2024年中考数学复习重难点(全国版)：圆的综合问题（重点突围）(解析版)

圆的综合问题

【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一利用圆性质求角的度数】...........................................................1

【考向二利用圆性质求线段的长度】.........................................................4

【考向三利用圆性质求圆的半径】..........................................................11

【考向四利用圆性质求线段的最值】........................................................17

【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】...................................................20

【考向五切线的证明综合应用】............................................................21

【直击中考】

【考向一利用圆性质求角的度数】

例题：（2022秋・浙江杭州•九年级校联考阶段练习）如图，四边形/BCD内接于O。，AB=CD,/为防中

点，NBDC=60°,则/4DB等于（）

A.30°B,40°C,50°D,60°

【答案】B

【分析】根据ZB=CD,4为曲中点求出ZCBD=ZADB=ZABD,再根据圆内接四边形的性质得到

N4BC+44OC=180。，即可求出答案.

【详解】解：••工为曲中点，

■-AB=Ab，

：.AADB=NABD,AB=AD,

-：AB=CD,

ZCBD=NADB=ZABD,

•.•四边形48co内接于OO,

N4BC+N4DC=180°,

3Zv4£>5+60°=180°,

AADB=40°,

故选B.

【点睛】此题考查圆周角定理，解决本题的关键是掌握在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的

圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补.

【变式训练】

1.（2022•湖北省直辖县级单位•校考二模）如图，一块直角三角板的30。角的顶点P落在。。上，两边分别

交。。于48两点，连结ZO,BO,则N/08的度数是（）

A.30°B,60°C,80°D,90°

【答案】B

【分析】根据圆周角定理解决问题即可.

【详解】解：,.2=30°,

又,：ZAOB=2ZP,

ZAOB=60°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型.

2.（2022•黑龙江哈尔滨•校考二模）如图，A、B、C、。四个点均在O。上，N4OD=70°,AO//DC,

则ZB的度数为___________.

【答案】55°##55度

【分析】首先连接4D,由A、B、C、。四个点均在。。上，乙18=70°,AO//DC,可求得乙4。。与

NODC的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案.

【详解】解：连接

'：OA=OD,AAOD=70°,

…幽”55。

'：AO//DC,

AODC=AAOD=70°,

NADC=ZADO+ZODC=125°,

N8=180°-/4DC=55°

【点睛】此题考查了圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质.此题比较适中，注意

掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

3.（2022•内蒙古通辽•模拟预测）如图所示，已知四边形48C。是。。的一个内接四边形，且乙80A=110。,

则4DCE=

【答案】550##55度

【分析】先根据圆周角定理求出/N的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论.

【详解】解：,「"00=110。，

ZA=-ZBOD=55°.

2

:四边形4BCD是圆内接四边形，是四边形/BCD的一个外角，

ZDCE=ZA=55°.

故答案为：55°.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理等内容，熟知圆内接四边形的任意一个外角等于

它的内对角是解题的关键.

【考向二利用圆性质求线段的长度】

例题：（2022•四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测）如图，点4B,C,。在。。上，点/为前的中点,

04交弦8C于点E.若4DC=30。，AE=\,则8C的长是（）

【分析】连接OC,根据圆周角定理求得N/OC=60。，在RtZkCOE中可得OE=goC=g。/,可得OC的

长度，故CE长度可求得，即可求解.

【详解】解：连接。C,

OE=-OC=-OA,

22

AE=-OC=-OA

22

AE=1.

OA=OC=2,

CE=G

,点/为病的中点，

BC=2CE=26

故选：D.

【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，解直角三角形，作出合适的辅助线是解题的关键.

【变式训练】

1.(2022•江苏盐城•盐城市第四中学(盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学)校考模拟预测)如图，以

为直径的。O与/C相切于点A,点。、E在。O上，连接NE、ED、DA,连接并延长交4c于点C,

AE与BC交于点、F.

⑴求证：NDAC=NDEA；

⑵若点E是弧AD的中点，O。的半径为3,BF=2,求/C的长.

【答案】⑴见解析

⑵8

【分析】(1)根据切线的性质可得NCAD+NB4D=90。，再由48为。。的直径，可得N8+NA4D=90。，

从而得到NC4D=N8,再由圆周角定理，即可求证；

(2)根据点E是弧5。的中点，可得=再由NC4D=ZB,可得NC4F=NCE4,从而得到

CA=CF,设C4=CF=x,贝l」3C=x+2,在Rt448C中，根据勾股定理，即可求解.

