二次函数讲义-2024年中考数学一轮复习原卷版

考点12.二次函数（精讲）

【命题趋势】

二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要

的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的

图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。题型变化较多，考

生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。

【知识清单】

1：二次函数的相关概念（☆☆）

1）二次函数的概念：一般地，形如jN+bx+c（〃，b,c是常数，。加）的函数，叫做二次函数.

2）二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：y=aN+bx+c（〃，b,。为常数，存0）.

（2）顶点式：尸〃（%-/?）2+k（mh,k为常数,存0）,顶点坐标是（h,k）・

（3）交点式：产〃（%—Xl）（XT2），其中为，工2是二次函数与x轴的交点的横坐标，存0.

2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）

解析式二次函数（a,b,c是常数，〃加）

b

对称轴

la

/b4ac-b2、

顶点（—，）

2a4。

。的符号a>0a<0

y

图象!r\

/'

开口方向开口向上开口向下

*b4ac-b2*b4ac-b2

最值当Ht,y最小值一。当x二一二时,y最大值二。

2a4a2a4a

最点抛物线有最低点抛物线有最高点

bb

当龙〈-一时，y随尤的增大而减小;当X<-—时，y随尤的增大而增大;

2a2a

增减性

bb

当£>-丁时，y随力的增大而增大当x>----时，y随X的增大而减小

2a2a

（1）二次函数图象的翻折与旋转

抛物线y=a（x-h）2+k）绕顶点旋转180。变为：y=-a（x-/iA+k绕原点旋转180。变为：y=-a（x+h¥-k；

沿无轴翻折变为：y=-a（x-li）2k；沿y轴翻折变为：y=a（x+〃）2+左;

（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则;二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据

顶点之间的平移求出变化后的解析式.

町优>。）［或卜依。）】平移身个单位

y=ax2

向右8>0）向右（〃>0）

［或左仇<0）1［或左（力<0）］

率移㈤个单位平移I川个单位

ww

y=a（x-h）2ay=a（x-7z）2+i

向上（A>0）［或下（kO）］平移冏个单位----------

3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）

1）抛物线开口的方向可确定。的符号：

抛物线开口向上，a>0；抛物线开口向下，a<0

2）对称轴可确定方的符号（需结合。的符号）：

对称轴在x轴负半轴，则x=-2包，即仍>0；对称轴在无轴正半轴，贝Ux=_2*_,即必<o

2a2a

3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0,c）,

交于y轴负半轴，则区^；交于y轴正半轴，则c>0

4）特殊函数值符号（以x=l的函数值为例）：

若当x=l时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c〉O；若对应的函数值y在无轴上方，则a+b+c、=O；

若对应的函数值y在x轴的下方，则a+6+c<0；

5）其他辅助判定条件：

1）顶点坐标2）若与x轴交点A（网,0）,8伍,0）,则可确定对称轴为：x=土产；

b

再+“2=--

3）韦达定理：一°具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。

C

XX=—

x2a

4：二次函数与方程、不等式（☆☆）

1）二次函数与一元二次方程的关系

（1）二次函数y=〃x2+bx+c（〃加），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（〃加）。

（2）ax2+bx+c=0（〃加）的解是抛物线产"2+bx+c（存0）的图象与％轴交点的横坐标。

（3）①/TaoOO方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点;

②/-4"=0今方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点;

③62_4ac<0C方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。

2）二次函数与不等式的关系（以。>0为例）：

b2-4ac庐4。。>0b2-4ac=0/?2-4tzc<0

图象

捻nu

O-----•-------

与X轴交点2_个交点L个交点Q_个交点

b

aj^+bx+c>0的解集情况X<X\或X>X2xw-----取任意实数

2a

qf+bx+cvO的解集情况X[<X<X2无解无解

【易错点归纳】

1.二次函数的辨别中切记保证存0,而6,c可以为任意实数（即可为0）；

2.抛物线的增减性问题，由。的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是

不对的，必须附加一定的自变量x取值范围；

3.抛物线在平移的过程中，。的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关。

【核心考点】

核心考点1.二次函数的相关概念

例1:（2023・山东济宁•校联考三模）以下函数式二次函数的是（）

A.y=ax2+bx+cB.y=（2x-l）2-4x2C.>=彳+。+0（〃00）D.=（x-l）（x-2）

变式1.（2023・山东济南•模拟预测）若y=（疗+时-是二次函数，则加的值等于（）

A.-IB.0C.2D.-1或2

例2：（2023上•浙江温州•九年级校联考阶段练习）己知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现,

