2024年中考数学突破 八种隐圆类最值问题（解析版）

八种隐圆类最值问题，圆来如此简单

在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现"圆”，但是解题中

必须用到"圆”的知识点，像这样的题我们称之为"隐圆模型”。

正所谓：有“圆"千里来相会，无"圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个

"隐藏圆"。一旦"圆"形毕露，则答案手到擒来！

题型解读

知识点梳理

题型一定点定长得圆

2023年湖北省鄂州市中考数学真题

2023•邵阳市中考真题

2023•广西南宁市二模

2022•辽宁抚顺•中考真题

2022•长春•中考真题

题型二直角的对边是直径

2023•荷泽市中考真题

2022•通辽・中考真题

2023•汕头市金平区一模

2023•广州市天河区三模

2022•成都市成华区二诊

题型三对角互补得圆

2023年•广元市一模

题型四定弦定角得圆

2023•成都市新都区二模

2023•成都市金牛区二模

2023・达州•中考真题

题型五四点共圆

题型六相切时取到最值

2023•随州市中考真题

2022•江苏无锡•中考真题

2022扬州中考真题

题型七定角定高面积最小、周长最小问题

题型八米勒角（最大张角）模型

徐州中考

二/小分技巧

-----------

知识点梳理

一、定点定长得圆

在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹,

并进行计算

二、直角的对边是直径

前世：在。0中，AB为直径，则始终有AB所对的NC=90°

今生：若有ZE是固定线段，且总有乙2。8=90°,则。在以力8为直径径的圆上.（此类型本来属于

定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类）

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三、对角互补

前世：在。。上任意四点4B,C,。所围成的四边形对角互补

今生：若四边形/BCD对角互补，则/,B,C,。四点共圆

四、定弦定角模型

定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点

的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算.

前世：在。0中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等（注意：弦AB在劣弧AB上也有圆

周角，需要根据题目灵活运用）

.小厂屋

今生：若有一固定线段及线段28所对的乙。大小固定，根据圆的知识可知。点并不是唯一固定

的点，。在O。的优弧2C6上均可（至于是优弧还是劣弧取决于乙。的大小，小于90°,则。在优弧

上运动；等于90°,则。在半圆上运动；大于90°则。在劣弧运动）

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五、四点共圆模型

前世:在。0中，ABCD是圆的内接四边形，则有41=乙2,乙3=44,4BPC〜4APD（同理ABPA〜ZXCPD）

今生:若四边形ABCD中有乙1=乙2（通常情况下乙5=乙6对顶角相等，故不需要乙3=乙4,实际应用中

长用乙1=22,乙5=26）则ABCD四点（某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形

相似也可），选填题可以直接使用

六、定角定高（探照灯模型）

什么叫定角定高，如右图，直线3c外一点4/到直线3c距离为定值（定高），为定角。则

△48C的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型.

A

问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形/5C的外接圆的大小，也就是半径，是会随着/点

的运动而发生变化的。从而弦3c的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高/。是定值，因

此三角形/3C的面积就有一个最小值。

所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值.一般是考查直角三角形，此时我们可

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以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问

题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题.这类问题都是在等腰时取得最小值.

当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值

可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决.

七、米勒角（最大张角）问题

【问题提出】己知点A6是乙例OV的边o/v上的两个定点，点尸是边。例上的动点，当尸在何处时，Z

APB最大?

米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题.

米勒定理：

已知点AB是乙MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接

圆与边OM相切于点P时，4APB最大。

知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角,圆外角，即NC=NO>NP

问题解决

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证明：在直线/上任取一点Q（不与尸点重合），连接ZQ、BQ,4/Q6即为圆。的圆外角

:APB＞乙AQB,4最大

,当圆与直线/相切时，心力冏最大

0

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核心题型

题型一定点定长得圆

1.如图，在矩形N8CD中，已知4B=3,8C=4,点P是8C边上一动点（点P不与民C重合），连接

/P,作点2关于直线/P的对称点则线段MC的最小值为（）

A.2B.1C.3D.V10

【答案】A

【思路点拨】根据对称性得到动点加■的轨迹是在以/圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利

用勾股定理求出线段长即可.

