试论微分的本质

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑试论微分的本质莫绍揆(南京大学数学系,210008,南京)​Δ搞要一最初在牛顿莱布尼兹时代人们把微分看作变元的无穷小增量；自从废除无穷小概念后,人们把dfX定义为当H→0时fX+H−fX的主部,亦即∑ftXh,它是矢量H的线性式,记为LH.然后人们或者证实dx,即hi,或者把dxi定义为hi,这等式是不能采纳的.因为微分除满意关系式dfX=∑fiXdx,以外还应该满意下列要求:当对X代人以A时,对dX应代入以dA(即对dx,应代入以da1),而当dX=H成立时显然不能满意本要求.新近的理论把dfX定义为线性函数L本身(而不是LH),并把dX关键词微分,带参数的导数,线性函数,外微分,无穷小增量分类号0172.11记号先推荐本文所使用的符号.我们把n元函数数看作n维矢量的函数.用大写字母表示矢量,其分量用相应的小写字母表示.例如,A=a1,⋯,an,H=h1,⋯,*本文获国家天然科学与博士点基金的资助收稿日期：1992-11-22作者简介:莫绍揆,男,1917年8月出生.教授,数理逻辑专业,已发表“概括原理及其消除___个完备的逻辑演算“等论文量为0.数h12+⋯hn2叫做H的范数(或模),记为H.多元函数又叫做场,其值为标量的叫做标量场,记为fX,gX等;其值为矢量(其维数未必与自变元的维数同)叫做矢量场,记为FX,GX等,其分量便记为fiX,giX等,fX对第i变元的偏导数记为fiX,亦记为DifX,我们认为Di作用于f而得Dif,它再作用于X2古典的微分理论在牛顿、莱布尼兹时代,人们把自变元x的无穷小增量θ叫做x的微分,函数fx的相应的增量fx+θ−fx(当舍弃了高级无穷小后)叫做fx的微分,并分离记为dxf(1)对多元的情况,人们仍把自变元xi的无穷小增量θi叫做xi的微分,记为dxi,而函数fx1,⋯,xn,当舍弃了高级无穷小后,叫做fx1,⋯,xnd(2)在一元情况,导数较之微分远为重要,使用它较之使用微分要方便得多.但对多元情况,人们无法推出一个相当的“全导数”,而只能使用(全)微分,因此微分概念便是多元函数解析学的唯一核心、支柱了.后来,人们废除了无穷小的概念而代之以极限论,这时人们首先定义导数f′xf(3)对多元函数,同法定义了其第i偏导数fiX.然后人们引入微分,分两情况.对一元的ffx的微分dfx指f′xh(h对多元函数fx1f∑(5)换句话说,废除无穷小概念后,“无穷小增量”θ或θi便换为有限增量h或hi问题在于我们必须引入自变元的微分.现在有两种说法.其一是“证实”h=dx以及hi=dxi.其证实的过程如下.由dfx=h,令fx=x,则dx=h.又由dfx1,⋯另一个说法是:当fx或fx1,⋯,xn或fx1,⋯,xn为xi时,则定义为:无论是用定义或者作出“证实”,所得的两式即dx=h及dx,=h,都是不准确的,不成立的.因为,人们所以要采用微分dx主要在于对其中的x可以作代入,例如由(1)式而获得dfgt=f′gtdgt,但是,按照(4)式,无论dx或dx,都是与x或x1无关的量h,ht,这时即使对dx的x作代入它仍是h而非dgt,这是明了易见的,绝不能因为把h写成dx的有所改变.为什么人们能够“证实”(6)式呢?这是一个显然的概念混乱所致.因为从定义(4)(5),d是作用于函数关系f之上的算子,"dfx"应理解为d作用于f得 df,再作用于x数Inid(6)从而(1)式只能写为(用X表示矢量x1,d(7)这里是dI作用于x, dIni作用于X,而不是d作用于填式Ix亦不是d作用于填式Inidd但后面这两式正是微分论中重要的公式.固然,人们“证实”了这两式是成立的,但在证明时倘若仍用被批评的两式,郑重说来,这证实仍有问题.初学者还因为古老理论认为:微分是无穷小增量,而dy=f′xΔx只是近似式,要Δx→0时方有dy=f′xdx(这其实是初学者的错误体味),遂认为dx, dy是“无穷小”的Δx,Δy;或者“我们的结论是:说dx=Δx3近代的微分理论在近代,人们不假定偏导数的延续性,故先引进可微性如下(见[1]-[4]):定义倘若存在线性函数L(与A有关)使得lim则说函数fx在A这实质上与古典理论无别,有区别的是:古典理论把LH叫做fX在A点的微分,记为dfA,亦即,在古典理论里,dfA近代的理论里,dfA=L或从而d因此dfALH实际上依赖于H,应该写成dHfA,或写成dHfX,当fX取值xt时应写成dHxi,这和牛顿莱布尼兹相沿下来的习惯不符.