2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题含答案

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)

数学试题

注意事项：

].答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为()

A.14B.16C.18D.20

丫2

2.椭圆一+V=l(a>1)的禺心率为了，则。=()

A.B.V2C.V3D.2

3

3.记等差数列｛%｝的前〃项和为5〃,%+%=6,/2=17,则耳6()

A.120B.140C.160D.180

4.设名£是两个平面，加,/是两条直线，则下列命题为真命题的()

A.若a工a,l〃。,则加_L/B.若mua,lu,则a〃4

C.若aV\0=m,l〃a,l〃0,则加〃/D,若m上a,lA,0,m〃I,则a_L，

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有()

A.20种B.16种C.12种D.8种

6.已知。为直线/：x+2y+l=0上的动点，点尸满足存=(1,—3),记P的轨迹为E,贝U()

A.E是一个半径为石的圆B.E是一条与/相交的直线

C.E上的点到/的距离均为D.E是两条平行直线

已知6£[弓，兀)，tan28=_4tan[8+方71)，则l+sin28

7.)

42cos之。+sin26

33

A.B.C.1D.

442

22

8.设双曲线C:'-马=1(。＞0,6＞0)的左、右焦点分别为々，居，过坐标原点的直线与C交于48两点,

ab

|公a=2闺Z|,耳.所=4a2,则C的离心率为()

A.41B.2

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

sm2x+点3兀+cos21+富则(

9.已知函数/(x)=)

4

函数/—；

A.为偶函数

B.曲线＞=/(x)的对称轴为x=E,左eZ

71兀

C./(X)在区间单调递增

D./(x)的最小值为—2

10.已知复数z,狡均不为0,则()

2

ZZ

A.z2=|z|2B.一

zZ

C.z—w=z-wD.—

wW

11.已知函数/(X)的定义域为R,且若/(x+y)+/(x)/(y)=4xy,则()

C.函数—g］是偶函数D,函数/(x+g］是减函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合/={—2,0,2,4},8={x||x—3|〈科，若2口3=2,则加的最小值为

13.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球。的直径相等，则圆锥跖〃'的体积与球。的体积的比值

是,圆锥W的表面积与球0的表面积的比值是.

14.以maxM表示数集/中最大的数.设0<a<6<c<l,已知622a或则

max[b-a,c-b,\-c]的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=Inx+/+分+2在点(2,/(2))处的切线与直线2x+3歹=0垂直.

(1)求。；

(2)求/(x)的单调区间和极值.

16.盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球.

(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；

(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望£(X).

17.如图，平行六面体48s—44GR中，底面48CD是边长为2的正方形，。为ZC与5。的交点，

AAX=2/GCB=NCQ，NGC。=45°.

(1)证明：G。，平面48CD；

(2)求二面角B—。的正弦值.

18.已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，过尸的直线/交。于43两点，过/与/垂直的直线交。于。,E

两点，其中8,。在x轴上方，分别为的中点.

(1)证明：直线"N过定点；

(2)设G为直线NE与直线5。的交点，求AGMN面积的最小值.

19.离散对数在密码学中有重要的应用.设P是素数，集合X={1,2,…，2-1}，若〃,veX,meN,记“区丫

为"V除以。的余数，为「除以。的余数；设aeX,…两两不同，若

优通=6(〃e{O,l,…,。一2}),则称〃是以。为底6的离散对数，记为〃=log(p)，.

（1）若夕=H,a=2,求qkL®；

(2)对加”冽2e{0,1,…，2—2},记明㊉加2为加i+掰2除以。一1的余数(当加i+加2能被?一1整除时，

加1㊉加2=0)・证明：log(P)a(b®c)=log(")第91og(p)aC,其中4ceX；

⑶己知〃=log(。)).对xeX,ke{l,2,…，2—2},令必=。叱尢=x㊁加总.证明：x=为知外日)，®.

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)

数学试题

注意事项：

].答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为()

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由中位数定义即可得.

【详解】将这些数据从小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

则其中位数为16.

故选：B.

V21

2.椭圆三+/=1伍〉1)的离心率为则。=()

【答案】A

【解析】

【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.

【详解】由题意得0=鱼二1=工,解得。二型，

a23

故选：A.

3.记等差数列｛4｝的前〃项和为S),,%+%=6吗2=17,则S[6=()

A.120B.140C,160D.180

【答案】C

【解析】

【分析】利用下标和性质先求出氏+。12的值，然后根据前〃项和公式结合下标和性质求解出岳6的值.

