n工）3,则a_L/?D.若a，/?,mlla,〃//，，则m_L〃

【答案】C

【解析】

【分析】利用立体几何公理、定理结合反例证明即可.

【详解】对于A,若：〃〃“，mlla,"//，，当机，〃都平行于e,£的交线时，

满足条件，此时a,夕相交，故A错误；

对于B,若。//月，mlla,〃u/7,贝”九，〃可能异面，故B错误；

对于C,若7;2±«,nA.）3,则a_L£,故C正确；

对于D,若。，尸,mlla,nlIp,则机，〃可能平行或异面，故D错误.

故选：C.

5.设奇函数的定义域为［—5,5］,当xe［—5,0］时，函数/(%)的图象如图所示，则不等式

/(£)>0的解集为()

J__„

^53TO/25X

A.(-5,-2)B.(0,2)

C(-5,-2)(0,2)D.(-2,0)U(2,5)

【答案】C

【解析】

【分析】根据奇函数的性质得到了(%)在［-5,5］上的图象，然后根据图象解不等式即可.

因为函数了(龙)是奇函数，所以/(%)在［-5,5］上的图象关于坐标原点对称,

由"%)在5,0］上的图象，知它在［0,5］上的图象如图所示，

则不等式/(”>0的解集为(—5,—2)(0,2).

故选：C.

6.如图，在正三棱柱A5C-4与G中，加为棱AA的中点，N为棱CG上靠近点C的一个三等分点，若

记正三棱柱A3C-4与。］的体积为匕则四棱锥3—AAWC的体积为()

B.—V

1218

【答案】D

【解析】

【分析】根据二倍角正弦公式对。化简；由正切差角公式对沙化简；由二倍角公式对。化简；最后由余弦

函数的单调性比较大小即可.

【详解】因为a=Jl+sin56°+Jl—sin56°=+2sin28°cos28°+Jl-2sin28°cos28°，

22

由0vsin280<cos28°所以a=sin280+cos28°I+sin28°-cos280)，

即a=sin280+cos280-sin280+cos280=2cos28°>2cos30°=^3；

r/cc/c“ctan84°-tan24°r-

又tan60°=tan(84°—24°)=---------------=J3

')l+tan84°-tan24°

故匕=tan840-tan24°-百tan84°tan24°=tan60°(l+tan840tan24°)-73tan84°tan240=百；

因为32。+58。=90。，所以sin580=sin(90°-32°)=cos32°,

又c=4sin32°sin580=4sin32°cos32°=2sin64°=2cos26°>2cos28°,

又cos260>cos28°>cos30°=，所以b<a<c.

2

故选：D.

8.已知函数/(x)=2x+4——+a,g(x)=Jx+4-Jx+8,若对Vx1G(Y,+”),玉•2,

x+8x+25

X,e(-4,+oo),使得g(X2)</(xj<g(x3)，则a的取值范围是()

A"113

B.—,+ooD.——,+8

66

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式和函数单调性可得+—2<g(w)<0,—2<g(%)<0,结合

6

存在性问题以及恒成立问题列式求解.

【详解】因x,w(T,+oo),则石+4>0,

玉+4111

/(%1)=+a-------+a<—]，+〃=--FCl

X；+8石+259

所以%+4+2Ja+4>96

%+4%+4

.9/、1

当且仅当Xi+4=-即％]=—1时，等号成立，所以a<y(xi)〈z+a,

国+46

4

又因为g(%)=+4—A/X+8=—且x〉~4,

J%+4+\/x+8

可知函数y=JUZ+在(-4,”)上单调递增,

可得Jx+4+Jx+8>2,所以一2<g(x)<0,

即若马,毛e(—4,~H»),则一2<g(%2)<。，-2<g(x3)<0,

若对V%e(-4,+oo),3x2,x3e(-4,+oo),使得g(xj</(%)<g(%3)，

a>-2

贝！Jv1,解得一2V〃<—,

—F〃<06

、6

所以“的取值范围是—2,—g]

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题求/(九),g(x)的值域分别利用基本不等式和函数单调性，这是求值域的两种重

要且基础方法，应熟练掌握.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9,8,6,10,9,7,6,9(单位：环)，则下列说法

正确的是()

A.这组数据的众数为9B.这组数据的平均数是8.5

C.这组数据的极差是4D.这组数据的标准差是2

【答案】AC

【解析】

【分析】分别计算这组数据的众数、平均数、极差、方差逐项判断可得答案.