【详解】⑴证明：,•,O。与/C相切,

ACLAB,即Z5/C=90。，

ACAD+ABAD=90°,

・：48为。。的直径，

ZADB=90°.

ZB+ZBAD=90°,

NCAD=NB,

■：ZAED=ZB,

/DAC=/DEA；

(2)解：•.•点，是弧8是的中点,

4DAE=NBAE,

■：ACAD=ZB,ZCAF=ACAD+NDAF,ZCFA=NEAB+NDBA,

ZCAF=ZCFA,

CA=CF,

设C4=CF=x,贝i]3C=x+2,

•••的半径为3,

.1.AB=2,

在RMN3C中，AB2+AC2=BC2,

62+x2=（2+x）2,

解得：x=8,

即/C=8.

【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理，解题的关键是利用同角的余角相等求得

ACAD=ZB.

2.（2022.内蒙古通辽模拟预测）如图，O。与的8C边相切于点3,与/C、边分别交于点。、E,

DE//OC,£3是。。的直径.

⑴求证：ZC是O。的切线；

⑵若40=2,AE=1,求CD的长.

【答案】⑴见解析

（2）3

【分析】（1）连接，根据切线的性质得到bB=90°,根据平行线和等腰三角形的性质可得NC。。=ZCOB,

再利用“边角边”证明△CQD”ACQS,根据全等三角形的性质得到4750=4780=90。，即可证明/C是

。。的切线；

（2）设O。的半径为厂，则。。=OE=O8=r,根据勾股定理解求出r,进而求出NB的长度，再

根据相似三角形的性质得到BC的长度，根据全等三角形的性质即可求解.

【详解】（1）证明：如图，连接OD.

。。与"3C的8c边相切于点瓦E8是OO的直径,

.-.08=90°.

DE//OC,

/DEO=/COB,ZODE=ZCOD.

「OD=OE,

，/DEO=4ODE,

/COD=/COB,

在ACOD与/\COB中，

'OD=OB

<ZCOD=ZCOB,

co=co

△COD^XCOB(SAS),

ACDO=ZCBO=90°,

是。。的切线；

(2)解：设。。的半径为匕

OD=OE=OB=r.

AE=1,

AO=r+1.

ZADO=90°,

•••AD2+OD2=AO2,

/.22+r2=(r+l)2,

3

解得："j

3

AB=AE+2r=l+2x-=4.

2

•.乙4DO=/B=90。,ZA=ZA,

・••YADORABC,

.AD_OD

3

二•2=2,

「BC

BC=3,

由(1)矢口，ACOD^ACOB,

/.CD=BC=3.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理,

平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

3.(2022•湖北省直辖县级单位•校考一模)如图，。。是的外接圆，力。是。。的直径，咒是/。延长

线上一点，连接8,CF,且NOCF=NC4。.

⑴求证：CF是O。的切线；

3

⑵若cos5=1，AD=5,求阳的长.

【答案】⑴见解析

(2)T

【分析】(1)连接。C,4D是O。的直径，则N/CZ)=90。，得到乙(OC+NC4D=90。，由OC=OZ)得到

ZADC=ZOCD,又由ZDCF=NCZD得到NDCF+NOCD=90°,即可得到结论；

(2)解直角三角形得到CD=3,/C=4,得到jCD=：3,再证明△尸CD-FZC,得到CjDF=C=F/D=3=,

AC4ACFAFC4

设FD=3x,FC=4x,AF=3x+5,进一步求得x=”，即可得到答案.

7

【详解】⑴解：连接。。，

•••40是。。的直径,

ZACD=90°,

AADC+ZCAD=90°,

又「OC=OD,

:ZADC=ZOCD,

又•「ZDCF=ACAD.

/.ZDCF+ZOCD=90°,

即0cleF,

「•C厂是。。的切线；

3

(2)/B=/ADC,COSB=M，

3

/.CQSZ-ADC=—,

5

在RtZkNC。中，

3CD

'：cosZ-ADC=-=,AD=5,

5AD

3

CD=AD-cosZADC=5x-=3,

5

AC=y]AD2-CD2=4,

.CD_3

"AC=4,

/ZFCD=ZFAC,NF=NF,

AFCDSAFAC,

.CDFCFD3

"AC~FA~FC~4,

设阳=3x,FC=4x,AF=3x+5,

又「FC2=FD-FA,

即（4靖=3%（31+5）,

解得x=/（取正值），

45

FD=3x=——.

