解三角形中的范围与最值问题（十七大经典与奇趣题型）（解析版）

1 1 1 4 8 41 49 范围过大.由正弦定理得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C(=sinA，(1)求角A；(1)由2ccosA=acosB+bcosA，则有2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA，即2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B(=sinC，2-bc，(1)求角A；(2)求△ABC的周长l的范围.(1)∵(2b-c)cosA=acosC，所以2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，所以2sinBcosA=sin(A+C)=sinB，、、2所以b=4sinB，c=4sinC=4sin-B(，0<B<π0<-<，解得<B<，(2c-b(cosA.化简得b2+c2-a2=bc，所以cosA=c2+b2-a因为0<A<π,所以A=.由(1)B+C=，故a+b+c=2+(sinB+sinC(=2+|sinB+sin-B(=2+sinB+cosB+sinB(=2+cosB+sinB(=2+4sin(B+因为0<B<⇒<B+<，则<sin(B+≤1，(a2+b2-c2((acosB+bcosA(=abc.则题述条件化简为a2+b2-c2=ab，由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC.所以C=.由正弦定理得a=b=c=2=4、3，sinAsinBsinC3则△ABC周长C△ABC=a+b+2=2+(sinA+sinB)=2+|sinA+sin-A(，因为sinA+sin-A(=、3sin(A+，则C△ABC=2+4sin(A+，因为△ABC为锐角三角形，A+B=，所以sinBsinC=sinCcos，所以B=.所以S△ABC=acsinB=2RsinA2RsinCsinB=3sinAsin(-A(，=33sinAcosA+sinA(，=sin2A-cos2A+，则π<2A-则<sin(2A-(≤1，所以33<S△ABC≤9f(x(=⋅B+C(=0.f(x(=⋅,=sin2x+3cos2x=2sin(2x+(.又f(B+C(=0，∴sin2(B+C(+=0．又△ABC为锐角三角形，sinA=bsinA==1sinB1sinB、<S<<B<，、<S<(((b+c(2-a2=43S.(II)若a=3,b=m(m>0),当ΔABC有且只有一解sin2+c2-a2+2bc=23bcsinA所以cosA+1=、3sinA，即sin(A-=,(ii)当0<m≤、3时，由正弦定理m=、3⇒mS=•、3sinB•sinC=、3sinB•sin-B(=sinBcosB+sin2B=sinBcosB+sin2B+•=sin(2B-+∵0<B≤π∴<2B-≤,所以，当B=时，Smax=>9.(2024·陕西安康·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，AB=AC=BD=10，当四边形ABCD的面积最大时，BC2+CD2+DA2的最小值为.如图，设AC∩BD=O,∠AOD=则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△BCD=BD×AOsinθ+BD×COsinθ=BD×ACsinθmax=50.于是BC2+CD2+DA2=y2+(10-x)2+(10-y)2+(10-x)2+x2+(10-y)2=3(x2+y2)-40(x+y)+/6cosB=(3c-b(cosA，则△ABC面积的最大值为.-b(cosA，所以6cosB=acosB=(3c-b(cosA，由正弦定理可得sinAcosB=3sinCcosA-sinBcosA，即sin(A+B(=3sinCcosA，2-2bccosA得((2=b2+c2-所以6=b2+c2-bc≥2bc-bc，即bc≤,当且仅当b=c=时取等号，所以S△ABC=bcsinA=×bc≤×=.bsinA=、3acosB.故、3sinC+sinBsinA=3sinAcosB即3sin(A+B)+sinBsinA=3sinAcosB，即3(sinAcosB+cosAsinB)+sinBsinA=、3sinAcosB，所以3cosAsinB+sinBsinA=0，故、3cosA+sinA=0，即tanA=-、3，(2)由余弦定理：BC=、b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc，又S△ABD+S△ACD=S△ABC，sinAcosB-cosAsinB=a⋅a22c-b2-b⋅b2+2c-a2sinA+sinBa+b=2a2-2b2=(a+b)(a-b)=a-b2c(a+b)c(a+b)c，sinA+sinBc所以sin(A-B)=sinA+sinBcB+(+sinB=43(sinB+23cosB(=423sinB+cosB=4sin(B+(因为△ABC是锐角三角形，所以A=B+π<π,可得0<B又由A+B>π,可得B+π+B>π,所以B>π,所以π<B+π所以<sin(B+，可得22<c<23，符合c>a-b=2.13.