2024年广东省深圳市宝安区九年级中考二模数学试卷(含解析)

2024年广东省深圳市宝安区中考数学二模模拟试卷2024.04

选择题（共10小题）

1.在一3,0,一|,隹四个数中，最小的是（）

2

A.-3B.0C.--D.也

3、

2.如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方

体纸盒的是（）

3.下列计算正确的是（）

A.。4+。2=。6B.。512=。7C.2=aZ)10D.aio4-a2=a5

4.如图，/{/%Zl=35°,Z2=50°,则N3的度数为()

A.85°B.95°C.105D.115°

5.某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8

环的人数是（）

环数789

人数23

A.4人B.5人C.6人D7人

6.已知"5+1是一元二次方程X2—x+ff7=o的一个根,则方程的另夕|'根为（)

2

A.B.C,1一也D.<5-3

2222

7.如图，在O。中，弦4B,C。相交于点尸，则一定与NZ相等的是（）

B.ZCC.ZDD.ZAPD

8.一艘轮船在静水中的最大航速为50方〃/〃，它以最大航速沿河顺流航行80人机所用时间和它以

最大航速沿河逆流航行60人根所用时间相等，设河水的流速为则可列方程（）

80608060806060

A.D.受

x+50x—50%—50x+5050+x50—%50—x50+x

9.如图，将一张矩形纸片按图①，图②所示方法折叠，得到图③，再将图③按虚线剪裁得到

图④，将图④展开，则展开图是（）

10.如图是抛物线y=ax2+bx+c（a#0）的部分图象，其顶点坐标为（1,〃），且与x轴的一

个交点在点（3：0）和（4,0）之间，则下列结论：

①b=2a；②c—a=〃；

③抛物线另一个交点（机，0）在一2到一1之间；

④当xVO时，ax2+（Z?+2）X<0；

⑤一元二次方程ax2+x+c=O有两个不相等的实数根.

其中，正确结论的个数是（）

Z.1个8.2个C.3个D4个

填空题（共5小题）

11.分解因式8x3y—18xy=.

12.今年春节电影《第二十条》《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没里转时空》在网络上持

续引发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至2月17日21时，2024年春节档（2.10-2.17）

新片总票房突破80.23亿元，创造了新的春节档票房纪录，则其中数据80.23亿用科学记数法

表不为.

13.有一纸箱装有除颜色外都相同的散装塑料球共100个，小明将纸箱里面的球搅匀后，从中随

机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放

回纸箱中；…，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.4,由此可以估计纸

箱内红球的个数约是个.

14.新冠疫情期间，同学们都在家里认真的进行了网课学习，小明利用平板电脑学习，如图是他

观看网课时的侧面示意图，已知平板宽度即Z8=20c机，平板的支撑角NZ8C=60°,小明坐

在距离支架底部30c机处观看（即DB=30cm）

点E是小明眼睛的位置，EDLQC垂足为D

所是小明观看平板的视线，尸为48的中点，

根据研究发现，当视线与屏幕所成锐角为80。

时（即NNEE=80°）,对眼睛最好，那么，

请你求出当小明以此视角观看平板时，他的

眼睛与桌面的距离DE的长为cm.

（结果精确到1。机）（参考数据：｛3=1.73,tcm40。=0.84,s讥40"0.64,cos40°«0.77）

15.如图，正方形45CD的边长为12,05的半径为6,点尸

1

是08上一个动点，则PD+的最小值为

三.解答题（共7小题）

16.计算：—16一（.3-2）0+\：3tan30。—cos245。+（—i）-3.

17.先化简，再求值：（1+工）从1,-1,2中选一个合适的数作为x值代入

X+1X2+2%+1

求值.

18.为进一步提高学生学习数学的兴趣，3月14日（国际数学日）当天，某校开展了一次数学

趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得

到以下信息（单位：分）：

信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，其中第I组50Wx<60,第n

组60Wx<70,第HI组70Wx〈80,第IV组80Wx<90,第V组90Wx<100；

信息二:第HI组的成绩为74,71,73,74,79,76,77,76,76,73,72,75.