【详解】对于A,由题意知这组数据的众数为9,故A正确；

对于B,这组数据的平均数是■|义(9+8+6+10+9+7+6+9)=8,故B错误；

对于C,这组数据的极差是10-6=4,故C正确；

对于D,这组数据的方差是

222222222

5=-[(9-8)+(8-8)+(6-8)+(10-8)+(9-8)+(7-8)+(6-8)+(9-8)1=2,

8L-

D.””的单调递增区间为(0,1)

【答案】BC

【解析】

【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可.

【详解】作出函数/(x)=min{W，x+l}的图象，如图实线部分,

对于A,根据图象，可得/(%)无最大值，无最小值，故A错误；

对于B,根据图象得，当xWO时，/(x)的最大值为故B正确;

解集为‘8,g

对于C,由解得一结合图象，得不等式

故C正确；

对于D,由图象得，/(力的单调递增区间为1一8,-；，［o,+"),故D错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

7

12.在复平面内，若复数z对应的点的坐标为,则；-i=.

【答案】-2-2i

【解析】

7

【分析】先求出Z,然后代入--i化简即可.

i

【详解】由题意得z=l—2K

所以三—i=E2—i=£zZ£—i

iiixi

i+2

-i=-2-2i.

故答案为：—2—2i

13.在三棱锥尸—ABC中，平面QAB,平面ABC.245是边长为4的等边三角形，BC=2,

其中COSQ=^^,sino=2^^,且。为锐角，则

所以当8=3—夕时，2cos8+sin。的最大值为6.

故答案为：^5

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图所示，O'AB'C为四边形。4BC的斜二测直观图，其中00=3,(yc=l,BC'=L

(1)画出四边形Q钻C的平面图并标出边长，并求平面四边形Q43c的面积；

(2)若该四边形Q钻C以。4为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.

【答案】(1)作图见解析，4；

(2)y7l,(8+40)兀.

【解析】

【分析】(1)根据斜二测画法还原直观图，求出Q46c的边长，即可求出四边形Q43c的面积.

(2)由(1)可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱

体的体积与表面积公式求解.

【小问1详解】

在直观图中O'A=3,OC=\,

则在平面图形中。4=3,0C=2OC=2,BC=B'C'=1,于是48=万万=20，

所以平面四边形。钻C的平面图形如下图所示:

由上图可知，平面四边形。钻C为直角梯形，所以面积为（1+3）X2=4.

2

【小问2详解】

直角梯形Q43c以0A为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，

由（1）可知几何体底面圆半径为r=2,圆柱母线长和高都为1,即4=4=1；

圆锥的高为色=2,母线长为4=20,

1820

所以体积V=V^+V^=nr%+—nrb=4兀+]兀=飞-兀；

所以表面积S=7tr2+2兀%+兀〃2=4兀+4兀+4后兀=（8+4夜）兀.

16.随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务

进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在50〜100分内，满分100分），并将评分按

RS[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公

司.

（1）求这200户居民本次问卷评分的中位数；

（2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？

（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在[50,60）,[90,100]内的住户中选取5户，再从这5户中

任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.

230

【答案】（1）

3

9

(2)480

【解析】

【分析】(1)在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1,解出々的值，再根据中位数的公式计算

得出结果；

(2)先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的

户数；

(3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在［50,60),［90,100］内的住户中选取的户数，再从这5户

中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率；

【小问1详解】

由图知，10x(0.010+a+0.020+0.025+0.030)=l,解得a=0.015.

评分在［50,70)的频率为10x(0.010+0.020)=0.3<0.5；

评分在［50,80)的频率为0.3+10x0.030=0.6>0.5,故中位数在［70,80)之间.

设这200户居民本次问卷评分的中位数为x,

则(x-70)x0.03+0.3=0.5,

230

解得x=—，

3

230

故这200户居民本次问卷评分的中位数为亍.

【小问2详解】

由图知，评分在［80,100］的频率为1—0.6=0.4,

故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为04,

估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有1200x0.4=480户.

【小问3详解】

由(1)知，评分在［50,60)的频数为0.1x200=20,

评分在［90,100］的频数为0.15x200=30.

按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户，

则评分在［50,60)内被抽取者x5=2户，

30

分别记为4,生，评分在［90,100］内被抽取否义5=3户，分别记为伪也也.

从中任意选取2户，有弓出吗配弓仇间也,？々,2%，。2由，々4，々々，^^，共10种选法,

其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有贴［,（2也,<2也,（1也,Cl2b2,（1/3,1>四,b区,b2b3,共

9种,

9

.•.这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率尸=竟

17.已知tze[o,3>且3sina+cosa=6

2sin（tz-47i）+sin（tz-

（1）求tana和。「、+cj〃+2r值;

3cos（。一5兀）

I2J

（2）若,且cos£=——，求a—，的值.

