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文档简介
第一章集合与常用逻辑用语
第一节集合
明1知
课标:教考
要求,导向
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(
列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.在具体情境中,了解全集与空
集的含义.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集.
能使用Venn图表示集合的关系及运算.
课前——教材温顾学习"2方案”
11主干知识回顾一遍
1.集合与元素
元素的特性确定性、互异性、无序性
若〃属于集合A,记作组A;
元素与集合的关系
若万不属于集合A,记作处1
集合的表示法列举法、描述法、图示法
2.常见数集的记法
自然数集正整数集整数集有理数集实数集
NN*(或N+)ZQR
3.集合间的基本关系
表示
文字语言记法
关系
子集集合A中任意一个元素都是集合3中的元素4U3或
集合
集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元
间的真子集A3或3A
素不属于A
基本
集合A中的每一个元素都是集合5中的元素,集
关系相等A=B且3=404=3
合3中的每一个元素也都是集合A中的元素
空集空集是任何集合的壬集,任何非空集合的真子集
4.集合的基本运算
文字语言图形表示符号语言
所有属于集合A或者属于集合B的
并集
元素构成的集合00
所有属于集合A且属于集合B的元
交集AC5={x|xGA,且xGB}
素构成的集合
补集若全集为U,则集合4的补集为(:以u&[.uA={x\x^U,Kx^A)
5.集合的运算性质
API0=0,
交集AQB=BQAfAQBQA,AQBQB,AQA=AfAQB^AQB=A
AU0=A,
并集AUB=BUA,AUB^A,AUB^B,AUA=A9A^B<F>AUB=B
Ct/(Ct/A)=A,C^0=LZ,CuU=An(Ct/A)=0,
补集。,AU([jUA)=U
二级结论与微点提醒
(1)若有限集4中有"个元素,则A的子集有2"个,真子集有2"—1个,非空子集有2"
—1个,非空真子集有2"一2个.
(2)4既说明A中任何一个元素都属于3,也说明3中至少存在一个元
素不属于A.
(3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性.
(4)CiXAnB)=(CrA)U(CvB),cv(AU5)=([MC&B).
(5)0,{0},0,{0}之间的关系:0#{。},0G{。},0a{05040,o4{0},oe{o},0a{o}.
z2经典小题练悟一遍
1.若集合M={x|*3=x},N={x|*2=l},则下列式子中正确的是()
A.M=NB.MJNC.N=MD.MCN=。
答案:C
2.已知集合4={m一l<x<2},B={x|l<x<3},则ACI3=.
答案:(1,2)
3.设全集U={xCN*|x<9},集合A={3,4,5,6},则[:以=.
答案:{1,2,7,8}
4.已知集合4={”,团,a-2},若3CA,则实数。的值为.
解析:由集合中元素的互异性得aW|a|,故a<0,则a—2<0,又3CA,所以|a|=—。=3,
解得a=-3.
答案:一3
5.由实数x,-x,|x|,p,一於所组成的集合中,最多含有元素的个数为.
解析:由于A/P=|X|,—y[j?=—x9因此当x=0时,x=\x\=y[j?=—y[j?=—x=Of集
合含有1个元素;当x>0时,x=|x|=^/P>0,—^/P=—x<0,集合有2个元素;当xvO时,
—x=|x|=qp=—qF>0,x<0,集合有2个元素;所以集合中最多含有元素的个数为2.
答案:2
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层级一/基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)集合的含义与表示
[题点全训]
1.已知集合4={{0},0},下列选项中均为A的元素的是()
(1){。}(2){{0}}(3)0(4){{。},0}
A.⑴⑵B.⑴⑶
C.⑵⑶D.⑵(4)
解析:选B集合A有两个元素:{0}和0.
2.已知集合4={1,2,3},B={(x,y)\x^A,y^A,|x—y|G4}中所含元素的个数为()
A.2B.4C.6D.8
解析:选C因为A={1,2,3},所以“{(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},3中
含6个元素.故选C.
3.设集合A={(x,y)|x+y=3,xGN*,yCN*},则用列举法表示集合A为.