【详解】解：连接4W,如图所示：

•.■点2和W关于4P对称，

;.AB=AM=3,

在以/圆心，3为半径的圆上，

.•.当4M,C三点共线时，CM最短，

•.•在矩形/8C。中，AC=732+42=5,

AM=AB=3,:.CM=5-3=2

2.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点，且EF=2,G为所的

中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？

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【答案】4

【简析】简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A，，则

AP+PG^AP+PG-当P、G三点共线时，最短,又因为/为固定点，G在圆上运动，可知当A'、

G.D三点共线时，此时A'G最短，为4

2023年湖北省鄂州市中考数学真题

3

3.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，Q4=08=3石，点C为平面内一动点，BC=~,连接NC,

点M是线段/C上的一点，且满足CM:M4=1:2.当线段取最大值时，点〃■的坐标是（）

612

C.55TD.*

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【答案】D

3(3\1~5、

【思路点拨】由题意可得点C在以点5为圆心，一为半径的05上，在入轴的负半轴上取点。---,0,

2I2J

连接分别过C、M作C尸_L04,ME1OA,垂足为、E,先证得----=----=—,

CDAD3

从而当CD取得最大值时，(W取得最大值，结合图形可知当。，B,。三点共线，且点5在线段。。上时,

CO取得最大值，法后分别证ABDOSACDF,"EMSAAFC,利用相似三角形的性质即可求解.

3

【详解】解：二,点。为平面内一■动点，BC=—,

2

3

.•.点C在以点5为圆心，,为半径的。5上,

,连接台。，分别过C、M作CE1CU,MELOA,垂足为尸、E,

.・04=05=3技

AD=OD+OA=^-

2

042

••，

AD3

-：CM:MA=1:2,

OA2CM

"AD~3~^4Cf

ZOAM=ZDACt

AOAMS公DAC,

OMOA_2

,CF_1D-37

.•.当CD取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当。，B,。三点共线，且点5在线段。。上时，CD

取得最大值，

・04=03=3技0D二冶,

2

:.CD=BC+BD=9,

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OM_2

,~CD~3f

7.OM=6,

••・P轴lx轴，CFLOA,

NDOB=NDFC=9U。,

•「NBDO=NCDF,

/.ABDOsnCDF,

OB15

'~CF~那36T

CF9

解得。/=呸5,

5

同理可得，AAEMS^AFC,

ME2

MEAM=1■即18右

3,

~CF~^4C3-------

5

当线段。河取最大值时,点〃的坐标是

2023•邵阳市中考真题

4.如图，在矩形48co中，4B=2,40=77,动点P在矩形的边上沿B―C-。/运动.当点P不与

点48重合时，将白48尸沿NP对折，得到尸，连接C?,则在点尸的运动过程中，线段C9的最小

值为.

【答案】711-2

【思路点拨】根据折叠的性质得出5'在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在8c上时,

当点P在。C上时，当P在M上时，即可求解.

【详解】解：1•在矩形4BCD中，AB=2,AD=布,

:.BC=AD5，AC=YIBC2+AB2=V7+4=Vil>

如图所示，当点尸在3C上时，

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AB'=AB=2

:3'在A为圆心，2为半径的弧上运动,

当/,*,C三点共线时，CB'最短，

此时CB'=ZC—2，

当点尸在。C上时，如图所示，

此时CB*>而—2

当尸在皿上时，如图所示，此时密>而一2

综上所述，C8'的最小值为JTT-2

2023•广西南宁市二模

5.在矩形MCD中，AB=3,将绕点2顺时针旋转a(00<a<90°)得到8E,连接。E,若。E的最小

值为2,则3C的长为.

