高考数学一轮复习：集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语

第一节集合

明1知

课标：教考

要求，导向

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言（

列举法或描述法）描述不同的具体问题.

2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空

集的含义.

3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.

能使用Venn图表示集合的关系及运算.

课前——教材温顾学习"2方案”

11主干知识回顾一遍

1.集合与元素

元素的特性确定性、互异性、无序性

若〃属于集合A,记作组A；

元素与集合的关系

若万不属于集合A,记作处1

集合的表示法列举法、描述法、图示法

2.常见数集的记法

自然数集正整数集整数集有理数集实数集

NN*（或N+）ZQR

3.集合间的基本关系

表示

文字语言记法

关系

子集集合A中任意一个元素都是集合3中的元素4U3或

集合

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元

间的真子集A3或3A

素不属于A

基本

集合A中的每一个元素都是集合5中的元素，集

关系相等A=B且3=404=3

合3中的每一个元素也都是集合A中的元素

空集空集是任何集合的壬集，任何非空集合的真子集

4.集合的基本运算

文字语言图形表示符号语言

所有属于集合A或者属于集合B的

并集

元素构成的集合00

所有属于集合A且属于集合B的元

交集AC5={x|xGA,且xGB}

素构成的集合

补集若全集为U,则集合4的补集为(:以u&[.uA={x\x^U,Kx^A)

5.集合的运算性质

API0=0,

交集AQB=BQAfAQBQA,AQBQB,AQA=AfAQB^AQB=A

AU0=A,

并集AUB=BUA,AUB^A,AUB^B,AUA=A9A^B<F>AUB=B

Ct/(Ct/A)=A,C^0=LZ,CuU=An(Ct/A)=0,

补集。，AU([jUA)=U

二级结论与微点提醒

(1)若有限集4中有"个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"—1个，非空子集有2"

—1个，非空真子集有2"一2个.

(2)4既说明A中任何一个元素都属于3,也说明3中至少存在一个元

素不属于A.

(3)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性.

(4)CiXAnB)=(CrA)U(CvB),cv(AU5)=([MC&B).

(5)0,{0},0,{0}之间的关系：0#{。},0G{。},0a{05040,o4{0},oe{o},0a{o}.

z2经典小题练悟一遍

1.若集合M={x|*3=x},N={x|*2=l},则下列式子中正确的是()

A.M=NB.MJNC.N=MD.MCN=。

答案：C

2.已知集合4={m一l<x<2},B={x|l<x<3},则ACI3=.

答案：(1,2)

3.设全集U={xCN*|x<9},集合A={3,4,5,6},则[:以=.

答案：{1,2,7,8}

4.已知集合4={”，团，a-2},若3CA,则实数。的值为.

解析：由集合中元素的互异性得aW|a|,故a<0,则a—2<0,又3CA,所以|a|=—。=3,

解得a=-3.

答案：一3

5.由实数x,-x,|x|,p,一於所组成的集合中，最多含有元素的个数为.

解析：由于A/P=|X|,—y[j?=—x9因此当x=0时，x=\x\=y[j?=—y[j?=—x=Of集

合含有1个元素；当x>0时，x=|x|=^/P>0,—^/P=—x<0,集合有2个元素；当xvO时，

—x=|x|=qp=—qF>0,x<0,集合有2个元素；所以集合中最多含有元素的个数为2.

答案：2

nnnBBBBnnBB课堂-------轮深化学习“3层级”

层级一/基础点——自练通关(省时间)

基础点(一)集合的含义与表示

[题点全训]

1.已知集合4={{0},0},下列选项中均为A的元素的是()

(1){。}(2){{0}}(3)0(4){{。},0}

A.⑴⑵B.⑴⑶

C.⑵⑶D.⑵(4)

解析：选B集合A有两个元素：{0}和0.

2.已知集合4={1,2,3},B={(x,y)\x^A,y^A,|x—y|G4}中所含元素的个数为()

A.2B.4C.6D.8

解析：选C因为A={1,2,3},所以“{(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},3中

含6个元素.故选C.