10

【答案】（1）--

27

⑵4

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数关系和ae0,方得至Usina=@,cose=辿，tan«=-,利用诱导

552

公式和齐次化得到方程;

67171

（2）计算出sin（tz-，）=sinacos/?-costzsin，=-《-,结合［一月e得到答案.

252

【小问1详解】

因为3sina+cosa=真，又sinZa+cos2。=1，

解得sine=叵,cosa=正或sine=正,cosa=-—

5555

又辿0g,所以sina=立,cosa=3回

55

~…sina1

所以tana=----二—

cosa2

2sin（6z—4兀）+sin（a—7兀）_2sin«-sintzsin。

所以3cos（。一5兀）+COSa+空-3coso-sina-3coscif-sinor

I2

1

_tana_2_

-3-tanaj_7'

——2

【小问2详解】

因为且cos^=D，所以sin引=Jl—cos?尸=，

诉”./c、.A.c小M2非3A/IOV2

所以sin(a-£)=sintzcosp-cosasm"=——x-------------x-------=-------,

')5105102

由ajog],即[O,/]得O—所以。_/?=一：.

A+C1

18.在A5c中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且〃(sin-----sinAcosC)=—csin2A.

(1)求角5的大小;

(2)若.A5C为锐角三角形，且〃=26，求一A5c的面积的取值范围.

【答案】⑴B"

(2)(3月,12百)

【解析】

【分析】(1)由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换可得2sin&cos0=cos0,进一步结合已知即可

222

得解；

(2)将三角形ABC的面积表示为S△皿c=—二+36，通过三角形ABC是锐角三角形求出A的范围

tanA

即可得解.

【小问1详解】

A+C1

因为a(sin-----sinAcosC)=—csin2A,

由正弦定理得sinA〔sin4^^■—sinAcoscj=gsinCsin2A=sinCsinAcosA,

A+C

所以sinAsin-------=sinCsinAcosA+sin2AcosC

2

=sinA(sinCcosA+sinAcosC)=sinAsin(A+C)=sinAsinB,

又Aw(0,兀)，所以sinA>0,所以sin=sinB,gpsinB=sin-~~—=cos—,

222

所以2sin—cos—=cos-,可得cos—(2sin----1)=0,

所以cos—=0或sin—二一，

222

TT

又3e(0,7i),所以8=；.

【小问2详解】

2&bc

由正弦定理号=一不=—彳，可得而！嬴6，

sinAsinBsinCsin一

3

所以_2遥sinC_2后sin(A+5)_2逐sin(A+§)_^sinA+30cosA,

sinAsinAsinAsinA

=LcsinB」x2"X瓜inA+3收+

所以S^ABC

22sinA2tanA

0C<A4<—兀

兀2ITTT

又由ABC为锐角三角形，且8=；,则解得d<A<5,

3八2兀，兀

0<A<—

[32

因为丁=1211%在尤€6,5)上单调递增，所以tanA>坦，

623

所以36<%枷<126，即一ABC的面积的取值范围是(36,12君).

19.如图，在直三棱柱ABC-A14cl中，A41=A/3,AB=2AC=4,ACLCB,点。，E分别为棱

BC,AC的中点，点尸是线段CE的中点.

(1)求证：AF_L平面BCE；

(2)求直线。尸与平面A8b所成角的正弦值;

(3)求二面角尸—AD—。的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵

26

⑶-

4

【解析】

【分析】（1）只需分别证明AFLEC,结合线面垂直的判定定理即可得解；

（2）首先通过分析可说明NDEB是直线。F与平面A8尸所成角，进一步通过解三角形即可得解;

（3）由二面角的定义分析说明NFGO为二面角F4DC的平面角，再通过解三角形即可得解.

【小问1详解】

在直三棱柱ABC-A与G中，平面ABC,又BCu平面ABC,所以44,，3C,

又ACLCB,ACnM=A,AC,AAu平面,所以3cl平面AC£4,

又Mu平面ACGA，所以

在矩形ACG4中，A4j=A/3,AC=2,点£是棱AC的中点，

所以A£=EC=2,所以△AEC是等边三角形，

又点尸是线段CE的中点，所以AF_LEC,

又CEBC=C,CE,8Cu平面BCE,所以"，平面BCE.

【小问2详解】

在平面BCE内，过点D作2尸的垂线，垂足为反，如图所示.

由（1）知平面BCE