2024年高考数学一轮复习：复数 专项训练（原卷版+解析）

第3练复数

练习一复数的有关概念

1、（2023•辽宁•建平县实验中学模拟预测）已知复数z==2,则复数z的虚部为（）

1+1

A.-1B.1C.-iD.i

2、（2023•安徽合肥•二模（理））设复数二满足iz-3-i=z,贝心的虚部为（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

3、（2023•福建三明•模拟预测）已知复数z满足好后卜i=z（l+i）,则z的虚部为（）

A.--iB.--C.gD.2

222

4、（2023•四川成都•三模（理））已知i为虚数单位，则复数z=1出的实部为.

5、（2023•天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）若复数（l+ai）（3-i）（i为虚数单位）的实部和虚部互

为相反数，则实数。=.

6、（2023•安徽宣城•二模（理））复数二（i为虚数单位）的共甄复数的虚部等于（）

1-1

A.1B.-1C.iD.-i

7、（2023•湖南衡阳•二模）已知复数z=2（l-i）i,则2的虚部为（）

A.-2iB.-2C.2D.2i

8、（2023•湖北•荆门市龙泉中学二模）设复数z满足王与?。??，贝「的虚部为（）

9、（2023•广东•一模）若（a+3i）i=b—2i,其中用人eR,i是虚数单位，则2=（）

A.--B.-C.1D.--

2233

10、（2023•河南•宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知复数。-历==她（。eR,6eR）,则2〃+。=（）

2-i

A.-10B.-5C.5D.10

11、（2023•辽宁•二模）设z=l+i（i为虚数单位），若z+jaeR）为实数，则〃的值为（）

z

A.2B.-2C.1D.-1

12、（2023•甘肃兰州•一模（理））设i为虚数单位，若复数（1+。（1+吗是纯虚数，则实数。=（）

A.-1B.0C.1D.2

13、（2023•江苏南通•模拟预测）设。为实数，且学为纯虚数（其中i是虚数单位），贝!（）

2-1

A.1B.-1C.yD.-2

14、（2023•全国•高三专题练习（文））若复数z=（d-l）+（x+l）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数x的值为

（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

15、（2023•安徽省含山中学三模（文））已知复数2=学色为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a=（）

1+1

A.1B.-1C.2D.-2

16、（2023•陕西•安康市高新中学三模（理））已知复数z满足2（z+1）-3（z」）=4+6i,贝!|z=（）

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

17、（2023•江苏•海安高级中学二模）已知i为虚数单位，复数z满足Iz-i|=W+3i|,贝！Jz的虚部为（）

A.2B.1C.-2D.-1

练习二复数的模

1,（2023•四川凉山•三模（理））已知复数z=l-i,则|l+zi|=（）

A.5B.75C.72D.1

2、（2023•安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））已知复数z满足z+i-iz=3,则|z卜（）

A.72B.75C.2D.5

3、（2023•全国•高三专题练习（文））已知复数工的共甄复数是白若z-3^=l+2i,则目=（）

A.受B.1C.为D.-

4、（2023•全国•高三专题练习）已知复数4=l+〃zi,z2=3-2;,且有忆+z?|=卜-z21,meR,则㈤=（）

A.75B.好C.叵D.V13

22

5、（2023•河北•模拟预测）复数z=a+（a-2）i在复平面内对应的点位于第一象限，且|z|=,则三=（）

1

A.3-iB.3+iC.l+3iD.l-3i

6、（2023•浙江•高三专题练习）关于复数z的方程|”3|=1在复平面上表示的图形是（）

A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线

7、（2023•全国•高三专题练习（理））设复数z满足|z+z[+|z-z[=4,z在复平面内对应的点为（尤,y）,贝也在

复平面内的轨迹方程为.

8、（2023•全国•高三专题练习）已知复数z满足|z+3+4i|W2,则|z|的最大值为.

9、（2023•全国•高三专题练习（文））已知复数4=2-2迫为虚数单位）在复平面内对应的点为片，复数z?满

足区71=1,则下列结论不正确的是（）

A.4点的坐标为（2,-2）B.[=2+2/

C."-马|的最大值为而+1D.|z?-zj的最小值为2四

练习三复数的四则运算

（2023•天津河北•二模）i是虚数单位，则复数二=

1、

1-1

2、（2023•山东临沂•二模）若复数二满足z（l+i）=2,贝!）z=（）

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3、（2023•河南•模拟预测（文））已知复数，满足i.z=2+2i+i?+i3（i是虚数单位），则1()