【答案】4

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【思路点拨】根据三角形不等式得到+，当点3,点E,点。三点共线时，8E+ZJE取得最小

值，得到3。=5,根据勾股定理计算3C即可.

【详解】BE+DE>BD,

，当点8,点E,点〃三点共线时，BE+OE取得最小值，

BE=AB=3,

DE的最小值为2,

BD=5,

ABCD,48=3,

...AB=CD=3,ZBCD=9Q°

BC=yjBD2-CD2=4

2022•辽宁抚顺•中考真题

6.如图，正方形褴⑺的边长为10,点G是边C0的中点，点E是边WD上一动点，连接BE,将A4BE沿

BE翻折得到△尸8E,连接GF.当G厂最小时，4E■的长是一

【答案】545-5

【详解】解：①分析所求线段GF端点：G是定点、尸是动点；②动点尸的轨迹：正方形45co的边长为

10,点E是边上一动点，连接3E,将“5E沿3E翻折得到连接GF,则3b=8/=10,因此

动点轨迹是以B为圆心，髭1=10为半径的圆周上，如图所示:

③最值模型为点圆模型；④G尸最小值对应的线段为G8-10；⑤求线段长，连接G8,如图所示:

在必MCG中，ZC=90°,正方形4BCD的边长为10,点G是边C。的中点，则CG=5,8C=10,根据勾

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股定理可得BG=y/CG2+BC2=A/52+102=5石，

当G、F、8三点共线时，G尸最小为5石一10，

接下来，求的长：连接£G,如图所示

根据翻折可知EF=EA,Z.EFB=Z.EAB=90°,设AE=x,则根据等面积法可知

即

100="£.06+!"（6+；/8./£+与6/=；［5（10-工）+5、10+10》+5后］整理得（7?+1卜=20,

22222

20

解得x=AE=

V5+1

7.如图，在矩形N3CD中，AB=3,AD=4,E、尸分别是边AD、8C上的动点，且CF=2NE,连接斯,

将四边形NAFE沿所翻折，点48的对应点分别为，、夕,连接则4。的最小值为.

3

提示：连接AC交EF于点。，连接OA'、OD,作0HL4D于H

则△NOE-ACO尸

■：CF=2AE,:.CO=2AO,:.A'O=AO=—AC=—

33

443

,-.AH=-AO=—,OH=-AO=1

535

资料整理

22

48「'OH+DH=①

:.DH=AD-AH=4~—=~f0D=4

333

:.A'D^OD-OA'=^73-5

3

8.如图，半圆。的直径48的长为6,长度为2的弦CD在半圆上滑动，E是CD的中点，DF±AB^F,

连接/C、EF,当线段£尸的长最大时，/C的长为.

【答案】2y5

提示：连接。。、OE,取OD的中点M连接ME、MF

贝1OELCD,ME=MF=-OD

2

EFWME+MF=OD,当£、M、尸三点共线时£尸最大

此时四边形EOFD为矩形，CD//AB

连接OC,作CHL4B于H

则。公-1-。"1,AH=2,Ca=2也AC=2\{3

2

2022•长春・中考真题

9.如图，在Y/BCD中，48=4,40=5£)=而，点M为边Z8的中点，动点尸从点4出发,沿折线

以每秒加个单位长度的速度向终点2运动，连结作点/关于直线的对称点，，连结4P、

A'M.设点P的运动时间为t秒.

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(1)点£)到边43的距离为;

(2)用含t的代数式表示线段0尸的长;

(3)连结4。，当线段4。最短时，求△。尸4的面积;

(4)当M、©、C三点共线时，直接写出/的值.

