2024北京朝阳高三二模数学试题及答案

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二

数学2024.5

(考试时间120分钟满分150分)

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

(。已知集合4=1工wRI,<10},8=|2,3,4,5|,则408=

(A)|2|(B)|2,3}(C)|3,4|(D)|2,3,4|

(2)下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是

(A)/(x)=sinx(B)/(x)=cosx

(C)/(x)=fx(D)/(x)=?

Y3)设等统歹的前几项和为S.,若%=1,。4=7,贝

(A)60(B)80(C)90(«)100

(4)已知抛物线C：y2=4x的焦点为尸，点P为C上一点.若IP"=8,则点P的横坐标为

(A)5(B)6(「)7(D)8

(x2+1,

(3)已知函数/(%)=存在最小值,则实数a的取值范围是

12X-a,x>l

(A)(-oo,l](B)(-oo.l)(C)[l,+oo)(D)(l,+oo)

(6)已知a,0是两个互相垂直的平面1,m是两条直线,a0夕=/,则“mJJ”是“m1a”的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(“)在平面直角坐标系xOy中，锐角a以。为顶点,。刀为始边.将a的终边绕0逆1时针

旋转手■后与单位圆交于点P(%,y),若cosa=条，则7=

(A)-Y(8)(C)|(D)y

3，J

高三数学第l页(共6页)

(用假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式/=上总2其中p是空气密

度,S是该飞行器的迎风面积,U是该飞行器相对于空气的速度,C是空气阻力系数

(其大小取决于多种其他因素)，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功

率P=九当“S不变,U比原来提高10%时，下列说法正确的是

(A)若。不变，则尸比原来提高不超过30%

(B)若C不变，则P比原来提高超过40%

(C)为使P不变，则C比原来降低不超过30%

(D)为使P不变，则C比原来降低超过40%

(9)已知双曲线C：《-4=1(a>0,6>0)的右焦点为F,c是双曲线C的半焦距，点A是

ab

圆X2+y2=c2上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点5.若I而I=a„FA=2FB,

则双曲线C的离心率为

⑷左(B)挈

(C)#(D)挈

(X))北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和

公式.如图,由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab个小球，第

二层有(Q+1)(“1)个小球悌三层有(a+2)(6+2)个小球……依此类推,最底层

有〃个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为

.(26+〃)如2户巫+(…)1°若由小球堆成的某个长方台形垛积共&层，小

球总个数为240,则该垛积的第一层的小球个数为

(A)l

(B)2

(C)3

(D)4

跖己数学第2画(共&页)

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题,每小题5分，共25分。

(11)若复数z满足(1-i)z=2,则z的虚部为.

(12)已知向量a=(3,4),5=(4,2),且(0+6)〃%则实数上=•

(13)在的展开式中，若各二项式系数的和等于64,则〃=，此时/的

系数是.(用数字作答)

(14)若直线y=k(%+2)-1与曲线y=/K有两个不同的交点，则实数人的一个取值,,

为.

(15)设口为正整数，已知函数/i(%)=x2-1(x)=\x--\=ysin2irx,当

ke[1,23时,记人=%出)-£(%)1+1£(02)-水.)1+3+)(％)一启0.1)1,

其中%=上。=0,1,2,…初).给出下列四个结论：

n

①VneN,/]=1•

②YnS</3；

③若〃=2023,则。</.</3;

④若〃=2024,贝U12</(</3.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

在AABC中，乙A为锐角，且sin2A=ycosA.

(I)求cos4的值；

(口)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求C.

条件①:cos8=空；

条件②:a=9;

条件③：6=10.

注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.

高王数学,第3页(共6页)

（17）（本小题13分）

科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计,2023年1月至

12月A,B两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下：

1月2月3月4月5月e月7月8月9月10月11月12月

A地区

29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977.189.2

（单位:万辆）

B地区

（单位:万辆）7.88.88.18.39.210.9.79.910.49.48.910.1

月销量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.68.78.8

月销量比是指:该月A地区电动汽车市场的销售量与B地区的销售量的比值（保留一位小数）.

（I）在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求A地区电动汽车市场该月的销售量高

于上月的销售量的概率；

（U）从2023年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比

超过8且至少有1个月的月销量比低于5的概率；

（DI）记2023年1月至12月A,B两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方羞分别为

s；，试判断与s：的大小.（结论不要求证明）

高三数学第4页（共6页）

（18）（本小题14分）

如图,六面体4BCD-EFG2是直四棱柱被过点'的平面a所截

得到的几何体1底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,。乌=4/E=2,CG=3.

