小升初典型奥数：复杂和差倍问题(讲义)-2023-2024学年六年级

复杂和差倍问题复杂和差倍问题【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年8月编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年8月目录导航资料说明第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。第一部分第一部分知识精讲知识清单+方法技巧知识清单+方法技巧一、定义：有的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题。二、解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质，将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。1、和差问题:已有两个数的和及两个数的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题和差公式:(和-差)÷2=小数(和+差)÷2=大数解答和差问题的关键在于若干个不相等的数的问题化为相等的数的问题。两数和÷份数和＝小数2、和倍问题：小数×倍数＝大数或两数和﹣小数＝大数和倍问题的特点是利用大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数各是多少的应用题，解答和倍应用题的最好助手是，采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便找到解题的途径．3、含义：差倍问题即已知两数之差和两数之间的倍数关系，求出两数．公式：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数+差或小数×倍数＝大数．差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法．被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题．第二部分第二部分典型例题例题1：1年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍．已知爸爸比妈妈大2岁，妈妈今年几岁？【答案】35岁【详解】将父母看成一个人，年龄每年增加2岁，兄弟看成一个人每年增加2岁，设父母1年前年龄和是7份，那么1年前兄弟二人的年龄就是1份，后来过了年，兄弟年龄是1份加10，4倍就是4份加40，父母年龄是7份加10，所以1份就是，所以1年前父母和是70，妈妈年龄，妈妈今年35岁．例题2：一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块．小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖，结果共用了1包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最后第3包方糖还剩下36块，那么每盒咖啡有多少袋？【答案】12袋【分析】小唐喝前2盒咖啡，每袋放3块糖，相当于喝6盒咖啡每袋放1块糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋放1块糖，所以喝后3盒用掉的方糖总量是前2盒用掉方糖量的一半．同时，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24块，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12块，因此一包又24块方糖与两包差24块方糖一样多．【详解】一包方糖有（块）．于是喝前两盒咖啡用掉方糖（块）；每盒咖啡的袋数为：（袋）．例题3：一群蚂蚁搬家，蚁洞内原来存放着一些食物，第一次运出的比原来的一半少80克，第二次运出的比剩下的一半多50克，第三次运出的比再剩下的一半多20克，这时蚁洞内还剩250克食物，蚁洞内原来有多少克食物？【答案】2200克【详解】第二次运出余下：(250＋20)×2＝540(克)，第一次运出余下：(540＋50)×2＝1180(克)，那么在第一次没运之前有食物(1180－80)×2．即：[(250＋20)×2＋50]×2－80＝1100(克)1100×2＝2200(克)例题4：有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个．那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍．【答案】48个【详解】两堆棋子共有：87＋69＝156（个）为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍，就要把156个棋子分成1＋3＝4（份），即每份有棋子：156÷（1＋3）＝39（个）.第一堆应留下棋子39个，其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是：87-39＝48（个）答：应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.例题5：四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔?【答案】45块橡皮；80支铅笔．【详解】如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支)．第三部分第三部分高频真题1．五（一）班原计划抽的人参加大扫除，临时又有个同学主动参加，实际参加扫除的人数是其余人数的。原计划抽多少个同学参加大扫除？2．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分．问：小明至多套中小鸡几次？3．甲、乙两个书架，已知甲书架有本书，从甲书架借出，从乙书架借出以后，甲书架是乙书架的倍还多本，乙书架原有多少本书？4．某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走21个男工，那么女工人数是男工人数的2倍．这个车间的女工有多少人？5．甲仓所存面粉是乙仓的3倍,从甲仓运走8500千克,从乙仓运走500千克后,两仓所剩的千克数相等,问两仓原有面粉多少千克?6．某小学有学生975人．全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人．问全校有男、女生各多少人？7．一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋多少元？8．甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？9．小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？10．某班一次集会，请假人数是出席人数的，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的，那么，这个班共有多少人？11．一次口算比赛共20道题，做对一道题得5分，做错一道题倒扣5分，不做不得分也不扣分．东东在比赛中每道题都做了，最后考了60分．你知道东东做对了几道题吗？12．粮站购进大米和面粉各若干，如果大米增加60吨，面粉减少45吨，则大米和面粉一样多；如果再购进面粉35吨．面粉刚好是大米的3倍。原有大米和面粉各多少吨？13．将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)．问剩余部分的铝管至少是多少厘米?14．王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的，李先生的年龄是另外三人年龄和的，赵先生的年龄是其他三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗？15．姐妹两人买东西,姐姐带的钱数是妹妹的2倍,姐姐用去180元,妹妹用去30元,这时二人剩下的钱数相等,问姐妹各带了多少元?16．甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2倍，那时甲正好是乙现在这样大，当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，那么现在甲、乙年龄分别是多少岁？17．李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等，李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁，李伟和张磊两人今年各多少岁？18．有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？19．有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28％．小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32％．那么，共有棋子多少堆?20．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，丁队筑了多少米？21．幼儿园有三个班，甲班比乙班多人，乙班比丙班多人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分个枣，结果甲班比乙班共多分个枣，乙班比丙班总共多分个枣．问：三个班总共分了多少个枣？22．今年彬彬的年龄是表弟年龄的4倍，20年后，彬彬的年龄比表弟的年龄的2倍少l2岁，今年彬彬、表弟各多少岁？23．小华今年岁，他和爸爸、妈妈三人年龄之和为岁．若干年后，三人平均年龄是岁．到那时，小华的年龄是多少岁？24．有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而且还多出4张．问：共有多少个小朋友？25．某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多10%，问原一班有多少人？26．今天食堂买回四种菜，包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克，白菜和菠菜共28千克，包菜和菠菜共多少千克？四种菜共多少千克？27．一堆围棋子，黑子的个数是白子的3倍，每次拿5枚黑子，2枚白子，拿了若干次后，白子拿完，还剩11枚黑子．这堆棋子中，共有白子多少？28．一家三口人，父亲与儿子年龄加起来是51岁，母亲与儿子年龄加起来是47岁，父亲、母亲、儿子三人年龄加起来是87岁，问：父亲、母亲、儿子的年龄各是多少？29．抽干一口井，在无渗水的情况下，用甲抽水机要20分钟，用乙抽水机要30分钟．现因井底渗水，且每分钟渗水量相等，用两台抽水机合抽18分钟正好抽干．如果单独用甲抽水机抽水，多少分钟把水抽干？参考答案：1．8人【分析】把全班的总人数看作单位“1”，“实际参加的人数是没参加的”转化为“实际参加的是总数的”，找2对应的分数（），据除法的意义求出全班的人数，全班人数乘得出原来参加大扫除的人数。【详解】2÷（）×＝2÷×＝40×＝8（人）答：原计划有8位同学参加大扫除。【点睛】这道题关键在于统一单位“1”，“实际参加的人数是没参加的”转化为“实际参加的是总数的”。2．5次【详解】解：设套中小鸡x次，小侯y次，小狗z次．则

