2025高考一轮复习（人教A版）第4讲 基本不等式 （附答案）

2025高考一轮复习（人教A版）第4讲基本不等式一、选择题1．已知a,b∈R．则“a>0且b>0”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知函数fx=log2x2⋅A．34 B．32 C．23．若实数a，b满足0＜a＜b，且a+b=1．则下列四个数中最大的是（）A．12 B．a2+b2 C．2ab 4．数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数f(x)=aex+be−x（其中a，bA．此时x=lna B．此时C．此时a+b的最小值为2 D．此时lna5．在ΔABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若AF=xAB+2yA．3 B．4 C．8 D．96．已知数列{an}为等差数列，{A．b1b7⩾a1a7 7．下列函数对于任意x1,xA．f(x)=lnx B．f(x)=x2+1 C．f(x)=8．已知△ABC中，a､b､c为角A､B､C的对边，acosB+bcosA=csinC，若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，则△IAB面积的最大值为（）A．22−2 B．42−4 C．二、填空题9．已知x>1，则x+1x−1的最小值为10．设a,b,c>0，则11．已知x>0，y>0，且满足4x2+9y212．已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,13．若实数a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a14．如图，在棱长均相等的斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AB=∠A1三、解答题15．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA−3（1）求角C的大小；（2）若边c=2，边AB的中点为D，求中线CD长的最大值.16．函数f(x)=ae（1）当a=1时，证明：f(（2）讨论函数f(17．已知在数列{an}（1）求证：数列{1an}是等差数列，并求数列{a（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1an+118．已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos（1）求角A；（2）若a=3，求△ABC的周长的最大值，并求出此时角B，角C19．已知函数f(（1）求不等式f(x)≥3−2|x|的解集；（2）若函数g(x)=f(x)+|x−5|的最小值为m，正数a，b满足a+b=m，证明：a220．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b是a，c的等比中项．（1）求B的最大值：（2）若C为钝角，求acos

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：当a>0且b>0时，ab+ba≥2ab·ba=2，当ab+ba≥2时，不一定a>0且b>0，

所以“2．【答案】B【解析】【解答】解：函数fx因为fx1=fx2则1x1+9x2≥29x1x故答案为：B.【分析】根据二次函数的性质结合对数的运算可得x13．【答案】B【解析】【解答】解：取a=0.4，b=0.6，则a2+b2=0.16+0.36=0.52，2ab=2×0.4×0.6=0.48，故选B．【分析】取a=0.4，b=0.6，再分别求出a2+b2，2ab的值，由此能够找到四个数中最大的数．4．【答案】C【解析】【解答】解：因为函数f(x)=aex+be−x（其中a，b为非零常数，e=2.71828⋯），且ex>0,e−x>0，由f(x)取到最小值2，可得：a>0，b>0，对于A选项：aex+be−x≥2aex·be−x=2故答案为：C.【分析】本题主要考查指数函数的基本性质，基本不等式求最小值，根据题意及指数的性质可得a>0，b>0，然后再根据基本不等式的性质逐项判定即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以设BF=λBC，故即AF=λ又AF=x故x+2y=1−λ+λ=1，故1x当且仅当2yx=2x故1x故答案为：D【分析】本题考查平面向量基本定理，利用基本不等式求最值.设BF=λBC，利用平面向量的线性运算可求出AF=λAC+(1−λ)6．【答案】A【解析】【解答】解：已知{an}为等差数列，{由等差中项、等比中项可得a1由a1a7当b1>0时，当b1<0时，故B，D都错误．故答案为：A．【分析】根据等差、等比数列的中项性质可得a17．【答案】A【解析】【解答】解：当f(x)=lnx时，f(x1+x22)=lnx1+x22，f(x1)+f(x2)2=lnx1+8．【答案】A【解析】【解答】解：因为acosB+bcosA=csinC，由正弦定理可得：sinAcosB+又因为sinAcosB+sin即sinC=sin2C，且C∈(0,π)且△ABC为直角三角形且外接圆半径R为2，可知c=22则a2+b2=c2设内切圆半径为r，则r=a+b−c2=a+b−22即△ABI的面积的最大值为22故答案为：A.【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得C=π2，进而可得a2+b9．【答案】3【解析】【解答】令t=x−1>0，则x=t+1，

