2023年高中数学等比数列知识点总结与典型例题

等比数列知识点总结与典型例题

1、等比数列的定义：-^=?(^^0)(n>2,>ne2V*)-4称为公比

an-\

2、通项公式：

a=an1nn

niQ——q-A-B(ax-0,A-By：0),首项：％;公比：q

q

lm

推广：a”=amq'-o/一"'=&o"="

%Vam

3、等比中项：

(1)假如a,A,b成等比数列，那么A叫做。与方的等差中项，即：发二口人或A=±疝

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(

(2)数列｛%｝是等比数列=。〃2

4、等比数列的前〃项和S”公式：

(1)当q=1时，Sn=nax

(2)当q/l时，s“=巫⑴=幺二型

“\-q1-q

=-^----尘/=A-AW=AE-A'(A,3,A⑷为常数)

1-q1-q

5、等比数列的鉴定方法：

(1)用定义：对任意的〃，都有。用=饵或—=q(q为常数，。，尸0)。｛。〃｝为等比数列

(2)等比中项:=4+1%(4+避,1/0)。｛q｝为等比数列

(3)通项公式：见=A©(A5w0)o｛%｝为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：若乌-=4(4/0乂〃22,且〃€旷)或4+1=qanu>｛4｝为等比数列

an-\

7、等比数列的性质：

(2)对任何办“eN*,在等比数列｛”“｝中,有%=414fo

(3)若/〃+〃=s+《/〃,”,sJeN*),则。特别的，当加+〃=2左时，得

2

a屋am=ak注：％・an=4-=%4筌…

等差和等比数列比较:

等差数列等比数列

定义«„+1~an=d也=M#0)

an

递推公

-~八

aan—m

a„=^,_1+d;an=a,n_n+mdn=n-\Q；a=c1q

式nm

通项公

an=ax+(n—l)dan=。1夕〃-1(a/wO)

式

G——ylan-kan+k^an-kan+k>°)

A入产.».\

中项A=-^-n----k--+---°-n-+--k-I(n.kj,nAkA0)

2Qn,kGN*,n>k>4)

Sn=/(。1+。〃)na、(q=1)

前"项和S"=<a「aq,、

一n\q—

S"=叫+2d\-q1-q

重要〃aaaaa

%+%="+qm'n=p'q

性质(m,n,p,qwN”,m+n=p+q)(m,n,p,qeN*,m+n=p+q)

经典例题透析

类型一：等比数列的通项公式

例1.等比数列｛4｝中,%=64,/+%=20,求知.

思绪点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于％和q的二元方程组，解出生

和“，可得a”；或注意到下标1+9=3+7,可以运用性质可求出的、%,再求知.

解析：

法一：设此数列公比为勿则卜%=4.侬8=6：(1)

1%+%=4夕+%q-20(2)

由(2)得：//("/)=20...........(3)

••>0.

由(1)得：(％/)2=64,qq4=8……(4)

(3)+(4)得：电L胃斗

qo2

2/_5q2+2=0,解得/=2或/=；

当/=2时，%=2,a”=%•一°=64；

当d=；时，%=32,%]=%•=1.

法二：4•%=%,%=64，又％+%-20,

•••%、出为方程--20%+64=0的两实数根,

・=16或=4

%=4%=16

2

*.*〃3•41=%2,0n=，-=1或4=64.

〃3

总结升华：

①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时运用性质可以减少计算量；

②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，经常整体代入以达降次目的，故较多变形要用

除法（除式不为零）.

举一反三：

【变式1]{an}为等比数列，ai=3,a9=768,求a6。

【答案】±96

法一:设公比为q,则768=aiq%q8=256,q=±2,.,.a6=±96；

法二：a5?=aia9na5=±48nq=±2,.*.a6=±96o

【变式2]{an}为等比数列,an>0,且aia89=16,求a44a45a46的值。

【答案】64；

♦%Ogg=。45=16,3^an0,••345=4

••a44a45a46=<745=640

【变式3]已知等比数列{a“},若卬+%+。3=7,0102a3=8,求。

【答案】a“=2"T或册=23-"；

法一：•=。2，•,0102a3~〃2=8,••。之=2

...CLi+Qq=5,、..__p

从而\,解之得％=1,q=4或4=4,%=1

。1。3=4

当q=l时，q=2；当％=4时，Q=~°

故为=2〃一1或4=23-〃。

法二：由等比数列的定义知4=a\Q，%=*

代入已知得］…闷+砥2=7

Jq(l+9+，)=7,Jq(l+4+q2)=7,(1)

〃W=8［a^=2(2)

2

将〃］二—代入(1)得2d—5g+2=0,

q

解得q=2或q=g

--i%=4

由(2)得%=或i,以下同方法一。

u=2ri

类型二：等比数列的前n项和公式

例2.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.

解析：若q=l,则有S3=3ai,Se=6ai,S9=9ai.