根据信息解答下列问题：

（1）本次抽取的学生人数为_________人，第n组所在扇形的圆心角度数为___________.

（2）第in组竞赛成绩的众数是飞,本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是分;

（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数.

19.2024年4月18日上午10时08分，华为Pura70系列正式开售，华为Pura70Ultra和Pura

70Pro已在华为商城销售，约一分钟即告售罄。“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G

手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有48两种型号的5G手机出售，售出1部Z型、

1部8型手机共获利600元，售出3部Z型、2部8型手机共获利1400元。

(1)求Z、3两种型号的手机每部利润各是多少元；

(2)某营业厅再次购进Z、5两种型号手机共20部，其中8型手机的数量不超过Z型手机

数量的提请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大

利润。

20.如图，在口48C。中，O为线段的中点，延长8。交CD的延长线于点£,连接ZE,BD,Z

BDC=90°.

(1)求证：四边形Z5QE是矩形；

(2)连接。C,若48=2,BD=2«2,求0c的长.

AE

21.定义：如图1,在平面直角坐标系中，点尸是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点

产分别作x轴、了轴的垂线，若由点尸、原点。、两个垂足幺、5为顶点的矩形。4尸8的周长

与面积的数值相等时，则称点尸是平面直角坐标系中的“美好点”.

yM

r•n--(8-•••r•^-T-T*r*n--rwn

।iiiitaeiit

:-------J--u-J--u-J--L-J

备用图

【尝试初探】：

（1）点C（2,3）“美好点”（填“是”或“不是”）；

【深入探究】：

（2）①若“美好点”E（m，6）（机＞0）在双曲线y=乙（左W0,且左为常数）上，则左=；

X-----------

②在①的条件下，F（2,〃）在双曲线丫=七上，求5As.的值；

【拓展延伸】：

（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点尸（x,j）是第一象限内的“美好

八占,、”•

①求了关于X的函数表达式；

②对于图象上任意一点£y）,代数式。一X）-3—2）是否为定值？如果是，

请求出这个定值，如果不是，请说明理由。

22.(1)【探究发现】如图①，等腰△NC5,N4CB=90°,。为48的中点，/MDN=90°,

将/MDN绕点、D旋转,旋转过程中，的两边分别与线段幺C、线段5c交于点E、F

(点/与点B、C不重合)，写出线段CGCE、5c之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)【类比应用】如图②，等腰△ZC8,ZACB=120°,。为48的中点，ZMDN=60°,

将绕点。旋转，旋转过程中，NMDN的两边分别与线段ZC、线段8C交于点E、F

(点/与点B、C不重合)，直接写出线段CF、CE、BC之间的数量关系为;

(3)【拓展延伸】如图③，在四边形Z8C。中，AC平分/BCD,ZBCD=120°,DAB=

60°,过点Z作ZELZC,交C8的延长线于点E,若CB=6,DC=2,则的长

为.

N

M

'M

E

图①图②图③

2024年广东省深圳市宝安区中考数学二模模拟试卷参考答案与解析

一.选择题（共10小题）

1.在一3,0,—|,出四个数中，最小的是（）

A.-3B.0C.--D.＜2

3、

【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的

反而小，据此判断即可.

【详解】解：

，在一3,0,一：，＜2四个数中，最小的是一3.

故选：A.

【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实

数，两个负实数绝对值大的反而小.

2.如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方

体纸盒的是（）

【分析】根据几何体三个特殊面的相对位置得出结论即可.

【详解】解：由题意知，图形L±J经过折叠能围成题中正方体纸盒，

故选:B.

【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键.

3.下列计算正确的是（）

A.（74+02=46B.a5r32=a7

C,（）2cibioD,aio=

【分析】直接利用整式的乘除运算法则以及积的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算得

出答案.