3.设集合A={(x,y)|x+y=3,xGN*,yCN*},则用列举法表示集合A为.

[x>0,

解析：由x+y=3,x£N*,y£N*,可得彳贝汁0vxv3,又・."£N*,Ax=l,

j=3—x>0,

y=2或x=2,y=l,.-.A={(1,2),(2,1)).

答案：{(1,2),(2,1)}

4.已知集合4={12,a2+4a,a-2},一3GA,贝Ja=.

解析：,；一3GA,二一3="2+4”或一3="一2.若-3=“2+4a,解得“=-i或”=-3.

当a=-1时，a2+4a=a—2=—3,不满足集合中元素的互异性，故舍去；当”=—3时，集

合A=[12,-3,-5},满足题意.若一3=。-2,解得a=~l,不满足题意，故舍去.综

上所述，a=—3.

答案：一3

L"点”就过]

解决集合含义问题的关键点

⑴确定构成集合的元素.

（2）确定元素的限制条件.

（3）根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.含字母的集合问题，在求出

字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.

基础点（二）集合间的基本关系

［题点全训］

1.已知集合尸={无}="，一1},集合。=皿=5—1},贝!1（）

A.P=QB.PQ

C.QQPD.PC0=0

解析：选B因为P={xly=dx-1},所以*一1'0,即x2l,故「=口，+°°）,因为

Q={y\y=\lx-i},且产山一1》0,得。=［0,+°°）,所以且尸。。=尸，因此尸

Q,故选B.

2.已知集合{1,2}=AC{1,2,3,4,5,6},则满足条件的A的个数为（）

A.16B.15C.8D.7

解析：选A因为{1,2}GAC{1,2,3,4,5,6},

所以集合A中必须含有1,2两个元素，可以含有元素3,4,5,6,因此满足条件的集合A有

24=16（个）.

3.集合{x|-l<x<3且xGN}的所有非空真子集的个数为.

解析：因为{x|—l<x<3且XGN}={0,1,2},所以该集合的所有非空真子集的个数为23—2

=6.

答案：6

4.已知集合{1,a,置={0,“2,a+b］）则。2022+方2023=.

解析：易知a,詈={0,a2,a+b},

卜

.'.-=o,即Z>=0,.*.a2=l,a=±l.

又由集合中元素的互异性，知

：.a=~l,故，。22+庐023=（_1）2022,）_02023=L

答案：1

［一“点”就过］

判断集合间关系的3种方法

根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集

列举法

合之间的关系

结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进

行判断

在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集

数轴法

合之间的关系

层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)

重难点(一)集合的基本运算

［典例］(1)(2022•全国甲卷)设全集。={-2,—1,0,1,2,3},集合4={-1,2},B={x|x2

-4x+3=0},贝!KU(AU3)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

(2)(2022•新高考I卷)若集合M={xg<4},N={x|3xNl},则MDN=()

A.{x|0WxV2}B.卜|

C.{x|3^x<16}D.卜|<尤V16)

［解析］(1)集合8={1,3},所以AU3={-1,1,2,3},所以Cu(AU3)={-2,0}.故选D.

(2)因为M={xg<4},所以M={x|0WxV16};因为N={x|3x》l},所以N=］xk

所以MCN=jx1^x<16}.故选D.

［答案］(1)D(2)D

［方法技巧］集合的基本运算问题的求解策略

先“简”进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性

后“算”质特征，区分数集与点集等

遵“规”定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”；并集

守“矩”的运算中“并”是合并的意思；补集的运算要关注“你有我无”的元素

借“形”在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图或数轴便抽象问题直观化，用

助“数”数轴表示时要注意端点值的取舍

［针对训练］

1.(2022•全国乙卷)设全集。={1,2,3,4,5},集合M满足加拉={1,3},贝!!()

A.2GMB.3GMC.44MD.5阵M

解析：选A由题意知"={2,4,5},故选A.

