2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练：零点（教师版全国）

专题2-3零点

【题匹】水平线法：参变分别

【典例分析】

2x-^,x>l,

已知函数〃x)={2'函数g(x)=/(x)-机，则下列说法错误的是()

2

33

A.若m<一万，则函数g(“无零点B.若m>-5,则函数g(“有零点

333

C.若-5<机<5，则函数g(九)有一个零点D.若m>3,则函数g(“有两个零点

【答案】A【解析】作出函数的图象如图所示:视察可知：当3

m=——

2

时，函数g⑺有一个零点，故A错误.故选：A

【提分秘籍】

基本规律

1.分别参数。得常数函数(含参水平线)

2.函数画图，须要运用到复合函数单调性，

【变式演练】

-y*X]-V*>0

1.已知函数/(x)=5<0，若函数y=〃3x—2)—a恰有三个不同的零点，则

实数。的取值范围是—

【答案】2<aW3.

“％)当x>0时是对勾函数，因为

1即x=l时，取最小值。所以函数最小值

X=一

X

%>0

为2,且在(0])上为减函数，在(]+8)上为增函数。当xWO时，..y=2-x是减函数，

且2-一1，所以y=_2—“为增函数，且—2-y—1，所以函数/⑴=4—2-为增函数，

且,(同<3,函数图像如图所示。令/=3x.2,函数y=/(3x_2)_a恰有三个不同的

零点，可以看成函数>恰有三个不同的零点，函数的图像与直线>有

三个交点。由图像可知2<Q<3。

1log2x|,0<xW2

2.已知函数f(x)2

ix-|x+5,X>2，若函数晨X)=f(x)-m存在四个不同的零点，则

实数m的取值范围是

【答案】(0，

画出函数y=

数g(x)=的零点个数，因为函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点，所以函数

y=f(x),与y=m的图象由四个交点，由图可知，要使函数y=f(x),与y=in的图象由四

个交点，实数m的取值范围是(0,1),故答案为(0,1).

3.己知函数f(x)={“°射,7鲁0,若函数y=f(x)-m+1有四个零点,零点从小到大

依次为a,b,c,d,则a+b+cd的值为()

A.2B.一2C.一3D.3

作出函数勺、|log2x|,X>0的图象如

f(x)二|x+2|-1,xW0

f(x)与y=m-1的图象有4个不同交点，不妨设

四个交点横坐标a,b,c,d满足a〈b〈c<d，

则，f(a)=f(b),|a+2|-1=|b+2|-1,可得-a-3=b+l,a+b=-4由f(c)=f(d),

得Ilog2cl=|log2d|,

则-log2c=log2d,可得log2cd=0,即cd=1,a+b+cd=-4+1=-3,故选C.

【题型二】基础图像交点法

【典例分析】

设函数工(x)=log2X—(；)"力(%)=1。8产—(；厂的零点分别为玉，则()

A.0<再与<1B.=1C.1<xxx2<2D.五々>2

【答案】A因为函数<(x)=log2X—(g)£,力(x)=logix—(；尸的零点分别为为々，故

可得

log/1=(^)X|-—①k)g/=(g)x2—②，如图，明显有0<々<1</，故石入2>°，①

—②得log/1"2(~)X2<0n尤<1，选Ao

【提分秘籍】

基本规律

1.累、指、对、对勾、双曲等函数之间图像交点。

2.可以借助二分法、单调性奇偶性等找寻交点所在区间。

【变式演练】

1.己知函数/(工)=%2-2ax-2alnx(aeR),则下列说法不正确的是()

A.当。＜0时，函数y=/(x)有零点B.若函数y=/(x)有零点，则。＜2

C.存在。＞0,函数y=/(x)有唯一的零点D.若函数y=/(x)有唯一的零点，则

a＜2

【答案】B.试题分析：令f(x)=x2-2ax-2aIn%=0,得二-x?-%=Inx(aH0)(a=0

2a

时，明显有零点)，在同一坐标系内画函数g(x)=fx2-X与Mx)=lnx的图像，可得当.＜0

时，函数y=/(%)有唯一零点，故A正确；取0=2,画函数g(x)=：/-x与Mx)=lnx的

图像，可得它们有交点，故B错误，C正确；当。=g时，画函数8(耳=炉-彳与/z(x)=lnx的

图像，可得它们有一个交点，故当。＜0或。=g时，函数y=/(x)有唯一零点，故D正确.

f(x)-g(x)的零点个数是

【答案】3

依题意，画出两个函数图象如下图所示，由图可知，零点个数为3.