【详解】因为%+%=2%=6，所以%=3，所以。5+42=3+17=20,

+O16)X16/、

所以Sl6=-----------=8Q+42)=160，

故选：C.

4.设4万是两个平面，加,/是两条直线，则下列命题为真命题的是()

A.若a工a,l〃0,则加！./B,若mua,lu0,m〃I,则a〃4

C.若aCB=m,l〃a,1〃B,则/〃/D.若加J_a,/_LQ,加〃/,则a_L，

【答案】c

【解析】

【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.

【详解】对于A,加,/可能平行，相交或异面，故A错误，对于B,a,乃可能相交或平行，故B错误，对

于D,见乃可能相交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，

故选：C

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有()

A.20种B.16种C.12种D.8种

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理

求得结果.

【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，

①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，

排乙丙有A；种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，

所以有人；、人；、人；=8种方法；

②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，

排乙丙有A：种方法，排甲有£种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，

所以有人上人；义人；=8种方法；

由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种排法，

故选：B.

6.已知0为直线/：x+2y+l=0上的动点，点尸满足0A=。,—3),记P的轨迹为E,贝U()

A.E是一个半径为石的圆B.£是一条与/相交的直线

C.E上的点到/的距离均为行D.E是两条平行直线

【答案】C

【解析】

【分析】设P(X"),由0A=(1,-3)可得。点坐标，由。在直线上，故可将点代入坐标，即可得尸轨迹E,

结合选项即可得出正确答案.

【详解】设尸(xj),由存=(1,-3),则Q(x—l,y+3),

由。在直线/：》+2^+1=0上，故x-l+2(y+3)+l=0,

化简得x+2y+6=0,即尸的轨迹为£为直线且与直线/平行，

16-11厂

E上的点到/的距离d==J5,故A、B、D错误，C正确.

712+22

故选：C.

7.已知，e(型，?r],tan2e=_4tan(6+^],贝！|—1广山—=()

I4)I4j2cos20+sin26

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式’将金|黑3齐次化即可得出答案•

【详解】由题e£(,,7i),tan2e=_4tan(e+；71),

4

2tan6_-4(tan6^+l)

得-4(tan6+1)1*2=2tan。，

1-tan201-tan0

则(2tan0+l)(tan8+2)=0ntan。=一2或tan8=-g

(3兀

因为9£1一屋，兀G(-1,0),所以tan。二一;

1+sin2。sin20+cos20+2sin6cos6tan2^+1+2tan0

2cos冶+sin282cos冶+2sin8cos02+2tan。

-2+(-l)-4

故选：A

22

8.设双曲线C:=-==1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为片，鸟，过坐标原点的直线与。交于48两点，

ab

阳同=2阳4项.质=4/,则。的离心率为()

A.V2B.2C.V5D.V7

【答案】D

【解析】

【分析】由双曲线的对称性可得由旬=|用国、闺/=|月/|且四边形z4此为平行四边形，由题意可得

出/gAF；,结合余弦定理表示出与。、c有关齐次式即可得离心率.

由双曲线的对称性可知山，|=优却，|耳目=优/|,有四边形Z为此为平行四边形,

令闺，|=阮邳=加,则阳理=优,=2%

由双曲线定义可知优力|一|64|二2。，故有2加一加=2Q,即加=2Q,

即闺/J=内，|=加=2〃，闺国=优旬=4。,

2

F2A-F2B=|1^5|cos=2ax4acos乙4F2B=4a,

I27r

则cosZAFB=—，即ZAFB=3，故ZFBF=—

2223321

闺8「+旧砰一区闾2

j_

则有cosZFBF=

2i2闺川忸目2x4ax2a2

即20/-4/=」,即叫也

-,则e?=7，由e>l,故e=V7.

16a2216162

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于。、6、。之间的等量关系，本题中结

合题意与双曲线的定义得出闺4|、区国与。的具体关系及/与8片的大小，借助余弦定理表示出与。、C有

关齐次式，即可得解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=sin12x+fj+cos[2x+^],则()

A.函数—为偶函数

B.曲线＞=/(x)的对称轴为》=巧1,左eZ

C./(x)在区间值,空单调递增

D./(x)的最小值为-2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简/(x)=sin[2x+弓)+cos[2x+弓)，再根据三角函数的性质逐项判断即

可.