2.已知集合5=集1=2"+1,nGZ},T={t\t=4n+1,«eZ},则SCI7=()

A.。B.SC.TD.Z

解析：选C集合S是由奇数组成的集合，集合T是由被4除余1的整数组成的集合,

所以TCS,则SCT=T.故选C.

3.设集合4={-1,1,2,3,5,6},B={2,3,4},C={xGR|lWx<3},贝!1(40。U8=()

A.{2}B.{2,3}

C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4)

解析：选D因为A={-1,1,2,3,5,6},C={xGR|lWx<3},所以ACC={1,2},又8=

{2,3,4},所以(AD0U3={1,2,3,4}.故选D.

重难点(二)根据集合的运算或关系求参数

［典例］设集合4={*|/-4忘0},5=32丫+。・0},且4。5=3—2<:«<1},则4=()

A.-4B.-2C.2D.4

［解析］易知A={x|-2WxW2},

5=卜|xW-1},

因为An3={x|-2WxWl},

所以一^=1,解得。=-2.故选B.

［答案IB

［方法技巧］

求参问题的4个注意点

(1)注意两个转化

ACIB=A^A^B;AUS=A^B^A.

(2)注意空集的特殊性

①若3=4,则分8=0和3六0两类进行讨论.

②若408=0,则集合A,3可能的情况有：

A,5均为空集；A与3中只有一个空集；

A,8虽然均为非空集合但无公共元素.

(3)注意结合数轴分析端点值的大小.

(4)注意对结果进行检验，以避免集合中元素重复.

［针对训练］

1.设集合A={0,2,4},B={x|x2—/nx+"=0},若AU5={0,l,2,3,4},贝!Jm+n的值是()

A.1B.3C.5D.7

解析：选D因为集合A={0,2,4},B={x\x2—mx+n=0},AUB={0,l,2,3,4},则3=

l+3=»i,

{1,3},所以1,3是方程x2—»ix+"=0的两根，所以"j因此nz+"=4+3=7.

lX3=n,

2.已知集合4={1,a,a2~l},B={0,l},且3UA,贝!Ja=()

A.0或一1B.0或1

C.1或一1D.0

2

解析：选AV{O,1}=BCA={1>a,a-l),

.,.a=0或a2-1=0,

.,.a=0或a=±l,

又由于集合元素的互异性，应舍去1,

/.a=0或a=—1.故选A.

层级三/细微点——优化完善（扫盲点）

1.（忽视元素的互异性）已知3d{a+2,a2+2],则实数。的值为（）

A.1或一1B.1

C.-1D.-1或0

解析：选C当a+2=3时，得a=l,此时/+2=3,不满足集合中元素的互异性，不

合题意；当层+2=3时，得a=±1,若。=1,则a+2=3,不满足集合中元素的互异性，不

合题意；若”=-1,则a+2=l,满足3G{a+2,a2+2].

2.（易混淆集合的代表元素）已知集合4={丫}=1082（*3—1）},B={y\y=\[^2],则AA3

=（）

A.（1,+8）B.（-1,2]

C.[2,+8）D.0

解析：选AA={xly=log2（x3—1）}={X|X3—1>0}={X|X>1},B={y\y=\[x-2]={y\y^0],

所以405=（1,+8）.

3.（忽视空集致误）已知集合A={x|-l《xW3},集合5={x|l-/nWxWl+M.若3UA,

则m的取值范围是（）

A.（一8,2]B.[-1,3]

C.[-3,1]D.[0,2]

解析：选A当雨<0时，5=0,满足3=4;

当机》0时，若只需,一解得0WmW2.

、l+mW3,

综上，机的取值范围是（一8,2].

4.（创新解题思维•排除法）已知集合21/=q62|—2。<3},Af={x|x2+x-6<0},则

=（）

A.{x|-3<x<3}B.{x|-2<x<2}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2）

解析：选C由集合M中的元素为整数可排除选项A和B,由2阵N可排除选项D,故

选C.