A.l+2iB.1-iC.-2+iD.1+i

4、（2023•江苏连云港•模拟预测）已知复数z满足z（l+i）=3+4i,贝!JzS=（）

J?5525

A.应B.-C.-D.—

2422

5、（2023•全国•高三专题练习）已知a,&eR,i是虚数单位.若a+i=3-历，则伍-叫？（)

A.10+6iB.-8+6iC.9-6iD.8-6i

（2023•陕西•西安中学二模（文））若复数z=i2°22+l1±*J,则2的虚部为（）

6、

3-41

4422

A.—B.-C.――iD.-i

5555

7、（2023•全国•高三专题练习）已知2i-3是关于x的方程/+6工+«=0（4€&的一个根，则该方程的另一个

根为（）

A.2i+3B.-2i-3C.2i-3D.-2i+3

8、（2023•全国•高三专题练习）若1+6是关于1的实系数方程"+°=0的一个复数根，则（）

A.b=2,c=3B.b=2,c=-l

C.b=-2,c=-lD.b=-2,c=3

9、（2023•上海徐汇•二模）若关于无的实系数一元二次方程尤2-云+c=0的一根为l-i（i为虚数单位），则

b+c=,

10、（2023•上海•高三专题练习）复数1+二（i是虚数单位）是方程f-2x+c=0的一个根，则实数c=

1一2

2

11、（2023•广东中山•高三期末）已知复数z满足方程：Z-3Z+9=0,则回=.

12、【多选】（2023•河北保定•二模）已知复数z满足方程卜2-4）卜2-42+5）=0,则（）

A.z可能为纯虚数B.方程各根之和为4c.z可能为2-iD.方程各根之积为-20

练习四复数的几何意义

1、（2023•山东聊城•二模）复数z=2的共期复数在复平面内对应的点位于（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2、（2023•江西•临川一中模拟预测（理））已知复数z满足zi=3+2i,则复数z的共飘复数在复平面所对应的

点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3、（2023•河南•灵宝市第一高级中学模拟预测（文））若复数z满足z.（2-i）=2i+3（i为虚数单位），则2在

复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4、（2023•广西南宁•二模（文））已知i是虚数单位，若z1=l+2i,z2=-l+i,则复数五在复平面内对应的

Z2

点在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5（2023•河北唐山•一模）复数z在复平面内对应的点为（-1,2）,则*=（）

z

A.l+2iB.-l-2i

C.l-2iD.2+i

6、（2023•湖北•荆门市龙泉中学一模）在复平面内，复数z对应的点为（1,-2）,则5（l+i）=（）

A.-l+3iB.-l-3iC.3+iD.3+3i

7、（2023•江苏连云港•模拟预测）在复平面内，复数Z,z?对应的点分别为（1,6）,（T2），则五=（）

Z2

A.立B.近C.—D.75

525

8、（2023•湖南•长沙一中高三阶段练习）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（1,-2）,则下列结论正确

的是（）

A.z=-2+iB.复数z的共物复数是—l+2iC.|Z|=5D.z的虚部为一2

9、（2023•福建厦门•模拟预测）在复平面内，复数z=i（l+而）⑺eR）对应的点位于直线y=x上，则，"=

10、（2023•江西鹰潭•二模（文））复数z=（3-a）+ai（aeR,i为虚数单位），在复平面内所对应的点在直

线x-2y=0上，则|力=（）

A.y/5B.V7C.3D.如

第3练复数

__________________________________________________________-________

练习一复数的有关概念

1、（2023•辽宁•建平县实验中学模拟预测）已知复数2=二，则复数z的虚部为（）

1+1

A.-1B.1C.-iD.i

3+i+4-2i“

【解析】Z=L=4C=2-i,其虚部为—1.故选：A.

2、（2023•安徽合肥•二模（理））设复数，满足iz-3-i=z,贝k的虚部为（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【解析】因为iz—3—i=z,所以（1—i）z=-3—i,贝!）

z=±=（_3T）（l+i）=_2_4i

1-i（l-i）（l+i）2

所以z的虚部为-2.故选：C.

3、（2023•福建三明•模拟预测）已知复数z满足"gi|-i=z（l+i）,贝！|z的虚部为（）

A.--iB.--C.gD.2

222

【解析】因为"网-i=z（l+i）=2一i,所以z=三年需WIT

3

所以z的虚部为-故选：B

-l+2i

4、（2023•四川成都•三模（理））已知i为虚数单位，则复数2=下一的实部为.

【解析】z=：+21=（：）（；,：）=所以实部为：.故答案为：1

5、（2023•天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）若复数（l+ai）（3-i）（i为虚数单位）的

实部和虚部互为相反数，则实数“=.