+cos2%+2

【详解】/(x)=sin|2x+—

I4I4

sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos--sin2xsin—

4444

--sin2x+—cos2x--cos2x——sin2x=-V2sin2x，

2222

即f(x)=-V2sin2x,

对于A,/[x—；J=—J^sin[2x-]J=J^cos2x,易知为偶函数，所以A正确；

对于B,/(x)=—J^sin2x对称轴为2》=工+碗,左€2=＞》=工+如,左€2,故B错误;

v7242

对于C,j,y=sin2x单调递减，贝I]

/(X)=-J5sin2x单调递增，故C正确；

对于D,/(x)=-V2sin2x,则sin2xe[-1,1],所以/(x)e/亚,亚],故D错误；

故选：AC

10.已知复数z,w均不为o,则()

A.Z2二|2|2

zZ

C.z--w=zD.一二一

WW

【答案】BCD

【解析】

【分析】设出Z=Q+bi、W=C+di,结合复数的运算、共甄复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.

【详解】设2=。+例(a,bcR)、w=c+di(c,dcR)；

对A：设2=。+历(a/wR),则z?=(a+Z?i『=a2^-2abi-b2=a2-b2+2aZ?i,

\z\1=^Ja2+b2=a2+b2,故A错误；

2_2

对B：W,又32=卜「，即有士=故B正确；

zz-zz|z|

对C：z-w=a+bi-c-di=a-c+[b-d^i,贝！]z-w=a—

z=ct—bi9w=c—di9则z—w=a—Z?i—c+di=a—c—(b—d,

即有z—w=z—坟，故C正确;

a+bi(a+bi)(c-di)ac+bd-(ad-bc)i

对D：一

wc+di(c+di)(c-di)c2+d2

+2abcd+b2d2+a2d2_2abcd+b2c2

_\a2c2+b2d2+a2d2+b2c2_yja2c2+b2d2+a2d2+b2c2

一］/(c2+d2)2—/+/,

且=也』2=商命小2春2=#2+/).+/)

M行+废c2+t/2c2+d2

_yja2c2+b2c2+a2d2+b2d~

c2+d2

z

故故D正确.

w

故选：BCD.

11.已知函数/(x)的定义域为R,且若/(x+y)+〃x)/(y)=4xy,则()

C.函数—g]是偶函数D,函数/(x+g]是减函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】对抽象函数采用赋值法，令x=g、%。，结合题意可得/(O)=T，对A：令x=：、＞=°，

代入计算即可得；对B、C、D：令了=—g,可得/[x—g)=-2x,即可得函数/[x—及函数/[x+g

函数的性质，代入x=l,即可得/I

【详解】令X=gy=o,则有（£|+/心1/（0）=（£|[1+/（0）]=0,

又/|£|/0,故1+/（0）=0,即/（0）=—1,

令T'T，则有吗一扑吗）/‘升4小卜；）

即〃O）+dU）=—l,由〃0）=-L,可得小《一£|=0,

又故/1—g]=0，故A正确；

令y=_g,则有+=

即/1x—g]=—2x，故函数/1x—g]是奇函数，

有/1x+l-；]=-2（x+l）=-2x-2,即/[x+g]=-2x-2,

即函数/[x+g]是减函数，

令x=l,有-2xl=-2,

故B正确、C错误、D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到/（o）=-1,再重新

赋值，得到/1-3=0,再得到g]=-2x.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合/={—2,0,2,4},8={川x—3归加},若2口8=2,则加的最小值为.

【答案】5

【解析】

【分析】由2口8=2可得2=8,解出集合8后结合集合的关系计算即可得.

【详解】由=故2=8,

由年一3|〈加，得一加+3(XW/M+3,

4<m+3m>\

故有《即〈，即加之5,

-2>-m+3m>5

即加的最小值为5.

故答案为:5.

13.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球。的直径相等，则圆锥M7'的体积与球。的体积的比值

是,圆锥的表面积与球0的表面积的比值是.

2

【答案】①.(②.1

【解析】

【分析】设圆锥的底面圆半径:•以及球的半径R,用「表示出圆锥的高〃和母线/以及球的半径式，然后根

据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.