如把dfX看作Lx(线性函数本身,可用关联矢量表示),这时它便与H无关.可以明确地表示为dfX,无需添H足码,当fX取值x1时,可以明确地写成dx1,与牛顿莱布尼兹相沿下来的习惯写法相符了.这大概是近代理论更改说法的缘故吧。不过这个优点其实是不足道的,因为但是[1]却给出下列议论:古典理论“在处理多元函数时,不惜一切地、奴隶般地顺从于数值解释的老调(按.指使用LH而不使用L),将会变得更糟.例如.如此得到的叠合函数的经典公式(8.9.2),已失去任何直观意义的足迹”(158页下同).这种说法值得商榷.大家知道.比如,使用sin与使用sinx本质上一样.“sin作用于a”可表示为“在sinx中将x代入以an,高级函数φ作用于sin,可表示为:“(带约束变元的)算子φx作用于辖域sinxn.那里会因为使用LH而不使用L而导致这么大的纰漏呢?事实上.经典公式(8.9.2)之所以繁琐,实际上因为没有使用求导算子DH而使用算子d,并在使用d时把新近理论把微分dfx定义为L而不是LH).固然能够名正言顺地写dfx其一,依然理论,dH把X的函数f改造成X的函数LH,它是同层次之间的变换;而依新近理论,d却把数值fx改造成函数关系L,因为线性函数L可用关联空间的矢量(所谓关联矢量)来表示,d便把数值fx改造成(关联)矢量L;继续下去,d2便把数值fx改造成以矢量为分量的二层矢量;普通说来.dk便把数值fx改造成以k−1层矢量为分量的k层矢量,这显然是异常复杂的变换(函数),连[1]亦不得不承认:“我们不得不再三抛弃初始空间,高而又高地攀登到新的函数空间去”.亦即使用高层而又高层的矢量.[1]认为这是“值得的”,其实这是无可奈何的不得已、倘若采用数值解释,dH把数值fx其二,即使每次求导(或术微分)时所用的参数H不同,在旧理论中k次微分可以写为dHk dHk−1⋯dH1fx.很显然地它依赖于nk个h,其中固然有nk个含h的项,但这些项都可由nk个h的乘积而得.但在新近理论中,k次微分是k层矢量,而基本矢量有n个分量,k层矢量显然有nk个分量.因此对新近理论而言,k次微分除依赖于f与X外,还依赖于nk个分量,比旧理论大大的复杂了(必须经过极仔细的分析.才干知道对这nk个分量的值,实质上只依赖于nk个h新近理论亦认为自变元的微分dxi是线性函数L的基底,与认为dxi为h下面给出我们所建议的新理论。新理论的主要点是:1 dX与H, dx2H既非dx,从而L3把LH叫做导数后,通常所说的多元函数微分学的内容可以根本不提到“微分”4但是,在别的领域,例如,积分学以及微分几何等,在其中使用“微分”概念不但是方便的,偶尔还是须要的,不能用别的概念(例如导数)而简捷地代替它.因此我们重新定义自变元的微分dX以及函数的微分df下面便分三部分陈述,其一是多元函数的可微性,其二是叠合函数的高级导数,其三是微分的本质.4多元函数的可微性为了推广到更普通的情况,现在人们研究多元函数的可微性时都不假定其偏导数连续。因此人们从下列定义出发。定义倘若存在线性函数L(与X有关)使得lim则说函数fX在X以前把LH叫做fX在X点的微分,新近理论则把L本身叫做fX的微分,但H既非dX,叫做微分不妥善,应该叫做fX在X点的导数,因为它又含有H,可叫做带参数的导数.注重在一元时,导数与带参导数均存在但不相等(后者多一因子定义∇指D1,定理1.LH=定义H⋅∇叫做以H为参数的求导算子;倘若H⋅∇fX又在X点可微,则H⋅∇H⋅∇fX∇与D一样.如其作用域是含变元的项,应标出其伴行项A和作用变元X,例如写为∇A/在迄今为止的理论中,在研究各级可微性时,仍需使用线性函数L,其实,在囫囵可微性的研究中,可以根本不考虑线性式,其结果却更天然更有系统.为此我们引入一个新概念。定义倘若将H的第i1,第i2,⋯,第ik定义倘若maxi≤j≤nhj=hi,则说矢量H定义倘若当H沿i帽矢量而→0lim则说偏导数fiX在点A处是极易证实.我们有:定理2倘若fiX在A点处延续,则fiX在A点崎岖;倘若对所有i,fix在A点处均崎岖,则f证实极易,今略(第二部分的证实由下文亦见).