【详解】解：4、«4+«2,无法计算，故此选项错误；

B、t75Q2=a7,正确；

C、（仍5）2=02/）10,故此选项错误；

D、（2104-＜22=6（7,故此选项错误；

故选:B.

【点评】此题主要考查了整式的乘除运算以及积的乘方运算和合并同类项，正确掌握相关运

算法则是解题关键.

4.如图，1//1,Zl=35°,Z2=50°,则N3的度数为（

C.105°D.115

【分析】首先根据平行线的性质可得出Nl+N2+N3=180。，据此可得出N3的度数.

【详解】解："〃小

.\Z1+Z2+Z3=18O°,

VZ1=35°,Z2=50°,

/.Z3=180°-Zl-Z2=95°.

故选：B.

【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行,

同旁内角互补.

5.某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8

环的人数是（）

环数789

人数23

A.4A8.5人C.6人D7人

【分析】设成绩为8环的人数是x,根据加权平均数的定义列出关于x的方程，解之即可得出

答案.

【详解】解：设成绩为8环的人数是羽

根据题意，得：7X2+8X+9X3=8.1,

2+x+3

解得x=5,

经检验x=5是分式方程的解，且符合题意，

故选：B.

【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义.

6.已知'+1是一元二次方程x2—X+M=0的一个根,则方程的另外一根为（）

B.3T5D.

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可.

【详解】解：•.•也士工是一元二次方程x2—x+加=0的一个根，另一根设为a,

解得：a=l_、5+l,即q=

22

故选：C.

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与

系数的关系是解本题的关键.

7.如图，在O。中，弦4B,CQ相交于点尸，则一定与NZ相等的是（)

A.ZBB.ZCC.ZDD.ZAPD

【分析】根据圆周角定理得出即可.

【详解】解：根据圆周角定理得：ZA=ZD,

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，注意：在同圆或等圆

中，同弧所对的圆周角相等.

8.一艘轮船在静水中的最大航速为50如7/〃，它以最大航速沿河顺流航行80人机所用时间和它以

最大航速沿河逆流航行60人机所用时间相等，设河水的流速为x后"/〃，则可列方程（）

,8060八8060

A.--------=-------B.-------=--------

x+50%—50X—50x+50

C8060D8060

50+x50—%50—x50+x

【分析】根据“以最大航速沿河顺流航行80km所用时间和它以最大航速沿河逆流航行60km

所用时间相等”建立方程即可得出结论.

【详解】解：设河水的流速；dm",则以最大航速沿江顺流航行的速度为（50+x）痴/〃，以

最大航速逆流航行的速度为（50—x）km/h,

根据题意得，”一=畀，

50+x50—%

故选:C.

【点评】此题是由实际问题抽象出分式方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题

的关键.

9.如图，将一张矩形纸片按图①，图②所示方法折叠，得到图③，再将图③按虚线剪裁得到

图④，将图④展开，则展开图是（）

5上

【分析】对于此类问题，亲自动手操作，即可得出答案.

【详解】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向下翻折，按按虚线剪裁，展开得到结论，

故选：D.

【点评】本题考查了剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此

类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现.

10.如图是抛物线y=ax2+bx+c（aWO）的部分图象，其顶点坐标为（1,〃），且与x轴的一

个交点在点（3,0）和（4,0）之间，则下列结论：

①b=2a；

③抛物线另一个交点（机，0）在一2到一1之间；

④当x<0时，ax2+（Z?+2）X<0；

⑤一元二次方程办2+（*）x+c=O有两个不相等的实数根.

其中正确结论的个数是（）

【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；

②当X等于1时，y等于〃，再利用对称轴公式即可求解;

③根据抛物线的对称性即可求解；

④根据抛物线的平移即可求解；

⑤根据一元二次方程的判别式即可求解.

