尺规作图与计算- 2024年中考数学拉分压轴重难点突破

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专题05尺规作图与计算大全

1.如图，在已知的MC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于的长

为半径作弧，两弧相交于两点M,N；②作直线交AB于点。，连接CD.若CD”,

【答案】A

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【分析】根据作图，得到。B=r>C,根据C£»=AC,NA=50。，利用三角形内角和定理，三角

形外角性质计算求解即可.

【详解】•.•MN是的垂直平分线，

/.DB=DCJ

/.ZB=ZDCB,

/CD=AC,ZA=50°,

/.ZCDA=50°=ZB+NDCB,ZAC£>=180o-50°-50o=80°,

/.ZB=ZDCB=25°,ZACD=80°,

/.ZACB=ZDCB+NACD=80°+25°=105°,

故选：A.

【我思故我在】本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，

熟练掌握线段垂直平分线，灵活运用三角形外角性质是解题的关键.

2.如图，在ABC中，AB=AC,NA=40。，点。，P分别是图中所作直线和射线与A8,

8的交点，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）

C.ZBPC=115°D.NPBC=ZACD

【答案】D

【分析】根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断A、B,再根据等腰三角形的性质和

三角形的内角定理判断C、D.

【详解】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于R2尸平分NABC,

..AD=CD,ZABP=ZCBP；选项A、B正确；

ZA=40°,

ZACD=ZA=40°,

-：ZA=40°,AB^AC,

：.ZABC=ZACB=10°,

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ZABP=NCBP=35。,

：.NPBCwNACD选项D错误；

/BCP=ZACB-ZACD=70°-40°=30°,

NBPC=180°—NCBP—NBCP=115°,选项C正确.

故选：D.

【我思故我在】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的

性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.

3.如图，已知8,小妍同学进行以下尺规作图:

①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线A3于点E；

②以点E为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M,N；

③分别以点M,N为圆心，大于的长为半径作弧，交于点F,直线EF交CL（于点G.若

ZffiE=1，则NA的度数可以用。表示为（）

A.900-aB.90°--aC.180。-4aD.2a

2

【答案】D

【分析】由作图可知：AC=AE,CE±CE,所以NACE=NAEC,NCEG=90。，则

ZCGE+ZECG=90°,所以NECG=90°-a,再根据平行线的性质得NAEC=ZECG=90°-a,即

可由三角形内角和定理求解.

【详解】解：由作图可知：AC=AE,CEYCE,

：.ZACE=NAEC,ZCEG=90°,

ZCGE+NECG=90°,

ZECG=90°-a,

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AB//CD,

ZACE-Z.AEC=NECG=90°-a,

：.ZA=180°-ZACE-NA£C=180°-2ZA£C=180°-2（90°-ct）=2a,故D正确.

故选：D.

【我思故我在】本题考查作线段等于已知线段，经过上点作直线的垂线，平行线的性质，等

腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握尺规基本作图和三角形内角和定理是解题的

关键.

4.已知锐角NAOB如图，（1）在射线0A上取一点C,以点。为圆心，0C长为半径作PQ,

交射线0B于点D,连接CD；

（2）分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M,N；

（3）连接OM,MN.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

/1\

/

/\1

_

O［产A

\I

A.ZCOM=ZCODB.若OM=MN,则NAOB=20°

C.MNIICDD.MN=3CD

【答案】D

【分析】由作图知CM=CD=DN,再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得.

【详解】解：由作图知CM=CD=DN,

/.ZCOM=ZCOD,故A选项正确；

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Q

,/OM=ON=MN,

・•.△OMN是等边三角形，

/.ZMON=60°,

,/CM=CD=DN,

/.ZMOA=ZAOB=ZBON=|zMON=20°,故B选项正确;

ZMOA=ZAOB=ZBON,

18(r-NCOD

/.ZOCD=ZOCM=

2

/.ZMCD=180°-ZCOD,

又NCMN=-ZAON=ZCOD,

2

/.ZMCD+ZCMN=180°,

/.MNIICD,故C选项正确；

MC+CD+DN>MN,且CM=CD=DN,

/.3CD>MN,故D选项错误；

故选D.

【我思故我在】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理

等知识点.

5.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，A3长为半径画弧交AO于点尸，再分别

以点B、尸为圆心，大于gb歹的相同长为半径画弧，两弧交于点P,连接AP并延长交BC于

点E,连接EF.根据以上尺规作图的过程,小明得到下列结论：①AE平分NDW②AABF

是等边三角形@EF=CD®AB=BE,其中，结论正确的有（）个

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A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由作图可知，AE平分NBAO,证明四边形ABC。是菱形，可得结论.