则x+1x−1=t+1t+1≥2t×1t+1=3，

当且仅当t=110．【答案】2【解析】【解答】解：设m,n>0，则2ab当且仅当am=bm，故a+2ab令(m+2n+1):1m:2所以a+2ab+4aca+b+4c≤故答案为：2.【分析】设m,n>0，利用基本不等式得到a+2ab+4ac≤a(m+2n+1)+bm+11．【答案】2【解析】【解答】解：解法1、由4x2+9由基本不等式得(2x+3y)2所以2x+3y≤2，当且仅当2x=3y时取等号，联立方程组2x=3y4x2+9y2+6xy−3=0解法2、由4x2+9因为x>0,y>0，由权方和不等式得(x+3y所以2x+3y≤2，当且仅当x+3y1=x联立方程组2x=3y4x2+9y2+6xy−3=0故答案为：2.【分析】解法1、根据题意，式子利用完全平方公式进行变形可得：(2x+3y)2=3+2x⋅3y，再利用基本不等式可求出解法2、根据题意，通过变形可得：(x2+9y212．【答案】2【解析】【解答】解：因为b2+2c由余弦定理可得cosA=b因为a>0,b>0,c>0，所以则cosA=1当且仅当bc=c2b，即b2故答案为：23【分析】由题意，利用余弦定理可得cosA=113．【答案】4【解析】【解答】解：因为a2+2b=b2+2a，所以a−ba+b−2=0，又因为a>1>b>0，所以a−b≠0，即a+b−2=0，故a+b=2，即a−1+b=1，所以1故答案为：4.【分析】本题主要考查利用基本不等式求函数的最小值，根据已知等式得到a−ba+b−2=0，再根据a>1>b>0得到14．【答案】2【解析】【解答】解：设AB=则AM因为AM⋅BN=0即a⋅即−12+μ2+λμ=0，因为故λ+μ=λ+1当且仅当λ+12=12(λ+故答案为：2−【分析】设AB=a,AC=b,15．【答案】（1）解：由sinA−3根据正弦定理可得a−3ba=c−bc+b由余弦定理可得cosC=因为C∈0,π，所以C=（2）解：因为D为AB的中点，所以CD=则CD→由余弦定理c2=a2+由4=a2+则ab≤42+3，当且仅当即CD所以CD≤3+2，即中线CD长的最大值为【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理以及余弦定理化简求解即可；（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式求解即可.（1）因为sinA−3由正弦定理可得：a−3ba=即a2由余弦定理可得：cosC=因为C∈0,π，所以C=（2）因为D为AB的中点，所以CD=则CD2又由余弦定理得，c2即4=a2+由4=a2+则ab≤42+3，当且仅当即CD所以CD≤3+2，即中线CD长的最大值为16．【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=ex−x−1当x∈(−∞,0)当x∈(0,+∞)从而f(（2）解：令f(x)=0，则当x∈(−∞,0)当x∈(0,+∞)又g(0)=1，当x→−∞时，g(从而当a>1时，f(x)无零点；当a≤0或a=1当0<a<1时，f(【解析】【分析】(1)求导，利用导数判断f(x)的单调性，结合单调性分析最值即可；

(2)分析可知a=17．【答案】（1）证明：由题意，1an+1则数列{1an}是以1a设bnS=（2）解：因为bcos所以由正弦定理可得sinB即sin(B+C)=所以cosA=−1由a=1由余弦定理得：a2所以a2=4≥3bc，即bc≤4S△ABC=12bc⋅【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的定义写出数列{1an}的通项公式，即可求得{a（2）由题意，三利用正弦定理得sinA=−2sinAcosA，结合三角形内角和性质求角A18．【答案】（1）解：由2ccos则有2sin即2sin由C∈(0,π)，故sinC>0，则有2cosA=1（2）解：由余弦定理a2=b则3=(b+c)2−3bc当且仅当b=c时，等号成立，即(b+c)2≤12，即即△ABC的周长的最大值为33，此时a=b=c=3，即【解析】【分析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，和差公式，基本不等式等基础知识，属于基础题型.

（1）根据已知等式结合正弦定理2sinCcosA=sinAcosB+19．【答案】（1）解：当x≥1时，原不等式转化为x−1≥3−2x，解得x≥43，即当0<x<1时，原不等式转化为1−x≥3−2x，解得x≥2，即无解；当x≤0时，原不等式转化为1−x≥3+2x，解得x≤−23，即综上，不等式的解集为{x|x≥4​​​​​（2）证明：g(x)=|x−1|+|x−5|≥|(x−1)−(x−5)|=4，则m=4，即a+b=4，又由基本不等式有：a2b+b≥2a两式相加得(a2b【解析】【分析】（1）根据f(x)⩾3−2|x|（2）先利用绝对值三角不等式求出g(x)20．【答案】（1）解：因为b是a，c的等比中项，所以b2由余弦定理可知b2则cosB=a2故B的最大值为π3（2）解：由已知可设b=aq，c=aq则a+aq>aq2cosC=a