【详解】解：①因为抛物线的对称轴为X=l,

KP--=1,所以6=—2口,

2a

所以①错误；

②当x=l时，y=n,

所以a+b+c=〃，因为6=—2°,

所以一a~\~c=n,

所以②正确；

③因为抛物线的顶点坐标为（1,〃），

即对称轴为x=l,

且与X轴的一个交点在点（3,0）和（4,0）之间，

所以抛物线另一个交点（机，0）在一2到一1之间；

所以③正确；

④因为4X2+（&+2）x<0,即ax2-\-bx<.-2x,

根据图象可知：

把抛物线了="2+乐+。QW0）图象向下平移c个单位后图象过原点，

即可得抛物线了="2+乐（aWO）的图象，

所以当x<0时，ax2~\~bx<—2x,

即4X2+。+2）x<0.

所以④正确；

⑤一元二次方程4X2+x+c=O,

1

△=（6—一）2—4ac,

2

因为根据图象可知：a<0,c>0,

所以一4ac>0,

1

所以△=。一）2—4QC>0,

2

1

所以一元二次方程"2+。―卜x+c=O有两个不相等的实数根.

所以⑤正确.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线

与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识.

二.填空题（共5小题）

11.分解因式8x3》_18xy=2盯（2x+3）（2》一3）.

［分析］原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：原式=2盯（4x2—9）

=2xy（2x+3）（2x—3）.

故答案为：2町（2x+3）（2x-3）.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的

关键.

12.今年春节电影《第二十条》《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没窜转时空》在网络上持

续引发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至2月17日21时，2024年春节档（2.10-2.17）

新片总票房突破80.23亿元，创造了新的春节档票房纪录，则其中数据80.23亿用科学记数法

表示为8.023X109.

【分析】科学记数法的表示形式为。义10”的形式，其中1或同<10,〃为整数.确定〃的值时,

要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝

对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

【详解】解：80.23亿=8023000000=8.023X109,

故答案为：8.023X109.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。义100的形式，其中1W

同＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

13.有一纸箱装有除颜色外都相同的散装塑料球共100个，小明将纸箱里面的球搅匀后，从中随

机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放

回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.4,由此可以估计纸箱

内红球的个数约是40个.

【分析】用总球的个数乘以红球的频率即可得出答案.

【详解】解：根据题意得：

100X0.4=40（个），

答：估计纸箱内红球的个数约是40个.

故答案为：40.

【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个

常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值.关键是根据黑球的频率得到相应的等量关

系.