[x>0,
解析:由x+y=3,x£N*,y£N*,可得彳贝汁0vxv3,又・."£N*,Ax=l,
j=3—x>0,
y=2或x=2,y=l,.-.A={(1,2),(2,1)).
答案:{(1,2),(2,1)}
4.已知集合4={12,a2+4a,a-2},一3GA,贝Ja=.
解析:,;一3GA,二一3="2+4”或一3="一2.若-3=“2+4a,解得“=-i或”=-3.
当a=-1时,a2+4a=a—2=—3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当”=—3时,集
合A=[12,-3,-5},满足题意.若一3=。-2,解得a=~l,不满足题意,故舍去.综
上所述,a=—3.
答案:一3
L"点”就过]
解决集合含义问题的关键点
⑴确定构成集合的元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.含字母的集合问题,在求出
字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.
基础点(二)集合间的基本关系
[题点全训]
1.已知集合尸={无}=",一1},集合。=皿=5—1},贝!1()
A.P=QB.PQ
C.QQPD.PC0=0
解析:选B因为P={xly=dx-1},所以*一1'0,即x2l,故「=口,+°°),因为
Q={y\y=\lx-i},且产山一1》0,得。=[0,+°°),所以且尸。。=尸,因此尸
Q,故选B.
2.已知集合{1,2}=AC{1,2,3,4,5,6},则满足条件的A的个数为()
A.16B.15C.8D.7
解析:选A因为{1,2}GAC{1,2,3,4,5,6},
所以集合A中必须含有1,2两个元素,可以含有元素3,4,5,6,因此满足条件的集合A有
24=16(个).
3.集合{x|-l<x<3且xGN}的所有非空真子集的个数为.
解析:因为{x|—l<x<3且XGN}={0,1,2},所以该集合的所有非空真子集的个数为23—2
=6.
答案:6
4.已知集合{1,a,置={0,“2,a+b])则。2022+方2023=.
解析:易知a,詈={0,a2,a+b},
卜
.'.-=o,即Z>=0,.*.a2=l,a=±l.
又由集合中元素的互异性,知
:.a=~l,故,。22+庐023=(_1)2022,)_02023=L
答案:1
[一“点”就过]
判断集合间关系的3种方法
根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从而找出集
列举法
合之间的关系
结构法从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上找差异进
行判断
在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集
数轴法
合之间的关系
层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)集合的基本运算
[典例](1)(2022•全国甲卷)设全集。={-2,—1,0,1,2,3},集合4={-1,2},B={x|x2
-4x+3=0},贝!KU(AU3)=()
A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}
(2)(2022•新高考I卷)若集合M={xg<4},N={x|3xNl},则MDN=()
A.{x|0WxV2}B.卜|
C.{x|3^x<16}D.卜|<尤V16)
[解析](1)集合8={1,3},所以AU3={-1,1,2,3},所以Cu(AU3)={-2,0}.故选D.
(2)因为M={xg<4},所以M={x|0WxV16};因为N={x|3x》l},所以N=]xk
所以MCN=jx1^x<16}.故选D.
[答案](1)D(2)D
[方法技巧]集合的基本运算问题的求解策略
先“简”进行集合的基本运算之前要先对其进行化简,化简时要准确把握元素的性
后“算”质特征,区分数集与点集等
遵“规”定义是进行集合基本运算的依据,交集的运算要抓住“公共元素”;并集
守“矩”的运算中“并”是合并的意思;补集的运算要关注“你有我无”的元素
借“形”在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图或数轴便抽象问题直观化,用
助“数”数轴表示时要注意端点值的取舍
[针对训练]
1.(2022•全国乙卷)设全集。={1,2,3,4,5},集合M满足加拉={1,3},贝!!()
A.2GMB.3GMC.44MD.5阵M
解析:选A由题意知"={2,4,5},故选A.
2.已知集合5=集1=2"+1,nGZ},T={t\t=4n+1,«eZ},则SCI7=()
A.。B.SC.TD.Z
解析:选C集合S是由奇数组成的集合,集合T是由被4除余1的整数组成的集合,
所以TCS,则SCT=T.故选C.
