2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源县西部四校九年级（下）开学数学试卷

2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源县西部四校九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（）A． B． C．y＝2x2﹣1 D．2．（3分）若tanα＝，则锐角α的度数是（）A．20° B．30° C．45° D．60°3．（3分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tanA•tanB等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不确定5．（3分）某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（）A．y＝30000（1+2x） B．y＝30000+2x C．y＝30000（1+x2） D．y＝30000（1+x）26．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，则∠A的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．55°7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（）A． B． C．2 D．8．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y29．（3分）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（）A． B． C． D．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＝0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共8小题，共24分）11．（3分）已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是．12．（3分）在△ABC中，若，则△ABC是三角形．13．（3分）若是关于x的二次函数，则m的值是．14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝16，OE＝6，则⊙O的直径为．15．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C的⊙O的切线交BO的延长线于点P，若∠P＝34°，那么∠BAC度数为．16．（3分）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是．17．（3分）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为．18．（3分）已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为．三、计算题（本大题共2小题，19题5分，20题5分，共10分）19．（5分）计算：cos60°+sin245°﹣tan34°•tan56°；20．（5分）计算：（tan30°）﹣1﹣|﹣2|++（）0．四、解答题（本大题共7小题，21题6分，22-26题各8分，27题10分，共56分）21．（6分）已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，（1）求证：＝；（2）求证：AM＝DM．22．（8分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．（1）B处与灯塔P的距离为多少海里；（2）AB为多少海里（结果保留根号）．23．（8分）如图，有一个竖直的喷水枪AB，由喷水口A喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为3m，且到地面BC的距离为5m，水流的落地点C到喷水枪底部B的距离为8m，求喷水枪AB的长度．24．（8分）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．销售单价x（元）3.55.5销售量y（袋）280120（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）设每天的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？25．（8分）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示）．该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i＝1：3，AB＝2m，AE＝8m．（1）求点B距水平面AE的高度BH．（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）26．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC＝2，求BD的长．27．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源县西部四校九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．【分析】根据二次函数的定义对各选项进行判断即可．【解答】解：y是x的二次函数的是y＝2x2﹣1．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量．2．【分析】根据tan60°＝，计算判断选择即可．【解答】解：∵tan60°＝，，∴锐角α＝60°，故选：D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．3．【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．4．【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC的边表示出两个三角函数，即可求解．【解答】解：tanA•tanB＝＝1，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．【分析】利用该城市居民2020年人均收入＝该城市居民2018年人均收入×（1+2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率）2，即可得出y关于x的函数关系式，此题得解．【解答】解：∵某城市居民2018年人均收入30000元，2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，∴该城市居民2020年人均收入为30000（1+x）2元，∴y与x的函数关系式是y＝30000（1+x）2．故选：D．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．6．【分析】首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可．【解答】解：∵OB＝OC，∠B＝55°，∴∠B＝∠OCB，∴∠BOC＝180°﹣2∠B＝70°，∵∠AOB＝50°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+50°＝120°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝＝30°，故选：B．【点评】考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得∠AOC的度数，难度不大．7．【分析】根据勾股定理得到BC＝＝4，根据余角的性质得到∠ACD＝∠B＝α，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，∴BC＝＝4，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠A+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B＝α，∴cosα＝cosB＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出∠α＝∠B是解题的关键．8．【分析】把点的坐标分别代入可求得y1，y2，y3的值，比较大小可求得答案．【解答】解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，∴y1＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+2＝2，y2＝﹣1﹣2+2＝﹣1，y3＝﹣22﹣2×2+2＝﹣6，∴y1＞y2＞y3，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．9．【分析】在Rt△ABD中，根据锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：如图：在Rt△ABD中，BD＝6，AD＝5，∴tanA＝＝，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴方程得到为b＝2a＜0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数得到Δ＝b2﹣4ac＞0，则可对②进行判断；利用b＝2a可对③进行判断；利用x＝﹣1时函数值为正数可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，所以③错误；∵抛物线开口向下，x＝﹣1是对称轴，所以x＝﹣1对应的y值是最大值，∴a﹣b+c＞2，所以④正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本大题共8小题，共24分）11．【分析】根据正多边形的半径与边长相等，可知正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形，由此求出其中心角的度数，进而求出正多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的半径与边长相等，∴正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形，∴正多边形的中心角为60°∵正多边形所有中心角的和为360°，∴360°÷60°＝6，∴正多边形的边数为六，故答案为：六．