14.新冠疫情期间，同学们都在家里认真的进行了网课学习，小明利用平板电脑学习，如图是他

观看网课时的侧面示意图，已知平板宽度即Z5=20CM,平板的支撑角NZ5C=60°,小明坐

在距离支架底部30°机处观看（即。5=30c机），点E是小明眼睛的位置，垂足为

D.EF是小明观看平板的视线，尸为Z8的中点，根据研究发现，当视线与屏幕所成锐角为

80°时（即NN巫=80°）,对眼睛最好，那么请你求出当小明以此视角观看平板时，他的

眼睛与桌面的距离的长为38cm.（结果精确到lew）

（参考数据：（3=1.73,tcm40。=0.84,s讥40。=0.64,cos40°«0.77）

【分析】过点/作方力」ED,垂足为8,过点尸作相，8。，垂足为K,根据垂直定义可得N

EHF=ZDHF=ZFKD=ZD=90°，从而可得四边形。K70是矩形，进而可得W=QK,

=FK,FH//DK,然后利用平行线的性质可得/加5=N45C=60°,再利用线段的中点定义

可得q=10°机，从而在必△qK中，利用锐角三角函数的定义求出8K,EK的长，进而求

出。K的长，最后利用平角定义求出/£W=40°,再在放△£/日中，利用锐角三角函数的

定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

【详解】解：过点尸作WLED,垂足为过点尸作尸KL5C,垂足为K,

E

：.ZEHF=ZDHF=ZFKD=90°,

'：ED±DC,

-90°,

二四边形QKF”是矩形，

：.FH=DK,DH=FK,FH//DK,

：.ZHFB=ZABC=60°,

•./为ZB的中点,

：.FB=-AB=10(cm),

2

在RtAFBK中,ZABC=60°,

1

：.BK=FB\2os60°=10x—=5(cm),

2

FK=FBUin60°=10x也=5召(cm),

2

：.FK=DH=5^3cm,

DB=30cm,

：.FH=DK=DB+BK=35(cm),

■:/AFE=80°,

：./EFH=180°-ZAFE-ZBFH=400,

在RtAEFH中,EH=FHUan^°^35X0.84=29.4(cm),

：.ED=EH+DH=29A+5yi3«38(cm),

故答案为：38.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，视点，视角和盲区，根据题目的已知条件并结合

图形添加适当的辅助线是解题的关键.

15.如图，正方形4BCQ的边长为12,08的半径为6,点尸是08上一个动点，则尸£>+%C

2

的最小值为15

D

【分析】连接尸丛在上截取3£=3,可证得从而PE=《PC.

【详解】解：如图，连接PS,在BC上截取5£=3,则C£=BC—B£=12—3=9,

.BEPB1

・.PB-BC―2’

NPBE=/CBP,

：.ABPEsABCP,

.PEBE1

・.PC-PB―2’

.1

•・PE=—PC，

2

.1

・・PD+—PC=PD+PE,

2

・•・当点。、尸、£共线时，尸。+尸£最小，

•:DE=«CD2+CE2=、122+92=15,

••・尸。+学。的最小值为15,

故答案为15.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识，解决问题的关键是丛

辅助线，构造相似三角形.

三.解答题(共7小题)

16.计算：一16一(转—2)。+\瓦加30。一。。5245°+(-1)-3.

【分析】本题涉及乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数嘉、零指数嘉、二次根式化简5

个知识点.在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计

算结果.

【详解】解：-16-(v13-2)o+^3tan300-cos245°+(--)-3

r—r-

=-1-1+<3X(足)2+8

32

i

=-1—1+1—+8

2

=67

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类

题目的关键是熟练掌握乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数嘉、零指数嘉、二次根式等

知识点的运算.

17.先化简，再求值：(1+—)]"一,再从1,-1,2中选一个合适的数作为x的

X+1X2+2%+1

值代入求值.

【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式的分母不能为0,从而选取合适

的数代入运算即可.

【详解】解：(1+—)—=二(%+1)2=山,

%+1%2+2%+1%+12(%—1)x—1

Vx+1^0,X2+2X+1W0,2x—2W0,

解得：xW—1,xWl,

/.当x=2时，

原式=土=3.

2-1

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

18.为进一步提高学生学习数学的兴趣，3月14日(国际数学日)当天，某校开展了一次数学

趣味知识竞赛(竞赛成绩为百分制)，并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得

到以下信息(单位：分)：

信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，其中第I组50Wx<60,第n

组60Wx<70,第HI组70Wx<80,第IV组80Wx<90,第V组90Wx<100；

信息二:第III组的成绩为74,71,73,74,79,76,77,76,76,73,72,75.

根据信息解答下列问题：

(1)本次抽取的学生人数为50人,第II组所在扇形的圆心角度数为72。.

(2)第HI组竞赛成绩的众数是76分,本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是78分

(3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数.

【分析】⑴第in组的频数是12,频率为24%,由频率=慧进行计算即可，再求出第n组

所占的百分比即可；

(2)根据众数、中位数的定义进行计算即可；

(3)求出样本中，成绩不低于80分的学生所占的百分比，进而估计总体中成绩不低于80分

的学生所占的百分比，再根据频率=警进行计算即可.

总数

【详解】解：(1)124-24%=50(人)，

360°X(1—8%—8%—40%—24%)=72°,

故答案为：50,72°；

(2)第HI组数据中出现次数最多的是76,共出现3次，因此众数是76,

将这50人的竞赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为缺2=78,因此中

位数是78,

故答案为：76,78；

(3)1500X(40%+8%)=720(人)，

答：该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数大约为720人.