【解析】（l+ai）（3-i）=3-i+3ai+a=（a+3）+（3a-l）i,由题意可得：。+3=-（3。-1）,解得：a=-g

故答案为：-万

6、（2023•安徽宣城•二模（理））复数9口（i为虚数单位）的共朝复数的虚部等于（）

1-1

A.1B.-1C.iD.-i

【解析】因为二=所以其共物复数为-i，则其虚部为-1,

1-1+2

故选：B

7、（2023•湖南衡阳•二模）已知复数z=2（l-i）i,则彳的虚部为（）

A.-2iB.-2C.2D.2i

【解析】z=2（l-i）i=2i-2i2=2+2i,所以彳=2—2i,所以，彳的虚部为一2.故选：B

8、（2023•湖北•荆门市龙泉中学二模）设复数z满足二点加，贝呢的虚部为（）

Z-1

A.-B.gC.--D.--

2222

【解析】因为二人政=所以==-1,贝！|z+i=-（z-l）,所以z=〈-4i,

z-1z—l22

-111

所以z二+不，所以三的虚部为故选：B.

9、（2023•广东一模）若（a+3i）i=〃-2i,其中用bwH,i是虚数单位，则。=（）

3322

A.一一B.-C.-D.——

2233

【解析】（a+3i）i=-3+ai=b—2i,所以a=-2,6=-3,得±=三.故选：B

a2

10、（2023•河南•宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知复数。-历=U6（aeR,6eR）,

2—1

贝!|2a+/?=（）

A.-10B.-5C.5D.10

5+10i（5+10i）（2+i）25i.

【解析】一~=~n—一十二二-二竽，即a一历=5i,所以a=0,b=~5,2a+b=-5.

2-1（2+i）（2-1）5

故选：B

11、（2023•辽宁•二模）设z=l+i（i为虚数单位），若z+[aeR）为实数，则a的值为（）

Z

A.2B.-2C.1D.-1

■Q1.Q1.a-ai「Q、「a、.

【解析】2+-=l+i+—=l+i+——=（l+-）+（l--）i,

z1+1222

因为z+q（.eR）为实数，所以1一"0,解得。=2.故选：A.

z2

12、（2023•甘肃兰州•一模（理））设i为虚数单位，若复数（l+DO+ai）是纯虚数，则实数。=

（）

A.-1B.0C.1D.2

1—〃=0

【解析】复数。+讥1+山）=（1-a）+（a+l）i,因为复数。+。。+泊）是纯虚数，所以

Q+1w0

解得1=1,

故选：C

13、（2023•江苏南通•模拟预测）设”为实数，且华为纯虚数（其中i是虚数单位），贝！I。

2-1

()

A.1B.-1c4D.-2

【解析】复数等=爸篝肃=<+?i为纯虚数（其中i是虚数单位），。为实数.

2=0

屋,0,解得i

,5"

故选：A.

14、（2023•全国•高三专题练习（文））若复数z=（x2_l）+（x+l）i为纯虚数（i为虚数单位）,

则实数X的值为（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

y2-1=0

【解析】由已知得x+i；0'解得E，故选：©

15、（2。23•安徽省含山中学三模（文））已知复数z=*为纯虚数（其中।为虚数单位）,

则实数a=（）

A.1B.-1C.2D.-2

1+cii+—i)Q+1a—1.

【解析】z=----=---------=+，

1+i(l+i)(l-i)22

由题意得：*=0,解得：。=-1

故选：B

16、（2023•陕西•安康市高新中学三模（理））已知复数z满足2（z+W）-3（z-1）=4+6i,贝！|z=

()

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

【解析】设2=。+历(a,6€1<),则Z+2=2Q,z—z=2b\f

所以2(z+z)-3(z-z)=4Q-6bi=4+6i,

4a=4a=l

-6j，解得b=-V所以z=i

故选：D.

17、（2023•江苏•海安高级中学二模）已知i为虚数单位，复数z满足Iz-i|=|5+3i|,则2的

虚部为（）

A.2B.1C.-2D.-1

【解析】令2=。+历（。,万©尺），贝！J5=a-历，

|z-i|=|。+历-i|=y/a2+（Z?-1）2,

|彳+3i|=|a+（3-6）i|=^^+（3-6）2,A|z-i|=|z+3i|,

J/+s_i）2=M+©_b）2,：.b=2,

故选：A.

练习二复数的模

1、（2023•四川凉山•三模（理））已知复数z=l-i,则|l+zi|=（）

A.5B.75C.V2D.1

【解析】因为z=l—i,所以l+zi=l+（l—i）i=2+i,即|l+zi|=|2+i|=6.故选：B.