【答案】(1)3

(2)当0W/1时，加=后一倔；当1＜/2时，PD=^_岳,

(3)1

⑷g或三

【思路点拨】(1)连接DM,根据等腰三角形的性质可得。M_L48,再由勾股定理，即可求解；

(2)分两种情况讨论：当时，点P在/。边上；当1＜云2时，点尸在3。边上，即可求解；

(3)过点P作PELDM于点E,根据题意可得点/的运动轨迹为以点M为圆心，长为半径的圆，可得

到当点。、A'.M三点共线时，线段4。最短，此时点尸在/。上，再证明APDEsA4DM,可得

2

DE=3-3t,PE=2-2t,从而得到HE=OE-HD=2-3l,在必中，由勾股定理可得;=不，即可求解;

(4)分两种情况讨论：当点"位于M、C之间时，此时点P在/。上；当点才(A")位于CM的延长线

上时，此时点尸在上，即可求解.

【详解】(1)解：如图，连接。

-：AB=4,AD=BD=屈，热M为近AB的中点、,

:.AM=BM=2,DMLAB,

DM=y/AD2-AM2=3，

即点。到边WB的距离为3:

故答案为：3

(2)解：根据题意得：当把"1时，点P在40边上，

^=713-713/；

当1＜江2时，点尸在边上，PD=At-岳;

综上所述，当0WV1时，DP=A-瓜;当1C出2时，PD=413t-^13；

(3)解：如图，过点、P作PELDM于点E,

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•.•作点/关于直线尸M的对称点",

:.A'M=AM=2,

.,.点A的运动轨迹为以点”为圆心，AM长为半径的圆，

，当点。、A',M三点共线时，线段4。最短，此时点尸在工。上,

A'D=1,

根据题意得：A'P=AP=y/Ut,DP=岳-岳t,

由⑴得：DMLAB,

■：PELDM,

:.PE//AB,

APDEsdADM,

PDDEPE

"AD~DM~AM'

y/ii-y/UtDEPE

'屈"亍=3'

解得：DE=3-3t,PE=2-2t,

A'E=DE-A'D=2-3t,

在Rt^A'PE中，A'P2=PE2+A'E2，

（V13?）2=（2-2/）2+（2-3/）2,解得：f=|,

(4)解：如图,

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当点/、C三点共线时，且点"位于A/、C之间时，此时点尸在40上，

连接NH,A'B,过点P作尸尸_L48于点P,过点H作4G_L48于点G则

-：AB为直径，

=90°,AA'LA'B,

:.PM//A'B,

APMF=AABA',

过点C作CNLAB交N2延长线于点N,

在丫/BCD中，AB//DC,

\-DM-LAB,

.--DM//CN,

.•・四边形CDAW为平行四边形，

:.CN=DM=3,MN=CD=4,

CM=5,

.…CN3

sinZ.CMN==—,

CM5

,/A'M=2,

...A'G=2X-=-,

55

o

BG=BM-MG=^,

A'(Z

tanAA1BA=——=3,

BG

tanAPMF=tanZ.ABA=3,

PF

——=3,FpPF=3FM,

FM

AF2

a叫至二cosADAM=—

AMAF2AD

3

PF=-AF,

2

3

.•.3FM=-AF,AF=2FM,

2

-：AM=2f

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—2

.­.32,解得：t=--.

y/Ut一用3

如图，当点"（A"）位于CM的延长线上时，此时点P在3。上，PB=2屈-屈t,

过点，"作4G'_L43于点G1则乙4儿W=NC九W,取44"的中点H则点M、P、〃三点共线，过点8作

HKLAB于点K,过点P作PTLAB于点T,

稣:：£.必cirjB

J

n

同理：AG'=-,AG'=-f

,:HK1AB,AUG'±AB,

n

:.HK//AG',

AAHK〜△WGl

•.•点〃是44〃的中点，

HKAKAH_1

"AnG'~^4G'~^4Aii~2

31

HK=-,AK=-,

:55

9

HK]

tanZ.PMT=tanZ.HMK=-----=—,

MK3

PT1口

——=—,即MT=3PT,

MT3

...BT=-PTf

3

9

.MT=-BT

2f

:MT+BT=BM=2,

BT=—

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/.11_2,解得：t=一；

2V13-V13/-V1311

综上所述，/的值为1或方

题型二直角的对边是直径

10.如图，在中，乙4cB=30。,AC=4,。为8c上的一个动点，以5。为直径的。。与48相切于

点、B,交AD于点E,则CE的最小值为.

