2025届高考数学一轮复习讲义-数列的概念

第1讲数列的概念

课标要求命题点五年考情命题分析预料

由斯与Sn

2024全国卷甲

了解数列的的关系求数

T17；2024新高本讲为高考命题热点，主要考查数列的

概念和表示列的通项公

考卷IT17不同呈现形式及相应形式下的通项求

方法（列式

解，常见的形式有即与£的关系，不同

表、图象、由递推关系

项间的递推关系（常需变形利用累加

通项公求数列的通2024浙江T20

法、累乘法、构造法求解），题型既有

式），了解项公式

客观题，也有主观题，难度中等.预料

数列是一种2024北京

数列的性质2025年高考命题稳定.

特别函数.T10；2024北京

及其应用

T10

1.数列的有关概念

名称概念

数列依据确定的依次排列的一列数.

数列的项数列中的每一个数.

假如数列｛斯｝的第n项出与它的序号"之间的对应关系可以用一个式子①—

通项公式

a“=f（n）（nGN*）表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

假如一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这

递推公式

个式子叫做这个数列的递推公式.

留意血）表示数列的，故，…，an,是数列的一种简记形式；而即只表示数列｛斯｝

的第"项.

辨析比较

通项公式和递推公式的区分

1.通项公式：可依据某项的序号w的值，干脆代入求出诙.

2.递推公式：可依据第一项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐项求出数列

的项，直至求出所需的斯.也可通过变形转化，干脆求出斯.

2.数列的函数特性

（1）数列与函数的关系

数列可以看成一类特别的函数。,它的定义域是正整数集N*或正整数集N*的有限

子集｛1,2,3,4,…，〃｝,所以它的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线.

留意函数%=7•(〃)定义域为N*时，对应的数列｛诙｝为无穷数列.当其定义域为N*的有限

子集｛1,2,3,加时，对应的数列｛诙｝为有穷数列.

(2)数列的性质

a.单调性一一对随意的wGN*,若②＞a“,则UJ为递增数列；若为+1③＜

an,则｛斯｝为递减数列.否则为常数列或摇摆数列.

b.周期性一一若斯+*=a“(”GN*,左为常数且为正整数)，则｛出｝为周期数列，④k为

｛斯｝的一个周期.

3.数列的前〃项和S,与通项④的关系

(1)S.=ai+a2H----Ha”(〃eN*).

(□Si,n=1,

(2)若数列｛a,J的前w项和为S.,则a“=1一。n

)U5n-Vi,心2.

S］,n=1,

留意利用c求通项时，对〃=1的情形要检验.若当w=l时，ai符合

后―S—n＞2

an=Sn-Sn-｛(wN2),则数列｛斯｝的通项公式用一个式子表示；否则，用分段形式表示.

1.已知递增数列｛斯｝的通项斯="—如(wGN*),则实数上的取值范围是(B)

A.(―8,2］B.(―8,3)C.(―8,2)D.(―8,3］

解析因为数列｛a,J是递增数列，所以斯＜a〃+i对随意"GN*都成立，即层一切＜

(n+1)2-k(71+1),即左＜2”+1对随意“GN*恒成立，因此左＜3.故选B.

2.［易错题］已知数列｛诙｝的前5项分别为2,-5,10,-17,26,则｛斯｝的一个通项公式

为%=(—1)"+i("+1)(答案不唯一).

解析由题意易得，数列｛斯｝各项的确定值为2,5,10,17,26,记为数列仍”｝,则

为=层+1,考虑到(-1)"+i具有转换正负号的作用，所以原数列｛斯｝的一个通项公式为

+12

an=(-1)"(«+1).