(2024·山东潍坊·一模)在①tanAtanC-3tanA=1+3tanC；②(2c-3a(cosB=-3c(sinA+csinC=bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.【解析】(1)若选①：整理得1-tanAtanC=-3(tanA+tanC(，因为A+B+C=π,所以tanB=-tan(A+C(=--a=33，因为B∈(0,π(，所以B=；由正弦定理得(2sinC-3sinA(cosB=3sinBcosA，若选③：由正弦定理整理得a2+c2-b2=3ac，所以a2+c2-b2=3，<b+1<b+1,(2c-a(sinC=(b2+c2-a2(,(2c-a(sinC=(b2+c2-a2(⇒(2c-a(c=b2+c2-a2⇒c2+⇒(2c-a(c=b2+c2-a2⇒c2+a2-b2=ac，又cosB=a2+c2-b2a2+c2-b2. sinA sinC=23 sinA sinC=23==、23-A(=8sinA-2、3cosA-故a=4sinA,c=4sinC，2a-3-A(=8sinA-2、3cosA-2sinAcosA=43cosA=43=6sinA-23,则-<A-<π,则-<A-<π<sinA-sinA<sinA-sinA-<43-2--asincos.即asinB=bcos-A(，得bsinA=bcos-A(，得sinA=cos-A(=cosA+sinA，得sinA=cosA，所以tanA=、3；(2)由B=P，得A=A+A—，所以A2=A+A—(2=A2+A—2+A⋅A—=c2+b2+bccosA=c2+b2+bc=[(b+c(2-bc[≥|(b+c(22=(b+c(2=，asinC=ccos(A-.(1)求角A的大小；sinA=cos(A-，整理得sin(A-=0，由H为ΔABC的垂心，则∠ABH=∠ACH=.在ΔABH中使用正弦定理得，(1)求A；(2)求cosB-cosC的取值范围.(1)因为(a+b((sinA-sinB(=(c-b(sinC，所以(a+b((a-b(=(c-b(c，即a2=b2+c2-bc.2-2bcosA(2)由(1)知cosB-cosC=cosB-cos=cosB+cosB-sinB=cosB-sinB=3cos(B+.(0<2π-B<π所以cosB-cosC∈(-,，即cosB-cosC的取值范围是(-,.(1)判断△ABC的形状并给出证明；(1)△ABC为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由a-b=c(cosB-cosA(及正弦定理得，sinA-sinB=sinC(cosB-cosA(，即sin(B+C(-sin(A+C(=sinC(cosB-cosA(，即sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCcosB-sinCcosA，整理得sinBcosC-sinAcosC=0，所以cosC(sinB-sinA(=0，故sinA=sinB或cosC=0，因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.且A+B=πC=π故B=π所以sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+1=sinA+cosA+1=、2sin(A++1，因此sinA+sinB+sinC的取值范围为(2,、2+1(.(0<A<π(A+B+C=π由{0<B<π,则A=π-(0<A<π(A+B+C=π所以sinA+2sinB=sin(B+C(+2sinB=cos2B+2sinB=-2sin2B+2sinB+1=-2(sinB-42(2+，.44.4444(2)求cosAcos(A+的取值范围.(2)cosAcos(A+=(1+cos2A(-sin2A=+cos2A-sin2A(=-sin(2A-+(或者用积化和差公式一步得到cos(2A++)(-,，所以sin(2A-∈(-,，A.A=2BB.B的取值范围为,D.-+2sinA的取值范围为,3(又因为sinC=sin(A+B)，所以sin(A+B(=sinB+2sinBcosA，即sinAcosB+sinBcosA=sinB+2sinBcosA，整理得sinAcosB-sinBcosA=sinB，即sin(A-B)=sinB(0<A<π(0<2B<π|0<C<π|0<(0<A<π(0<2B<π|0<C<π|0<π-3B<π所以B的取值范围为,，故B项错误.