该产品每天的销售量y（千克）与销售价无（元/千克）有如下关系：y=-2尤+80.设这种产品每天的销售

利润为w（元），则w与尤之间的函数表达式为（）

A.w=（x-30）（-2%+80）B.w=x（-2x+80）C.w=30（-2x+80）D.w=x（-2x+50）

变式1.（2023年江苏省泰州市中考数学真题）函数y与自变量尤的部分对应值如表所示，则下列函数表达

式中，符合表中对应关系的可能是（）

「I；

A.y=ax+b（a<0）B.j=—（a<0）C.y=ax2+bx+c（a>0）D.y=ax2+bx+c（a<0）

x

变式2.（2023・北京•统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地ABC,其中N氏90。，AB^BC.计划在绿地

上建造一个矩形的休闲书吧PMBN,使点P,M,N分别在边AC,BC,AB上.记PM=xm，PN=ym,图

中阴影部分的面积为Sn?.当尤在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的

函数关系分别是（）

/:

CMB

A.一次函数关系，二次函数关系B.一次函数关系，反比例函数关系

C.二次函数关系，一次函数关系D.反比例函数关系，二次函数关系

核心考点2.二次函数的图象与性质

例3：（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，二次函数丁=依2+尤-6的图象与x轴交于4-3,0）,5两

点，下列说法正确的是（）

A.抛物线的对称轴为直线x=lB.抛物线的顶点坐标为

C.A,5两点之间的距离为5D.当x<-l时，》的值随x值的增大而增大

变式1.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）已知抛物线>=依2-5x-3经过点则下列结论正确的

是（）（多选题）

A.抛物线的开口向下B.抛物线的对称轴是x=9

4

49

C.抛物线与X轴有两个交点D.当丁时，关于X的一元二次方程依2-5X-3T=0有实根

8

91

变式2.（2023年江苏省扬州市中考数学真题）已知二次函数y=«r-2x+/Q为常数，且a>0）,下列

结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当x<0时，y随x

的增大而减小；④当X>0时，y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.②D.③④

例4：（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）二次函数y=-（x+l）2+2图象的顶点所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

变式1.（2023年上海市中考数学真题）一个二次函数、=依2+公+。的顶点在>轴正半轴上，且其对称轴

左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是.

变式2.（2022•黑龙江哈尔滨•中考真题）抛物线y=2（x+9y-3的顶点坐标是（）

A.（9,-3）B.（-9,-3）C.（9,3）D.（-9,3）

变式3.（2024上•北京海淀•九年级校考阶段练习）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的

表格：

X....-2-10123....

y....50-3-4-3m....

那么m的值为（）

A.-3B.-4C.0D.5

例5：（2022•山东泰安•中考真题）如图，函数y=ax2-2x+l和y=ar-a（a是常数，且awO）在同一平面直角坐

标系的图象可能是（）

h

变式1.（2022•广西•中考真题）已知反比例函数y=—SwO）的图象如图所示，贝!J一次函数丁=5-，（cwO）和

x

二次函数,=依2+以+°3。0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

例6：（2023年山东省日照市中考数学真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线,="2+笈（〃工0）,满足

13〃+Z?>0

,八，已知点（-3,%），（2〃），（4/）在该抛物线上，则如〃，/的大小关系为（）

[a+b<Q

A.t<n<mB.m<t<nc.n<t<mD.n<m<t

变式1.（2023・四川乐山・统考二模）已知二次函数y=a（x-a）（。为常数，且a/0）.

（1）若点（0,%）,（3,%）在函数图像上，则％%（填"（"或

（2）当0<x<3时，y<2,贝"的取值范围是.

变式2.（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线>=以2-26+伙。>0）经过4（2a+3,乂）,3（〃-1,%）

两点，若AB分别位于抛物线对称轴的两侧，且％〈%，贝"的取值范围是.

例7：（2023年江苏省徐州市中考数学真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x+iy+3的图象向右平

移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）

A.y=（x+3）2+2B.y=（x-l）2+2C.y=（x—I）2+4D.y=（x+3）2+4

变式1.（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）将抛物线y=（尤+3）2向下平移1个单位长度，再向右平

移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点.

变式2.（2023•四川南充•统考中考真题）若点尸（"%”）在抛物线>=依2（。*0）上，则下列各点在抛物线

y=a（x+l）2上的是（）

A.+B.（772+1,77）C.D.（m-1,ll）

变式3.（2022・四川泸州,统考中考真题）抛物线y=-g/+x+l经平移后，不可能得到的抛物线是（）

A.y=—x~+xB.y=—x"-4C.y=—x?+202lx—2022D.y——x~+x+1

,222

例8：（2021•四川眉山•统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=Y一4x+5与y轴交于点C,则该抛

物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）

A.y=-x2-4.x+5B.y=x?+4x+5C.y=-x2+4x-5D.j=-x2-4.r-5

变式1.（2023上•山东临沂•九年级统考期末）已知抛物线的解析式为y=or2+fox+c（awO）,则下列说法中

正确的是（）

A.将图象沿y轴平移，则a,b的值不变B.将图象沿x轴平移，则。的值不变

C.将图象沿y轴翻折，则a,c的值不变D.将图象沿x轴翻折，则6的值不变

变式2.（2023・陕西•校考二模）已知抛物线I]:y=如？-2/温+5（7”/0）的顶点为A,抛物线人与抛物线乙关

于点3（2,0）成中心对称，若抛物线右经过点4则m的值为（）

「55

A.-5B.—2C.-D.—

32

例9：（2023年山东省泰安市中考数学真题）二次函数y=-Y—3x+4的最大值是.