7

【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌

握相关定理是解题的关键.

4.（2022•四川绵阳・东辰国际学校校考模拟预测）如图，N8为O。的直径，AC为弦,过点。的切线与N8

的延长线交于点尸，E为。。上一点，且CE=/C,连接班并延长交CP于点

⑴求证：BHLCP.

Q）若AB=3&,tanZE=,求W的长.

【答案】⑴见解析

⑵拽

5

【分析】⑴连接。C,由切线的性质可知NOCP=90°,再证明E"〃OC,则/瓦可得

BHLCP-,

（2）连接OC,3C,根据48为O。的直径得N/C8=90。，根据乙4=NE得tanNE=tanNN=得

AC乙

AC=IBC,利用勾股定理解得BC=3或8c=一3（舍去），则ZC=2BC=6,证明

pnPQCB1

WCBSAPAC,贝=封=片=不，设P8=无，则尸C=2必=2x,PA=2PC=4x,可得4x-x=36,

iOiAA(_x乙

解》=石，则尸B=VLPC=25由⑴可得BH〃oc,*=*=：，从而可得P〃=2PC=K5

尸CU355

【详解】（1）解：如图①，连接0G0E,

图①

AC=EC

在△/CO和△EC。中，loc=oc,

OA=OE

AACO^AECO(SSS)f

・•.ZACO=ZECO,

「OA=OC,

/.乙4=/ACO,

ZA=ZECO,

丈:AA=ZCEB,

/ECO=NCEB,

'.EH//OC,4BHP=4OCP

7C尸与。O相切，

・••OC1CP,

BHLCP.

(2)解：如图②，连接OC,BC,

图②

7为。。的直径,

•••ZACB=90°,

/A=/E,

丁,,BC1

•.tan/E—tanN4==—

AC2

，AC=2BC,

AC2+BC2=AB2,

{2BC）2+BC2=,解得8c=3或6C=-3（舍去），

AC=2BC=6,

;CP为切线，

NOCP=AOCB+ZPCB=NOBC+ZPCB=90°.

48为。。的直径，

ZOBC+ZA=9Q°,

ZPCB=AA,

又「ZP=ZP,

APCBSAPAC,

,PBPCCB_2_j_

"PC~PA~AC~~6~2,

设PB=x,则尸C=2P8=2x,PA=2PC=4x,

PA-PB=AB=35

4x-x=3石,解x=不，

PB=45,PC=2也,由⑴可得BH〃OC,

PHPB4_2

■■­~PC~~PO~r-375~5.

,y5H------

2

.D口2“2/T4A/5

••PH=—PC=—x2、5=.

555

【点睛】此题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股

定理、二次根式的化简等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造出直角三角形、全

等三角形、相似三角形、矩形，利用全等三角形、相似三角形、矩形的性质以及勾股定理求得结果.

【考向三利用圆性质求圆的半径】

例题：（2022•福建福州•校考一模）如图，四边形/BCD内接于。O,ZABC=135°,AC=4,则。。的半径

为（）

D

A.4B.2V2C.2V3D.4V2

【答案】B

【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出N4DC=45。，由圆周角定理得出N/OC=90。，根据CM=OC可

得出答案.

【详解】连接CM,0C,

.四边形/BCD内接于OO,N/8C=135。

ZADC=45°

ZAOC=90°

由勾股定理得：OA2+OC2=AC-

-：OA=OC,AC=4

.OA=2y[2

二OO的半径为：2/

故选：B.

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理.

1.（2022•福建福州•校考一模）如图，8C为。。的直径，尸为C2延长线上的一点，过P作。。的切线尸/,

/为切点，PA=^PB=2,则O。的半径等于.

【答案】3

【分析】连接。4,因为尸/是O。的切线，得NP/O=90。，结合已知在瓦AP/。中运用勾股定理即可求解.

【详解】连接6M,

'.­尸/是。。的切线，

ZPAO=90°,

'：PA=4,PB=2,

在M△尸/。中，

PO2=PA2+AO2,

即（50+2）2=42+次，

（AO+2）2=42+AO2,

解得/。=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理的运用；掌握切线的性质构造直角三角形是解题的关键.