【思路点拨】取45的中点尸，连接BE,EF,CF,则CENCF-EF.由48与。。相切，可得N4BC=90°,

通过解直角三角形可得N3=：/C=2,BC=d4C2-AB。=26，CF=yjBF2+BC2=V13.才艮据BD是。。

的直径，可得是直角三角形，从而EF=；AB=1,因此即CE的最小值为后-1.

【详解】取4B的中点尸，连接BE,EF,CF,则CENCF-EF

AB1BC,即ZABC=90°,

Z^C8=30°,AC=4,

AB=-AC=-x4=2,

22

BC=y/AC2-AB2=A/42-22=273-

•.•点尸是4B的中点,

BF=-AB=-x2=\,

22

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22

在Ri^BCF中，CF=^BF+BC=小+卜码2=内.

•.•AD是0。的直径，

ZBED=90°,

ZAEB=180°-ABED=180°-90°=90°,

•.•点尸是48的中点,

EF=-AB=-x2=\,

22

CE>CF-EF=4V3-1,即CE的最小值为Ji3-1

11.（2021威海）如图，在正方形/BCD中，/8=2,点£,尸分别在边N8,8c上，AE=BF,连接。£

与/厂交于点G,连接BG,则BG的最小值为.

【答案】V5-1

【解析】取AD的中点M,连接BM,GM,

BM=YIAM2+AB2=Vl2+22=V5-

四边形ABCD是正方形，

.-.DA=AB=2,ADAE=ZABF=90°.

-.-AE=BF,.-.ADAEVAABF,

ZADE=ZBAF.

ZBAF+ZDAF=90°,

乙ADE+LDAF=90°,4DGA=90°.

■,GM=-AD=1.

2

•.・BG+GMNBM,.〔BGNBM—GM,

.-.BG的最小值为后_1.

12.（2023・嘉兴・二模）在Rta/BC中，NC=90。,//=30o,2C=2,点分别是/5,/C的中点，点户是

NC上的一个动点，连结。尸，作8。1。尸交。尸于点。，连结E。.点尸从点C向点A运动的过程

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中，E0的最小值为.

【答案】V3-1

【思路点拨】作ENLAB于N,取8。中点连接M。，ME,由直角三角形的性质求出的长，MB

的长，EN的长，/N的长，得到九W的长，由勾股定理求出ME的长，由EQNME-MQ,即可求出的

最小值.

【详解】解：如图，作EN1AB干N,取8。中点连接“。，ME,

,.'ZC=90°,乙1=30。，BC=2,

:.AB=2BC=4,AC=CBC=2C，

：D是48中点，

BD=_AB=2,

.；NBQD=90°,M是AD中点，

:.MQ=gBD=1,MB=；BD=1,

是/C的中点，

AE=yAC=百,

:.NE=gAE=昱,AN=43NE=-,

222

33

:.MN=AB-MB-AN=^-\--=-,

22

ME=MN2+EN2=g，

'：EQ>ME-MQ,

EQ>^-\,的最小值是6-I

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形。N5C的边。40c分别在x轴、y轴的正半轴上，。/=6,

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。。=4,点。是线段。区上的一个动点，连接C2以CD为边作矩形CDEF,使得边£厂经过点3,当

点F到原点。的距离最大时，点F的坐标为.