【详解】设圆锥的底面半径为「，球的半径为R,

因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高〃母线/=2r,

J3

由题可知：h—2R,所以球的半径尺=组「

2

3

1(兀义厂义厂=-^-nr，

所以圆锥的体积为匕=—x2)6

3

4:4

球的体积匕=5成=-7TX

3

V3

——nr30

所以TZ立=学一=-

匕633

——Ttr

2

圆锥的表面积H=兀"+冗户=3兀/,

球的表面积=4TIR2=4兀x二371r2,

¥3Tlz2

所以广而二1,

2

故答案为：—；1.

14.以maxA/表示数集M中最大的数.设已知622a或则

max{b-a,c-b.\-c}的最小值为.

【答案】1##0.2

【解析】

b=\-n-p

【分析】利用换元法可得<।,进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.

a-p

【详解】令b_a=m,c_b=n,l_c=p,其中私〃，夕〉0,

b=l-n-p

所以《

a=l-m-n-p

若bN2a,则6=1—〃一222（1—加一〃一夕），故2加+〃+221,

令71/=111@*{6—。,0一仇1-0}二1112乂{加/,2},

2M>2m

因此vM>n，故4M>2m+〃+221,则M,

4

M>p

若Q+Z?W1,贝收一〃一夕+1—幽一〃一夕VI,即冽+2〃+2221,

Af=max[b-a,c-b,l-c]=max[m.n.p],

M>m

则<2M>2n，故5M2加+2〃+2221,则M,

2M>2p5

当冽=2〃=22时，等号成立，

综上可知max[b-a,c-b,l-c]的最小值为g,

故答案为：一

5

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在622a和Q+bWl前提下进行合理分类讨论，根据题意

得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/（工）=11^+%2+狈+2在点（2,/（2））处的切线与直线21+3歹=0垂直.

（1）求。；

(2)求/(x)的单调区间和极值.

【答案】(1)。=—3

，单调递减区间为极大值］-In2,极小值0

(2)单调递增区间为

【解析】

【分析】(1)结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得;

(2)借助导数可讨论单调性，即可得极值.

【小问1详解】

9

+4=--FCI

2

由题意可得+=-1,解得°=—3；

【小问2详解】

由°=一3,故/(x)=lnx+x2-3》+2,

mi\1cc2x2-3x+l(2x-l)(x-l)

则/<X)=-+2X—3=---------=-----4----x>0,

XXX

故当O<X<J时，/0(X)>0,当［<X<1时，r(x)<0,当X>1时，#(x)>0,

22

故/(x)的单调递增区间为1o,g］、(1,+s),/(X)的单调递减区间为

故/(x)有极大值/p_］=ln4+口］-3x-+2=--ln2,

12j212j24

有极小值/(l)=lnl+l2-3xl+2=0.

16.盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球.

(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;

(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望£(X).

4

【答案】(1)-

7

(2)分布列见解析，E(X)=y

【解析】

【分析】（1）先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要求的取

法数，再除以总的取法数可得结果；

（2）先确定X的可取值为1,2,3,然后计算出不同取值的概率，注意X的每种取值对应两种情况，由此可

求分布列和期望£（X）.

【小问1详解】

记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,

先确定3个不同数字的小球，有C；种方法，

然后每种小球各取1个，有C；xC；xC；种取法,

C；xC；xC；xC；_4

所以P（/）=

7

【小问2详解】

由题意可知，X的可取值为1,2,3,

当X=1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球,

C,C；+C?C'9

所以尸(X=l)=2626___

14

当X=2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球,

所以p(x=2)=Ccj*Cc；=|_

当X=3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球,

C；C；+C：C11

所以尸（X=3）=

14

所以X的分布列为:

X123

921

p

14714

92110

所以E(X)=lx3+2x—+3x—=—

v7147147

17.如图，平行六面体48co—44GR中，底面48CD是边长为2的正方形，。为/C与5。的交点,

AAX=2,NCQB=ZQCD^QCO=45°.

（1）证明：平面NBC。；

（2）求二面角3—44]—。的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵迪

3

【解析】

【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.

【小问1详解】

连接BG，DG，

因为底面/BCD是边长为2的正方形，所以8。=。。，

又因为NqCB=NCW,CC,=CC,,

所以ACQB=AC,CD,所以BC]=DCX,

点。为线段8。中点，所以GOLBD,

在△GC。中，CC}=2,CO=-AC=42,Z.CXCO=45°,

所以cosZqCO=—=℃2+%2—£。2==啦,

122xC,Cx(9C1

22

则qc=OC+CXO-nG。1OC,

又。CnBD=O,OCu平面48CD,BDu平面48C£),

所以G。，平面/BCD.