5.（结合新定义•开放性问题）定义集合A和8的运算为A*B={x|xeA,对团，试写出含

有集合运算符号“*”“U”“C”，并对任意集合A和B都成立的一个式子：

解析：如图所示，利用Venn图，由题中的定义可得，A*(ADB)={x|x

GA,x^(AnB)}={x|xG(AUB),x^B}=(AUB)*B.

故符合题意的式子为A*(AnB)=(AUB)*B.

答案：A*(A05)=(AU5)*5(答案不唯一)

［课时验收评价］

1.(2022•浙江高考)设集合A={1,2},5={2,4,6},则AU5=()

A.{2}B.{1,2}

C.{2,4,6}D.{1,2,4,6)

解析：选D由集合并集的定义，得AU3={1,2,4,6},故选D.

2.(2022•北京高考)已知全集。={划一3<*<3},集合A={x|-2<xWl},贝比以=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)

解析：选D因为全集。=(一3,3),A=(-2,l],所以]%=(一3,—2]U(1,3),故选D.

3.(2022•全国甲卷)设集合4={-2,-l,0,l,2},0«|},则ACB=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0)

C.{0,1}D.{1,2}

解析：选A因为集合8={x0«|},所以集合5中的整数有0,1,2,所以API"

(0,1,2}.故选A.

4.设集合A={1,2,4},B={x\x2-4x+m=0].若AC3={1},则5=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

解析：选C因为ACI5={1},所以leg,所以1是方程X2-4X+?”=O的根，所以i

—4+，”=0,m=?>,方程为好—4X+3=0,解得X=1或X=3,所以5={1,3}.

5.已知集合4={*旧<4},3={—1,0,1,2,3},则AC5=()

A.{0,1}B.{0,1,2}

c.{-1,0,1}D.{-l,o,1,2)

解析:选C由/<4得一2Vx<2,故4={x|-2<x<2},又因为5={-1,0,1,2,3},所以AC3

={-1,0,1},故选C.

6.设N={x|-2<工<2},M={x|a-l<x<a+l},若M是N的真子集，则实数。的取值范

围是()

A.(-1,1)B.[-1,1)C.(-1,1]D.[-1,1]

“一一

122,或1+0,解得T&W1,

解析：选D显然MW。，由已知，得,

a+l<2

a=±l时符合题意.故选D.

7.已知集合4,B,若4={-1,1},AUB={-1,O,1},则一定有（）

A.AQBB.B^A

C.AQB=e>D.OGB

解析：选D当集合5={0}时，A^B,B^A,故A、B错误；当集合3={0,1}时，AQB

={1}#0,故C错误；因为AUB={-l,0,l},0G{-l,0,l},且0C4,所以0G3,故D正确.故

选D.

8.(2023•湛江一模)已知([⑷05=0,则下列选项一定成立的是()

A.AC\B=AB.AQB=B

C.AUB=BD.AUB=R

解析：选B对于A选项，由AnB=A得AU5,不妨设A={x|x>l},B={x|x>0},

则(CRA)nB={x|OVxWl}W0,故A不满足题意；对于B选项，由4门5=5得5QA,显然

(]RA)C5=0,故B满足题意；对于C选项，由AU3=5得同A选项，故C不满足

题意；对于D选项，不妨设A={x|xWl},B={x|x>0},则故D不

满足题意.故选B.

9.已知A={x||x|Wl},B={X(X-Q2^O]-,则An([M)=()

A.[-1,1]B.0

C.[-1,加g1D.(-1,1)

解析：选CVA={x||x|^l}=[—1,1],02勺}=图，.•/R5=—8,1u1,

+8,.•.40(1/)=[—1,1,故选C.

10.已知集合M={(x,了)旧+了242,xGZ,yGZ},则集合M的真子集的个数为()

A.29-lB.28-lC.25D.24+l

解析:选A集合M={(x,y)\x2+y2^2,x£Z,yGZ}={(T,0),(-1,1),(-1,-1),

(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},所以集合拉中的元素个数为9,故其真子

集的个数为29-1.