所以-+2sinA=+2sinA=+2sinA=((，(项正确.()A.a2=c(b+c(B.+的最小值为3【解析】由A=2B，得sinA=sin2B=2sinBcosB，-b2-bc=(2b(2-b2-b⋅b=0，所以a2=b(b+c(，故选项A错误；c=sinC=sin(2B+B(=sin2BcosbsinBsinBsinB2sinBcos2B+(2cos2、2B、sinBsin2B2sinBcosB3sinBsin2B2sinBcosB32+c2 【解析】由正弦定理得=====2cosB，由于三角形ABC为锐角三角|π<B+|π<B+C=3B<π2=b2+bc2=b2+bc，所以b2+bc=b2+c2-2bccosA，由正弦定理得sinB=sinC-2sinBcosA，即sinB=sin(A+B(-2sinBcosA=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B(，所以B=A-B或B+A-B=π(舍去)，所以A=2B，c+2=sinC+2=sin(A+B(+22BsinBcos2BsinBcos2B=sin3B+2=sinBcos2B+cosBsin2B+2=cos2B-sin2B+2coB+co2B=4cos2B+2-1≥24cos2B⋅2-1=42-1，2=BA·BC-DA·DC；故4sin2A=sinBsinCcosA+sinCsinAcosB=sinC(sinBcosA+sinAcosB)=sinCsin(A+B(=sin2C，又AB2=AD2+BD2-2AD⋅BD⋅cos∠ADB②,BC2=CD2+BD2-2CD⋅BD⋅cos∠CDCDBCACAB+BCACAB+BC，故①÷③得AD=AB⑤,即AD=AB,∴CDCDBCACAB+BCACAB+BC，由CD×②+AD×④得，CD⋅AB2+AD⋅BC2=CD⋅AD(AD+CD(+(CD+AD(⋅BD2=CD⋅AD⋅AC+AC⋅BD2，则BD2=-CD⋅AD=-CD⋅AD=BA⋅BC-DA⋅DC，即BD2=BA·BC-DA·DC；则由⑤得AD=AB=2，则AD=由a=1以及(i)知BD2=2-AC2，即BD2+AC2=2，则BD2+AC2≥BD⋅AC，当且仅当BD2=2AC2，结合BD2+2AC2=2，即BD=1AC=故BD⋅AC≤,即BD⋅AC的最大值为.所以、3acosC-asinC=、3b，由正弦定理得3sinAcosC-sinAsinC=3sinB=3sin(A+C)，即3sinAcosC-sinAsinC=3sinAcosC+3sinCcosA，得-sinAsinC=、3sinCcosA，又sinC>0，所以-sinA=、3cosA，即tanA=-、3，又0<A<π,所以A=；b≥0,c≥0，∴S△ABC=bcsinA=bc≤、3.当且仅当b=c=2取等号=-ccosB.由正弦定理，得sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosA∴sin(B+C)=-2sinAcosA，即sinA=-2sinAcosA>0+S△AMC=S△ABCsin2B-sin2A=sinBsinC.(1)求A；(1)因为sin2C+sin2B-sin2A=sinBsinC，(0<B<π0<-<，解得<B<，所以tanB>3(0<B<π整理可得ac=(a+c(，所以+==1.b=3.所以=，解得B=.由题意B=B+B(，所以|B|=B+B|=(B+B(2=B2+2B⋅B+B2=、c2+ac+a2，而由余弦定理有9=b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac，即△ABC的AC边中线BD的最大值为.(c-b((sinC+sinB(.【解析】(1)因为(sinA-、3sinB(a=(c-b((sinC+sinB(，由正弦定理可得：(a-、3b(a=(c-b((c+b(，则a2-、3ab=c2-b2，2+b2-c2=3ab，由余弦定理可得：cosC===，(2)因为D为AB的中点，所以C=C+C(，则C2=C+C(2=C2+C⋅C+C2=(a2+、3ab+b2(，2bcosB+ccosA=0.所以sin(A+C(=2sinBcosB.