【详解】解：由作图可知，AE平分NBA。，故①正确，

ZBAE=NEAD,

四边形ABC。是平行四边形，

CBWAD,AB=CD,

：.ZAEB=NEAD,

ZBAE=NBEA,

.AB=BE,故④正确，

AF=AB,

：.BE=AF,

■：BEWAF,

：.四边形A3斯是平行四边形，

AB=AF,

：.四边形A8跖是菱形，

AB=EF,

：.EF=CD,故③正确.

无法判断aABF是等边三角形，

故选：C.

【我思故我在】本题考查作图一复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识,

解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题.

6.如图，A5C中，若N54C=80。，ZACB=70°,根据图中尺规作图的痕迹推断，以下

结论错误的是（）

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B.DE=-BD

2

C.AF=ACD.ZEQF=25°

【答案】D

【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形

的性质判断即可.

【详解】ABAC=80°,ZACB=70。，

ZB=180°-ZBAC-ZACB=30°,

A.由作图可知，AQ平分/BAC,

NBAP=/CAP=-ABAC=40°,

2

故选项A正确，不符合题意；

B.由作图可知，M2是BC的垂直平分线,

ZDEB=90°,

ZB=30°,DE=-BD,

2

故选项B正确，不符合题意；

C.ZB=30°,4P=40°,=ZAFC=70°,

ZC=70°,AF=AC,

故选项C正确，不符合题意；

D.-/ZEFQ=ZAFC=70°,ZQEF=90°,

/.ZEQF=20°；

故选项D错误，符合题意.

故选：D.

【我思故我在】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义,三角形外角的性质,

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直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息.

7.如图，在平行四边形?1BCD上，尺规作图：以点A为圆心，A8的长为半径画弧交于

点F,分别以点B、尸为圆心，以大于J8尸的长为半径画弧交于点P,作射线A尸交于

点、E,连接EF.若BF=12,AB=10,则线段4E的长为（）

【答案】C

【分析】证明四边形是菱形，得到。4=0E,0B=0F=6,AEYBF,再在RfZAOB中

由勾股定理求出OA即可解决问题.

【详解】解：1,以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点尸，

AF=AB,

•••分别以点B、尸为圆心，以大于的长为半径画弧交于点P,作射线AP交3c于点E,

二直线AE是线段8尸的垂直平分线，且AP为N刚2的角平分线，

EF=EB,ZFAE=ZBAE,

■■■四边形ABCD为平行四边形，

/.ADWBC,ZFAE=AAEB,

/.ZAEB=NBAE,

BA=BE,

/.BA=BE=AF=FE,

四边形ABM是菱形；

AE,LBF,OB=OF=6,OA=OE,

ZAOB=90°,

在RtAAOB中：AO=7AB2-OB2=V102-62=8，

AE=2AO=16,

故选：C.

【我思故我在】本题考查的是菱形的判定、垂直平分线、角平分线的尺规作图、勾股定理等

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相关知识点，掌握特殊四边形的判定方法及重要图形的尺规作图是解决本题的关键.

8.如图，在,AfiC中，ZC=90°,ZBAC=60°,用尺规作图，作NBAC的平分线交3C于点

D,则下列说法中：

①若连接贝I]AMP^：ANP；

②ZAZ)C=60。；

③点。在AB的中垂线上；

④SDAC:S布=1：3・

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①连接PM,PN,根据SSS定理可得△ANP,故可得出结论；

②先根据三角形内角和定理求出NCAB的度数，再由AO是NBAC的平分线得出

N1=Z2=30°,根据直角三角形的性质可知NADC=60。；

③根据N1=Z2可知AD=BD,故可得出结论；

④先根据直角三角形的性质得出N2=30。，CD=^AD,再由三角形的面积公式即可得出结论.

【详解】证明：①连接NP,MP,

在ZkAMP与AANP中，

'AN=AM

-：<NP=MP,

AP=AP

AAMP^△ANP(SSS),

则NCA£)=ZBAD,

故AO是NB4c的平分线，故此选项正确；

②证明：...在ZABC中，NC=90°,ZB=30°,

ZCAB=60a.

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・；AO是NB4c的平分线，

Z1=Z2=1zCAB=30°,

：.Z3=90°-Z2=60°,ZADC=60°,故此选项正确；

③证明：N1=N8=30。,

AD=BD,

.,.点。在AB的中垂线上，故此选项正确；

④证明：...在RtZACD中，N2=30°,

CD=^AD,

BC=BD+CD=AD+1AD=|AD,SADAC=^AC-CD=^AC'AD,

1i33

SAABC=~AC*BC--AC*—AD=—AC*AD,

2224

.SADAC：SAABC=1：3,故此选项正确；

故选：D.

A

【我思故我在】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图-基本作图，熟

知角平分线的作法是解题的关键.