3.设集合4={-1,1,2,3,5,6},B={2,3,4},C={xGR|lWx<3},贝!1(40。U8=()
A.{2}B.{2,3}
C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4)
解析:选D因为A={-1,1,2,3,5,6},C={xGR|lWx<3},所以ACC={1,2},又8=
{2,3,4},所以(AD0U3={1,2,3,4}.故选D.
重难点(二)根据集合的运算或关系求参数
[典例]设集合4={*|/-4忘0},5=32丫+。・0},且4。5=3—2<:«<1},则4=()
A.-4B.-2C.2D.4
[解析]易知A={x|-2WxW2},
5=卜|xW-1},
因为An3={x|-2WxWl},
所以一^=1,解得。=-2.故选B.
[答案IB
[方法技巧]
求参问题的4个注意点
(1)注意两个转化
ACIB=A^A^B;AUS=A^B^A.
(2)注意空集的特殊性
①若3=4,则分8=0和3六0两类进行讨论.
②若408=0,则集合A,3可能的情况有:
A,5均为空集;A与3中只有一个空集;
A,8虽然均为非空集合但无公共元素.
(3)注意结合数轴分析端点值的大小.
(4)注意对结果进行检验,以避免集合中元素重复.
[针对训练]
1.设集合A={0,2,4},B={x|x2—/nx+"=0},若AU5={0,l,2,3,4},贝!Jm+n的值是()
A.1B.3C.5D.7
解析:选D因为集合A={0,2,4},B={x\x2—mx+n=0},AUB={0,l,2,3,4},则3=
l+3=»i,
{1,3},所以1,3是方程x2—»ix+"=0的两根,所以"j因此nz+"=4+3=7.
lX3=n,
2.已知集合4={1,a,a2~l},B={0,l},且3UA,贝!Ja=()
A.0或一1B.0或1
C.1或一1D.0
2
解析:选AV{O,1}=BCA={1>a,a-l),
.,.a=0或a2-1=0,
.,.a=0或a=±l,
又由于集合元素的互异性,应舍去1,
/.a=0或a=—1.故选A.
层级三/细微点——优化完善(扫盲点)
1.(忽视元素的互异性)已知3d{a+2,a2+2],则实数。的值为()
A.1或一1B.1
C.-1D.-1或0
解析:选C当a+2=3时,得a=l,此时/+2=3,不满足集合中元素的互异性,不
合题意;当层+2=3时,得a=±1,若。=1,则a+2=3,不满足集合中元素的互异性,不
合题意;若”=-1,则a+2=l,满足3G{a+2,a2+2].
2.(易混淆集合的代表元素)已知集合4={丫}=1082(*3—1)},B={y\y=\[^2],则AA3
=()
A.(1,+8)B.(-1,2]
C.[2,+8)D.0
解析:选AA={xly=log2(x3—1)}={X|X3—1>0}={X|X>1},B={y\y=\[x-2]={y\y^0],
所以405=(1,+8).
3.(忽视空集致误)已知集合A={x|-l《xW3},集合5={x|l-/nWxWl+M.若3UA,
则m的取值范围是()
A.(一8,2]B.[-1,3]
C.[-3,1]D.[0,2]
解析:选A当雨<0时,5=0,满足3=4;
当机》0时,若只需,一解得0WmW2.
、l+mW3,
综上,机的取值范围是(一8,2].
4.(创新解题思维•排除法)已知集合21/=q62|—2。<3},Af={x|x2+x-6<0},则
=()
A.{x|-3<x<3}B.{x|-2<x<2}
C.{-1,0,1}D.{0,1,2)
解析:选C由集合M中的元素为整数可排除选项A和B,由2阵N可排除选项D,故
选C.
5.(结合新定义•开放性问题)定义集合A和8的运算为A*B={x|xeA,对团,试写出含
有集合运算符号“*”“U”“C”,并对任意集合A和B都成立的一个式子:
解析:如图所示,利用Venn图,由题中的定义可得,A*(ADB)={x|x
GA,x^(AnB)}={x|xG(AUB),x^B}=(AUB)*B.