又A+B+C=π,2=a2+c2-2accosB⇒7c2=9+c2-3c，由B=及正弦定理可得，===2，故a+c=4sin-θ(+2sinθ=4sinθ+2、3cosθ=27sinθ+:cosθ(=27sin(θ+φ(， a+2b=6v2，sinA+2sinB由正弦定理可得sinBcosC+sinCsinB=sinA=sin(B+C(=sinBcosC+cosBsinC，整理得sinCsinB=cosBsinC，可得a=2RsinA,b=2RsinB，a+2b=2RsinA+4RsinBsinA+2sinB2=a2+c2-2accosB，即36=a2+c2-2ac，2-2可得ac≤2-2可得ac≤设AC边上的中点为D，因为B=B+B，则B2=B+B(2=B2+B⋅B+B2=(a2+c2(+accosB=(36+、2ac(+ac=9+ac∈(9,27+18、2[，=(acosC-b(sinB+acosBsinC.-b(sinC=acosCsinB-bsinB+acosBsinC=asin(B+C(-bsinB=asinA-bsinB结合正弦定理可得(c-b(c=a2-b2，即bc=b2+c2-a2，(2)设边AC，AB上的高分别为BE，CF则H为BE与CF的交点，则4=BH2+HC2+BH⋅HC≥2BH⋅HC+BH⋅HC，即BH⋅HC≤,当且仅当BH=HC时取等号.∴S△BHC≤,故△HBC面积的最大值为.(1)若A—=xA+yA—，求x+y的最大值；=、2.则由A—=xA+yA—可得A—⋅A=x|A|2+yA⋅A—=xm2+ymncosA=xm2+ymn=m2，即得：2mx+ny=m①又由A—=xA+yA—可得A—⋅A—=xA⋅A—+y|A—|2=xmncosA+yn2=xmn+yn2=n2，即得：、2mx+2ny=n②因+≥2，当且仅当m=n时等号成立.即当m=n时，x+y取得最大值2-、2.设△ABC的外接圆半径为R，2+cos22B2=R2,∠AOB=2π-∠BOC-∠AOC=3π-∠AOC则cos∠AOB=-sin∠AOC=-sin2B，而cos∠AOC=cos2B，2B+cos22B)=-R2,-cos2B⋅OC|R-cos2B⋅OC|R223OA+2OB+OC=9OA+4OB+OC+12OA⋅OB+6OA⋅OC+4OB⋅OC22|0<C<|0<C<|0<B=3π55tanθ==sinθ=55,,0<θ<cosθ=45,cos(π+θ)=-cosθ5,cos(π+θ)=-cosθ=-2于是3-5=14-65≤3OA+22B2B依题意有FO=AB=c，CF=c.2+22=b2+c2≥⋅=.，mλ+μ-sin2B=+-=6cos2B-(4m+9)cosB+6m.37.从①(a+b+c)⋅(sinA+sinB-sinC)=asinB+2bsinA；②2asinAcosB+bsin2A=【解析】(1)选择条件①,(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=asinB+2bsinA，选择条件②,2asinAcosB+bsin于是asinAcosB+bsinAcosA=、3acosC，AcosB+sinAsinBcosA=、3sinAcosC，因为△ABC的内心为I，所以∠ABI+∠BAI=，于是∠AIB=.设∠ABI=θ,则∠BAI=-θ,且0<θ<，所以BI=2sin-θ(,AI=2sinθ,所以△ABI的周长为+2sin(-θ(+2sinθ=cosθ-sinθ(+2sinθ=2sin(θ+、所以△ABI周长的取值范围为(23,2+、3].38.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ccosB-2acosA=bcosAcosB-asin2B.(1)求A；sinCcosB-2sinAcosA=sinBcosAcosB-sinAsin2BO=sinB(cosAcosB-sinAsinB(=sinBcos(A+B(=-sinBcosC所以：OB=2sin(-α(,OC=2(((，(1)求角A的大小；(1)因为2acosA=bcosC+ccosB，由正弦定理可得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C(=sinA，(2)由题意可得A=A，A=A，所以A—=A+B=A+B—=A+A—-A(=A+A—-A(=A+A—，因为C、N、P三点共线，故设A=λA—+(1-λ(A—=λA+(1-λ(A—，同理M、B、P三点共线，故设A=μA+(1-μ(A—=μA+(1-μ(A—，所以A=A+A—，则G=A-A—=A+A—A+A—(=A-A—=2A-A—(，当C为锐角，则A—⋅B>0，即A—⋅(A—-A(=A—2-A—⋅A=b2-bc>0，当B为锐角，则A⋅C>0，即A⋅(A-A—(=A2-A—⋅A=c2-bc>0，综上可得1<b<2，=2A-A|，2=(2A-A(2=4A2-4A⋅A+A2=4|A|2-4A⋅A+2=4c2-2bc+b2=-4+b2，若∠GAB=，求tan∠GAC的值；(2)求cos∠ACB的取值范围.