提示：取8c中点连接OROM、FM

则FM=CM=52C=3,OM=^CM2+CO2=5

OFWOM+FM=8当点厂在加延长线上时。尸最大

作CG_LOF于G,FHLBC于H

则△尸”g△CMG(AAS),:.FH=CG,MH=MG

17Q

在△COM中，由面积法可得CG=(,勾股得MG二：

:.FH=-,MH=—,:.F(―,-)

5555

2023•荷泽市中考真题

14.如图，在四边形45co中，NN8C=NA4O=90o,N5=5,ZD=4,ZD<8C,点£在线段3c上运动，点

尸在线段4E上，LADF=LBAE,贝U线段8尸的最小值为,

资料整理

【答案】V29-2

【思路点拨】设/。的中点为。，以40为直径画圆，连接0B,设0B与。。的交点为点尸，证明ZDFA=90°,

可知点厂在以4。为直径的半圆上运动，当点尸运动到05与0。的交点9时，线段8尸有最小值，据此求

解即可.

【详解】解：设/。的中点为。，以为直径画圆，连接OS,设OS与。。的交点为点尸，

AABC=ABAD=90°,

AD//BC,

：.ADAE=NAEB,

Z_ADF=Z_BAE,

/.ADFA=AABE=90°,

二点/在以AD为直径的半圆上运动，

/.当点尸运动到OB与。。的交点尸时，线段5月有最小值，

•/4）=4,

AO=OF'=-AD=2,,

2

BO=A/52+22=V29，

BF的最小值为扬-2

15.（2023•武汉一模）如图，RtA48C中，ZACB=90。,AC=g8C=6.点P为“8c内一点，且

满足?/*pc2=4C2.当尸3的长度最小时，则尸的面积是.

【答案】6百

【思路点拨】取/C中点。，连接。尸，BO,由尸/2+尸。2=/。2即可得到/4PC=90°,再由BPNBO-OP,

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可得当点尸在线段80上时，AP有最小值，然后利用直角三角形的性质可得尸0=/0=C0=；/C=2G,

即可推出/8OC=60°,则AC。尸是等边三角形，求得ACOP的面积，根据O/=OC可得SA/w=2Jce=m.

【详解】解：如图，取/C的中点。，连接OP,BO,

A

BC

-：PA2+PC2=AC2,

AAPC=90°,

.•.点P在以/C为直径的圆上运动，

在△8P。中，BP>BO-OP,

,当点P在线段8。上时，8P有最小值，

•.•点。是ZC的中点,ZAPC=90°,

PO=AO=CO=LAC=26

2

tanZJ80C=—=V3,

oc

Z5OC=60°,

ACO尸是等边三角形，

=^X12=36，

OA=OC,

'''S人ACP=2sHeOP=6y/3

2022•通辽・中考真题

16.如图，。。是AA8C的外接圆，/C为直径，若4B=26,8C=3,点P从8点出发，在zUBC内运动

且始终保持NC8P=N&4P,当C,p两点距离最小时，动点尸的运动路径长为.

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A

O

B

【答案】工

3

【思路点拨】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点尸

的位置，进而求出点尸的运动路径长.

【详解】解：7/C为0。的直径，

ZABC=90°.

Z.ABP+ZPBC=90°.

QNPAB=NPBC,

ZPAB+NABP=90°.

NAPB=90°.

二点尸在以N3为直径的圆上运动，且在4/夕。的内部，

如图，记以4?为直径的圆的圆心为连接。。交。，于点P,连接QP,CP.

QCPNOC-qp,

当点q,P,C三点共线时，即点尸在点p‘处时，CP有最小值,

AB=2V3

OXB=#>

BC3r~

在RtL£CO\中，tanZ-BO^C=——=—j==.

OXB

LBO©=60°.

./=啊也=21T

1803

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J..C,尸两点距离最小时，点尸的运动路径长为巨

3

17.(2023・广州•三模)如图，矩形4BCD中，AB=2,BC=2#),点E、下分别是线段AD,3c上的动

点，且过。作"的垂线，垂足为

(2)当£在月。上运动时，CH的最小值为.