x+y+z=109x+5y+2z=61解得：x=5,y=2,z=3所以小鸡至多被套中5次．3．500【详解】甲原有本书，借出去之后还有本，这个时候是乙现在的两倍还多，因此现在乙剩下的书为本，而这本正好是乙借出去以后剩下的，因此乙原来的书本数目便很容易求出了．根据题意可知，乙书架原有本书．4．14人【详解】解：设原来车间女工人数为x人，男工人数为2x人2（2x-21）=x解得，x=14答：这个车间的女工有14人．5．120004000【详解】由上图可以看出如果乙仓不运出粮食,甲仓运出8500-500=8000(公斤)粮食,正好相当于乙仓的2倍,可以通过这种对应关系求出乙仓存面粉的公斤数,再求甲仓存面粉的公斤数.8500-500=8000(公斤)8000÷2=4000(公斤)4000×3=12000(公斤)答:甲仓原有面粉12000公斤,乙仓原有面粉4000公斤.6．男生541人

女生434人【详解】解：设六年级学生人数是“1份”，那么男生是4份-23人，女生是3份+11人，全校是7份-（23-11）人．每份是（975+12）÷7＝141（人）男生人数：141×4-23＝541（人）女生人数：975-541＝434（人）答：有男生541人、女生434人.7．10元【详解】由题意可知外衣和帽子与鞋一共用了140元，外衣和帽子共比鞋贵120元，把外衣和帽子的价钱看成一个整体，根据和差公式可得，鞋的价钱是：（140﹣120）÷2=10（元）故答案：10元．8．6天【详解】若干天后，乙油库存油：（112-80）÷（2-1）=32（吨）天数：（80-32）÷8=48÷8=6（天）答：6天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍.9．132只【详解】“7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多12只”说明小白兔少了12÷3×7＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（个），所以小白兔有16×5＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），合起来有84＋48＝132（只）．10．50人【分析】因为总人数未变，以总人数作为“1”。原来请假人数占总人数的，现在请假人数占总人数的，这个班共有：l÷（－）＝50（人）。【详解】这个班共有人数：1÷（－）＝1÷＝50（人）答：这个班共有50人【点睛】本题考查分数四则复合应用题，抓住全班人数不发生改变，所以将其看做单位“1”。11．(20×5－60)÷(5＋5)＝4(道)20－4＝16(道)答：东东做对了16道题．【详解】略12．70吨