9.如图，在△ABC中，AB=AC,用尺规作图的方法作出射线AD和直线ER设交EF

于点O,连结BE、OC.下列结论中，不一定成立的是（）

A.AE1.BEB.EF平分NAEBC.OA=OCD.AB=BE+EC

【答案】A

【分析】由图可知，AD平分NBAC,EF垂直平分AB.根据等腰三角形的性质以及线段垂直

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平分线的判定与性质对各选项进行判断即可.

【详解】解：由图可知，AD平分NBAC,EP垂直平分

AB=AC,A。平分NBAC,

.•.AD垂直平分2C,

OB=OC,

所垂直平分AS

OA=OB,BE=AE,

：.OA=OC,故选项C结论成立；

BE=AE,ER垂直平分AB,

:.EF平分NAEB,故选项8结论成立；

BE=AE,AB=AC,

：.AB=AC=AE+EC=BE+EC,故选项D结论成立；

当NBAC=45。时，AEA.BE,故选项A不一定成立.

故选：A.

【我思故我在】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟

练掌握相关定理是解题的关键.

10.小明在研究矩形的时候，利用直尺和圆规作出了如图的图形，依据尺规作图的痕迹，可

知/a的度数为（）

A.56B.68C.28°D.34

【答案】A

【分析】由尺规作图可知，EF是AC的垂直平分线，AE是NDAC的角平分线，即可求出NAFE

和NEAF的度数，然后利用三角形内角和定理求解.

【详解】解：如图所示，

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由尺规作图可知，EF是AC的垂直平分线，AE是NDAC的角平分线,

ZAFE=90°,ZEAF=|ZDAC,

ADIIBC,

ZDAC=ZACB=68°,

ZEAF=34°,

ZAEF=180°-ZEAF-ZAFE=56",

Za=ZAEF=56°,

故选A.

【我思故我在】本题考查了尺规作图一作垂直平分线和角平分线，熟练掌握尺规作图的方法

和线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质是解题关键.

11.如图，已知△ABC,ZACB=90°,BC=3,AC=4,小红按如下步骤作图：

①分别以A、C为圆心，以大于［AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；

②连接MN,分别交AB、AC于点。、O；

③过C作交于点E,连接AE、CD.

则四边形AOCE的周长为（）

A.10B.20C.12D.24

【答案】A

【分析】根据题意得：是AC的垂直平分线，即可得AO=CD,AE=CE,然后由CE//AB,

可证得COIIAE,继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AO,进而求出菱形

ADCE的周长.

【详解分别以A、C为圆心，以大于《AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、

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N,

二MN是AC的垂直平分线，

AD=CD,AE=CE,

ZCAZ）=ZACD,ZCAE=ZACE,

-：CE//AB,

ZCAD=Z.ACE,

：.ZACD=ZCAE,

CD//AE,

四边形AOCE是平行四边形，

四边形ADCE是菱形；

OA=OC=^AC=2,OD=OE,ACA.DE,

•••ZACB=90",

；.DE//BC,

：.O。是△ABC的中位线，

OD=^BC=^x3=1.5,

AD=VOA2+OD2=2.5,

菱形ADCE的周长=440=10.

故选A.

【我思故我在】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，

三角形中位线的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

12.如图，在中，ZACB=90°.按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为

半径画弧，分别交AC,CB于点、N,M；②分别以V,N为圆心，大于的长为半

径画弧，两弧在NACB内交于点G；③作射线CG.若AC=4,。为AC边的中点，E为

射线CG上一动点，则AE+DE的最小值为（）

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C.273D.5

【答案】B

【分析】由题意得，CG为NACB的角平分线，在C2上截取C4/=C4,可得是等腰

直角三角形，继而得到CG垂直平分A4/,则4为点A关于CG的对称点，连接4。，交

CG于点E,此时AE+DE最小，即4。的值，利用勾股定理求解即可.

【详解】

由题意得，CG为-ACB的角平分线,

在CB上截取CAi=CA,

-ZACB=90°,

.•.△ACA是等腰直角三角形,

.-.CG^AA„AG^^G,即CG垂直平分44/,

.•.4为点A关于CG的对称点，

连接A/D,交CG于点E,

/.AE=AlEf

此时AE+DE最小,即4。的值，

AC=4,。为AC边的中点，

/.AyC=4,CD=2,

\D=y^\C2+CD2=2A/5,

即AE+DE=2^/5,

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故选：B.

【我思故我在】本题考查了角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质，垂直平分线的

性质及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键.