变式1.（2023年辽宁省大连市中考数学真题）己知抛物线y=*-2x-l,则当04xV3时，函数的最大值

为（）

A.-2B.-1C.0D.2

变式2.（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））在平面直角坐标系中，二次函数y=f+g+m2一机（加为

常数）的图像经过点（。，6）,其对称轴在，轴左侧，则该二次函数有（）

B-最大武D.最小若

A.最大值5C.最小值5

例10：（2023•浙江•校联考统考一模）在平面直角坐标系中，二次函数〉=-3尤2+云+6（Z;<1）的图象交X

轴于点A,8（点A在B的左侧），当-LKXK3时，函数的最大值为8,则匕的值为（）

35

A.-1B.——C.-2D.——

22

变式L（2022上•浙江杭州•九年级统考期末）二次函数）=〃冗2+4%+1（。为实数，且。<0）,对于满足

04%（根的任意一个次的值，都有-2WyW2,则机的最大值为（）

123

A.—B.—C.2D.—

变式2.（2023•浙江•校联考二模）已知二次函数y=-（x-1）2+10,当相力斗，且机时，y的最小值

为2m,y的最大值为2几，则机+〃的值为（）

53

A.3B.-C.2D.-

22

核心考点3.二次函数与各项系数之间的关系

例11：（2022•四川遂宁•统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c,

则m的取值范围是.

变式L（2023湖南省株洲市中考数学真题）如图所示，直线/为二次函数丁=改2+云+°（〃。0）的图像的对

称轴，则下列说法正确的是（）

A.b恒大于0B.a,b同号C.a,匕异号D.以上说法都不对

变式2.（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，抛物线丁=办2+法+。与x轴交于点（3,0）,则下列结

论中正确的是（）（多选题）

C.b1-4ac<0D.9a+3Z?+c=0

例12：（2023年山东省聊城市中考数学真题）已知二次函数^=加+法+c（aw0）的部分图象如图所示，图

象经过点（。,2）,其对称轴为直线x=-1.下列结论：①3a+c＞0；②若点（T，X）,（3,%）均在二次函数

图象上，则%＞必;③关于龙的一元二次方程加+6x+c=-l有两个相等的实数根；④满足加+版+。＞2

的x的取值范围为-2〈尤＜0.其中正确结论的个数为（）.

C.3个D.4个

变式1.（2023年湖北省武汉市数学真题）抛物线'=以2+法+。（。涉,。是常数，。＜0）经过（1,1）,（私0）,（〃,0）

三点，且让3.下列四个结论：①》＜0；②③当w=3时，若点（2,。在该抛物线上，则cl；

④若关于尤的一元二次方程依2+bx+c=x有两个相等的实数根，则。＜根.其中正确的是_（填写序号）.

变式2.（2023年四川省雅安市中考数学真题）如图，二次函数y=++6无+c的图象与天轴交于A（-2,0）,

B两点,对称轴是直线x=2,下列结论中，①。>0；②点8的坐标为（6,0）；③c=36；④对于任意实数

m,都有4a++加7,所有正确结论的序号为（）

A.①②B.②③C.②③④D.③④

核心考点4.二次函数与方程、不等式

例13：（2023湖南省衡阳市中考数学真题）已知机>〃>0,若关于尤的方程f+2x—3=0的解为

xl,x2（x1<x2）.关于尤的方程f+2X-3-77=0的解为三,三（不<X4）.则下列结论正确的是（）

A.工3<再<工2<匕B.x1<x3<x4<x2C.尤］<尤2<尤3<戈4D.斗<彳4<苞<X2

变式1.（2023年江苏省泰州市中考数学真题）二次函数y=/+3x+〃的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，

则n的值可以是（填一个值即可）

变式2.（2023・湖南长沙•模拟预测）抛物线y=a/+6x+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元

二次方程依2+fox+c=0的两根为.

J▲I

■7°lI'--------«

变式3.（2023年四川省南充市中考数学真题）抛物线了=-炉+履+左-与x轴的一个交点为4九°），若

4

则实数上的取值范围是（）

212199

A.——<k<lB.k<——或左C.-5<k<-D.kM—5或kN—

4488

例14：（2023•湖北武汉•校考一模）方程V+3x=i的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=l的图象交点

X

的横坐标，那么用此方法可推断出方程％3—2/+兄=3的实数根%所在的范围是（）

A.l<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4Vx<5

变式1.（2023•湖北•校考模拟预测）如图，抛物线>与直线y="+c的两个交点坐标分别为人