2.（2022•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，点/,B,C在O。上，ZAOC=90°,AB=242,BC=l,

则。O的半径为.

【分析】过点工作4E1CB交C2的延长线于点E,连接ZC,先求出N48C=135。，贝Ij/4BE=45°,利用

等腰直角三角形的性质得到==2,则EC=3,利用勾股定理求出/C的长即可得到答案.

【详解】解：过点/作/E1C8交的延长线于点E,连接NC.

ZAOC=90°,

乙ABC=；（360。—90。）=135°,

ZABE=45°,

.NE=90。，AB=2V2,

.・.AE=EB=2,

•/BC=1,

/.EC=3,

AC=YIAE2+CE2=VB,

V2V26

：OA=OC=-AC=-—.

22

故答案为：叵.

2

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定,

正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

3.（2022•云南文山•统考三模）如图，在“3C中，乙4=90。，D、£分别是48、3C上的点，过B、D、E

三点作0。，交延长线于点£AC=3,BC=5,AD=1.

⑵当0。与CO相切于点。时，求。。的半径;

（3）若=3SaBz）尸，求DF的值.

【答案】⑴见解析

⑵回

2

⑶F

【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得到NC£Z)=N5ED,即可证明;

13

(2)连接OD,过点。作(W15Z),垂足为求出8。=3,DM=-BD=~,再证明AWOS"力。,

从而求出求。O的半径

(3)过点。作。H1BC,垂足为H,过点3作/，垂足为G,利用等积法求出。〃=父友?=元丽,

设。尸=抗金，则C£=15x,利用VC»£sVCB尸，即可求出。咒的值.

【详解】(1)二,四边形座。尸是。。的内接四边形，

NBED+NBFD=180。,

/BED+/CED=180。,

/.ZCED=ZBFD,

■「4DCE=NBCF,

..YCDEHCBF；

(2)连接O。，过点。作(W18。，垂足为

DM=BM=-DB,Z.OMD=90°,

2

ZODM+ZMOD=90°,

•.•4=90。，BC=5,AC=3,

AB=力BC?-AC2=后-??=4,

AD=1,

BD=AB-AD=4-1=3,

13

:.DM=-BD=~,

22

在火，△力℃中，CD=YIAC2+AD2=A/32+12=Vio,

•/。。与co相切于点。

...ZODC=90°,

ZODM+ZADC=180。—ZODC=90°,

:AMOD=ZADC,

・「ZOMD=ZA=90°,

GMOs卫AD,

.PHDO

"~CA~~CD，

3

工型，

■,3Vio

"巫,

2

.•.0。的半径为叵;

，BCDH=BDAC=BG,CD,

:.5DH=3X3=ABG,

99/—

:.DH=—,BG=—M,

510

:.-CEDH=3>x-DFBG,

22

CEDH=3DFBG,

:.-CE=3DF—410,

510

9

.DF5V10

./一27而一IT'

10

:.设DF=AX,贝IJC£=15X,

由(1)得：YCDEHCBF,

,CDCE

"~CB~~CF'

.Vio15x

5一而+&5龙’

2

解得:x=-,

2

经检验：x=/是原方程的根，

：.DF=4i0x=—410.

13

,的长为《丽.

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆的切线的性质、相似三角形的性质与判定，解题的关键是能够

根据题目的条件，进行推理证明.

【考向四利用圆性质求线段的最值】

例题：（2022•安徽合肥•校联考三模）如图，是O。的直径，/2=8,点”在O。上，ZMAB=20。,N是

渤的中点，P是直径上的一动点，若MN=2,则△尸儿CV周长的最小值为（）

A.4B.5C,6D,7

【答案】C

【分析】根据动点最值,将军饮马模型,如图所示，作点N关于N3的对称点V,连接交于尸，△尸AW

周长为PM+PN+MN=2+PM+PN,由对称性知△尸周长为=2+PM+PN=2+PM+7W',根据两点

之间线段最短可知△尸儿W周长的最小为2+MM,利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即

可得到答案.