【点评】本题考查频数分布直方图，中位数、众数以及扇形统计图，理解中位数、众数的定

义，掌握频率=吝婺是正确解答的前提.

总数

19.2024年4月18日上午10时08分，华为Pura70系列正式开售，华为Pura70Ultra和Pura

70Pro已在华为商城销售，约一分钟即告售罄。“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G

手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有45两种型号的5G手机出售，售出1部Z型、

1部5型手机共获利600元，售出3部Z型、2部5型手机共获利1400元。

(1)求Z、5两种型号的手机每部利润各是多少元；

(2)某营业厅再次购进Z、5两种型号手机共20部，其中8型手机的数量不超过Z型手机

数量的*请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大

利润。

【分析】(1)根据题意由等量关系：售出1部/型、2部5型手机共获利1000元，售出2

部Z型、1部3型手机共获利800元可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅

购进幺、8两种型号手机每部利润各是多少元；

(2)根据题意，可以得到利润与Z种型号手机数量的函数关系式，然后根据8型手机的数量

不多于Z型手机数量的|,可以求得Z种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质,

即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少.

【详解】解：(1)设Z种型号手机每部利润是。元，8种型号手机每部利润是b元，由题意

得：

[+b=600短徨卷=200

3a+2Z)=1400'肝何?=400.

答：A种型号手机每部利润是200元，5种型号手机每部利润是400元；

(2)设购进Z种型号的手机x部，则购进8种型号的手机(20—x)部，获得的利润为w元，

w=200x+400(20—x)=-200x+8000,

■：B型手机的数量不超过Z型手机数量的,，

/.20-x<|x,解得x>12,

Vw=-200x+8000,左=—200,

...w随X的增大而减小，

当x=12时，W取得最大值，此时W=-2400+8000=5600,

20—x=20-12=8.

答：营业厅购进Z种型号手机12部，8种型号手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元.

【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答

本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质

解答.

20.如图，在口W8CD中，。为线段幺。的中点，延长8。交CD的延长线于点E,连接ZE,80,Z

BDC=9C.

(1)求证：四边形Z5QE是矩形；

(2)连接。C,若48=2,BD=2<2,求0c的长.

【分析】(1)证△N08之(NSZ),得4B=DE,再证四边形是平行四边形，

然后证48。£=90°,即可得出结论；

(2)过点。作OFLQE于点G由矩形的性质得£>£=48=2,OD=OE,再由等腰三角形的

性质得。/=£/=被£=1,则。F为△8QE的中位线，得。F=，D=，2,然后由平行四边形

的性质得CD=Z5=2,进而由勾股定理即可得出结论.

【详解】(1)证明：..•。为幺。的中点，

：.AO=DO,

,/四边形Z5CD是平行四边形，

S.AB//CD,

：.ZBAO=ZEDO,

又,：/AOB=/DOE,

：.AAOB^ADOE(ASA),

：.AB=DE,

：.四边形Z8QE是平行四边形，

VZBDC=90°,

/.ZBDE=90°,

,平行四边形48DE是矩形；

(2)解：如图，过点。作。FUQE于点尸,

:四边形4BQE是矩形,

11

：.DE=AB=2,OD=-AD,OB=OE=-BE,AD=BE,

22

：.OD=OE,

1

OF1DE,:.DF=EF=-DE=1,

2

1

：.OF为ABDE的中位线,：.OF=-BD=>J2,

'：四边形Z5CO是平行四边形，

：.CD=AB=2,

:・CF=CD+DF=3,

在放△OC尸中，由勾股定理得：OC=4OF2+CF2=J(隹)2+32=何,

即。。的长为也1.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性

质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性

质是解题的关键.