3.已知函数/(x)=|x-4|-!有三个不同的零点，则人的取值范围是.

【答案】(0,4)

【分析】

函数/。)=卜-4|-[有三个不同的零点，转化为y=|x-4|与y=f交点问题，数形结合即可

求解左的取值范围.

【详解】作出y=|尤-4|与y=?的图象，明显上V0,不行能存在3个交点；.•.左>0,

当y=8与>=卜-4|相切时，gpIr=--x只有一个解，那么△=(),可得16-4左=0,此时

y=4-x

%=4,

函数/(x)=|x-4|-：有三个不同的零点，贝1]0<左<4：故答案为：(0,4).

【题型三】分段函数含参

【典例分析】

%+1x<a

2；一C，若4=0,方程〃x)=o的解集是______；若方程〃x)=o的

{x—5x+2,x>6/

解集中恰有3个元素，则a的取值范围是.

【答案】{一1』,2}[-1,1)

【分析】求出。=0时“X)的解析式，分状况探讨，分别求解方程〃x)=0的根，即可得方

程〃力=。的解集；在同始终角坐标系下作出函数y=x+l和y=f-3x+2的图象，由图象

分析即可得“的取值范围.

/、fx+1,x<0

【详解】当"0时，〃X=,2.八，

\x-3x+2,x>0

当x40时，/(x)=x+l=0,解得x=T；

当x>0时，=3x+2=0,解得x=l和x=2.故若。=0,方程/(x)=0的解集是

{-1,1,2}；

/、\x+\,x<a

因为/x=，则在同始终角坐标系中，作出函数y=x+l的图象，如图直

1%2—3x+2,x>a

线，

作出函数y=f-3x+2的图象，如图抛物线，将直线尤=。从左向右平移，

由图象可得，当。<-1或14。<2时，方程/(x)=o有2个解，不符合题意；

当时，方程/(力=。有3个解，符合题意；

当aW2时，方程)(力=0有1个解，不符合题意.

综上所述，实数。的取值范围为[-U)，故答案为:{-1,1,2}；[-1,1).

基本规律

属于“动态函数”画图法

1.参数在分段函数定义域分界点处。

2.函数图像的“动态”探讨点，多从特殊点，交点，单调性变更点，奇偶性等处找寻。

3.引导学生多画分解图。

【变式演练】

1.已知函数f(x)=12\X\,X~m,其中0>0.若存在实数6,使得关于x的方程/'(x)

1%—2rwc+4m,x>m,

=人有三个不同的根，则实数〃可能的值有()

A.2B.3C.4D.5

【答案】CD

【分析】

在同一坐标系中，作尸/*(x)与y=6的图象，利用数形结合法求解.

【详解】

在同一坐标系中，作尸广(x)与y=6的图象.

当时，学一2mx~\~4m=(x—而24m—而,所以要使方程(x)=6有三个不同的根,

则有4m—/n</n,即ni—3ni>0.又%>0,解得ni>3.故选：CD

(X-(7)2,X<O

2.设〃$R,函数/(%)=1，若函数gQ)=/(%)-3有且仅有3个零点，贝的

XH---FQ,%>0

%

取值范围是.

【答案】(-73,1)##

【分析】

问题转化为函数/(X)与直线y=3有三个不同交点，分作出函数图象，数形结合即

可求解.

(x-a)2,x<0

【详解】/(x)=1八，若函数g(x)=/(x)-3有且仅有3个零点，则函数“X)的图

XH---FQ,%>0

I%

象与直线>=3有三个不同的交点，y=x+-+a>2.x--+a=2+a,当且仅当x=l时等号

尤Vx

成立，

.•.当aWO时，如图:

.,.(0-0)2<3即可，解得_6<avo,

/2+Q<31-I—

,,12□即可，解得Ovavl,综上，-石<〃<1故答案为：(-^3,1)

[a<3

九x工a

3.己知函数/'(x)={'-'若存在实数6,使函数gQ)=/(九)—匕有两个零点，则a的

x,x>a.