(1)以A为原点，AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设AB的中点为D，则D,G,C共线且|DG|=|GC|，(-,-，G=,-，故G=(-2cos2θ,-2cosθsinθ(，G=(2sin2θ,-2sinθcosθ(，故G=-G-G=(2cos2θ-2sin2θ,4sinθcosθ(，故C(3cos2θ+1,3sin2θ(，而C=(-3cos2θ-1,-3sin2θ(，C=(1-3cos2θ,-3sin2θ(，(1-3cos2θ(2+9sin22θ×((1-3cos2θ(2+9sin22θ×(1+3cos2θ(2+9sin22θ41.在Rt△ABC中，∠BAC=，AB=AC=2，点M在△ABC内部，cos∠AMC=-，则MB2- 5.4.设E为AC的中点，所以AE=CE=1，OE=R2-AE2=2-12=.因为点M在△ABC内部，所以M(sinθ所以MB2-MA2=cosθ+1(2+sinθ-2-cosθ+1(2+sinθ-2sinθ-(2-(sinθ-=7-5sinθ所以当sinθ=1时MB2-MA2=7-5=2最小..MB+MB.MC+MC.MA的最小值为.【答案】-所以A(0,0),B(-2,2),C(32,0)，设M(x,y)，则M=(-x,-y),M=(-2-x,2-y),M=(32-x,-y)，所以w=M.M+M.M+M.M=x(2+x)+y(y-2)+(、2+x)(x-3、2)+y(y-、2)+=3x2-42x+3y2-22y-6=3(x-2+3(y-2-，A.1B.C.D.∩的劣弧BC上，点M所在圆的方程为：x2+(y+5-2t=-3tcosθ+(4-t(sinθ=(4-t(2+(3t(2sin(θ+β(，设点A的坐标为A(x,y((y≠0(，点A的轨迹方程满足迹.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，sinA=2sinB,acosB+bco△ABC面积的最大值为.建立直角坐标系，则A(1,0),B(-1,0)，设C(x,y),x≠0，对角线AC的最大值为()【解析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则D(0,0),B(16,0),C(0,9),因-6)， .设A(x,y(，则G,，所以x≠0且x≠3，因为AG⊥BG所以当点A的纵坐标为±时，△ABC的面积取C，则CB+CD的最小值为.因为A⋅A—+B⋅B=A⋅A—+A⋅C=A⋅A=C⋅C-1)(x+1)+y2[C可得ΔOBC~ΔOCB1，所以==2，所以B1C=2此时CB+CD最小为DB1=、(4+1)2+12=.(1)在△ABC中有sinA>0，sinB>0，sinBsinA，则sinAcosA+cosBsinB=2sinBsinA，可得sinAcosA-sinBsinA=sinBsinA-cosBsinB，可得sinA(cosA-sinB)=sinB(sinA-cosB)①,所以△ABC是直角三角形.44【解析】∵cos(A-C(-cosB=cos(A-C(+cos(A+C(=，44①-②得-sin2B=cosAcosC-sinAsinC=cos(A+C(=-cosB，由cos(A-C(-cosB=，得cos(A-C(=+cosB=1，A-C=0,A=B，ΔABC为正三角形，=a(2-a(×=a(2-a(cosB=延长边BC到D，若BD=4，则ΔACD面积的最大值为.cos(A-C)+cos(A+C)=2cosAcosC=，2=ac，由正弦定理可得，sin2B=sinAsinC②①-②可得，-sin2B=cosAcosC-sinAsinC=cos(A+C)=-cosB2B+cosB-=0∵cos(A-C)-cosB=，2=3当且仅2-(b-c(2，所以bcsinA=a2-(b-c(2，即b2+c2-a2=bc(2-sinA(，2A+因为△ABC为锐角三角形，所以sinB=sin(A+C(=sinAcosC+sinCcosA，由正弦定理得==sinAcosCcosA=cossinC=taC+，因为△ABC为锐角三角形，所以π-A<C<π43c，则tanA+tanC的最小值是(A.B.C.23由正弦定理得sinA+sinB所以tanA+tanB=3tanC，又因为C=π-(A+B)，所以tanA+tanB=-3-a，即tanAtanB=4.所以tanB=taA,tanC=(tanA+tanB)=(tanA+taA(，显然tanA必为正(否则tanA和tanC都为负，就两个钝角)，所以tanA+tanC=tanA+3tA≥2=，当且仅当tanA=3tA，即tanA=1,A=取等号.所以tanA+tanC≥.2tanC2tanCA.B.C.D.2+5b2=c22-a2由余弦定理得cosA===，cosC===-，所以cosA==-9a=-9sinA，整理得sinC=-9⋅sinA，即tanC=-9tanAcosCcsinCcosCcosA 由cosC=-<0，知C为钝角，所以tanC=-9tanA<0，则tanA>0.