（I）求证：4C1AF;

（fl）求平面EFGDi与平面ABCD的夹角的余弦值；

（皿）在线段。6上是否存在一点「,使得北〃平面初节3?若存在，求出黑的值;若不

〃G

存在，说明理由.

（19）（本小题15分）

已知椭圆E的两个顶点分别为4（-2,0）,8（2,0）,焦点在工轴上，且椭圆E过点

C（立季.

（I）求椭圆E的方程；

（II）设。为原点，不经过椭圆E的顶点的直线Z与椭圆E交于两点P（阳，为），

Q（%242）（々K町），直线BP与直线OC交于点H,点M与点Q关于原点对称.

（i）求点〃的坐标（用啊，力表示）；

（ii）若儿〃,M三点共线，求证:直线I经过定点.

高三数学第5页（共6页）

(20)(本小题15分)

已知函数/1(%)=0*-ln(l-x)(aeR).

(I)求曲线y=/(%)在点(0,7(0))处的切线方程；

(U)若1A%)N0恒成立，求a的值;

(HI)若/(%)有两个不同的零点阳，一，且%-阳I>e-1,求a的取值范围•

(21)(本小题15分)

设n为正整数，集合4=1ala=(%,%,…，4),%e10,11,i=1,2,…，n].对于

a=(a1,a2,-,an)e4,,设集合P(a)={teNIO^t^n-1,aJ+l=af,i=1,2,--n-t|

(I)若a=(0,1,0,0,1,0),0=(Q,1,。,Q,1,0,1,0,0,1,0),写出集合P(&)，P(B)；

(”“，且s,twP(a)满足s<£,令a'=(%,a?,…，a…)wA…，

求证：2-seP(a')；

(JU)若a=…w4，且P(a)=Is1A,…，。ICi<$2<…<sm,m'3),求证:

2%]MS*+S4+2(A：=1,2,---,^-2).

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

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北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二

数学参考答案2024.5

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(1)B(2)D(3)D(4)C(5)A

(6)B(7)D(8)C(9)A(10)B

二、填空题《共5小题,每小题5分，共25分)

(11)1(12)-y(13)6135

(14)1(答案不唯一)(15)①③

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(共13分)

解：(I)因为sin2A=ycosA,

所以2sin4cos/l=-^-cosA.

因为4A为锐角,cosA>0,

所以sinA=y-.

又因为sin/+COS2A=1,

所以cosA=J]—(当2=y-.....................................6分

(口)选条件①②：

因为cosB=字，又。<8<F,

所以sinB=Jl一吟）2=事

9X—

由号=号，得=f=10.

sinAsmBsin43

T

由cosB=匕+…得叵=迎』100

lac'寸32x9xc'

§PC2-6V5C-19=0,XC>0,

所以c=8+36...............................................13分

选条件①③：

因为cosB=-y-,X0<B<TT,

高三数学参考答案第1页(共6页)

所以sinB=J1-(亨产=冬

sinAsin5'付sinB_2__9,

3~

下同选条件........................................................

13分

选条件②③：

22

由cosA=£+c-g得殳100+02-81

2bcm52x10xc

即C2-16C+19=0,解得C=8±36.经检验，符合题意.............13分

(17)(共13分).

解：(I)设事件C为“A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量”，

在2023年2月至12月中，A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售

量的月份为2月、3月、5月、6月、8月、9月、10月、11月、12月，共9个月，

所以P(C)=餐.....................................................

(n)设事件。为“这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的月销

量比低于5”，在2023年1月至12月中，月销量比超过8的只有11月和12月，

月销量比低于5的只有1月和2月，

mi/、C\C\C\+CiC\17八

贝!]P(O)=〜%~~—=^Q-......................................................................10分

(m)6；＞s*.....................................................................................................................13分

(18)(共14分)

解：(I)连接因为直四棱柱ABC0-4区go]，与歹〃

所以点尸在平面。1。3内.

因为_L底面ABCD，且ACU平面ABCD,

所以DD]±AC.

又因为底面ABCD为正方形，所以AC_L50.

又因为私n助=0,

所以4C_L平面。RAF.

所以4C_LQ冗........................

(H)因为。。1底面ABC。，

所以DDlLDA,DDX±DC.

又因为底面ABCO为正方形，所以DA±DC.

如图建立空间直角坐标系D-xyz,

则E(2,0,2),G(0,2,3),R(0,0,4).

高三数学参考答案第2页(共6页)

因此港=(2,0,-2),D[G=(0,2,-1).