取值

范围是()

A.(-oo,-l)o(0,+oo)B.(-co,0)0(1,+<»)C.(-00,0)D.(0,1)

【答案】B由题意可知，函数g(%)实为函数/(X)向下平移》个单位得到的.所以图象只是

在坐标系中位置发生变更，而其形态未发生变更，g(x)有两零点，说明/(x)=6也存在两

个实数根，即存在确定区间，函数的单调性不一样，由此可对。进行分状况探讨，当。<0

时，x3<0,x2>0,所以两根不行能异号，但是在(a,-。)上炉的单调性为先减后增，使

得/(x)=b能够成立；当0<。<1时，丁,丁均为增函数，且九3〈尤2恒成立，故不存在两

实数根使得ya)=b成立；当。>1时，均为增函数，但是/>〃，即/的最高点

在/的最低点的上方.则必定存在两个实数根使得y(x)=b能够成立，综合以上分析应当

选B.

【题型四】探讨直线斜率(临界是切线)找寻交点关系

【典例分析】

25

H—x—3,x>—1x

己知函数/(x)=2，则函数g(x)=/(x)--的零点个数为

—J1-(x+2)23<x<-1

A.1B.2C.3D.4

xX

【答案】C试题分析：函数g(x)=/(x)—]的零点，即方程函数g(x)=/(x)—万=0的实

V

根的个数，也是y=f(x)的图象与丫=—交点个数。在同一平面直角坐标系内，画出y=f(x),

2

Y

厂」的图象，视察知，交点有3个，故选C。

2

【提分秘籍】

基本规律

当分别参数较困难时，可以“分别函数”，一般状况下，一侧多为直线，一侧是可以探讨出

图像的函数。

L交点(零点)的个数和位置，多借助切线来找寻确定。

2.切线虽然大多数可以通过导数来解得，但对于如一元二次等常见函数的切线，可以通过方

程联立解决，这样可以简化一些计算。

3.对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数，导数求切线难度大，圆和圆锥曲线求切线的方

法要留意总结驾驭。

【变式演练】

2%>tn

{，若方程/(x)-x=O恰有三个根，那么实数m的取值

范围是()

A.[—1,2)B.[—1,2]C.[2,+co)D.—1]

【答案】A

【分析】由题意得，函数y=/(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.

解：由题意可得，直线y=x与函数〃x)=2(x>祖)至多有一个交点，而直线y=x与函数

/(力=/+4了+2"(根)至多两个交点，函数y=/(x)与函数y=x有三个不同的交点，

则只须要满足直线y=x与函数/(x)=2(x>机)有一个交点直线y=x与函数

〃x)=x2+4x+2(xWm)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数〃力=/+4%+2的图象

交点为A(-2,-2),B(-l-l),

故有加2-1.而当机22时，直线>=x和射线y=2(x>机)无交点，故实数冽的取值范围是

H，2).

的方程〃x)=a(x+3)有四个不同的实数根,

A.(-OO,4-2A/3)B.(4+2疯+8)

C.[0,4-2石]D.(0,4-2A/3)

【答案】D

【分析】方程/(x)=a(x+3)有四个不同的实数根，即直线＞=a(x+3)与曲线y=/(x),作

出函数图象，即转化为/+(2+“口+3.=0在(-2,0)有两个不等实根，可得答案.

【详解】设，="(x+3),该直线恒过点(-3,0),方程/(x)=a(x+3)有四个不同的实数根

所以£+(2+a)x+3a=0在(-2,0)有两个不等实根，令g(x)=d+(2+a)x+3a,

A=(2+a)2-12a>0

_2<_2+。<0

实数a满足，2,解得0<”4-2代，所以实数。的取值范围是

g⑼=3a>0

g(-2)=a>0

(0,4-2道).故选：D.

2

3已函数/(X)+2=〃JX+D,当xe(0,l］时，/(x)=x2,若在区间(-叫内,

g(x)=/(x)-(x+l)有两个不同的零点，则实数力的取值范围是.

【答案】(a；

【分析】

由g(x)=/(x)-Kx+D=0得/(x)=Kx+D,分别求出函数/(X)的解析式以及两个函数的图

象，利用数形结合进行求解即可.