【详解】解：作点N关于的对称点V,则点州在。。上，连接W交于尸，

由对称性知尸N=PN',

•••^PMN^^PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN',

根据两点之间线段最短可知APMN周长的最小为2+,

1•点N是面的中点，/MAB=20°,

-'-MN=NB=BN',

/BAN，=10。,

ZM4N'=20°+10°=30°,

AMON'=60°,

.1△MOM是正三角形，

OM=ON'=MN'=-AB=4

2

-：MN=2,

：.△尸MN周长的最小值为2+4=6,

故选：C.

【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质，

掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键.

【变式训练】

1.（2022•广东江门•校考一模）矩形N3CD中，=2,6C=6,点P为矩形内一个动点且满足NP2C=NPCD,

则线段PD的最小值为.

【答案】V13-2##-2+Vi3

【分析】通过矩形的性质和等角的条件可得N2PC=90。，所以尸点应该在以3C为直径的圆上，根据两边

之差小于第三边及三点共线即可解决问题.

•.•四边形43。为矩形，

AB=CD=2,ZBCD=90°,

APCD+ZPCB=9(P,

■:NPBC=NPCD,

\DPBC+DPCB=90°,

NBPC=90°,

.•.点尸在以8C为直径的QO上，

在RtZkOCD中，OC=g8C=；x6=3,CD=2,

由勾股定理得，OD=yjoC2+CD2=物+2。=V13,

：PD>OD-OP,

.,.当P,D,。三点共线时，最小，

PD的最小值为OD-OP=4l3-2.

故答案为：V13-2.

【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出尸点的运动轨迹是解题的

关键.

2.（2022•广东江门•校考一模）中，AB=AC=13,BC=24,点。，。为“8C的对称轴上一动点，

过点。作。。与8C相切，AD与O。相交于点E,那么/E的最大值为.

【答案】6+病##府+6

【分析】设的对称轴交8C于尸，连接斯，根据圆周角定理及题意得出点E在以8尸为直径的圆上,

由勾股定理得出AI=^AF2+FI2=VF767=V61,结合图形即可得出最大值.

AB=AC,

:.AABC的对称轴DFVBC,

OO切8c于尸，

­.­。尸是O。的直径，

ZDEF=90°,

ZBEF=180°-ZDEF=90°,

.•.点E在以AF为直径的圆上，

AFiBC,AS=AC=13,

BF=CF=12,BI=FI=6,

AF=^AB2-BF-=5.

AI=ylAF2+FI2=A/52+62=V61,

•••^Emax=AI+E'I=6+461

故答案为：V61+6.

【点睛】题目主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助

线是解题关键.

【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】

例题：（2022•广东江门•校考一模）如图，正方形的边长为2,则图中阴影部分的面积为（）

【答案】D

【分析】如图，根据名=5扇必郎-»@,求解即可.

【详解】解：如图，

.•四边形/BCD是正方形,

ZEAF=45°,

EFLAB,

.△/跖是等腰直角三角形,

•AF=EF=日

45/7-x22

——Xy/2XA/2=--1.

22

故选：D.

【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的

关键是学会利用分割法解决问题，属于中考常考题型.

【变式训练】

1.（2022•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，在半径为2,圆心角为90。的扇形内，以3C为直径作半圆,

交弦N5于点。，则图中阴影部分的面积是（）

A.77-1B.n-2C.-n-\D.—zr+l

22

【答案】A

卜分析】已知为直径，则NCDB=90。，在等腰直角三角形4BC中，CD垂直平分4B,CD=DB,D为

半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形/CB的面积与△3C的面积之差.

【详解】解：在中，AB=^+22=2^/2,

V8C是半圆的直径，

ZCDB=90°,

在等腰RtZX/CB中，CD垂直平分48,CD=BD=42,

二。为半圆的中点，

$阴影部分=S^ACB-S^ADC=%x22-；x（g）=N-1.

故选：4

【点睛】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键.

3

2.（2022春•九年级课时练习）如图，矩形/BCD中，AB=2,BC=^,尸是48中点，以点A为圆心，AD

为半径作弧交于点E,以点3为圆心，8尸为半径作弧交3C于点G,则图中阴影部分面积的差S「星为

【分析】根据图形可以求得3斤的长，然后根据图形即可求得S「邑的值.

3

【详解】解：7在矩形43。。中，AB=2,BCf尸是45中点,

.\BF=BG=1,

..Si=S矩形/geoS扇形NOE-S扇形SGF+5*2,

90.743T2

G3（2）90-TTXI213〃.