因a#0,得S3+S6先S9,显然q=l与题设矛盾，故/L

由S3+$6=2s9得>——―~|―—―~——■——~,

1-<7l-q1-q

整理得q3(2q6-q3-1)=0,

由q/),得2q6-q3-l=0,从而(2q3+l)(q3-l)=0,

因q3»,故八―；，所以好―当。

举一反三：

【变式11求等比数列的前6项和。

39

【答案】箸

%=1,q=g,〃=6

【变式2】已知：⑶｝为等比数列，aia2a3=27,S3=13,求S5.

【答案】121或方；

【变式3】在等比数列｛4｝中，6+4=66,gq_］=128,S〃=126,求几和9。

【答案】q=工或2,〃=6；

2

*.*a2-an_1=%♦册,/.a｛an=128

—、/口(。

解方程组％CLa〃=128，得］1=64或_^^］=2一

［%+为=66K=2［an=64

①将卜代入s〃=幺"，得q」,

［。〃=21-q2

nx

由%=axq~,解得〃=6；

②将H=2代入s“=&Z5d,得q=2,

%=641-q

由=a©",解得n—6o

.•・4=；或2,n=6。

类型三：等比数列的性质

62+…+1°§3

例3•等比数列｛?｝中，若名•〃=9,求log3%+log3。%0.

解析:

10=〃29=3,“8=〃4.%=〃5.“6

V｛an｝是等比数列，:・4•〃•。。=9

55

/.log3ax+log3a2+—i-log3aio=log3(q-a2-a3aw)=log3(^5-a6)=log39=10

举一反三:

［变式1］正项等比数列｛。〃｝中，若ai-aioo=lOO;则lgai+lga2+.......+lgaioo=

【答案】100；

VIgai+lga2+lga3+.......+Igaioo=lg(ai-a2-a3-........-aioo)

而ai-aioo=a2-a99=a3-a98=........=a50-a5i

原式=lg(ai・aioo严=501g(ai・aioo)=5Oxlg100=100。

【变式2】在|和孑之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为

【答案】216；

法一：设这个等比数列为｛q,｝,其公比为q,

法二：设这个等比数列为｛4｝,公比为q,则q=|,生=§，

加入的三项分别为内，。3，

Q27

由题意q,a?,%也成等比数列，，徭=§*至=36，故％=6，

••a、'=216。

类型四：等比数列前n项和公式的性质

例4.在等比数列｛4｝中,已知5“=48,$2“=60,求必。

思绪点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中

前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。

解析：

法一：令bl=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n

观测bi=ai+a2+...+an,

n

b2=an+i+an+2+....+a2n=q(ai+a2+....+an),

2n

b3=a2n+i+a2n+2+...+a3n=q(ai+a2+....+an)

h1i92

易知bi,b2,b3成等比数列，4=工=--=3,

3

bx48

，S3n=b3+S2n=3+60=63.

法二：•:"2Sn，

《"”=48

①

由已知得＜i-q

区5=60

②

i—q

②，①得“今即心③

③代入①得卫=64,

i-q

••・$3〃=%(],)=64(1-1)=63。

〃

法三：•.•｛%｝为等比数列，...S"，S2n-Sn，$3-$2.也成等比数列，

2

(S2n-Sn)=Sn(S3n-S2n),

・F=—+s「明普+6。=63。

举一反三：

【变式1】等比数列｛%｝中，公比q=2,S4=l,则S8=.

【答案】17；

Ss=S4+a5+a6+a7+a8=S4+aiq4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(ai+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(l+q4)=lx(l+24)=17

【变式2]已知等比数列｛%｝的前n项和为Sn,且SIO=1O,S2O=4O,求:S3o=?

【答案】130；

法一'：S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列，(S20-S10)2=S10-(S30-S20)

即3O2=1O(S3O-4O),AS3O=13O.

法二：,.♦2SI(#S20,：.q^l,

•••510=**=10,邑。="二冷=40,

1-ql-q

=〃。=3,—5

1-q41-q

530=^=(-5)(1-33)=13°-

【变式3】等比数列｛4｝的项都是正数，若Sn=80,S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求

n.

【答案】枭否则

S”=4(1H=80...(1)

1-q

q(l-f)A"。。

S2n=e----=6560...(2),

i-q

(2):(1)得：l+qn=82,/.qn=81……(3)

•••该数列各项为正数，...由(3)知q>l

.••｛an｝为递增数列，...an为最大项54.

n-1n

/.an=aiq=54,aiq=54q,

A81ai=54q....(4)

5429

*>•a——q=—q代入⑴得一q(l—81)=80(1—q),

x8133

••q=3,••n—4.

【变式4］等比数列｛a“｝中，若ai+a2=324,as+a4=36,则as+a6=.

【答案】4；

令bi=ai+a2=ai(l+q),b2=a3+a4=aiq2(l+q),b3=a5+a6=aiq4(l+q),

>2

易知：bi,b2,b3成等比数列，---=4,即as+a6=4.

bi324

【变式5】等比数列｛a,｝中,若ai+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。

【答案】448；

｛an｝是等比数歹U，(a4+as+a6)=(ai+a2+a3)q3,**.q3=8,

a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56x8=448.