【点评】本题考查了正多边形的计算，解决此题的关键是正确的理解正多边形的有关概念，并组成直角三角形求有关线段的长或角的度数，体现了转化思想．12．【分析】根据非负数的性质可得sinA﹣＝0，tanB﹣＝0，然后再得到∠A和∠B的度数，进而可得答案．【解答】解：∵，∴sinA﹣＝0，tanB﹣＝0，∴sinA＝，tanB＝，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴△ABC是等腰三角形，故答案为：等腰．【点评】此题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．13．【分析】根据二次函数的定义求解．【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，∴m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，解得m＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为0．14．【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，再根据勾股定理求出OC，进而求出⊙O的直径．【解答】解：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝16，∴CE＝DE＝CD＝×16＝8，∴OC＝＝＝10，∴⊙O的直径为20，故答案为：20．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．15．【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由直角三角形的性质可得∠DOC＝50°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝65°，由圆内接四边形的性质得出∠A＝180°﹣∠ODC＝115°，即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠P＝34°，∴∠DOC＝90°﹣34°＝56°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠DOC）＝（180°﹣56°）＝62°，∴∠A＝180°﹣∠ODC＝118°，故答案为：118°．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．16．【分析】过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．只要求出AG、OG，则可求出顶点A的坐标．【解答】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点A的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．【点评】此题考查的是解直角三角形，利用点的坐标特点求得AG、OG的长是解决此题关键．17．【分析】根据切线长定理，可将△PDE的周长转化为两条切线长的和，即可求出切线的长．【解答】解：根据切线长定理得：AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，则△PDE的周长＝2PA＝20cm，∴PA＝10cm，故答案为：10cm．【点评】本题主要考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理．18．【分析】作出直角梯形的高DM，再利用直角三角形如果直角边是斜边的一半，则这个直角边所对的角为30°．【解答】解：过D作DM⊥BC．∴四边形ABMD为矩形，∴DM＝AB＝9，∵DC＝18，∴DM＝DC，∵∠DMC＝90°，∴∠∠C＝30°，∴∠DCN＝150°，故答案为：30°和150°．【点评】本题考查了直角梯形的知识，做出梯形的高是解题关键．三、计算题（本大题共2小题，19题5分，20题5分，共10分）19．【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【解答】解：原式＝×（）2﹣1＝＝0．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．20．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：（tan30°）﹣1﹣|﹣2|++（）0＝﹣1﹣（2﹣）+3+1＝﹣1﹣2++3+1＝+1．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．四、解答题（本大题共7小题，21题6分，22-26题各8分，27题10分，共56分）21．【分析】（1）由在⊙O中，AB＝CD，根据弦与弧的关系，可证得＝，继而可证得＝；（2）首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM＝DM．【解答】证明：（1）∵在⊙O中，AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（2）连接AC，BD，∵＝，∴AC＝BD，在△ACM和△DBM中，，∴△ACM≌△DBM（ASA），∴AM＝DM．【点评】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．22．【分析】（1）根据题意可得：PC⊥AB，然后在Rt△APC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AC和PC的长，再在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BP的长，即可解答；（2）在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：（1）由题意得：PC⊥AB，在Rt△APC中，∠APC＝90°﹣60°＝30°，AP＝50海里，∴AC＝AP＝25（海里），PC＝AC＝25（海里），在Rt△BCP中，∠BPC＝90°﹣45°＝45°，∴BP＝＝＝25（海里），∴B处与灯塔P的距离为25海里；（2）在Rt△BCP中，∠BPC＝45°，CP＝25海里，∴BC＝CP•tan45°＝25（海里），∵AC＝25海里，∴AB＝AC+BC＝（25+25）海里，∴AB为（25+25）海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23．【分析】建立以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴的直角坐标系，根据顶点P（3，5）设其解析式为y＝a（x﹣3）2+5，把C（8，0）代入求得a的值，据此可得其函数解析式，再求得x＝0时y的值可得答案．【解答】解：如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点P的坐标为（3，5）、点C（8，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5，将点C（8，0）代入，得25a+5＝0，解得a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，当x＝0时，y＝3.2．答：喷水枪AB的长度是3.2米．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解．24．【分析】（1）根据每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，可设y＝kx+b，再将x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，利用待定系数法即可求解；（2）根据每天的利润＝每天每袋的利润×销售量﹣每天还需支付的其他费用，列出W关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）设y＝kx+b，将x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，得，解得，则y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+560；（2）由题意得：W＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝﹣80x2+800x﹣1760＝﹣80（x﹣5）2+240，∵3.5≤x≤5.5，∴当x＝5时，W有最大值为240．故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键．25．【分析】（1）根据山坡AB的坡度为i＝1：3，可设BH＝am，则AH＝3am，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，则BH＝EF＝2米，BF＝HE＝14米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵山坡AB的坡度为i＝1：3，∴BH：AH＝1：3，∴设BH＝am，则AH＝3am，在Rt△ABH中，AB＝＝＝a（m），∵AB＝2m，∴a＝2，∴a＝2，∴BH＝2m，AH＝6m，∴点B距水平面AE的高度BH是2米；（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，则BH＝EF＝2米，BF＝HE＝AH+AE＝6+8＝14（米），在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，DE＝tan60•AE＝8（米），在Rt△BFC中，∠CBF＝45°，∴CF＝BF•tan45°＝14（米），∴CD＝CF+EF﹣DE＝14+2﹣8＝16﹣8≈2.1（米），∴广告牌CD的高度约为2.1米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC＝90°，则∠OBD＝90°，可得出结论；（2）证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC＝60°，根据直角