今给出可微性的新定义.定义倘若fx的各一级偏导数在A点是崎岖的,则说fx在A点可微;普通,如果fx各k级偏导数在A点崎岖,则说fx在A处定理3新旧两个可微性定义是等价的.证(旧→新),这是众所周知的.(新→旧).设fx的各一级偏导数在A点崎岖,今考虑fA+H−fA.因为H=h1,h2,⋯,hn,今按其绝对值大小而排序,设hi1≥hi2≥⋯≥hin.注重,显然H是f++又因为括号内各被减数中的H都是某个i帽的,而被减数中与减数中的H又只在某个i位有相差,按照崎岖性的定义,我们显然有(各0都是当H→0f按依然定义,知fx在A点可微,而且其中的LH即为H我们已经引入下列的函数集合:定义由延续函数组成C0;倘若fx的所有k级偏导数均延续,则由它们组成C定义由延续函数组成D0,倘若所有k级偏导数均崎岖,则由它们组成Dk由上面的定理,我们赶紧得出下定理.定理4我们有:D集合Dk的重要性在于,只前所有的就Ck而推得的结果,几乎无例外地可适用于Dk,因此这些定理可以加强推广而适用于Dk即k5叠合函数的高级导数第二,再研究叠合(通常叫做复合)函数的高级导数,事实表明,这时使用求导算子H∘∇最为方便.如常例,对矢量函数F定义H⋅∇FX指H⋅∇f1X,H⋅∇f又在下列公式中,不言而喻地H⋅∇fX中的∇指对f的各变元(即xi)而求导,而H⋅∇gT中的∇定理5当A及X为T的函数时有H证因A⋅∇fX对A对fX均是线性的(所谓双线性,只是它对fX是算子而非通常的函数),故对Di(指对ti求导)而言,有DiA⋅∇fX=[按照这条定理,我们便可以逐步求出叠合函数的各级导数的公式了;正和一元情况那样,普通的k级导数的公式是很繁琐的,应逐步求之。从来没有人去记忆或使用普通的k级导数公式.设gT=fXT,而f(1)H⋅∇比较:g′t(2)H⋅∇比较:g′′(2.1)HH(一元时无此情况,无需比较,下同)(3)H+比较:g′′(3.1)H++++如此等等.当H的第i分量为1而其余分量为0时,H⋅∇变成偏导算子Di,因此由上列公式作特化不难得出不但如此,对H1,H2等随意取若干分量为诸h古典理论中,因为限定诸h为诸dx,而dx是不能代入以别的函数或常数的,因此由其中的高级微分dhfX的公式,很难得出gijkT等偏导数.此外,古典理论与现代理论中,其叠合函数的高级“微分”对多层叠合亦可仿此推导如下.定理6设y=fX,X=H证我们暂时在∇下标明它的作用变元,Hf因为∇T已浮上对多层叠合函数的高级导数亦可如法逐步求得.由上所论,不难看见求导算子的大用了.不难指出，在场论中，我们已经大量使用∇,由它而定义gradfX,divFX,rotFgradrot等等;但在场论中,H⋅∇的几何意义不显然,没有给以专名,从而也没有专门研究它,只是在有关div,rot;grad等的公式中,偶尔浮上而已.这么重要的算子,由上可见,在多元函数的微分学中,微分概念以及微分算子d的引入,不但没有必要.反而会引起种种棘手与不方便.我们应废除它.6微分的本质如上所述,在微分学中,微分概念在理论上(指自变元微分)是讲不通的,在使用上是没实用的,甚至于会引起棘手的,但它却向来被沿用迄今,从来没有人提议废除它.这是什么缘故呢?回答是,使用微分概念,在别的领域(例如积分学以及微分几何)带来极大的方便、值得保留它并将继续使用它。首先是积分,积分本来是个算子,f的积分彻低可以表示为∫f,现在也有无数人建议使用这个符号.这样一来,对换元积分而言,我们将有:对一元积分作换元x=∫对多元积分作换元X=G∫又对斯提尔底斯积分(另一型式的曲线积分、曲面积分等)我们须引入新符号一一具有多个被积分式的积分符号,即∫f;g曲线积分及∫f;g1,⋯,g∫∫它不但极易记忆,而且极便于运用。现在,连最坚定主张使用“∫f′′以代替“∫fxdx”在微分几何中,曲线X=Xt的方向数记为dX(即d=dx12+⋯+dxn2,都是极方便的概念与符号,无法用别的概念代替的.尤其是在曲面论中,当X=Xu,v时,由ds2而导出的E du2+2F du dv+G dv2,所谓第一基本式,更是无法用别的代替,倘若我们说,曲面X=Xu,v此外还有无数需要使用微分的例子,今不多赘,仔细考究需使用微分的地方,可以归结为对微分的两个要求:1.当作换元x=gt或X=GT时,对dx需作代换dx=dgt,对dx2.