【答案】451

【思路点拨】(1)过点尸作W13C于由条件可得四边形是矩形，由题意可得〃F=EN,从而

问题解决；

(2)连接3D交EF于点O,可证明八DOE”ABOF,易得OD=；AD=2,由。//iEF知，MH=2,即

点，在以GO中点河为圆心，1为半径的圆上运动，当点£与点/重合时，S的值最小，由三角函数知

识即可求得此时最小值.

【详解】解：⑴过点/作FA/13C于如图，

则乙BME=4EMF=90°；

•.•四边形/BCD为矩形，

/.AA=AB=90°,

四边形48ME是矩形，

：.EM=AB=2,BM=AE=4i~\'

AE=CF,

CF=BM=4i-\.

MF=BC-BM-CF=2y/3-2(6-1)=2,

:.ME=MF,

■：FMi.BC,

NBFE=45°,

故答案为：45；

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(2)连接BD交EF于点。，如图，

由矩形性质知：AD//CB,AD=BC=243,

Z.DEF=ABFE,AD-AE=BC-CF,

/.DE=BF,

・••ZRD=AFCB,

\DOE"/\BOF,

OD=-BD=2,

2

DHLEF,设。£）中点为M,

MH=2,

即点X在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，

由于点£*在AD边上运动，

二.当点E与点4重合时，即所与NC重合时，S的值最小,

mCH

AC=BD=4,cosZACD==,

ACCD

CD24

CH=-----=—=1,

AC4

即S的最小值为1

18.（2023・安阳•一模）如图，正方形"CD的边长为2vL点E是45边上的一个动点，点尸是。。边上

的一个动点，且NE=CF,过点3作3GIE产于点G,连接NG,则ZG长的最小值为

D

【答案】V5-1

【思路点拨】连接/厂，CE,AC,设AC与EF的交点、为点、O,得到平行四边形4ECF,点。是力。的中

点，连接50,则3D经过点O,且CMLOB.G在以BO为直径的圆上运动，取08的中点H,连接,

根据三角形三边不等关系式，计算最值即可.

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【详解】如图，连接Z厂，CE,AC,设/C与即的交点为点O,

•.・正方形ABCD,

AE\\CFf

AE=CF,

/.四边形4ECF是平行四边形,

AO=CO,OE=OF,

.•.点。是ZC的中点，连接BD,

,.正方形ABCD,

.•.点。是8。的中点，且CM105,

取03的中点H,连接AH,GH,

•「BGIEF,

AH=sjAO2+OH1,GH=-OB,

2

GH+AG^AH,

.•.当4G,H三点共线时，ZG取得最小值,

正方形ABCD的边长为2及，

AC=BD=^(2A/2j2+(272j2=4,

OA=OB=OC=OD=2,

AG长的最小值为75-1

19.（2023・深圳•模拟预测）如图，在矩形48co中，AB=3,BC=4,E为边BC上一动点,下为4E中

点，G为DE上一点，BF=FG,则CG的最小值为.

【答案】V13-2

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【思路点拨】连接ZG,根据矩形的性质可得48c=/BCD=4OC=90。，DC=AB=3,根据中点的性质

和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得即1/，后二/尸二月尸，雅得4F=FG=EF,则

ZAGE=ZAGD=90。,根据圆周角定理可知：点G在以ND为直径的圆上运动，取4。的中点。，当O,G,

C三点共线时，CG的值最小，由此可解答.

图1

:四边形/BCD是矩形，

AABC=/.BCD=ZADC=90°,DC=AB=3,

■：F是AE的中点，

BF=~AE=AF=EF,

2

BF=FG,

AF=FG=EF,

：.ZAGE=ZAGD=90。,

.•.点G在以为直径的圆上运动，取4D的中点O,连接OG,如图2：

图2

当。，G,C三点共线时，CG的值最小，

/.OD=OG=2,

OC=722+32=V13，，CG的最小值为而-2

2023•汕头市金平区一模

20.如图，为。。的直径，点C为。8中点，弦DE经过点C,且点尸为加上一动点，连

&DF.AG1。尸于点G.若Z8=4,在点下运动过程中，线段。G的长度的最小值为.