11.已知x,y,z为非零实数，代数式三+己+5+器的值所组成的集合是M,则下列

判断正确的是()

A.4GMB.2GM

C.0住MD.一44M

解析：选A根据题意，分4种情况讨论；

①x,y,z全部为负数时，则盯z也为负数，则亩+木+而+靛=-4;

②x,y,z中有一个为负数时，则孙z为负数，则亩+市+亩+/=°；

③x,y,z中有两个为负数时，则到z为正数，则吉+己+lfi+器=0；

@X,y,z全部为正数时，则孙z也为正数，则由+立+亩+靛=4；

则河={4,0,-4）;分析选项可得A符合.

12.定义集合的商集运算为:=*卜=々，m^A,n^B）,已知集合A={2,4,6},B=

卜|工=/-1,A-GAJ-,则集合苧U5中的元素个数为（）

A.6B.7C.8D.9

解析：选B由题意知，B={0,1,2},

B1111

---1-

A=不63

2J

则如“上,1,

共有7个元素，故选B.

13.已知集合4={1,a2},B={a,一1},若AU5={-1,a,1},则a=.

解析：因为A={1,a2},B={a,—1},AUB={—1,a,l},所以a=42,解得”=（）或”

=1（舍去，不满足集合元素的互异性）.故a=0.

答案：0

14.设集合M={x|-3Wx<7},N={x|2x+AW0},若MCNW。，贝!]k的取值范围是

K

解析：因为N={x|2x+左W0}=2

且MAN#。，所以一32一3,解得上<6.

所以上的取值范围是（-8,6].

答案：（一8,6]

2

15.若集合A={（x,y）\y=3x-3x+l],B={（x,y）\y=x}9则集合APb中的元素个数

为.

解析：由集合的意义可知，ACI6表示曲线y=3x2—3x+l与直线y=x的交点构成的集

合.

v=3x2-3x+l,

联立得方程组

所以405中含有2个元素.

答案：2

16.已知集合4={利08*42},3={*|*<。},若4=比则实数。的取值范围是.

解析：由log2xW2,得0VxW4,

即A={x|0VxW4},而B={x|x<a},

由于AU3,在数轴上标出集合A,B,如图所示，则a>4.04。，

答案：（4,+°°）

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

明：知

课标:教考

要求；导向

1.理解命题的概念，了解“若小则/形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会

分析四种命题的相互关系.

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

nnnBBBBnnBB课前——教材温顾学习“2方案”

i1主干知识回顾一遍

i.命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫

做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及相互关系

3.四种命题的真假关系

⑴若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；

⑵两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

4.充分条件与必要条件的相关概念

记p,g对应的集合分别为A,B,则

。是q的充分条件p0qA^B

P是0的必要条件q=pA^B

P是0的充要条件p0q且6PA=B

P是〃的充分不必要条件pOq且q¥>pAB

P是q的必要不充分条件pAq且户pAB

P是g的既不充分条件也不必要条件p弁q且pA叁且雇5

二级结论与微点提醒

（1）四种命题的等价关系：原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不

易证明时往往找等价命题进行证明.

（2）否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命

题的结论.

（3）区分4是5的充分不必要条件（A05且3冷A）,与A的充分不必要条件是5（50A

且两者的不同.

（4）4是B的充分不必要条件台解B是解A的充分不必要条件.

（5）在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2（小范围）=>x>l（大范

围），x>l（大范围）弁x>2（小范围）.

z2经典小题练悟一遍

i.下列命题是假命题的有（）

A.三角形角平分线上的点到角的两边距离相等

B.所有平行四边形都不是菱形

C.任意两个等边三角形都是相似的

D.3是方程好一9=0的一个根

答案：B

2.已知命题p：”正数a的平方不等于0”，命题g：”若。不是正数，则它的平方等

于0”,贝！Ig是p的（）

A.逆命题B.否命题

C.逆否命题D.否定

解析：选B命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不

等于0”,从而g是p的否命题.

3.设x>0,j>0,贝！］“必为如是“”>u，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：C

4.若命题“VxGR,好+1>机，，是真命题，则实数机的取值范围是.