倘若x,y间有关系y=fx,则dy=f′xd表而看来,古典的以及近代的微分理论是推出这两个性质的,从而似乎是可以采纳的.但是,如上所述,目前所有的两个理论并没有真正的推出这两个性质(其推导实际上似是而非,不能采纳的).为此我们提出新的主张.我们注重到,在现有的微分理论中,自变元的微分与函数(依变元)的微分是截然不同的,而且自变元微分的定义是很不合理的.因此,要想改正,似乎应该废弃自变元微分的概念。但是,依变元微分的定义又是离不开自变元微分的,怎么办呢?有一个主意是:把自变元也看作别的变元的函数,而该别的变元则从来不使用的,这样我们所碰到的便都是依变元的微分了.定义异常指定一个变元(事实上在别处永不使用)t,x对t的导数记为dx,X对t的导数记为dX.亦即,dx实即Dtx按照叠合函数的导数的性质,对微分的上述两个要求彻低满意,因此我们的定义是合适的.但是.特指一个变元t而且事实上在别处从不使用t,更使这个“特指”显得十分人工做作。要避免这点毛病,可改用下述说法.定义凡是关于xX的导数的性质.倘若它与求导变元t无关,即依任何变元而求导,该性质依然成立,则说该性质亦是微分dx dX的性质.亦即,这时D,因为对特指的t未给以任何特性.故D,X满意的性质对任何别的DnX亦成立;反之,如对任何DnX均成立显然,当所研究的性质随求导变元的不同而不同时,用微分概念来表述是不方便的,这便是为什么倘若在微分学内使用微分概念时,反而不方便的缘故.但是,在无数情况之下,所研究的性质或者不因求导变元而改变,或者为对称起见不必也不应指定求导变元,或者我们只考虑变元,很难说出谁是自变元等等,这时使用微分概念便比之便用导数概念方便得多了。例如.(n维)空间曲线总可用参数式表示为X=Ft,这时该曲线的方向矢量便是DtFt,但是我们不必详细提到参变方程X=Ft,不必提DtFt(或F′t),只说该曲线的方向矢量为dX便成,它对任何参变式:甚至于不提参变式均可适用.该曲线的弧对任何t的导数均为F′偶尔必须使用微分而不必考虑它对谁的导数,例如,有了气体方程式pv=RT后,如求其导数(带参),不论求DHT或DHp或DHv,都不外是求T的、p的或v的偏导数,用处不大.倘若我们引入一个象征变元t而求DtRT=Dtpv总结一句,微分就是未明指求导变元的导数,普通均假定该未明指变元只一个,从而不使用带参导数(即只用d不用dH我们还想说几点有关的话。第一,通常认为自变元的微分就是其增量,依变元的微分近似于其增量,当增量越变越小时它们异常临近.换句话说,人们认为(象莱布尼兹那样):微分就是无穷小的增量.这种看法是不对的,应该认为:诸微分之比近似等于相应增量之比,当增量趋于零时,两比相等.这是不难证实的。第二,关于积分的符号。对单重积分而言,我们用∫fxdx(代替∫这极富直觉性从而极易记忆,从而是极理想的记号。但对多重积分而论(下面以三重积分为例),目前却使用符号D​fx,y,zdd因此在单重积分时微分概念显示出极大优越性的,在多重积分情况同样丧失了任何直觉的滋味,同样属于毫无意义的人工假定的记号.因为这个缘故,近来已有无数人把多重积分改写成D​fx,y,zdV, dV表示n维体积元素.但fX是X的函数而非V的函数,这个写法仍属随意的约定,没有理论根据,况且我们也不能由体积元素dV因为对流形上积分的研究,人们引人外微分理论。但我们无须引人外微分,只引人外乘法,它与通常的乘法一样,顺从结合律与对加法的分配律,但交换律却改为交错交换律:a∧b=−b∧a.只由这几个性质便极易推出:当X=GUd因此倘若把多重积分写成D​f但是把积分写成D​fXdx,∧⋯∧dx,的形状我们建议,将a∧b写为ab(中间不用任何符号,只在外面加一括号),并约定dx1 dx2可写为d*x1,x2,dx1 dx2⋯d*xn写为dx1,x2,奥一高公式:∂D​fXd⋅X⟨i⟩=D​fiXd*X,这里斯托克公式:∂D​fXd​*W=D​ dfXd​*,这里D为ε+1维区域引用这样记号后,对线面积分的研究可以彻低照外微分理论的方式举行,但彻低停歇在初等分析的水平上.参考文献1DieudonnéJ.Elementsd’analyseI.1969.郭瑞芝,苏维宜译.现代数学分析第一卷,北京:科学出版社,19822FlemingWH.FunctionsofSeveralVariables1976.庄亚栋译.多元函数.北京:人民教诲出版社,