故符合题意的式子为A*(AnB)=(AUB)*B.
答案:A*(A05)=(AU5)*5(答案不唯一)
[课时验收评价]
1.(2022•浙江高考)设集合A={1,2},5={2,4,6},则AU5=()
A.{2}B.{1,2}
C.{2,4,6}D.{1,2,4,6)
解析:选D由集合并集的定义,得AU3={1,2,4,6},故选D.
2.(2022•北京高考)已知全集。={划一3<*<3},集合A={x|-2<xWl},贝比以=()
A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)
C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)
解析:选D因为全集。=(一3,3),A=(-2,l],所以]%=(一3,—2]U(1,3),故选D.
3.(2022•全国甲卷)设集合4={-2,-l,0,l,2},0«|},则ACB=()
A.{0,1,2}B.{-2,-1,0)
C.{0,1}D.{1,2}
解析:选A因为集合8={x0«|},所以集合5中的整数有0,1,2,所以API"
(0,1,2}.故选A.
4.设集合A={1,2,4},B={x\x2-4x+m=0].若AC3={1},则5=()
A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}
解析:选C因为ACI5={1},所以leg,所以1是方程X2-4X+?”=O的根,所以i
—4+,”=0,m=?>,方程为好—4X+3=0,解得X=1或X=3,所以5={1,3}.
5.已知集合4={*旧<4},3={—1,0,1,2,3},则AC5=()
A.{0,1}B.{0,1,2}
c.{-1,0,1}D.{-l,o,1,2)
解析:选C由/<4得一2Vx<2,故4={x|-2<x<2},又因为5={-1,0,1,2,3},所以AC3
={-1,0,1},故选C.
6.设N={x|-2<工<2},M={x|a-l<x<a+l},若M是N的真子集,则实数。的取值范
围是()
A.(-1,1)B.[-1,1)C.(-1,1]D.[-1,1]
“一一
122,或1+0,解得T&W1,
解析:选D显然MW。,由已知,得,
a+l<2
a=±l时符合题意.故选D.
7.已知集合4,B,若4={-1,1},AUB={-1,O,1},则一定有()
A.AQBB.B^A
C.AQB=e>D.OGB
解析:选D当集合5={0}时,A^B,B^A,故A、B错误;当集合3={0,1}时,AQB
={1}#0,故C错误;因为AUB={-l,0,l},0G{-l,0,l},且0C4,所以0G3,故D正确.故
选D.
8.(2023•湛江一模)已知([⑷05=0,则下列选项一定成立的是()
A.AC\B=AB.AQB=B
C.AUB=BD.AUB=R
解析:选B对于A选项,由AnB=A得AU5,不妨设A={x|x>l},B={x|x>0},
则(CRA)nB={x|OVxWl}W0,故A不满足题意;对于B选项,由4门5=5得5QA,显然
(]RA)C5=0,故B满足题意;对于C选项,由AU3=5得同A选项,故C不满足
题意;对于D选项,不妨设A={x|xWl},B={x|x>0},则故D不
满足题意.故选B.
9.已知A={x||x|Wl},B={X(X-Q2^O]-,则An([M)=()
A.[-1,1]B.0
C.[-1,加g1D.(-1,1)
解析:选CVA={x||x|^l}=[—1,1],02勺}=图,.•/R5=—8,1u1,
+8,.•.40(1/)=[—1,1,故选C.
10.已知集合M={(x,了)旧+了242,xGZ,yGZ},则集合M的真子集的个数为()
A.29-lB.28-lC.25D.24+l
解析:选A集合M={(x,y)\x2+y2^2,x£Z,yGZ}={(T,0),(-1,1),(-1,-1),
(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},所以集合拉中的元素个数为9,故其真子
集的个数为29-1.