类型五：等差等比数列的综合应用

例5.已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32,则成等差数列.若再将此等

差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求本来的三个数.

思绪点拨：恰本地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，

并将其设为整式形式.

解析：

法一：设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.

则a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.

.a?=(〃-d)(a+d+32)........(1)

(〃-4)2=(〃-d)(〃+d).........(2)

由(2)得2=日学.....⑶

O

由(1)得32a=d2+32d.........(4)

Q

(3)代(4)消a,解得d=§或d=8.

.•.当1=§时,。=型；当d=8时,a=10

39

・••本来三个数为|■耳，等或2,10,50.

2

法二：设本来三个数为a,aq,叫2,则a?aq,aq-32成等差数列，a,叫-4,叫2.32成等比数列

.2aq=a+aq1-32........。

(〃[-4『二a{aq2-32)......Q)

2

由(2)得。=——，代入⑴解得q=5或q=13

q-4

2

当口=5时a=2；当用3时ay.

•••本来三个数为2,10,50或2,—.

999

总结升华：选择适当的设法可使方程简朴易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-

d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为二，x,xy0但还要就问题而言，这里解法二中

y

采用首项a,公比q来解决问题反而简便。

举一反三：

【变式11一个等比数列有三项，假如把第二项加上4,,那么所得的三项就成为等差数

列，假如再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列，求本来的

等比数列.

【答案】为2,6,18或士-3,卫；

999

设所求的等比数列为a,aq,叫2；

则2(aq+4)=a+aq2,M(aq+4)2=a(aq2+32)；

,2

解得a=2,q=3或。=§,q=-5；

故所求的等比数列为2,6,18或2,—W,史.

999

【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。

【答案】1、3、9或—1、3、—9或9、3、1或—9、3、—1

设这三个数分别为3。,组，

--a-aq=21

q

由已知得＜

«2(—+(72+1)=91

q-

得9/_82d+9=0,所以/=9或/=§,

故所求三个数为：1、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1。

【变式3］有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第

四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.

【答案】0，4,8,16或15,9,3,1；

设四个数分别是x,y,12-y,16-x

.J2y=x+12-y....()

…(12—y)2=y(16—x).……Q)

由(1)得x=3y-12,代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)

/.144-24y+y2=-3y2+28y,.\4y2-52y+144=0,

，y2-13y+36=0,I.y=4或9,

x=0或15,

，四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

类型六：等比数列的判断与证明

例6.已知数列｛a“的前n项和Sn满足：log5(Sn+l)=n(ngN+),求出数列｛a“的通项公式，并

判断｛an｝是何种数列?

思绪点拨：由数列｛an｝的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断｛an｝类型.

解析：log5(Sn+l)=n,Sn+l=5n,Sn=5n-1(n©N+),

.*.ai=Si=51-l=4,

nn1nn]n1n1

当n>2时，an=Sn-Sn-i=(5-l)-(5--l)=5-5-=5-(5-l)=4x5-

n111

而n=l时，4x5-=4x5-=4=ai,

.,.n©N+时，an=4x5n-1

由上述通项公式，可知｛an｝为首项为4,公比为5的等比数列.

举一反三：

【变式1]已知数列｛Cn｝,其中Cn=2n+3L且数列｛Cn+1-pCn｝为等比数列,求常数p。

【答案】p=2或p=3；

•••｛Cn铲pCn｝是等比数列,

对任意nWN且应2,有(Cn+l-pCn)2=(Cn+2-pCn+l)(Cn-pCn-l)

VCn=2n+3n,A[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]-[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]

即[(2-p>2n+(3-p>3n]2=[(2-p).2n+l+(3-p>3n+l].[(2-p>2n-l+(3-p>3n-l]

整理得：」(2-p)(3-p>2"-3'=0,解得：p=2或p=3,

6

显然Cn+l-pCn和，故p=2或p=3为所求.

【变式21设｛an｝、｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列｛Cn｝不是等比数

列.

【证明】设数列｛an｝、｛bn｝的公比分别为p,q,且讨q

为证｛Cn｝不是等比数列，只需证

*.*C；=(qp+如)2=a；p?+b；q?+2a/ipq,

C1C3=(%+bjap?+bd)=《p2+bjq?+帖[旧+q?)

•*.C1,C3—(p—q)-,

又,:p#q,ai#O,bi#O,

G•G-《片0即G•C3wcl

•••数列｛Cn｝不是等比数列.

【变式3】判断正误：

(l)｛an｝为等比数列na7=a3a4；

(2)若b?=ac,则a,b,c为等比数列;

(3)｛an｝,｛bn｝均为等比数列，则｛anbn｝为等比数列;

(4)｛an｝是公比为q的等比数列，则｛说｝、[工]仍为等比数列；