：.s,-s2x----------------------------------=3--------

2236036016

故答案为：3-——

16

【点睛】本题考查了扇形面积的计算、矩形的性质，解本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件,

利用数形结合的思想解答.

3.（2022秋•四川泸州•九年级统考期中）如图，AB,ZC分别是。。的直径和弦，半径OE/ZC于点Z）.过

点A作。。的切线与OE的延长线交于点尸，PC,N8的延长线交于点尸.

⑴求证：PC是。。的切线；

⑵若尸C=24D,48=10,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

⑵25曲一空

26

【分析】（1）连接。C,可以证得三△COP,根据全等三角形的性质以及切线的性质定理可以得到

ZOCP=90°,即OC_LPC,即可证得PC是。。的切线；

（2）根据垂径定理得到AD=CD=^AC,根据切线的性质得到PA=PC,求得NC4F=ZPAO-APAC=30°,

根据等腰三角形的性质得到/C4尸=4C。=30P,根据勾股定理得到CF=飞OF-OC。=而十=5百，根

据三角形和扇形的面积公式即可得出结论.

【详解】⑴证明：连接OC,

...尸才是。。的切线，43是。。的直径，

/.ZPAO=90°,

・「OEIZC于点。，

-'-AE=CE,

ZAOE=ACOE,

在ZUOP和ACO尸中，

AO=CO

<ZAOP=/COP,

OP=OP

AAOP^ACOP(SAS),

ZPCO=ZPAO=90°,

OC1PC,

.「OC是。。的半径，

尸。是。o的切线.

(2)解：.「OEIZC于点。，

/.AD=CD=-AC,

2

TPA,尸。是。。的切线，

/.PA=PC,

：PC=2AD,

/.PA=PC=AC,

NP4c=60。,

ZCAF=/PAO-APAC=30°,

：OA=OC,

ZCAF=ZACO=30°,

ZCOF=2ZCAF=60°,

/.ZF=90°-ZC(9F=30°,

:.OF=2OC=W,

在放△OC/中，CF=^OF2-OC2=V102-52=573,

5

「.S阴影=S^co尸一S扇形80c=1x573x5-=^/l_Z|l.

故答案为：

26

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质,

正确地作出辅助线是解题的关键.

4.（2022•江苏扬州•校考三模）如图，必△NBC中，05=90°,ZC=30°,。为/C上一点，04=2,以O

为圆心，以。/为半径作圆与相交于点尸，点£是。。与线段3c的公共点，连接。及OF、EF,并且

乙EOF=2乙BEF.

⑴求证：BC是。。的切线;

⑵求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

（2）1-V3-yW

【分析】（1）连接。尸、DE,由是直径，彳导出NDFE+NBFE=90。,进而得出N8斯=ND尸E,由圆周

角定理得出/EOF=2ZEDF,进而得出乙BEF=乙EDF,然后得出NDFE=ZEDF,再证明^ODE=^OFE,

得出NEOD=ZEOF,再证明△€>”是等边三角形，进而得出ZEOD=60°,证明OE//AB,即可得出OELBC,

即可得出结论.

（2）先求出等边三角形△O/尸的面积为：；X2XG=6,由⑴可得出NCOF=120。，求出扇形OD尸的

面积为：I之宴3加,再由勾股定理得出36，求出力8C的面积为：1X3X3V3=^,然后可

360322

求得阴影部分的面积.

【详解】（1）如图，连接。尸、DE,

v4。是直径，

DFLAB,

ZDFE+/BFE=90。,

,.65=90°,

/.ZBEF+Z.BFE=90°,

ZBEF=ZDFE,

•/AEOF=2ABEF,ZEOF=2ZEDF,

ABEF=AEDF,

NDFE=NEDF,

DE=EF,

OD=OFt

AODE=^OFE,

/.ZEOD=/EOF,

•/D5=90°,ZC=30°,

/.N/=60。，

,/OA=OF,

.・•△04尸是等边三角形，

ZAOF=60°,

400=60。，

OE//AB,

/.AOEC=90°

OEIBC,

•••OE是半径，

・••8C是。。的切线.