【小问2详解】

由题知正方形488中/。工3。，G。，平面48CD,所以建系如图所示,

则3（0,"0）Q（0,一应,0）4（短0,0）C/仓0,0）C（0,0,同，

则福=西=（/,o,C）,

AB=（-V2,V2,0）,AD=卜亚，-叵0）,

设面氏44的法向量为加=（七,必,2]）,面。441的法向量为"=（x2,y2,z2）,

AA,-m=0fV2x+y/2z.=0,、

则」J」n玩=1,1,—1,

AB•玩=01—VL；i+j2必=0

AA.•H=0fV2x,+V2z,=0,、

—rr"=（1，T，T），

AD-m=0[-V2X2-\2y2=0

设二面角3-44]-£»大小为历

m-n11.八£二2返

则c°snO=^p7=^~^=-^sin^=Vl-cos-0=——,

网.〃73X7333

所以二面角3-的正弦值为述.

18.已知抛物线C:/=4x的焦点为E,过E的直线/交。于48两点，过R与/垂直的直线交。于。,E

两点，其中8,。在x轴上方，〃;7^分别为48,。£的中点.

(1)证明：直线上W过定点;

（2）设G为直线4E与直线5。的交点，求AGMN面积的最小值.

【答案】（1）证明见解析

（2）8

【解析】

【分析】（1）设出直线N5与直线CD的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示

出直线"N后即可得定点坐标；

（2）设出直线NE与直线的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G的横坐标恒为-1,再

结合面积公式及基本不等式即可得.

【小问1详解】

由C:/=4x,故尸（1,0）,由直线48与直线CD垂直，

故两只直线斜率都存在且不为0,

设直线43、CD分别为》=叫了+1、x=m2y+l,有加即2=-1,

/（七,%）、8（x2，%）、£（%,%）、D（x4,y4）,

联立C:/=4%与直线ZB,即有广，

x=mxy+1

消去x可得y2-4加4一4=0,△=16加;+16>0,

故％+匕=4/、%%=-4,

则再+%=加1%+1+miy2+1=加1（乃+%）+2=4加;+2,

故*=2加12+1,M=2吗,

即M（2喈+1,2叫）,同理可得N（2加;+1,2加2）,

当24+1W2加=+1时，

则/…=2旋之或+1产一2以一1）+2吗，

即V=笄驾（x-2而_1）+2叫=，^一土1+2叫（叫+叫）

m2~miV加2+冽1加2+加1加2+加］

x2加：+1-2㈣加2—2*x1-2加即2

m2+加］加2+吗1nl+吗%+叫

X1+21

由叫加2=_］，即y=---------------二--------(x—3),

m2+mlm2+mxm2+mi

1

故x=3时，有^=(3-3)=0,

m2+ml

此时跖V过定点，且该定点为（3,0）,

当2加；+1=2加；+1时，即加;=居时，由加〃2=一1，即掰i=±l时,

有&v：x=2+l=3,亦过定点（3,0）,

故直线"N过定点，且该定点为（3,0）；

【小问2详解】

由4（七,必）、3（々,%）、£（七,%）、£）（无“4），

则〃E：y=?_；(x_xJ+M，由弁=4x「只=4%,

(2A

4xK工弁+%%_4x必为

乃一弘十—I

故歹=22X--+必1=

I4j%+%％+%％+%%+必先+%’

44

y=^^+^.

4x及』J,联立两直线，即＜%+M为+M

同理可得】BD-y~+

v4+j2y4+y2

%+为y4+y2

有上+人4x1%为

%+必为+%y4+y2y4+y2

即4x（%+%）+必%（％+%）=4x（%+凹）+%%（%+%）,

天%为（%+必）一%%（％+%）,/日工巾/

有》=----T7----------F—，由必必=一4，同理乃为=一4，

4（%+

故X="4（"+K）-"3（y4+y2）=+""4-"3居一为

/4（乂+%-/-M）4（%+%-/-"）

「4（%+匕一%-匕）二]

4（%+%-'

故%=T，

过点G作GQ〃x轴，交直线上W于点°,则S-GMN=；卜〃一上¥卜,2-%卜

由M（2加;+1,2叫）、N（2"?；+12"2）,

=2m+

故|NM-yN\=2ml-2机2^~~2J2加=4,

当且仅当叫=±1时，等号成立，

下证%_%,4：

由抛物线的对称性，不妨设叫〉0,则加2