答案：（一8,1）

5.有下列三个命题：

①“若a>b,则牌”的否命题；

②“若x+y=O,则x,y互为相反数”的逆命题；

③“若|x|<4,贝!的逆否命题.

其中真命题的序号是.

答案：②③

课堂----轮深化学习“3层级”

层级一/基础点——自练通关（省时间）

基础点四种命题及其真假判断

［题点全训］

1.（2023•合肥模拟）设x,yCR,命题“若好+产母，则/>1或产>1”的否命题是（）

A.若炉+y+2,则或y24l

B.若炉+产>2,则》2W1或ywi

C.若一+产+2,则*2wi且ywi

D.若好+炉>2,则且VW1

答案：C

2.（2023・安顺模拟）命题''若x,y都是奇数，则x+y是偶数”的逆否命题是（）

A.若x,y都是偶数，则x+j是奇数

B.若*,y都不是奇数，则x+y不是偶数

C.若x+y不是偶数，则y都不是奇数

D.若x+y不是偶数，则x,y不都是奇数

答案：D

3.在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（）

A.若经冬寒，必知春暖B.不经冬寒，但知春暖

C.若知春暖，必经冬寒D.不经春暖，必历冬寒

解析：选C"不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”.故选

4.有下列命题：

①“若x+y>0,贝！Ix>0且y>0”的否命题;

②”矩形的对角线相等”的否命题；

③“若机》1,则mx2-2(m+l)x+/n+3>0的解集是R”的逆命题；

④“若a+7是无理数，则“是无理数”的逆否命题.

其中正确命题的序号是.

解析：对于①“若x+y>0,则x>0且y>0”的逆命题为“若x>0且y>0,则x+y>0”，

逆命题为真命题，则否命题也为真命题，故①正确；对于②“矩形的对角线相等”的逆命题

为“对角线相等的四边形是矩形”为假命题，故其否命题也为假命题，故②错误；对于③其

逆命题为：若：加於-2(ai+l)x+nz+3>0的解集是R,则机>1,当机=0时，解集不为R,不

m>0,

合题意，由，，,解得机>1,故逆命题为假命题，即③错误；对于

J=4(/71+l)2—4m(m+3)<o,

④，原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，故④正确，即正确的序号为①④.

答案：①④

［一“点”就过］

判断命题真假的2种方法

直接判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举

判断出一个反例即可

间接根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当直接

判断判断一个命题的真假不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假

(1)对于不是“若p,则q”形式的命题，需先改写；

提醒

(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提

层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)

重难点(一)充分、必要条件的判断

［典例］(1)(2022•浙江高考)设xGR,则“sinx=l”是“cosx=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

(2)(2023•福建高三阶段练习)在四边形ABCD中，AB//CD,则“N5A£>=90°”是“四

边形ABC。为直角梯形”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］⑴法一：由sinx=l,得X=2ATT+5/£Z),贝可cos(2E+aJ=cosj=0,故充分

性成立；又由cosx=0,得*=k7t+3(AeZ),

而sin(A：7t+^=l或一1,故必要性不成立.

所以"sinx=l"是"cosx=0”的充分不必要条件，故选A.

法二：由sinx=l,得x=2k;t+7(k£Z),

则cos(2A；7r+2)=cos2=°，故充分性成立；

又cos^=0,sin^?=~1,故必要性不成立.

所以"sinx=l"是"cosx=0"的充分不必要条件，故选A.

(2)若NR4O=90。，则四边形ABC。为矩形或直角梯形，若四边形ABCZ>为直角梯形，

则NR4O不一定为90°,所以"N5AO=90。”是“四边形ABCD为直角梯形”的既不充分

也不必要条件.故选D.

［答案］(1)A(2)D

［方法技巧］判断充分、必要条件的2种方法

直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时，确定条件是什么、结

定义法

论是什么

利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即

集合法

可解决充分必要性的问题

［针对训练］

1.(2019•浙江高考)设”>0,Z»0,贝！)“a+5W4”是“ab44”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选AVa>0,b>0,

若a+bW4,；.2

：.abW4,此时充分性成立.