所以tanA-=tanA+≥2tanA⋅=，当且仅当tanA=即tanA=时等号成立，所以当tanA=时，tanA-的最小值为.∵△ABC为锐角三角形，∴<B<，即<<，2-、3<tan<1，所以sinBcos=sinAsinB,所以-<tan-<1，所以的取值范围是.a．教学楼AB和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；(1)由题意知AB=BM=20，AB⊥BM，由勾股定理得设ND=x，则tan∠PND=，tan∠QND=A.B.C.D.A.(x-4)2+(y-4)2=25C.(x-5)2+(y-4)2=16B.(x-4)2+(y-5)2=16D.(x-4)2+(y-5)2=25设P，则k1=kAP=-，k2=kBP=-设△APB的外接圆的方程为(x+a)2+(y+b)2=r2，△APB的外接圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=25.(a-c((b-c(则AB=a-b,AD=a-c，设∠BCD=α,∠ABC=β,CD=x，在△ACD中，tan(α+β)==，所以tanβ取最大值时，∠ABC=β最大，所以当离此树的水平距离为(a-c((b-c(米时看A，B的视角最大.A.B.C.D.【解析】在△ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA=c得：sinAcosB-sinBcosA=sinC=即5(sinAcosB-sinBcosA)=3(sinAcosB+sinBcosA)，整理得：sinAcosB=4cosAsinB，tan(A-B)===≤=，当且仅当=4tanB，即tanB=时取等号，所以tan(A-B(的最大值为.(1)若acosC+3asinC-b-c=0，a=23，B<C.①求A；【解析】(1)①sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0,a=23,B<C,sinAcosC+3sinAsinC-(sinAcosC+cosAsinC(-sinC=0,3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0,sinC≠0，3sinA-cosA-1=0,则A-π=而(x+y+z(2=x2+y2+y2+2xy+2xy+2yz，=x+y2-2xycos120°=x2+y2+xy.同理有c2=x2+y2+xy,a2=y2+z2+yz,12=y2+z2+yz2+c2+12=2x2+2y2+xy+yz+xz+2z2.2+c2-bc=12,bc=8,b2+c2=20,2x2+2y2+2y2+xy+xy+yz=32,ΔABC=AP⋅CPsin120则xz+yz+xy=bc=8,x2+y2+z2=12，(x+y+z(2=12+2×8=28，++2B+cos2C-cos2A=1,所以1-sin2B+1-sin2C-(1-sin2A)=1,所以sin2A=sin2B+sin2C,=x，(m>0,n>0,x>0(，则由|PB|+|PC|=t|PA|得m+n=t；由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2-2mx2cos=(m2+m+1(x2，2=m2x2+n2x2-2mnx2cos=(m2+n2+mn(x2，2+2=2得(n2+n+1(x2+(m2+m+1(x2=(m2+n2+mn(x2，即m+n+2=mn，而m>0,n>0，故m+n+2=mn≤2，当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+3时，等号成立，又m+n=t，即有t2-4t-8≥0，解得t≥2+2、3或t≤2-2、3(舍去)，【解析】(1)由已知asinA=bsinB+csinC得sin2A=sin2B+sin2C， ，整理得xy+yz+=x,m>0,n>0,x>0，则由|PB|+|PC|=t|PA|得m+n=t；由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2-2mx2cos=(m2+m+1(x2，|BC|2=m2x2+n2x2-2mnx2cos=(m2+n2+mn(x2，故由|AC|2+|AB|2=|BC|2得(n2+n+1(x2+(m2+m+1(x2=(m2+n2+mn(x2，即m+n+2=mn，而m>0,n>0，故m+n+2=mn≤2，当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+3时，等号成立，又m+n=t，即有t2-4t-8≥0，解得t≥2+2、3或t≤2-2、3(舍去)，卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如∠BOC=π-=bc； 取值范围.