【详解】当xw(O』]时，/(x)=X2,当-IvxVO,可得0<A/77TWI,

2-2x

/(x)+2=--,/(%)=―-

x+1X+1

-lx

可知函数在Xe(-1，1]上的解析式为，(x)=­Il<x_O,由g(x)=/(x)_f(x+])=0得

",0<x<l

fCx)=Kx+V),

可将函数/(X)在xe(-1,1］上的大致图象呈现如图:

依据y=Kx+l)的几何意义,

x轴位置和图中直线位置为y=Kx+l)表示直线的临界位置，当直线经过点(1/)，可得/=1,

因此直线的斜率力的取值范围是(0,；o故答案为

【题型五】“放大镜”函数的交点

【典例分析】

l-x,0<x<l

已知函数为偶函数，且当尤＞0时,〃无)=<(1则当尤武-2,2)时，方程

〃司=［］的根有()个

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【分析】转化为y=/(x)与g(x)=&］的交点个数，由于两个函数都为偶函数，只探讨

xe[0,2),即得解

1—x,O<x<l1—x,O<x<l

【详解】由题意，当时，〃、)1/(17,2>年广[(2-。2>转1

方程/(X)='：的根的个数即为y=/(x)与g(x)=，j的交点的个数

由于g(f)=，j'=，j'=g(x)也为偶函数，故只需探讨xw[0,2)时，两个函数的交点个

数即可

当x=0时，/(0)=g(0)=l,故(0,1)是一个交点；

当x=l时，/(l)=g(l)=|,故(1、)是一个交点；

当xe(0,1)时,/(：)=：<g(：)=($；/(1)=|>g(1)=(1)^

故时，两个函数有一个交点，由于两个函数都单调递减，且在尤=。相交，故xw(0,l)

84

时，只有一个交点

4]41-11Q11111

当—1,2时，/)=—q)=(/>gq)=(p』。

113

故xe(历时，两个函数有一个交点，由于两个函数都单调递减，且在x=l相交，故

xe(l,2)时，只有一个交点

综上，两个函数在xw[0,2)有4个交点，由函数的对称性xw(-2,2)有7个交点故选：C

【提分秘籍】

基本规律

“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要留意以下几点辨析：

1.是从左往右放大，还是从右往左放大。

2.放大(缩小)时，要留意是否函数值有0。

3.放大(缩小)时，是否发生了上下平移。

4.“放大镜”函数，在找寻“切线”型临界值时，计算简洁“卡壳”，授课时要着重讲清此

处计算。

【变式演练】

…fx—l,l<x<2,

1.定义在(0,+8)上的函数/(X)满足：①当xw[l,3)时，f{x}=\②

[3—X,2<x<3,

f(3x)=3f(x).

(7)/(6)=;

(77)若函数尸(x)=/(x)-a的零点从小到大依次记为无1，尤2「，则当ae(l,3)时，

为+三+++X2n=.

【答案】36(3--1)

【分析】

(7)由于“3尤)=3/(尤)，可得八6)=3。2),依据解析式求出/(2),代入可得；

3)在同一坐标系内做出y=f(x)和>的图像，依据图像得到七,％,,xn,的对称关

系，把X,+三+++X"转化为等比数列前〃项和即可求解.

【详解】

(2)因为/(3x)=3/(x)，所以/⑹=3”2),当x=2时,/(2)=2一1=1,所以/(6)=3/(2)=3；

Qii)在同一坐标系内做出y=/(x)和>的图像如图所示：

当aw(l,3)时，利用对称性，依次有：%+%2=2x6=12,

x3+x4=2x18=12

X2n-\+%2〃=2X2x3〃

2

所以西+/++々〃-1+%2〃=4X(3+3++3")=4X』T)=6(3”—1)

1—3

故答案为：3；6(3〃-1)

/、「llnx|,0<x</、/、

2.己知函数〃x)=\1函数网尤)=〃力—◎有2个零点，则实数a

j(Ze—xhe<x<Ze

的取值范围是.

【答案】。>工或。=0

e

【分析】

本题考查了导数的几何意义，函数的零点与函数图象的关系，

作出了(力的函数图象，结合函数图象求出当直线y=依与/(x)的图象有两个交点时的斜率

范围即可.