3.［教材改编］在数列｛%｝中，勾=一47„=1-—("》2,"GN*),则。2025的值为

解析由题意可得，＜21=--,42=5,。3=：,a=--,。5=5,…，所以可视察出数列｛a”｝

4544

为以3为周期的数列.又2025+3=675,所以。2025=俏=，

4.［教材改编］已知数列｛斯｝的前n项和为%=层+%+5,则数列｛斯｝的通项公式为斯=

131

(2n-|,n>2-

=〃1=51===22

解析当n1时，孩.当时，anSn—Sn-\(n+^n+5)—［(n—1)+

|(n—1)+5］=2"一｝.又2义1一［=|#〃1,所以数列｛。〃｝的通项公式为诙=

(―,n=1,

21

I2n--,n>2.

研透高考明确方向

命题点1由。〃与S”的关系求数列的通项公式

例1(1)［全国卷I］记&为数列｛斯｝的前〃项和.若&=2斯+1,则S6=-63.

1=

解析因为工=2。〃+1,所以当〃=1时，〃i=Si=2〃i+l,解得。一1;当我22时，an

=Sn~Sn-i=2an^~l~(2斯—i+l),所以斯=2斯—i,所以数列｛〃〃｝是以一1为首项，2为公

比的等比数列，所以S6=TX(1-26)=—63.

1-2

(2)［2024湖北武汉三模］已知数列｛斯｝的前几项和为S”的=一蔡，且5a.+i+S.+16=0.

则a”=-4X(［".

解析当n—1时，5a2+。1+16=0,.*.>=一第

由5a〃+i+S〃+16=0①，得5③+5〃-1+16=0(〃22)②，①一②得5a“+i=4a〃

GzN2),：。2=一丝WO,；•斯WO,A—(71^2),又也=±｛斯｝是首项为一至，

255%55

an

公比为g的等比数列，.••恁=一号义(1)=g)n.

方法技巧

1.已知s〃与。〃的关系求许的思路

(1)利用斯=s〃一(及22)转化为只含S〃，S〃T的关系式，再求解.

(2)利用工一S〃一1=斯("12)转化为只含斯，斯―1的关系式，再求解.

2.已知Sn=f(几)求的一般步骤

(1)先利用。1=S1求出41；

(2)用〃一1替换S〃中的〃得到一个新的关系，利用S〃一%一1=斯(几22)便可求出当

时。〃的表达式；

(3)检验s是否满意〃22时斯的表达式并得出结论.

训练1(1)已知数列｛斯｝的前〃项和为斗,且满意&=2斯+1—1.若则斯=gx

(1,71=It

(二)八1；若Q]=],则dn=:3-2_________•

((广7T,心2

解析①若.当〃=1时，31=2。2—1=1,，.三.当几22时，5〃-尸2斯一1,则斯=

1=1—i=|.5LVt?2=|tzi,

Sn—Sn-2a„+2an,二.“什斯(心2)，｛斯｝是以[为首项，|为公比的

等比数列，.••斯=：X(|)〃一1.

②若<21=1.

1=

解法一当n—1时，Si=2〃2—1=1,。2=1.当"22时，S〃-=2斯一1,则斯=5〃-Sn-i

2斯+1—2〃〃，斯+i=|斯，2｛斯｝从第2项起是等比数列,公比为|,・••斯=〃2*(|)n~2=

fl,n=1,

⑶〃一2(心1-2：

2).・・"I=1W(-),.an=\QN_2

22(-),n>2.

I2

解法二VS„=2«n+i-l,：.Sn=2(S„+i-S„)-1,即S.+i=|S"+|,.•.S.+i+l=|(S"+

1),；.｛S"+l｝是以S1+1=©+1=2为首项，|为公比的等比数列，；.S"=2X(|)Li—1.