∴a=a=c=c2=bc.(2)A⋅A—=cbcosA======-a2-4a+8，即f(a(=-a2-4a+8，qq+1qq+1q66.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑最早提出的一个几CI因为点A/所以A/B/=2-24，3△A/B/C/=67.小明同学在一次数学课外兴趣小组活动中，探究知函数f(x(=12-2x+12+x在-12≤x，△CAB/B=120o1AB=∠O1BA=30o，可得AO1=o1AO3=120o，2+c2-bc=、12-2bc，又b+c=、b2+c2+2bc=、12+bc，又12=b2+c2+bc≥3bc所以a+b+c=f(x(=、12-2x+、12+x，由题f(x(在(0,4[上单调递减，基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，【解析】设AC=AD=CD=a，由托勒密定理可知AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD，即a⋅AB+a⋅BC=a⋅BD，所以，AB+BC=BD=4、四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB⋅BDsin+BC⋅BDsin【解析】设AC=AD=CD=a，由托勒密定理可知AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD，即a⋅AB+a⋅BC=a⋅BD，所以，AB+BC=BD=4、四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB⋅BDsin+BC⋅BDsin解得BD=6，AC=26.所以AB=AD=23.它的对角互补，所以AC⋅BD=AB⋅DC+AD⋅BC，所以126=23(BC+CD(,所以BC+CD=62，A.4B.13C.33D.7+23∵AC⊥CD，AD=2AC，CD=3AC=3⋅4-23，β+,sina/4-2/3 =15-63cosα+64-2/3sina/4-2/3 =15+12sin(a-，A.3B.4C.5D.9=AB2+2+2AB⋅、2⋅sin∠ABC=(AC2+BC2-2AC⋅BC⋅cos∠ACB)+2+2、2⋅ABsin∠ABCD.3+D.3+13+13A.23+2B.C.+23+132=AC2=5-4cosα,S△BCD==CD2(1-sin2β(=CD2-sin2α,=5-4cosα-sin2α=(2-cosα(2，74.(2024·高三·江苏常州·期末)已知ΔABC中，AB=AC=3，ΔABCPB2+PC2=3PA2=3，则ΔABC面积的最大值为.2+PC2=3PA2=3，得(x+a)2+y2+(x-a)2+y2=3rx2+y2=-a2x2+(y-3-(x+a)2+y2+(x-a)2+y2=3rx2+y2=-a2)-23-a2≤23-a2y≤2(3-a2)+23-a2，)-23-a2≤-2a2≤2(3-a2)+23-a2，2=3a2-a4≤5 sinA A.A.C.D.B.C.D.5(4S(2≤(8-2c2(2-(8-3c2(2=(16-5c2(c2，再用基本不等式求解.因为a2+b2+2c2=8，8-2c2，由余弦定理得cosC=a2+b2-c2=由①,②平方相加得4(ab(2=(8-3c2(2+(4S(2≤(a2+b2(2=(8-2c2(2，所以(4S(2≤(8-2c2(2-(8-3c2(2=(16-5c2(c2≤2=，2=2=≤⋅52+-52tanB的最大值为()A.B.C.D.A.B.C.D.C=2sin2A-3sin2B，a=2c时等号成立.即B为锐角，2≤cosB<14≤cos2B<所以tanB的最大值为.(2)若tanA+tanB+、3tanAtanB-、3=0，CD=2，求△ABC的面积的最小值.(1)sin∠BDCsin∠BCDBDsin∠BCD，sin∠BDCsin∠BCDBDsin∠BCD，因为∠ADC+∠BDC=π,所以∠ADC=π-∠BDC，所以sin∠ADC=sin(π-∠BDC(=sin∠BDC，所以sin∠ACD=sin∠BCD，所以∠ACD=∠BCD.(2)因为tanA+tanB+、3tanAtanB-、3=0，所以tanA+tanB=、3(1-tanAtanB(，所以tan(A+B(=-=、3，因为0<A+B<π,所以A+B=，所以C=π-(A+B(=，因为S△ABC=S△ACD+S△BCD，所以AC×BC=2AC+2BC=2(AC+BC(因为AC+BC≥2AC×BC，所以AC×BC=2AC+2BC=2(AC+BC(≥4、AC×BC，281.