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A

【答案】V3-1

【思路点拨】如图，连接4D,OD,取4D的中点R,由4G1DF.可得G在以R为圆心，4。为直径

的圆上运动，（圆的一部分）当R,O,G三点共线时，OGW.小，再求解CD=JF万=6，

__________________1RO]

AD=JeD2+AC2=2右，可得RA=RG=道,sinZ.CAD==—,则---——,可得RO=1,从而可得

AO2

答案.

【详解】解：如图，连接40,0D,取40的中点R,

AGVDF.

G在以7?为圆心，4。为直径的圆上运动，（圆的一部分）

当A,O,G三点共线时，0G最小，

AB=4,点C为OS中点，

，OB=OA=OD=2,0C=\,

■：DE1AB,

CD=V22-l2=V3，

AD=VCD2+AC2=2>/3，

]

RA=RG=A/3,sinZ.CAD=—-j==—,

2V32

RO1

一而一5，

:.R0=l,OG=RG-RO=4i-\

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2023•广州市天河区三模

21.如图，矩形池CD中，AB=2,BC=2日点E、尸分别是线段/R3c上的动点，且NE=CF,过

。作E尸的垂线，垂足为〃

(2)当E在上运动时，S的最小值为.

【答案】451

【思路点拨】(1)过点尸作W_L5c于由条件可得四边形48ME是矩形，由题意可得血加=£M,从而

问题解决；

(2)连接8。交E尸于点。，可证明b，易得。。=：。0=2,由。"1E产知，MH=2,即

点X在以OZ)中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点/重合时，CH的值最小，由三角函数知

识即可求得此时最小值.

【详解】解；(1)过点尸作W13C于如图，

则ZBME=ZEMF=900■,

〔■四边形/BCD为矩形，

ZA=ZB=90°,

四边形ABME是矩形,

：.EM=AB=2,BM=AE=4i~\■

-：AE=CF,

：.CF=BM=追-1,

MF=BC-BM-CF=22(6-1)=2,

:.ME=MF,

■：FMIBC,

ABFE=45。,

故答案为：45；

(2)连接8。交E尸于点。，如图,

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由矩形性质知：AD//CB,AD=BC=Z5

/DEF=ZBFE,AD-AE=BC-CF,

DE=BF,

・「^ECD=4FCB,

XDOE空/\BOF,

，OD=OB,

由勾股定理得BD=y!AB2+AD1=4，

OD=-BD=2,

2

•/DHLEF,设。。中点为M

MH=2,

即点71在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，

由于点E在边上运动，

二当点E与点4重合时，即印与4。重合时，的值最小,

CDCH

,/AC=BD=4,cosZACD==---,

ACCD

CD24

CH=——=—=1,即C"的最小值为1

AC4

2022■成都市成华区二诊

22.如图，在ZU3C中，NC=90O,NB=30O,/C=26.若点。为平面上一个动点，且满足ZADC=60。,

则线段BD长度的最小值为,最大值为.

【答案】277-22V13+2

【思路点拨】根据题意进行分类讨论，即当点。在NC右侧时，点。在就上运动；当点。在/CN侧时,

点〃在就上运动，再分别计算即可.

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【详解】①如图,

以/C为底边，在NC的右侧作等腰三角形/0C,使NO/C=NOC4=30。

则乙40c=120。

以。为圆心，以C。长为半径画优弧就，连接8。交就于点E

则当点。在/C右侧时，点。在G上运动

过点。作OF_L3C于尸

'.'ZACB=90°,ZABC=30°

…八ACV3

tan/A,BC=-----=-----

BC3

:.BC=43AC=6

过点。作（W1NC