(2)•.•△04尸是等边三角形，

/.ZAOF=60°,

./04=2,

「.△CM尸的面积为：；X2X6=6,

ZCOF=120°,

扇形尸的面积为：上1整一x44，

3603

/ZO£C=90°,ZC=30°,OA=OE=2,

OC=2OE=4,

AC=OC+OA=6,

AB=-AC=3,

2

二由勾股定理可得：BC=36

”BC的面积为：-x3x3>/3=—V3,

22

二阴影部分的面积为：|V3-V3-1/r=|V3-1/r.

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，正确作辅助线是解

题的关键.

5.（2022秋•全国•九年级专题练习）如图，已知NB,C。为O。的直径，过点/作弦NE垂直于直径于

尸，点8恰好为族的中点，连接BC,BE.

D

⑴求证：AE=BC-,

Q）若AE=2布,求。。的半径；

⑶在（2）的条件下，求阴影部分的面积.

【答案】⑴证明见详解；

⑵2;

（3）-|77--V3.

【分析】（1）连接8。,AB,CD为O。的直径，得到两个直角及两条线段相等，再根据弧的中点得到弧

相等，从而等到角相等，证明两个三角形全等即可得到答案；

（2）连接OE,根据弧的中点得到弧相等，从而等到圆周角圆心角的关系，结合平角求出/N的

度数，在比A4Ob中根据勾股定理即可得到答案；

(3)由(2)可得圆心角度数直接求扇形面积，再算出AOBE的面积即可得到阴影部分面积.

【详解】⑴证明：连接8。，

AB,为O。的直径，

AAEB=AABD=90°,AB=CD,

■:点、B是彘的中点，

•*,BE=BD，

:N4=NC,

在AAEB与ACBD中,

/ZA=ZC,ZAEB=ZABD=90°,AB=CD,

：WEB9XCBD,

/.AE=BC；

(2)解：连接

二点5是读的中点，

…BE=BD，

ZDOB=ZEOB,NA=NC=LNBOE,

2

•：/E垂直于直径CD于£AO=EO,

:.NAOF=NCOF,AAFO=ACFO=90°,AF=EF=-AE=43,

2

•「ADOB=AAOF,

:AAOF=ZCOF=/BOE,

•/ZAOF+ACOF+ABOE=180°,

ZAOF=4cOF=/BOE=60°,

/.NZ=NC=30。，

/.OE--OA=-r,

22

在MZUO9中，

解得：r=2；

(3)由(2)可得，

60X7TX222

、...=---------------=一

在用AXES中，

N/=NC=30。，

BE=—AB=r=2OF=—OA=1

22

.­.SKOBE=S8ABE-S*OE=34ExBE一$4ExOF=$2忘2■92忘1=④，

'''S阴影=S扇形_SAOBE=.

【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、扇形的面积以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角

形和等边三角形是解题的关键.

【考向五切线的证明综合应用】

例题：（2022•湖南株洲•校考二模）如图，在菱形4BCD中，。是对角线8。上一点（2。＞。。），OE1AB,

垂足为E,以为半径的。。分别交DC于点”，交的延长线于点尸，E尸与DC交于点G.

⑴求证：BC是。。的切线；

⑵若G是。尸的中点，0G=2,DG=1.

①求扇形的面积；

②求的长.

【答案】⑴见解析

Q1S

⑵①”②》

【分析】⑴过点。作（WLBC于点“，证明OM=OE即可；

（2）①先求出NG〃O=30。，再求出NEO"=60。，0H=4代入扇形面积公式即可;

②过A作/N13。，由ADOGsADAN,对应边成比例求出AD的长.

【详解】（1）解：证明：如图，过点。作OM13C于点

QBD是菱形ABCD的对角线，

AABD=4CBD,

：OM1BC,OELAB,

OE=OM,

二•BC是。。的切线.

(2)①G是。尸的中点，OF=OH,

OG=-OH

2，

'：ABI/CD,OELAB,

OFVCD,

NOGH=90。,

sinZGHO=-

2，

:.ZGHO=30°,

"GOH=60°,即ZFOH=60°,

•：OG=2,

OH=4,

.••扇形OHF的面积=；

3603

②如图，过A作NN1助于点N,

,：DG=1,0G=2,OE=OH=4,

：.OD=45,OB=OH=2A/5,BD=OB+OD=345,

,：AD=AB,AN1BD,

3=还，

2

,；NADB=乙ODH,ZAND=ADOH=90°,

△DOG-^DAN,

.OD_DG

"茄一丽’

V5_1

AD~35/5,

F

A