%

设平面EFGD1的法向量为〃=(，,y,z),则

(n•DXE=0,(2X-2z=0,

即

1”.笳=0,12y-z=0-

令z=2,贝！l«=2,y=L于是"=(2,1,2).

因为底面4BCO,

所以前'=(0,0,4)是平面48&0的一个法向量.

设平面EFGD1与平面48co的夹角为则

—>In'DD\\82

cos0=Icos<n,DDX>I=--------►=Qv7=

\n\•\DDX\"IJ

2

...............11分

所以平面EFGDl与平面ABCD的夹角的余弦值为了

npi

（皿）存在一点P使得”〃平面EFGD,，此时炭=会理由如下：

设刀=人比（入e[0,l]）,

贝!]»=方+凉=方+A虎=（-2,0,0）+入（0,2,3）=（-2,2A,3A）.

线段DG上存在一点P使得4P〃平面EFGDi等价于4­n=0,

即-4+2A+6A=0,

解得A=-1-.

所以需=卓..................................................14分

U（jrZ

（19）（共15分）

解：（I）设椭圆E的方程为。•+^-=l（a>6>0）.

ab

a=2,

由题意得21,解得I”?，

/+奇=1,U=l.

所以椭圆E的方程为全+，=1....:..............................5分

（H）（i）由题可知叼*±2且*i*0.

直线BP的方程为y=-^-（x-2），直线0C的方程为y=4

到一z2

4%

,y=三(〜2),X=

*v]42%一41+2

由，得一

12%

y=了％r=

2yl-/i+2

高三数学参考答案第3页（共6页）

所以H的坐标为(才4.2......................&分

2%-盯+2'2%-/+2

(⑪)由题可知,直线1的斜率存在.设直线I的方程为y=kX+m,

y=底+m,

由"％2得(1+4必)％2+8人侬+.2_4=0.

了+f二1

由于直线】与椭圆E交于不同的两点，

所以人=(8加1)2_4(1+4昭)(4/-4)=16(4炉-/+1)>0.

8km

则rnii町+.町=一17存，w”4由7n2-4•

由题可知M(-x2,-y2).

因为4,H,M三点共线，-

2%

所以,2y厂勤+2力

，化简得%夕2

'+2”2—24%-41+2

目口kx、+mk%2+m

(4/c-1)/i+(4m+2)一町一2•

2

所以(4廿一2£)%%2+(4km+2k-zn)(%t+%2)+(4m+4zn)=0.

所以(4炉一24)—一(4ATH+2A-zn)•*丝？+(4疗+4zn)=0.

1+441+4A

化简得川一4昭+6+2及=0,即(m+2L)(m-2A；+1)=0,

解得机=-2k或m=2k-1.

当m=-2k时，直线I的方程为y=k(%-2)，经过(2,0)，不符合题意.

当m=2k-l时，直线Z的方程为y=M++2)-1,经过(-2,-1),

其中.e(04)U(〃,l)U(l,+8).

综上，直线Z经过定点(-2,-1)...........................15分

(20)(共15分)

解：(I)因为/(%)=g-ln(l-%),所以/⑷"+六•

因为/(0)=0,/(0)"+1，

所以曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程为y=(a+l)g.......4分

(H)函数/(%)的定义域为(-8,1).

①当aNO时，/(-1)=-a-ln2<0,不符合题意.

②当a<0时，令f'(%)=0,得％=1+工

CL

当“W(-8」+工)时,/(%)<0,/(%)在区间(-8J+工)上单调递减,

aa

高三数学参考答案第4页(共6页)

当―1+工,1)时/⑸>。"⑷在区间(1+如)上单调递增’

a

所以当％=1+工时,左)取得最小值•Al+!)"+l+ln(-a)-

CL

若/(4)NO恒成立，则a+1+ln(-a)^o.

设平(%)=%+1+卜(-%)(%<0),则"(8)=1+p

当％G(-8,11)时,“(％)>o,w(")在区间(-00，-1)上单调递增，

当8€(-1,0)时,(p'(%)<0,(p(%)在区间(-1,0)上单调递减，

所以(p(x)<w(一1)二。,

所以a+1+ln(-a)NO的解为。二一1・

所以。二一L...................................................................................................

(HI)当aNO时，/'(%)>0,/(%)在区间(-8,1)上单调递增.

所以/(%)至多有一个零点，不符合题意.

当a<0时，因为『(0)=0,不妨设盯=0,

若“1<%2<1,则।%2-”J<1<e-1,不符合题意；

若％2<41,则％2<1-e.