13.如图，在YABCD中，以点A为圆心，以适当长度为半径作弧分别交AB、AD于点E、

F,再分别以点£、厂为圆心，大于E尸一半的长度为半径作弧，两弧交于一点”，连接

并延长交DC于点G,若AB=5,A£>=4,则CG的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据作图过程可得AG平分ND4B,再根据角平分线的定义和平行四边形的性质可

证明NZMG=NDGA,进而得到AD=r>G=4,即可求出CG.

【详解】解：根据作图的方法可得AG平分

ZDAG=ZBAG,

•••四边形ABCD是平行四边形，

CD//AB,CD=AB=5,

：.ZDGA=ZBAG,

：.ZDAG=ZDGA,

：.AD=DG=4,

：.CG=CD-DG=5-4=1,

故选:A.

【我思故我在】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、等角对等边；熟记平

行四边形的性质是解决问题的关键.

14.如图，在矩形ABCD中，连接AC,以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交

AD,AC于点E,F,分别以点E,尸为圆心，大于;E尸的长为半径画弧，两弧在NOAC内

交于点G,作射线AG,交DC于点H.若AO=6,A8=8,则△AaC的面积为（）

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C.15D.9

【答案】C

【分析】过H点作HML4C,如图，利用基本作图得到A”平分ND4C,则根据角平分线的

性质得到再利用勾股定理计算出AC=10,接着证明MA4M8得

AM=AD=6,所以CM=4,设CH=x,则DH=HM=8-x,在中利用勾股定理得到（8-x）

2+42=/,解得x=5,然后利用三角形面积公式计算△AHC的面积.

【详解】解：过“点作“M_LAC,如图，

由作法得A/平分ND4C,

DH=MH,

■.四边形A2CZ)为矩形，

CD=AB=8,

在MA4OC中，AC=762+82=10.

在RtAADH和RtAAMH中,

(AH=AH

[DH=MH'

RfAAD虫RtAAMH(HL),

AM=AD=6,

.CM=AC-AM=W-6=A,

设C8=x,贝I]£>a=fflW=8-x,

在心△C”M中，(8-x)2+42=/,

解得x=5,

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&A//C的面积=gc"-AO=Jx5x6=15.

故选：C.

【我思故我在】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也

考查了角平分线的性质和矩形的性质.

15.如图，在Rt^ABC中，NC=90。，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边BC、

上截取2£、BD-,然后分别以点E为圆心，大于为半径作弧，两弧在NCBA内

交于点R作射线2歹交AC于点G.若CG=4,P为边上一动点，则GP的最小值为（）

【答案】B

【分析】根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可.

【详解】解：过点G作GPLAB于点P,

由尺规作图步骤可得，2G平分NA2C,

ZC=90°,GPrAB,CG=4,

GC=GP=4,

P为边AB上一动点，

GPNGP,

GP的最小值为4.

故选：B.

【我思故我在】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，熟记垂线段最短是解

题的关键.

16.如图，小明在以NA为顶角的等腰三角形ABC中用圆规和直尺作图，作出过点A的射

线交BC于点。，然后又作出一条直线与AB交于点E,连接DE,若△BED的面积为4,则

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A.1B.4C.12D.16

【答案】D

【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积解答即可.

【详解】解：由作图可知，AO平分NBAC,EE垂直平分AB

AE=BE

SABED=^SAABD=4,即S2ABO=8

AB=AC,A。平分NBAC,

/.BD=DCj

SAABD=^SAABC=8,即SWA8C=16.

故选D.

【我思故我在】本题主要考查复杂作图、等腰三角形的性质、三角形中线等知识点，解题的

关键是理解三角形的中线平分三角形的面积.

17.如图，在YABCD中，A£>>43,按以下步骤作图：

（1）以点A为圆心，的长为半径作弧，交AD于点E；

（2）分别以点B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在NBA。的内部交于点G,

连接AG并延长交BC于点E若AB=5,BE=6,则AB的长是（）

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A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】设A/交BE于H,证明四边形AE7仍是菱形，利用勾股定理求出即可.

【详解】解：设A/交55于H,

由题意得A庆AE,A尸平分NBA。,

/.ZBAF=ZEAF,

四边形A3CO是平行四边形，

.,.ADWBC,

ZEAF=AAFB,

：.ZBAF=NAFB,

AB=BF,

/.BF;AE,

,/AEZBF,

••・四边形AE7由是平行四边形，

••・AB=EF,

AB=AE=EF=BF,

「•四边形A瓦由是菱形，

..AH=FH,BH=HE=3,AFA.BE,

••,AH=1AB2_BH2=4,

/.AF=2AH=8,

故选：C.

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【我思故我在】此题考查了角平分线的作图，菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，正确

理解角平分线的作图是解题的关键.

18.如图，在口8。中，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交C。、BC于点R

G,再分别以点AG为圆心，大于（PG长为半径作弧，两弧交于点X,作射线交AD

于点E,连接BE,若