当"22时，ST=2X(|)L2—1,则斯=S“一SLI=(|)"一2(”22).：ai=iw

(2)已知数列｛〃〃｝满意+2。2+3的+…(2n—1)义3〃，〃£N*,则〃〃=_

3,n=1,

4x3n-1,n>2

n

解析由〃1+2。2+3〃3H-----\~nan=(2n—1)X3,〃£N*得，当〃22时，的+2。2+3。3

nl

+…+(n—1)an-\—(2〃-3)X3,两式作差得〃(2n—1)义3"—(2九一3)X

3〃一1=(6〃一3)X3〃-i—(2〃一3)X3〃-i=4〃X3〃-I则斯=4X3『l九22.当〃=1时，句

_._(3,n=1,

=3,不满意〃〃=4X3〃I所以斯=｛

4x3rl—1,n>2.

命题点2由递推关系求数列的通项公式

角度1累加法

例2［江西高考］在数列｛斯｝中，ai=2,a+i=a+\n(1+-),则a.=(A)

nnn

A.2+lnnB.2+(n—1)Inn

C.2+nlnnD.l+n+lnn

解析由题意可得，斯+1—斯=ln(1+-),•\a=(斯一斯-1)+(斯-1一斯-2)H----

nn

(政-〃i)+^i=ln—^―+ln--+ln-+2=In(――----)+2=ln〃+2.故选A.

n—ln—21n—1n~21

角度2累乘法

例3已知数列｛诙｝的前“项和为S”m=l，Sn=~a*(wGN*),则数列｛斯｝的通项公式为

2

_nvn+1;

=2

解析由Sz=层斯，可得当〃22时，Sn-i(九一1)an-i,则斯=S“一1=/斯一(n一

22

1)an-i,即(层一1)an=(n—1)an-i,易知念WO,故旦-=上二("22).

%-in+1

所以当时，—X—X-X^X^Xai=—X—X—X-X-Xixi=

an-lan-2an-3a2aln+1WLl43

2

n(n+1)'

当n—\时，〃i=l满意a=-------.

nn(n+1)

故数列｛斯｝的通项公式为a=—^——.

nn(n+1)

方法技巧

1.形如念+1—斯=/(〃)的递推公式，用累加法求通项，即利用恒等式斯=41+(政一。1)

+(的一。2)H----H(斯一1)(〃22)求解.

2.形如皿=/(〃)的递推公式，用累乘法求通项，即利用恒等式斯=3.色&生.….工

ana-ia2a3an_t

(即W0,〃22)求解.

=

训练2［浙江高考］已知数列｛斯｝,｛bn\9｛c〃｝满意=%=。1=1,cn—cin+1—a”cn+i

挡-Cn，;

》n+2

(1)若仍〃｝为等比数列，公比q>0,且仇+岳=6%,求q的值及数列｛斯｝的通项公式.

(2)若彷〃｝为等差数列，公差">0,证明：a+c2+c3~\----1~金<1+；,〃£N*.

a

解析（1）由。I+/?2=6/?3得l+q=6/,又q>0,解得乡二：.

由d=1,金+i=4金得金=4〃-i.

由。〃+1—诙=4"1得斯=〃1+（。2—〃1）+（"3—〃2）+…+—。〃-1）=。1+1+4+…+

当〃=1时，的=平=1,满意上式.故斯=±3+2。

(2)由金+1=产金得2=卢，所以金一］.名包……."='誓=

0n+2cn%+2C1c2Cn-1%匕4^n+1^n^n+1

mJ—J,

d%》n+i

所以C1+C2+C3H----\-Cn——^-(1-).

dbn+1

由。i=l,d>0得打+i>0,因此C1+C2+C3+…+金<I+3;

d

命题点3数列的性质及其应用

角度1数列的周期性

例4若非零数列｛斯｝满意斯即+2=斯+15GN*),则称数列零“｝为“等积数列”.若等积数

列｛%｝中41=4,。2=5,则02025=9.