11.已知x,y,z为非零实数,代数式三+己+5+器的值所组成的集合是M,则下列
判断正确的是()
A.4GMB.2GM
C.0住MD.一44M
解析:选A根据题意,分4种情况讨论;
①x,y,z全部为负数时,则盯z也为负数,则亩+木+而+靛=-4;
②x,y,z中有一个为负数时,则孙z为负数,则亩+市+亩+/=°;
③x,y,z中有两个为负数时,则到z为正数,则吉+己+lfi+器=0;
@X,y,z全部为正数时,则孙z也为正数,则由+立+亩+靛=4;
则河={4,0,-4);分析选项可得A符合.
12.定义集合的商集运算为:=*卜=々,m^A,n^B),已知集合A={2,4,6},B=
卜|工=/-1,A-GAJ-,则集合苧U5中的元素个数为()
A.6B.7C.8D.9
解析:选B由题意知,B={0,1,2},
B1111
---1-
A=不63
2J
则如“上,1,
共有7个元素,故选B.
13.已知集合4={1,a2},B={a,一1},若AU5={-1,a,1},则a=.
解析:因为A={1,a2},B={a,—1},AUB={—1,a,l},所以a=42,解得”=()或”
=1(舍去,不满足集合元素的互异性).故a=0.
答案:0
14.设集合M={x|-3Wx<7},N={x|2x+AW0},若MCNW。,贝!]k的取值范围是
K
解析:因为N={x|2x+左W0}=2
且MAN#。,所以一32一3,解得上<6.
所以上的取值范围是(-8,6].
答案:(一8,6]
2
15.若集合A={(x,y)\y=3x-3x+l],B={(x,y)\y=x}9则集合APb中的元素个数
为.
解析:由集合的意义可知,ACI6表示曲线y=3x2—3x+l与直线y=x的交点构成的集
合.
v=3x2-3x+l,
联立得方程组
所以405中含有2个元素.
答案:2
16.已知集合4={利08*42},3={*|*<。},若4=比则实数。的取值范围是.
解析:由log2xW2,得0VxW4,
即A={x|0VxW4},而B={x|x<a},
由于AU3,在数轴上标出集合A,B,如图所示,则a>4.04。,
答案:(4,+°°)
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
明:知
课标:教考
要求;导向
1.理解命题的概念,了解“若小则/形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会
分析四种命题的相互关系.
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
nnnBBBBnnBB课前——教材温顾学习“2方案”
i1主干知识回顾一遍
i.命题的概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫
做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及相互关系
3.四种命题的真假关系
⑴若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性;
⑵两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
4.充分条件与必要条件的相关概念
记p,g对应的集合分别为A,B,则
。是q的充分条件p0qA^B
P是0的必要条件q=pA^B
P是0的充要条件p0q且6PA=B
P是〃的充分不必要条件pOq且q¥>pAB
P是q的必要不充分条件pAq且户pAB
P是g的既不充分条件也不必要条件p弁q且pA叁且雇5
二级结论与微点提醒
(1)四种命题的等价关系:原命题等价于逆否命题,否命题等价于逆命题,所以在命题不
易证明时往往找等价命题进行证明.
(2)否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命
题的结论.
(3)区分4是5的充分不必要条件(A05且3冷A),与A的充分不必要条件是5(50A
且两者的不同.
(4)4是B的充分不必要条件台解B是解A的充分不必要条件.
(5)在判断充分、必要条件时,小可以推大,大不可以推小,如x>2(小范围)=>x>l(大范
围),x>l(大范围)弁x>2(小范围).
z2经典小题练悟一遍
i.下列命题是假命题的有()
A.三角形角平分线上的点到角的两边距离相等
B.所有平行四边形都不是菱形
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.3是方程好一9=0的一个根
答案:B
2.已知命题p:”正数a的平方不等于0”,命题g:”若。不是正数,则它的平方等
于0”,贝!Ig是p的()
A.逆命题B.否命题
C.逆否命题D.否定
解析:选B命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不
等于0”,从而g是p的否命题.
3.设x>0,j>0,贝!]“必为如是“”>u,的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:C
4.若命题“VxGR,好+1>机,,是真命题,则实数机的取值范围是.
答案:(一8,1)
5.有下列三个命题:
①“若a>b,则牌”的否命题;
②“若x+y=O,则x,y互为相反数”的逆命题;
③“若|x|<4,贝!的逆否命题.