当a>0,b>0,ab44时，

令a=4,b=l,贝I。+力=5>4,

这与“+6W4矛盾，因此必要性不成立.

综上所述，当”>0,》>0时，"a+5W4”是“aBW4”的充分不必要条件.故选A.

2.已知p：g)<l，Q-log2X<0,则p是g的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B由知x>。，所以P对应的x的范围为(0,+°°),由log2X<0知0<x<l,

所以q对应的x的范围为(0,1),显然(0,1)(0,+8),所以p是0的必要不充分条件.

重难点(二)充分、必要条件的应用

［典例］（2023•郑州模拟）设a：2a<xW3a+l,0：—2Wx47,若a是的充分不必要条

件，则实数a的取值范围是.

［解析］因为《是/?的充分不必要条件，（2°,3°+1］是［-2,7］的真子集，

所以，当（2a,3a+l］=。时，2a23a+l,解得aW-l,

当（2a,3a+l］W。时，-2W2a<3a+l<7,解得一l<aW2.

综上，实数a的取值范围是（-8,2］.

［答案］（一8,2］

［方法技巧］由充分、必要条件求参数范围的策略

把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据

巧用转化求参数

集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解，注意条件的等价变形

端点值慎取舍在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍

［针对训练］

（2023•西安模拟）已知条件p：（X—m）（x—3）>0；条件q：》2+3*—4<0.若p是q的必

要不充分条件，则实数机的取值范围是（）

A.［-7,1］B.（-8,-7］U［1,+°o）

C.（-7,1）D.（-8,-7）U（1,+°0）

解析：选B设集合P={x|x<机或丫>机+3},

2={x|—4<x<l}.

因为p是q的必要不充分条件，

则。是P的真子集，所以/n+3W—4或

即mW—7或mNl,故选B.

层级三/细微点——优化完善（扫盲点）

1.（混淆条件与结论致误）设xCR,则x>2的一个必要不充分条件是（）

A.x<lB.x>lC.x>4D.x>3

解析：选B由于x>20x>l,但*>1户>*>2,故选B.

2.（弘扬传统文化）荀子曰：“故不积鞋步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这

句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可

得，“积鞋步”是“至千里”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B荀子的名言表明积蹉步未必能至千里，但要至千里必须积蹉步，故”积珪

步”是“至千里”的必要不充分条件.

3.（对命题中条件与结论否定不全面）命题“若彦+"二。，“，则“=》=（）”的逆

否命题是.

答案：若“WO或a,Z>GR,则层+"^。

4.（忽视大前提致误）已知命题”对任意a,6GR,若面>0,则“>0”，则它的否命题是

答案：对任意a,Z»GR,若则“W0

5.（强化开放思维）能够说明“若而>4,则a>2,b>2”是假命题的一组有序数对（a,b）

是.

解析：当a=l,b=5,满足而>4,而a>2,%>2不成立.

答案：（1,5）（答案不唯一）

［课时验收评价］

1.命题''若x>0,则力>1”的否命题是（）

A.若x>0,则2、W1B.若xWO,则2*>1

C.若xWO,则D.若2工>1,则x>0

答案：C

2.命题“若x+y=3,则x=2且y=l"的逆否命题是（）

A."若xW2且yWl,则x+yW3”

B.“若xW2或yWL贝！Jx+yW3”

C."若xW2且则x+y=3"

D.“若xW2或yWL则x+y=3"

答案：B

3."x=l”是“lg2x—lgx=0”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A因为Ig2x—lgx=0,所以lgx=0或lgx=l,解得x=l或x=10,所以由

UX=r可以推出“lg2x—lgx=o”成立；但由“lg2x-lgx=o”不能推出“x=l"，所以

UX=r是“lg2A—lgX=0”成立的充分不必要条件.

4.已知命题“若雨>0,则机力一,在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的

个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B由原命题与逆否命题、逆