4

解析由题意知斯为+2=斯+1,则斯+2=4乜，结合〃1=4,42=5,可得〃3=%=),a4=—

an的4a2

51

=

=£=：,a5=—=t^。6=生=g。7=%=4,。8=效=5,…，故数列｛斯｝是以6为周期

54。3-5a5aa

4456

的周期数列，所以。2025=。337x6+3=。3=：•

4

角度2数列的单调性与最大(小)项问题

3

例5(1)［2024北京高考］已知数列｛%｝满意诙+1=三(an-6)+6(n=l,2,3,•••),

4

贝U(B)

A.当m=3时，｛斯｝为递减数列,且存在常数MW0,使得出>M恒成立

B.当°1=5时，｛斯｝为递增数列,且存在常数MW6,使得。〃<加恒成立

C.当的=7时，｛斯｝为递减数列,且存在常数M>6,使得■恒成立

D.当的=9时，｛诙｝为递增数歹!J,且存在常数M>0,使得恒成立

解析对于A,当的=3时，a2vx（—3）3+6,的得X（-3）9+6」,所以｛斯｝为

递减数列.又三次函数y=/单调递增，所以丁=工（工-6）3+6单调递增，则当〃一十8

4

时，斯T—8,所以即无最小值，故A错误.

对于B,当〃1=5时，。2=—1+6,的=一妥+6,〃4=一圭+6,…，所以｛斯｝为递增数

列，且〃一+8时，为一6.取M=6,则对随意〃£N*,都有以VM=6,故B正确.

对于C,当QI=7时，〃2=工+6,的=力+6,易知｛©J为递减数列，且〃一+8时，c1n一6,

44，

故不存在M＞6,使得斯＞加恒成立，故C错误.

o3o9

对于D,当。1=9时，〃2=—+6,（23=—+6,易知｛〃〃｝为递增数列，且当几一十8时，诙一

44，

+°°,所以为无最大值，故D错误.

（2）若数列｛斯｝的前n项积b=1—则an的最大值与最小值之和为C)

157

A.--B.-C.2D.-

373

解析由题意。1。2…斯=1一凯①.当〃=1时，〃1=1一：=5；当心2时，…斯-1=1一

-（n-1）=---n②.由①子②得斯=刁=3=1+3

777---n9-2n2n~9

77

（〃22）.

又〃1=9也满意上式，所以斯=1+—3—（〃金N*）.作出函数/（x）

72n—9

=1+一一的图象，如图所示，易知当％£N*时，f（X）max=

2x—9

f（5）,于（X）min=/（4）,所以斯的最小值为。4=-1,最大值为〃5=3,所以诙的最大

值与最小值之和为一1+3=2,故选C.

方法技巧

1.解决数列单调性问题的3种常用方法

斯+1—斯＞0区t列｛斯｝是递增数列；

作差比

〃〃+1—斯＜0＜=^列｛斯｝是递减数列；

较法

4〃=0u数列｛〃〃｝是常数列.

作商比

当即符号确定时，利用皿与1的大小关系确定｛斯｝的单调性.

a

较法n

数形结利用数列对应的函数的图象直观推断.留意“函数”的自变量为正整数.

合法

2.求数列中的最大(小)项的方法

⑴利用依L'求数列中的最大项斯;利用求数列中的最小项所

(2)结合数列单调性推断数列的最大(小)项.

3.解决数列周期性问题的方法

先依据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再依据周期性求值.

训练3(1)已知数列｛诙｝满意斯=〃cos/，bn=an+an+\9则数列｛勿｝的前50项和为-52.

解析解法一由题意得，bn=an+an+1—ncos^7i+(n+1)cos^y\=ncos^Ti—(n+1)

sin]i,贝IZ?4〃=4〃cos2〃兀一(4n+l)sin2rm=4n,同理可得力〃-1=4〃，/?4〃-2=2—4〃，b^n-

3=2—4〃，所以仇八-3+84〃-2+仇〃-1+84八=4,于是数列｛瓦｝的前50项和6+"+83H---H

。48+。49+匕50=12(加+。2+。3+人4)+Z?4x13-3+人4乂“-2=12义4+2—4X13+2—4X13=

-52.

解法二(列举法)由题意可得的=0,a2=—2,俏=0,

。4=4,则。1+