其中真命题的序号是.
答案:②③
课堂----轮深化学习“3层级”
层级一/基础点——自练通关(省时间)
基础点四种命题及其真假判断
[题点全训]
1.(2023•合肥模拟)设x,yCR,命题“若好+产母,则/>1或产>1”的否命题是()
A.若炉+y+2,则或y24l
B.若炉+产>2,则》2W1或ywi
C.若一+产+2,则*2wi且ywi
D.若好+炉>2,则且VW1
答案:C
2.(2023・安顺模拟)命题''若x,y都是奇数,则x+y是偶数”的逆否命题是()
A.若x,y都是偶数,则x+j是奇数
B.若*,y都不是奇数,则x+y不是偶数
C.若x+y不是偶数,则y都不是奇数
D.若x+y不是偶数,则x,y不都是奇数
答案:D
3.在下列四个说法中,与“不经冬寒,不知春暖”意义相同的是()
A.若经冬寒,必知春暖B.不经冬寒,但知春暖
C.若知春暖,必经冬寒D.不经春暖,必历冬寒
解析:选C"不经冬寒,不知春暖”的逆否命题为“若知春暖,必经冬寒”.故选
4.有下列命题:
①“若x+y>0,贝!Ix>0且y>0”的否命题;
②”矩形的对角线相等”的否命题;
③“若机》1,则mx2-2(m+l)x+/n+3>0的解集是R”的逆命题;
④“若a+7是无理数,则“是无理数”的逆否命题.
其中正确命题的序号是.
解析:对于①“若x+y>0,则x>0且y>0”的逆命题为“若x>0且y>0,则x+y>0”,
逆命题为真命题,则否命题也为真命题,故①正确;对于②“矩形的对角线相等”的逆命题
为“对角线相等的四边形是矩形”为假命题,故其否命题也为假命题,故②错误;对于③其
逆命题为:若:加於-2(ai+l)x+nz+3>0的解集是R,则机>1,当机=0时,解集不为R,不
m>0,
合题意,由,,,解得机>1,故逆命题为假命题,即③错误;对于
J=4(/71+l)2—4m(m+3)<o,
④,原命题为真命题,故逆否命题也为真命题,故④正确,即正确的序号为①④.
答案:①④
[一“点”就过]
判断命题真假的2种方法
直接判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明;说明一个命题是假命题,只需举
判断出一个反例即可
间接根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当直接
判断判断一个命题的真假不易进行时,可转化为判断其逆否命题的真假
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
提醒
(2)当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提
层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)充分、必要条件的判断
[典例](1)(2022•浙江高考)设xGR,则“sinx=l”是“cosx=0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2023•福建高三阶段练习)在四边形ABCD中,AB//CD,则“N5A£>=90°”是“四
边形ABC。为直角梯形”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[解析]⑴法一:由sinx=l,得X=2ATT+5/£Z),贝可cos(2E+aJ=cosj=0,故充分
性成立;又由cosx=0,得*=k7t+3(AeZ),
而sin(A:7t+^=l或一1,故必要性不成立.
所以"sinx=l"是"cosx=0”的充分不必要条件,故选A.
法二:由sinx=l,得x=2k;t+7(k£Z),
则cos(2A;7r+2)=cos2=°,故充分性成立;
又cos^=0,sin^?=~1,故必要性不成立.
所以"sinx=l"是"cosx=0"的充分不必要条件,故选A.
(2)若NR4O=90。,则四边形ABC。为矩形或直角梯形,若四边形ABCZ>为直角梯形,
则NR4O不一定为90°,所以"N5AO=90。”是“四边形ABCD为直角梯形”的既不充分
也不必要条件.故选D.
[答案](1)A(2)D
[方法技巧]判断充分、必要条件的2种方法
直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件是什么、结
定义法
论是什么
利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即
集合法
可解决充分必要性的问题
[针对训练]
1.(2019•浙江高考)设”>0,Z»0,贝!)“a+5W4”是“ab44”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:选AVa>0,b>0,
若a+bW4,;.2
:.abW4,此时充分性成立.
