2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-数与式的运算（学生版）

专题01数与式的运算

【知识点梳理】

知识点1:绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即：

a,a>0,

\a\=<0,a=0,

-a,a<0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数。和数6之间的距离.

知识点2：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(。+0)(。一〃)=a2—b2；

(2)完全平方公式(Q±bY=a2±2ab+b1.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(〃+—必+〃)=+苏；

(2)立方差公式(〃一/2)伍2+ab+b2)=a3-b3；

(3)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

(4)两数和立方公式(a+bp=a3+302b+3ab2+b3；

(5)两数差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

知识点3：二次根式

一般地，形如G(。20)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理

式.例如3a+J/+6+26,证+及等是无理式,而后尤+1,x2+y/2xy+y2,病等是有理式.

⑴分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化，需要引入

有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两

个代数式互为有理化因式，例如也与血，3G与G，6+屈与6-娓,2石-3夜与26+3应，等

等.一般地，。«与«,。«+久万与。五%+8与互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化

则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

^^b=^(a>0,b>0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算;

二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.

(2)二次根式后■的意义

向第=晨°’

[-a,a<0.

知识点4：分式

(1)分式的意义

形如4的式子，若8中含有字母，且则称4为分式.当屿0时，分式4具有下列性质：

BBB

AAxM

B~BxM'

A_A^M

B~B^M'

上述性质被称为分式的基本性质.

(2)繁分式

a

像上，0这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

【题型归纳目录】

题型一：绝对值

题型二：乘法公式

题型三：二次根式

题型四：分式

【典例例题】

题型一：绝对值

例1.(2023•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市中实学校校考期中)如果|x-4|+(y+2)2=0,那么U=

例2.(2023•福建龙岩•八年级统考期中)若向二+性-1|=0,则(°+6产3=.

例3.(2023・上海静安•六年级上海市回民中学校考期中)比较大小：-5；-(-5.75).

变式1.(2023•天津东丽•八年级校联考期中)已知实数X、，满足|尤-1|+»+3|=0,则x+y的值为

变式2.（2023・四川南充•七年级四川省南充高级中学校考阶段练习）已知：实数a,b在数轴上的位置如图所

示，化简：+2,（1-媒-2_q=.

ab

______ill11A

-101

变式3.（2023•黑龙江哈尔滨•六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）已知在数轴上A、3两点分别表示的数

是。和b,14=2,同=4,卜-4=。-6,点P在数轴上且与点A、点8的距离相等，则点尸表示的数是.

题型二：乘法公式

例4.（2023•黑龙江齐齐哈尔・统考三模）下列运算正确的是（）

A.2a2-a2=2B.a3-al=-a3C.（2a3）3=8a9D.（a-b）1=a2-b2

例5.（2023•北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）多项式A与2x+y的乘积含有一孙项，那

么A可能是（）

A.3x-yB.2x-yC.1-xD.y-2

例6.（2023•北京西城•八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列因式分解结果正确的是（）

A.IO.，+5片=5/（2a+l）B.4X2—9=（4%+3）（4%-3）

C.—5x-6=（x+6）（x-1）D.a?—2.—1=（々―I）?

变式4.（2023•江苏泰州・统考二模）加、〃为正整数，m2+n2+l=2m+2n,则m十几的值为（）

A.2B.3C.4D.5

变式5.（2023•四川内江・威远中学校校考二模）下列运算正确的是（）

A.x4+x4=x8B.（x—y）2=x2—y2

C.x5-x4=x7D.Qx?）=2%6

变式6.（2023•安徽合肥・统考三模）下列运算正确的是（）

A.〃2.〃4=々8B.—Z?）2=a2—b2C.a6a3=a2D.（—2/。）=4aAb2

变式7.（2023•山东东营・统考二模）下列运算结果正确的是（）

5

A.x2+2xi=3J^B.（%+2）2=/+4

C.我一亚=2D.（3尤2）3=9/

题型三：二次根式

例7.（2023•湖北武汉•八年级校联考期中）计算:

（1）727-712+^/3;

x>/6.

例8.（2023•北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）先化简，再求值:

例9.（2023•北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）计算：（3+A/7）（3-a）-«AT+（g

OY[Y1

变式8.（2023・全国•九年级专题练习）先化简，再求值：（Wy-一其中x=6+l

x2-4x+2x-2

变式9.（2023•北京•八年级统考期中）计算：屈-国屈:娓.

变式10.（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）先化简，再求值1+

其中x=2sin450—1

变式IL（2023•福建龙岩•八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为5、口，-X.E.