2、（2023•安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））已知复数,满足z+i-iz=3,则归=（）

A.y/2B.君C.2D.5

【解析】由题意，复数z满足z=1^=^WIW=2+i，贝!I闫=|2+i|=万下=6.

1-1（1-1）（1+1）1111

故选：B.

3、（2023•全国•高三专题练习（文））已知复数二的共物复数是三，若z-3工=1+2i,贝心|=（）

A.立B.1C.6D.-

2222

【解析】设2=。+历,贝丘一历，由z-3l=l+2i可得：-2a+46i=l+2i,

则八一;，&=|,所以目==q,故选：A.

4、（2023•全国•高三专题练习）已知复数z1=l+mi,z2=3-2i,且有品+z2|=|4-马］,-eR,

则闵=（）

A.石B.@C.巫D.V13

22

【解析】因为4=1+加,z2=3-2i9贝（］Z］+z2=4+（加一2）i,zx-z2=-2+（m+2）i,

33

因为Izi+ZzRz-ZzI，贝!J16+（租-2）2=4+（/W+2）2,解得机=J,此时4=1+1,

所以㈤=/+（|1=曰・故选：C

5、（2023•河北•模拟预测）复数z=a+（“-2）i在复平面内对应的点位于第一象限，且|z|=亚,

则三=（）

1

A.3-iB.3+iC.l+3iD.l-3i

【解析】由题意知：,Q（a-2?=而,解得“=3或a=T（舍去），

故：=?=（3+讣（与）=_玉+1.

故选：D.

6、（2023•浙江•高三专题练习）关于复数z的方程卜-3|=1在复平面上表示的图形是（）

A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线

【解析】由于两个复数差的模表示两个复数在复平面内对应点之间的距离，

所以关于复数z的方程卜-3|=1在复平面上表示的图形是以（3,0）为圆心，1为半径的圆.

故选：B

7、（2023•全国•高三专题练习（理））设复数z满足匕+1+上-*4,z在复平面内对应的点

为（x,y）,贝k在复平面内的轨迹方程为.

【解析】因为z=x+yi且|z+i|+|z-i|=4,所以击2+（丫+1）2+"x，+（y-l）2=4>2,

所以z在复平面内的轨迹是以（0,-1）和（0,1）为焦点，2a=4为长轴的椭圆，

22

所以Z的轨迹方程为三+乙=1

34

故答案为：=+?=1

8、（2023•全国•高三专题练习）已知复数z满足|z+3+4i|w2,则目的最大值为.

【解析】设z3次由|z+3+4i|w2可得点（x,y）的轨迹为以（-3,Y）为圆心,以2

为半径的圆及圆内的点，则目的最大值为“-3）2+（-4『+2=7.故答案为:7

9、（2023•全国•高三专题练习（文））已知复数4=2-2阻为虚数单位）在复平面内对应的点

为《，复数4满足|z2Tl=1,则下列结论不正确的是（）

A.［点的坐标为（2,-2）B.2=2+2，

C.Z-zj的最大值为而+1D.同-4的最小值为20

【解析】A：因为复数4=2-2&为虚数单位）在复平面内对应的点为打，所以々点的坐标

为(2,-2),因此本选项结论正确；

B：因为4=2-2i,所以)=2+2i,因此本选项结论正确；

C,D：设Z2=x+M(x,yeR),在复平面内对应的点为尸(x,y),设A(O,1)

因为归-4=1,所以点P(x,y)到点A的距离为1,因此点P5y)是在以40,1)为圆心，1为

半径的圆，区-4表示圆A上的点到片点距离，

因此民-4二=时+1=乒百斤+1=屈+1，

22

|z2-Z1|min=A?]-l=72+(-2-l)-1=713-1,所以选项C的结论正确，选项D的结论不

正确，

故选：D

练习三复数的四则运算

1,(2023•天津河北•二模)i是虚数单位，则复数二=

1-1

r展痂13+i_(3+i)(l+i)3+3i+i+i2

【解析】口一(1)(1+1---------------=l+2i

2

故答案为：l+2i

2、(2023•山东临沂•二模)若复数z满足z(l+i)=2,贝!|z=()

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

22(1—i)

【解析】由已知可得Z=L=故选:C.

l+i(l+i)(l-i)

3、(2023•河南•模拟预测(文))已知复数？满足32=2+21+12+13(1是虚数单位),贝匹=()

A.l+2iB.1-iC.-2+iD.l+i

【解析】因为i2=-l，所以i3=j2xi-—i9又^i■z=2+2i+i~+i，,

l+i(l+i)x(-i)

所以i・z=2+2i—1—i,所以i-z=l+i,即z=——=j，

iJi,x(-i\)

所以z=l+i.