【详解】

数)=依有2个交点，当斜率为零，即。=0时，由图像可得有两个交点，则。=0成立;

当斜率不为零，即。工0时，

如图所示，考查临界状况，当直线与函数相切时,设切点坐标为(无0，映)，由题意可得:

%o=e

，解得,1，

d———

则直线与函数相切时斜率g，数形结合可知实数a的取值范围叱…

综上，答案为：或。=0.

e

sin7rx,xe[0,2]

3.对于函数/⑺二口“-)^⑵+⑹’

下列5个结论正确的是(把你认为正

、2

确的答案全部写上).(1)任取4赴目0,心)，都有|〃%)-〃々)归2；

(2)函数y=/(x)在[4,5]上单调递增;

(3)〃x)=2姓(x+2t)(KeN+),对一切xe[0,+oo)恒成立；

(4)函数丁=/(“一111(尤-1)有3个零点；

(5)若关于x的方程〃x)=a(机<0)有且只有两个不同的实根匹，x2,则占+%=3.

【答案】(1)(4)(5)

【详解】

SIY171X,XG[0,2]

由题意，得了(力={1.小小、的图象如图所示,

-/(x-2),xe(2,+co)

由图象/(0皿=1，/。)„1山=-1，则任取再，/epy)，都有

|/(^)-/(x2)|<|/(%)_-/(x)^|=2,故(1)正确；函数y=/(x)在[4,5]上先增后减,

故(2)错误；当xe[O,2]时，/(x+2%)=；/(x+2左一2)=5/。+2左一4)

=♦••=4。)，即/(x)=2*7(x+2k)”N*,故⑶错误；在同一坐标系中作出了⑴和

y=ln(x-l)的图象，可知两函数图象有三个不同公共点，即函数y=f(x)-ln(x-l)有3个

零点，故(4)正确；

在同一坐标系中作出/(x)和>=机的图象，由图象可知当且仅当时，关于天的

a

方程/(2=巩加<0)有且只有两个不同的实根乱斗,且玉，%关于对称，即

%+无2=3；故(5)正确；故填(1)、(4)、(5).

【题型六】函数变换：

【典例分析】

X—YYIX无>0

，c'-c，若关于X的方程f(x)+f(-x)+2=0有且仅有四个互不相等

{x'-2x,x<\J

的实根，则实数0的取值范围是()

A.(-8,7]B.(6,+8)C.(2+8)D.[8,+°°)

【答案】B

【分析】依据题意分析出关于x的方程/(》)+/(-x)+2=0有且仅有四个互不相等的实根,

2

2xH----F2,X>0

X

可转化为g(x)=<与户而有四个不同的交点，在同一个坐标系作出y=g(x)

2

—2x----F2,x<0

x

和尸"的图像，即可求出实数"的取值范围.

【详解】当x»0时，/(x)+/(—x)+2=。可化为/—如+—+2刀+2=0,户0明显不成立,

2

故兀>0时，m=2x+-+2

x

2

当兀<0时，/(%)+/(—%)+2=0可化为2x2—2x+2=mx,所以m=一2兀----1-2

x

2

2xH----F2,X>0

记函数g(尤)=«，2，由g(-x)=g(x)知，函数y=g(x)为偶函数.

—2%-----F2,x<0

x

要使关于X的方程/(X)+/(f)+2=0有且仅有四个互不相等的实根，只需y=g(力和产〃

有四个不同的交点.在同一个坐标系作出y=g(尤)和尸川的图像如图所示：

所以：苏6即实数力的取值范围是(6,+8).

【提分秘籍】

基本规律

利用函数性质，推导出中心对称，轴对称等等函数图像特征性质。

【变式演练】

x,-l<x<0

1.设函数〃X）=14”一「若方程/（x）=2f在区间（T，l）内有且仅有两个根，则

〔〃xT）

实数I的取值范围是（）

A.1-5'+°°]B.C.D.-3。）

【答案】C

【分析】

先求出分段函数在（T』）上得解析式，进而依据解析式做出函数图象，由于函数/（力=2/在

区间（T1）内有且仅有两个根等价于函数/（x）的图象与直线>=2f在区间（一口）内有且仅有

两个公共点，数形结合即可求出结果.

x,-l<x<0

瓦匕+1，故"x）=.

【详解】若0<x<L贝！]—l<x—1<0,所以〃x）=1

-------F1,0VXV1

lx-1

其图象如图:

函数/（X）的图象与直线y=2f在区间内有且仅有两个公共点，于是T<2f<0,

-J<r<0.故选：C.

/、f3-4x,x<0,

2.已矢口函数〃句=[/_-2,尤>0,，若关于％的方程2/（力-〃r）-%=0有且只有3个实

数根，则实数人的取值范围是______

【答案】[1』卜{3}44,?1

【分析】本题转化为求函数可力=2/（力二/■（-力与/=上的图象有且只有3个交点，分别利

-rij+”,X<。,

।4

用x<0、x=0以及x>0三种状况探讨可求得h（x）=<3,x=0,，结合y=/z（x）的

2-|-Z,x>0.

ri12

图像即可得解.