当a>0,b>0,ab44时,
令a=4,b=l,贝I。+力=5>4,
这与“+6W4矛盾,因此必要性不成立.
综上所述,当”>0,》>0时,"a+5W4”是“aBW4”的充分不必要条件.故选A.
2.已知p:g)<l,Q-log2X<0,则p是g的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:选B由知x>。,所以P对应的x的范围为(0,+°°),由log2X<0知0<x<l,
所以q对应的x的范围为(0,1),显然(0,1)(0,+8),所以p是0的必要不充分条件.
重难点(二)充分、必要条件的应用
[典例](2023•郑州模拟)设a:2a<xW3a+l,0:—2Wx47,若a是的充分不必要条
件,则实数a的取值范围是.
[解析]因为《是/?的充分不必要条件,(2°,3°+1]是[-2,7]的真子集,
所以,当(2a,3a+l]=。时,2a23a+l,解得aW-l,
当(2a,3a+l]W。时,-2W2a<3a+l<7,解得一l<aW2.
综上,实数a的取值范围是(-8,2].
[答案](一8,2]
[方法技巧]由充分、必要条件求参数范围的策略
把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据
巧用转化求参数
集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形
端点值慎取舍在求参数范围时,要注意区间端点值的检验,从而确定取舍
[针对训练]
(2023•西安模拟)已知条件p:(X—m)(x—3)>0;条件q:》2+3*—4<0.若p是q的必
要不充分条件,则实数机的取值范围是()
A.[-7,1]B.(-8,-7]U[1,+°o)
C.(-7,1)D.(-8,-7)U(1,+°0)
解析:选B设集合P={x|x<机或丫>机+3},
2={x|—4<x<l}.
因为p是q的必要不充分条件,
则。是P的真子集,所以/n+3W—4或
即mW—7或mNl,故选B.
层级三/细微点——优化完善(扫盲点)
1.(混淆条件与结论致误)设xCR,则x>2的一个必要不充分条件是()
A.x<lB.x>lC.x>4D.x>3
解析:选B由于x>20x>l,但*>1户>*>2,故选B.
2.(弘扬传统文化)荀子曰:“故不积鞋步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这
句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累,就永远无法达成目标的哲理.由此可
得,“积鞋步”是“至千里”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:选B荀子的名言表明积蹉步未必能至千里,但要至千里必须积蹉步,故”积珪
步”是“至千里”的必要不充分条件.
3.(对命题中条件与结论否定不全面)命题“若彦+"二。,“,则“=》=()”的逆
否命题是.
答案:若“WO或a,Z>GR,则层+"^。
4.(忽视大前提致误)已知命题”对任意a,6GR,若面>0,则“>0”,则它的否命题是
答案:对任意a,Z»GR,若则“W0
5.(强化开放思维)能够说明“若而>4,则a>2,b>2”是假命题的一组有序数对(a,b)
是.
解析:当a=l,b=5,满足而>4,而a>2,%>2不成立.
答案:(1,5)(答案不唯一)
[课时验收评价]
1.命题''若x>0,则力>1”的否命题是()
A.若x>0,则2、W1B.若xWO,则2*>1
C.若xWO,则D.若2工>1,则x>0
答案:C
2.命题“若x+y=3,则x=2且y=l"的逆否命题是()
A."若xW2且yWl,则x+yW3”
B.“若xW2或yWL贝!Jx+yW3”
C."若xW2且则x+y=3"
D.“若xW2或yWL则x+y=3"
答案:B
3."x=l”是“lg2x—lgx=0”成立的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:选A因为Ig2x—lgx=0,所以lgx=0或lgx=l,解得x=l或x=10,所以由
UX=r可以推出“lg2x—lgx=o”成立;但由“lg2x-lgx=o”不能推出“x=l",所以
UX=r是“lg2A—lgX=0”成立的充分不必要条件.
4.已知命题“若雨>0,则机力一,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的
个数是()
A.0B.1
C.2D.3
解析:选B由原命题与逆否命题、逆
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