已知△ABC的面积为S,∠BAC=2α,AD是△ABC的角平分线,则AD长度的最大值为()StanαC.S⋅tanαB.D.StanαC.S⋅tanαB.D.S△ABD=AB⋅ADsinα,S△ACD=AC⋅ADs而S△ABC=S△ABD+S△ACD因此AB⋅ACsin2α=AB⋅ADsinα+AC⋅ADsinα(AB+AC(sinα2AB⋅ACsinα而AB⋅AC=故选D项.—→—→—→—→△ACD+S△BCD=S△ACB可得整理得， △ABC=S△ABD+S△BCD，A.-1,B.-1,C.(【解析】cosA=AB2+AC2-BC2=13-BC2，因为BC>2，所以cosA<R．若a=1，且sinA-bsinB=(c+b(sinC，则()、A.sinA=B.△ABC面积的最大值为、C.R=D.BC边上的高的最大值为63则a2=b2+c2+bc，由余弦定理得cosA=b2+2c-a2=-，而0<A<π,解得A=，对于A，sinA=，A正确；则此时c=-a=-a=2a，此时cosA===，所以9x2=7m2-20m+16，所以y2=-2x2+2m2-m+，所以y2=-2m2-m++2m2-m+，所以|BD|=y=.2sinC=3sinA．则cosA的最小值为.所以b+c=3，所以bc≤2=，当且仅当b=c=所以cosA====-1+≥, asinA+B2.=csinA，c=2.asinA+B2.【解析】因为asinAB=csinA，所以由正弦定理知sinAsin=sinCsinA，C2C2CC所以sinAcosC2C2CC所以sinAcos=2sinC2=C2=由已知及余弦定理得：4=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，91.已知△ABC的三个内角A，B，C满足+=2(tanB+tanC(，则A的最大值是tanB+=2(tanB+tanC)，tanBsinBsinB+sinC=2(sinBsinB+,所以sinB+sinC=2sinA，+sinC=2sin,所以sinB+sinC=2sinA，+=所以cosA=b2+c2-a2=b2+c22=2+c2=因为0<A<π,所以A的最大值为.1，(a-b(sinA=(c+b((sinC-sinB(，则a+2b的最大值为.因为0<C<π,所以C=，因为点D是边AB上靠近点A的三等分点，则C=C+A—=C+A=C+C-C(=C+C，即C=C+C，两边同时平方得C2=C2+C2+C⋅C，即1=b2+a2+abcos∠ACB，2b≤2+9，93.(2024·辽宁·一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，c=2sinAsinB=sin2Asin2B,则a+b因为2sin2Asin2B+sinAsinB=sin2Asin2B=2sinAcosAsinBcosB，所以2sinAsinB+1=2cosAcosB,所以cos(B+A)=，即cosC=-，又c=2，由余弦定理得-1=a2+b2-22=(a+b)2所以2-4=ab≤当且仅当a=b时取等号，解得0<a+b≤,又a+b>c=2，94.△ABC中AB=AC=2，△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2=4，PA2=1，则△ABC设B(-a,0(C(a,0((a>0(，则A(0,4-a2(，|≤4-a2≤1+2-a2，由两边平方化简可得a2≤,则△ABC的面积为S=⋅2a⋅、4-a2=a⋅、4-a2=、4a2-a4=-(a2-2(2+4， 2=即C2+2C2-b2+2c-a2=ab，a2+1-b2-b2+1-a2a2+1-b2-b2+1-a2所以化简可得a-b=a3-b3=(a-b((a2+ab+b2(，a+b(2=1+ab≤1+(ab(2，..所以sin(A+B(=cosB=sin(-B(，因为A,B为三角形的内角，可得A+B=-B，即A+2B=，得证.(2)由(1)知A=-2B，且C=π-A-B=+B，a2+b22a2+b22a2+b22=sin2A+sin2B=cos22a2+b22a2+b22a2+b22在①tan(A+(=-2-3，②2b-2acosC=c，在①tan(A+(1)求角A；(1)若选①：由tan(A+=-2-，可得=-2-所以-2-3+(2+3(tanA=tanA+1，即(1+3(tanA=3+3，解得tanA=3，又因为sinB=sin[π-(A+C([=sin(A+C(=sinAcosC+cosAsinC，所以2(sinAcosC+cosAsinC(-2sinAcosC=sinC，即2cosAsinC=sinC，sin2B+sinAsinC.S△ABC=acsinB=acsin=ac=3，所以=，A=，所以A—-A=2(A—-A—(，故A—=A+A—，2=A+A(2=c2+b2+A⋅A=c2+b2-bc≥bc-bc=所以AD的最小值是.(a+b+c((a+b-c(=3，且△