【详解】

因为关于1方程2〃力一/（—力—左=0有且只有3个实数根，设Mx）=2"x）—/（r）,

得到函数,=可力与丁=左的图象有且只有3个交点.

当％<0时，一光>0,所以/z(x)=2(3—4x)—[(一工)2一(一次)+2]=—工2—9X+4=—(X+'1)+?；

当尤=0时，/z(x)=2x3—3=3；

一97一97

4<k<——4<k<—

44

故答案为:

X

3.已知函数丫=，(尤)对于xeR恒有/•(2-X)+4X)=2,若〃x)与函数g(x)=—的图像的

x-l

点交为(国,%),(尤2,%)•“(%，%)，则为+%)+(尤2+%)+•••+(%+%)=_____________

【答案】2n

【分析】依据题意推断出函数y=/(x)和y=g(x)的图像关于点(1,1)对称，所以交点也关于

点(1,1)对称，即可求解.

【详解】因为函数，=/(刈对于xeR恒有“2-x)+/(x)=2,所以函数y=/(x)的图像关

于点(1,1)对称；

g(x)=±=1+占的图像关于点(U)对称，

所以当(现,%)为y=/(x)和y=g(x)的图像的交点时，点(2-%,2-%)也是y=/(x)和

>=/(尤)的图像的交点.所以

(%+%)+(々+%)+—+(%+%)=(玉+%+「+玉)+(乂+%+%)

=(xl+x2++%)+(弘+%+%)

〜n入n

—2x—F2x一

22

=2n

【题型七】对数函数确定值“积定法”

【典例分析】

|x+2|,x<0

设函数"x""°g2X|，X>。，若关于X的方程《)=2有四个不同的解J,、2,、3,、4,且

1

x3(x1+x2)+^―

X1<X2<X3<X3则X3X4的取值范围是()

A.(-3,+8)B.(-8,3)c[-3,3)D.(-3,3]

【答案】D解：如图所示，绘制函数f(x)的图象，则点A,BCD的坐标分别为*〃2内人，

111

XXX+=

3(1+2)—-4乂3+—心E[-,1)

由对称性可得：>1+、2=-gXL1,则：X3X4%4,

G\41Id\x式+X，+-----

f(x)=—4x+—［—,1)3122

函数X在区间4上单调递减，据此可得：X3X4的取值范围是(一3,3］本

题选择D选项.

【提分秘籍】

基本规律

对于f(X)=|lOgaX|,"Oga*尸a若有两个零点，则满足

10<x,1<l<x9

1.乙

2XjX2=l

3.要留意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”

【变式演练】

1.已知石，%是方程—*+2=111^的两个解，则()

A.0<XjX2<-B.—<Xj%,<1C.1<xrx2<eD.>e

-ee

【答案】B【解析】因为五,々是方程”'+2=［11］曰的两个解，即入,々是函数y=d工+2

与函数y=|lnx|的图象有两个交点，在同一坐标系中，画出函数'="*+2与

函数y=|lnx|图象，如图所示，

-0<-iWC,<1YF/\Y1

由图象可得｛。/］，即一1<足(万+%2)<1，即一<%十工2<6，

又因为一1叫>ln%2，所以1叫犬2<0，所以犬1%2<L

综上所述，<%遇2<1，故选B.

e

(|logx|,X>0

2.已知函数f(x)=+2x2+2,xW0,方程f(x)-b=。有四个不相等的实数根

XI,X2,X3,X4,且满足：XI<X2<X3<X4,则迎上逆的取值范围是()

XIX3+X2X3

A.(-8,-2)B.[-3,-2A/5]C.(-3,-2)D.(-«>,-2A/2]

1V6W2,

X41

工=-4X3+-2X3,

人rJ/1

令t=x3,则［W矛3<5，

令g⑺=-4+,则g(力为在百()上单调递增，在邛，()上单调递减,

・・.g(，)Wg(t)Wg('),即一3Wg(力故选：B,

lgx\-a,0<x<3

3.已知函数/(%)=<(其中awR),若/(x)的四个零点从小

lg(6-x)\-a,3<x<6"