21.定义：如图1,在平面直角坐标系中，点尸是平面内任意一点(坐标轴上的点除外)，过点

产分别作x轴、了轴的垂线，若由点尸、原点。、两个垂足Z、8为顶点的矩形04P5的周长

与面积的数值相等时，则称点尸是平面直角坐标系中的“美好点”.

0?口？--1.2-3-儿一5.6--7邛x

0Br--；-42-

।।।

L.-I.—U%・

图1

备用图

【尝试初探】：

(1)点C(2,3)不是“美好点”(填“是”或“不是”)；

【深入探究】：

(2)①若“美好点”E(m,6)(m>0)在双曲线y=^(左WO,且左为常数)上，则k=

X

18；

②在①的条件下，F(2,〃)在双曲线丫=乙上，求5,八的值；

一X/XEOF

【拓展延伸】：

(3)我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点尸(x,>)是第一象限内的“美好

占”

八'、•

①求y关于x的函数表达式；

②对于图象上任意一点(x,j),代数式(2-X).(y—2)是否为定值？如果是，请求出这

个定值，如果不是，请说明理由.

【分析】(1)验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等

于横纵坐标的绝对值的乘积；

(2)①根据E是“美好点”，求出机，再将点E代入双曲线方程就可求出依

②根据“F(2,〃)在双曲线)/='上”求出〃，再用待定系数法求出直线EF的方程，从而求

X

出它与X轴的交点，最后利用S人”.=5人.”—5.”求S人”.即可；

L\E.Ur/ArULrZAASOCr△匕

(3)①根据点尸(x,j)是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出歹关

于x的函数表达式；

②将①中的关系式代入(2—x)•(y—2)得出定值，从而得解.

【详解】解：(1)V(2+3)X2=10W2X3=6,

・••点C(2,3)不是“美好点”，

(2)①,：E(m,6)(m>0)是“美好点”，

2X(m+6)—6m,解得:m=3,

：.E(3,6),

将£(3,6)代入双曲线y=£,得左=18,

②；左=18,

二双曲线的解析式是：y=—.

X

'：F(2,〃)在双曲线丫=上上,

X

.18

・・n=—=9,

2

：.F(2,9),

设直线EF的解析式为：y=ax+b,代入得:

■"鼠,解得:£：看,

二直线EF的解析式为：j=-3x+15,

令直线EF与x轴交于点G,

当y=0时，-3x+15=0,

解得：x=5,

：.G(5,0),

画出图如图2所示：

11

.・SAEOF=SAF°GT=-x5x9—x5x6=一

△E0G222

(3)①二.点尸(x,j)是第一象限内的“美好点”，

.*.2(x+y)=xy,

化简得：y—~~T=~~r+2?

x—2x—2

(第一象限内的点的横坐标为正,

|>0

----〉0,解得：x>2,

x—2

x—2H0

关于x的函数表达式为：y-.......+2(x>2)；

x—2

②“对于图象上任意一点(x,j),代数式(2-X).S—2)为定值.”理由如下：

..44

+2,

-y=X-—7L••(2f)(y-2)=-X—L-+2-2)=-4,

对于图象上任意一点(x,,代数式(2—x)•(y—2)是为定值，定值为一4.

【点评】本题考查反比例函数与几何综合，三角形的面积公式，待定系数法求反比例函数与

一次函数的解析式，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键.

22.(1)【探究发现】如图①，等腰△ZC8,/ACB=90°,。为幺5的中点，/MDN=90°,

将/MDN绕点、D旋转,旋转过程中，NMEW的两边分别与线段ZC、线段8c交于点E、F

(点/与点B、C不重合)，写出线段CE、CE、5C之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)【类比应用】如图②，等腰△ZC5,ZACB=120°,。为48的中点，/MDN=60°,

将NMDN绕点。旋转，旋转过程中，NMDN的两边分别与线段ZC、线段8C交于点£、E(点

F与点、B、C不重合)，直接写出线段CE、CE、5c之间的数量关系为CF+CE=-BC；