故选：D.

4、(2023•江苏连云港•模拟预测)已知复数z满足z(l+i)=3+4i,则z^=()

故选：D.

5、（2023,全国•高三专题练习）已知a,Z?eR,i是虚数单位.若a+i=3-历，则伍-（）

A.10+6iB.-8+6iC.9-6iD.8-6i

【解析】因a+i=3-历,a,Z?GR,则有a=3,b=-l,

所以。_m)2=(-l-3i)2=(-l)2+(-3i)2+2(-l)(-3i)=-8+6i.

故选：B

6、（2023•陕西•西安中学二模（文））若复数z=i2°22+g±=l,则N的虚部为（）

3-41

44C..|iD.|i

A.B.-

55

【解析】因为z=iQ+q±*=⑴皿。⑴2+2=_1+*言匕=_1+：+$

3-413-41(3-41)(3+41)55

244

所以z=-1-《i,故5的虚部为-

故选：A

7、（2023•全国•高三专题练习）已知2i-3是关于X的方程f+6%+q=0（q£R）的一个根，则

该方程的另一个根为（）

A.2i+3B.-2i-3C.2i-3D.-2i+3

【解析】根据题意，方程的另一个根为-6-（2i-3）=-3-2i.故选：B.

8、（2023•全国•高三专题练习）若1+6是关于x的实系数方程/+陵+°=o的一个复数根,

贝（I（）

A.b=2,c=3B.b=2,c=-l

C.b=-2,c=-lD.b=-2,c=3

【解析】由题意l+0i是关于x的实系数方程Y+"+c=0

2

•\（I+A/ZI）+b（l+V2i）+c=09即-1+匕+。+倒^/5+V2Z?ji=0

[-l+b+c=0[b=-2

吨同同=0,解鼠=3,

故选：D.

9、（2023•上海徐汇•二模）若关于x的实系数一元二次方程/一法+。=0的一根为Ji。为

虚数单位），贝U6+c=.

【解析】因为l-i为实系数一元二次方程x2-bx+c=0的一根，

所以1+i也为方程x?-6x+c=0的根，

所以i,解得力所以b+c=4；

故答案为：4

10、（2023•上海•高三专题练习）复数1+二（i是虚数单位）是方程Y-2x+c=0的一个根，

则实数c=.

【解析】1+7=1+C+j）=1+i'由题意可得（l+i）2-2（l+i）+c=c-2=0,解得c=2.

故答案为：2.

2

11、（2023•广东中山•高三期末）已知复数z满足方程：Z-3Z+9=0,则忖=.

【解析】依题意可知z和-是一元二次方程/一3x+9=0的一对共朝虚根，

由韦达定理和复数的性质得忖2=zi=9,所以同=3.

故答案为：3.

12、【多选】（2023•河北保定•二模）已知复数z满足方程卜2-4）卜2_4Z+5）=0,则（）

A.z可能为纯虚数B.方程各根之和为4c.z可能为2-iD.方程各根之积为

-20

【解析】i（z2-4）（z2-4z+5）=0,得Z2-4=0或Z2-4Z+5=0,

22

即Z=4^（Z-2）--1,

解得：z=12或z=2土i,显然A错误，C正确；

各根之和为—2+2+（2+i）+（2-i）=4,B正确；

各根之积为一2x2x（2+i）（2—i）=-20,D正确

故选：BCD.

练习四复数的几何意义

1、（2023•山东聊城•二模）复数z=R◎的共物复数在复平面内对应的点位于（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2+3i(2+30-Z—3+2，。〜

【解析】z=-------=------------=---------=3—2i,z=3+2f

ii'i—1

；.z在复平面上对应的点为（3,2）,位于第一象限.故选：A.

2、（2023•江西•临川一中模拟预测（理））已知复数z满足zi=3+2i,则复数z的共轨复数在

复平面所对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3+2i（3+2i）i-2+3i

【解析】由力=3+2i,得z==2-3i,

ii2-1

所以z=2+3i,

所以复数Z的共朝复数在复平面所对应的点所在的象限为第一象限,

故选：A

3、（2023•河南•灵宝市第一高级中学模拟预测（文））若复数工满足z-（2-i）=2i+3（i为虚

数单位），则彳在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解析】由z-（2-i）=2i+3,所以z="（2i+3）（2+i）47