4

到大依次为再，/，%3，%4，则%马+^^的值是（）

Z=1

A.16B.13C.12D.10

【答案】B

解：由题意可知,

ig40<x<3

fM有四个零点等价于函数g（%）=°z图象与函数y=a有四个交点,

lg(6-x)|,3<x<6

如图所示,

a

即再=10一"，々=10",x3=6-10,x4=6-10^,

44

所以X1%=1，=10"+10-"+6—10°+6—1（T"=12,故再超+2%=13,故选：B.

i=lz=l

【题型八】高斯函数型

【典例分析】

设国表示不超过X的最大整数，如国=1,[0.5]=0,已知函数〃x）=L1x」1—Z（x〉0）,若

X

方程/（x）=o有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）

【答案】C【解析】解：由/（x）=0可得：[x\=kx,绘制函数）=[九]的图象，使得

此函数与正比例函数丁=丘在（0,内）上恰好有3个交点即可.

如图所示，点（5,4）和点（4,3）为临界点，实数上的取值范围是.

本题选择C选项.

【提分秘籍】

基本规律

取整函数（高斯函数）

1.具有“周期性”

2.一端是“空心头”，一端是“实心头”

3.还可以引入“四舍五入”函数作对比

【变式演练】

1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设xeR,

用国表示不超过X的最大整数，＞=国也被称为“高斯函数”，例如[2』]=2,[3]=3,

[-1,5]=-2,设/为函数〃尤）=log2X-：-l的零点，则[%]=（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

利用零点存在性定理求出x0e(3,4),再由“高斯函数”的定义即可求解.

【详解】/(x)=log2x-1-l,函数在(0,+8)上单调递增，〃3)=log23-2<0,

o1

/(4)=log24-^-l=->0,若〃％)=0,则%«3,4),所以[%]=3.故选：B

2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数

学家高斯，人们把函数y=[x],xeR称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数.设

{x}=x-[x],贝!1函数/(x)=2尤的全部零点之和为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】

由题意知，当x=0时，/(%)=-1,所以。不是函数的零点，当xwO时，令

%=2{x}=2x-2[x],%=1+1,作出函数必=2{x}=2尤=4+1的图象，利用数形

%%

结合思想，结合函数零点的定义即可求解.

【详解】

由题意知，当x=0时，/(x)=-l,所以0不是函数的零点，

当xwO时，〃x)=2尤{x}—x-1=0可得，2{x}=—+1,令％=2{x}=2尤一2[x],%=工+1，

由图象可知，除点(TO)外，函数乂=2"}=2》-2国,%=1+1图象其余交点关于(0,1)

中心对称，，横坐标互为相反数，即玉+2+$+…=0,

由函数零点的定义知，函数/(x)=2x{x}-x-1的全部零点之和为

—1+石+%2+毛-1+°=一1•故选：A

3.高斯函数y(x)=[x](国表示不超过实数X的最大整数)，若函数g(x)=e'-e7-2的零

点为%,则g[/(%)]=()

11,1

A.——e-2B.-2C.e----2D./--r-2

eee'

【答案】B

【分析】先推断g(x)=，-0一"2的单调性，再由零点存在定理，得到零点%所在范围，然

后从内到外求函数值.

【详解】因为8(力=/-/-2,所以g，(x)=e，+e*>0,所以g(x)在7?上是增函数.而

11

g(0)=e°-e°-2=-2<0,g(l)=e-e--2>0,所以%«0,1),所以/(%)=[即=0,所以

g[“Xo)]=g(O)=-2.故选：B

【题型九】与三角函数结合

【典例分析】

\cos(27rx-27ra]x<-a

设ad/?,函数/1(x)=[“'2V、，若函数f(x)在区间(0,+8)内恰有6

\x-2(a+l)%+a+5x>a

个零点，则a的取值范围是()

【答案】A

【分析】由炉一2(。+1卜+4+5=0最多有2个根，可得cos(2万X—27a)=0至少有4个根,

分别探讨当和X?。时两个函数零点个数状况，再结合考虑即可得出.

【详解】.川_2(。+1)*+储+5=0最多有2个根，所以cos(2%x—2万。)=0至少有4个根，

1k1左1

由27rx—2TTQ="+kji,kGZ%=万+1+。,左EZ,由。<耳+1+^^^]可

C171

—2a—<K<—,

22

179

(1)%va时，当一5