175吨【详解】大米:（60+45+35）÷（3-1）=70（吨）面粉:70+60+45=175（吨）答：原来有大米70吨，面粉175吨。13．2厘米【详解】设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，则可以看方程36x+24y="374"是否有解．由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所以此方程无整数解．若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372即3x+2y=31

当x=1时，y=14．因此可以截成1根36厘米和14根24厘米两种型号的铝管，此时剩余部分最少为2厘米．14．40岁【分析】要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少。而题目中出现了三个“另外三人”所包含的对象并不同，即三个单位“1”是不同的，这就是所说的单位“1”不统一，因此，解答此题的关键便是抓不变量，统一单位“1”。题中四个人的年龄总和是不变的，如果以四个人的年龄总和为单位“1”，则单位“1”就统一了。那么王先生的年龄就是四人年龄和的，李先生的年龄就是四人年龄和的，赵先生的年龄就是四人年龄和的（这些过程就是所谓的转化单位“1”）。所以杨先生是四人年龄和的，已知杨先生26岁，根据分数除法的意义求出四人年龄和后，即能求出王先生多少岁。【详解】四人的年龄和：（岁）王先生的年龄为：（岁）【点睛】本题考查分数四则混合运算的应用，解题关键为抓住不变量“四人年龄和”，统一单位“1”。15．300150【详解】由上图可以看出姐姐比妹妹多花180-30=150(元),正好是妹妹带的钱数的1倍,也就是妹妹带了150元,姐姐带的钱数很容易也就求出来了.180-30=150(元)150×2=300(元)答:姐姐带了300元,姐妹带了150元.16．甲28岁，乙21岁【详解】当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，可知年龄差为：(岁），所以现在甲年龄为：(岁），乙年龄为：(岁）．17．李伟24岁，张磊11岁【详解】由题中“李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等”这个条件我们可以知道李伟比张磊大：（岁）；又由题中“李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁”可以知道他们两人今年的年龄和是：（岁），再根据和差关系就可以解答了．李伟的年龄：（岁），张磊的年龄：（岁）．18．14个【详解】1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配2个梨，即1个苹果配4个梨，剩半个苹果，即少2个梨．苹果有（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有3×4+2=14（个）．19．4【详解】设每堆棋子为100个有x堆棋子，那么每堆中白子为28个，黑子为72个，那走一半棋子且为黑子时，还剩白子为28x个，黑子为（72x—50）个，所以列方程为：,解得，所以有4堆．20．260米【分析】由于甲队筑的路是其他三个队的，所以甲队筑的路占总公路长的；同理乙队筑的路是其他三个队的，所以乙队筑的路占总公路长的；丙队筑的路是其他三个队的，所以丙队筑的路占总公路长的，用单位“1”减去甲乙丙的占比和，即是丁队的占比，然后乘总长度1200米即可解答。【详解】所以丁筑路为：1200×（1－－－）＝1200×（1－－－）＝1200×＝260（米）答：丁队筑路260米。【点睛】此题考查学生对比例分配应用题的掌握，需要注意各队占比与总占比之间的关系。21．673个【详解】设丙班有小孩x人由于甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，所以甲班每个小孩比丙班每个小孩少分8个枣这样，甲班x小孩比丙班x小孩少分8x个枣由于甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班多分5个枣，所以甲班比丙班总共多分8个枣．又由题意知道甲班比丙班多8个小孩，这8个小孩只分到8x＋8个枣．甲班每个小孩分到的枣是：(8x＋8)÷8＝x＋1(个)同理，乙班x个小孩比丙班每个小弦少分5x个枣乙班每个小孩分枣：(5x＋5)÷4我们可以得到方程：x＋1＋3＝．解方程：x＝11因此：甲班小孩19人，每个小孩分枣12个；乙班小孩15人，每个小孩分枣15个；丙班小孩11人，每个小孩分枣20个．11×20＋15×15＋19×12＝673(个)．答：三个班共分673个枣．22．彬彬16岁，表弟4岁【详解】表弟今年年龄的(倍)对应的是：(年)，由此可以求出表弟今年的年龄，使问题得解．(岁)，(岁)．所以表弟今年4岁，彬彬今年16岁．23．15岁【详解】三人平均年龄是岁时，三人年龄总和为岁，比小华岁时的年龄总和多了岁，每个人都长了岁，若干年后，小华的年龄为岁．24．