V524V5x

（1）求它的周长（用含X的式子表示）；

（2）请你给一个适当的x值，使该三角形的周长为整数，并利用海伦公式求出此三角形的面积.（海伦公式:

S=Jp（p-a）（p-b）（p-c）,其中a，b，c分别是三角形的三边长，记,="+；+，）

题型四：分式

21

例10.（2023.广东佛山.八年级佛山市惠景中学校考期中）分式三与丁三的最简公分母是.

例11.（2023•内蒙古包头•二模）化简：fa+1----+2"°31=____________-

Ia-lja-2（2+1

例12.（2023•河北邯郸•八年级统考期中）在函数丫=匹1中，自变量x的取值范围是

x-5

变式12.（2023•江苏苏州•七年级苏州市立达中学校校考期中）已知根+〃尸=3，贝/.

V+1

变式13.（2023・广东佛山•校联考二模）若式子f—在实数范围内有意义，则无的取值范围是.

变式14.（2023•河北沧州・统考二模）已知租+2〃=1,求下列各式的值.

（1）2"x2?"+2=;

（2）3"，+6mn+6n—•

【过关测试】

一、单选题

2

1.（2023•辽宁葫芦岛・统考二模）数1,0,—2中最小的是（）

A.-2B.0C.--D.1

3

2.（2023•北京海淀•七年级101中学校考开学考试）下列代数式中浦2,孙+z2,3/bc5,-石国守卷中，单项式

67

（）

A.1个B.2C.3个D.4个

2

3.（2023・八年级单元测试）直线/：y=（〃-3）x+”2（加、w为常数）的图象如图，化简：|m_3|-7z?-4^+4

4.（2023•湖北武汉•八年级校联考期中）下列计算亚礁的有（）

A.0+&=遥B.273-73=2C.已=2&D.应x布=26

5.（2023.湖北武汉.八年级校联考期中）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.J12B.C.-^6D.Jl.8

6.（2023•陕西西安・校考三模）在下列计算中，正确的是（）

A.々3+2Y=3/B.+3。）—cib

C.cr'b•2f22=2,ct6bD.（-2〃%）'=—6tz3/?3

7.（2023•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市中实学校校考期中）有理数根、〃在数轴上的位置如图，则下列关系

式正确的个数有（）

①加+〃<0；®n-m>0；@2m-n>0；@-n-m>0；（§）—>--

mn

n0m->

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（2023•内蒙古包头•二模）已知根，〃是一元二次方程6=0的两个实数根，贝U代数式/+2加+〃的

值等于（）

A.4B.5C.6D.7

9.（2023•陕西榆林•校考模拟预测）若实数。、6在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

--1-----1----'>

b0a

A.—a>—bB.同<网C.ab>0D.a<0<b

10.（2023・湖北武汉・统考模拟预测）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏.将

-1,2,-3,4,-5,6,-7,8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相

等，则a+8的值为（）

A.1或-1B.-1或-4C.-3或一6D.1或一8

二、填空题

11.（2023•辽宁葫芦岛•统考二模）分解因式：/+2/+。=.

12.（2023・广西南宁•校考二模）若式子GT在实数范围内有意义，则x的取值范围_______.

13.（2023・广东佛山•八年级佛山市惠景中学校考期中）化简：x+y--=.

y

14.（2023・云南曲靖・统考二模）分解因式：a3-6a2+9a=.

15.（2023・陕西榆林•七年级绥德中学校考阶段练习）课堂上老师布置了四道运算题目，小刚做的结果为：①

（-3/丫=_27心②（一0广/=_05；③（2x_y）2=4f_y2；④2/.46=8",他做对的有.（填序

号）

三、解答题_

16.（2023•浙江温州・校考二模）（1）计算：后十5|+（-5）。-5]

3x+2>x

（2）解不等式组x+2,,并把解表示在数轴上.

------<x-l

13

-4-3-2-101234

17.（2023•浙江•校联考三模）化简与计算:

（1）化简：（x+lj-x（x+l）；

⑵计算:（-1）2023+2-2+4COS230°.

18.（2023.江苏苏州・统考二模）计算：（-2）2-卜3|+（兀-2023）°.

19.（2023•河北沧州•校考模拟预测）如图，数轴上点。为原点，点A,8,C表示的数分别是m+1,2，9-4〃?.

9-4w2-mm+\

~CBOA~

WAB=（用含加的代数式表示）；

（2）求当BC与AB的差不小于g时m的最小值.

/12\x2+x2龙-7<3（尤-1）①

20.（2023•河南南阳・统考三模）化简求值：7k其中x是不等式组4.2…的

[1x-\）l-2x+x-X+3<1——％②

I33

整数解.

21.（2023・湖南长沙•九年级校联考期中）先化简，再求值：”1.右一4其中。满足4=2.

Q+2Q—2〃+1CL—1

22.（2023・上海静安•六年级上海市回民中学校考期中）若方程2（x+l）-5=3（x-1）+4的解是关于x的方程