2024年高考数学易错题：数列（教师版新高考专用）

专题08数列

题型一：数列求最值问题食、易错点：混淆数列与函数的区别

题型二：等1:徽列利用中项求其它易错点：忽视两个"中项"的区别

题型三：等I:徽列求和白、易错点：忽略等比数列求和时对g的讨论

题型四：求通项公式0、易错点：由公求a”时忽略对"=1"的检验

题型五：数列求和0、易错点：裂项求和留项出错

易错点一：混淆数列与函数的区别(数列求最值问题)

1、等差数列的定义

(1)文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；

(2)符号语言：an+i-an=d(neN,,d为常数).

2、等差中项：若三个数a,A,6组成等差数列，则/叫做a,6的等差中项.

3、通项公式与前〃项和公式

(1)通项公式：

(2)前”项和公式：s“=吗+^.

22

(3)等差数列与函数的关系

①通项公式：当公差4*0时，等差数列的通项公式aLfli+S-DdM㈤+aiV是关于〃的一次函数,

且一次项系数为公差d.若公差d>0,则为递增数列，若公差d<0,则为递减数列.

②前〃项和：当公差”片0时，，=〃4+若11=?"2+3「：|)”是关于〃的二次函数且常数项为0.

已知数列｛4｝是等差数列，S“是其前”项和.

1、等差数列通项公式的性质：

(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n,meN^.

(2)若左+/=根+几(左,/,九九wN*),则以+〃/=4+4.

(3)若｛4｝的公差为d,贝四的“｝也是等差数列，公差为2d.

(4)若｛%｝是等差数列，则｛pan+qbn｝也是等差数列.

2、等差数列前〃项和的性质

(1)S2„="(%+/")=.■=«(«„+。用)；

(2)527=(2"-I)%；

(3)两个等差数列｛与｝,｛么｝的前n项和S“，T”之间的关系为2=2".

(4)数列Sm,S2m-Sm,邑“-邑山，…构成等差数列.

3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

(1)若项数为2n,贝”偶-5奇=nd,—=——；

»偶an+\

Sqn

(2)若项数为2〃一1,则S稿=(〃-1)4，S奇=〃％,S奇一S偶=。“，-^=--

S偶〃-1

最值问题：解决此类问题有两种思路：

一是利用等差数列的前"项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；

二是依据等差数列的通项公式。"乂+伍-以二办+自-^^当“八时，数列一定为递增数列，当d<0时,

数列一定为递减数列.所以当4>0,且d<0时，无穷等差数列的前”项和有最大值，其最大值是所有非

负项的和；当4<。，且">0时，无穷等差数列的前〃项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解

非负项是哪一项时，只要令见2。即可

易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性

求解数列问题，要注意〃的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.

例.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,且。4=1,55=10,求S"取得最大值时对应的〃值.

【详解】在等差数列｛4“｝中，Ss=4爱X5=2^X5=10,则%=2,而。L1,

于是公差d=4一%=一1，因止匕q=%+("—3)〃=一〃+5,

由g20,得“V5,显然数列｛““｝是递减等差数列，前5项都是非负数，从第6项起为负数，所以S"的最

大值为S4=S5=^^X4=10,此时〃=4或〃=5.

变式1.数列｛4｝是等差数列，4=50,d=^).6.

(1)从第几项开始有。，<0?

⑵求此数列的前〃项和的最大值.

【详解】(1)因为％=50,d=-0.6,所以。“=50-0.6(”-1)=-0.6〃+50.6.

令-O6z+50.6VO,JU!]n>«84.3.由于“wN*,故当〃N85时,«„<0,

0.6

即从第85项开始各项均小于0；

(2)方法1：S=50n+“(7)x(-0.6)=-0.3/+50.3M=-0.3503\5032

nn———I

当〃取最接近于岸503的自然数，即〃=84时，£取到最大值以4=2108.4.

6

方法2：因为d=-0.6<0,<\=50>0,由(1),知心>0,@<0,

所以5＜尾＜一＜$84,且%＞黑〉$86＞

xgq

所以(S“)1mx=§84=50X84+-^―X(-0.6)=2108.4.

变式2.记S“为等差数列｛?｝的前〃项和，已知％=-7,S3=-15.

(1)求｛q｝的通项公式;

⑵求S”的最小值.

【详解】(1)设公差为d,%=-7,

3><(1)

S3=3x(-7)+^-c?=-21+3t/=-15,解得d=2,

:—ciy+(〃_l)d=2〃-9.

(2),:ci[=-7,d=2,

Sn="4+1)d=/-8〃=("一4J—16,

二当”=4时，S,最小,最小值为-16.

变式3.等差数列｛4｝,与=-11,公差d=—3.

(1)求通项公式和前n项和公式；

(2)当"取何值时，前”项和最大，最大值是多少.

【详解】(1)由S“为等差数列｛%｝的前〃项和，则与=土与4』=口变=llg=Tl，解得％=T，

an=4+(〃_6)d=-l+(n-6)x(-3)=17-3zi,贝ij%=17-3=14,

_+a〃)_"(14+17-3〃)_3231

ij———nn.

〃2222

（2）由q,=17-3”，则数列｛%｝为递减数列，

由4=T<0,a5=2>Q,则当〃=5时，S.取得最大值，即最大值为=区处@=40.

2

1.已知数列｛4｝是等差数列，若%+牝<0，al0-ail<Q,且数列｛%｝的前"项和s,,有最大值，当S“>o

时，”的最大值为（）

A.20B.17C.19D.21

【答案】C

【分析】可判断数列&｝是递减的等差数列，利用前〃项和公式和等差数列的性质可得儿>0,S2°<。，进而

可得”的最大值.

【详解】因为%）%<0,所以和知异号，

又等差数列｛%｝的前n项和S“有最大值，

所以数列｛«J是递减的等差数列，

所以如）>（）,0n<0,

所以S19=H%X19=194O>O,

$2。=^^x20=10（q+/。）=10&+&）<。，

所以当5">。时，”的最大值为19.

故选：C.

2.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“.7%+5%=。，且。9>生，则S“取得最小值时〃的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】由等差数列｛%｝的通项公式，求得。6<。，%>。，进而得到当当lV〃W6,〃eN*时，«„<0,当

〃27,〃EN*时，〃〃>0,即可求解.

【详解】由等差数列｛凡｝的通项公式74+5%=0,得

7(%+4d)+5(q+8d)=0,12q+68d=0,4——§d,———,又%>%,

172171

以%<。,d>0,4+d=0,/.%+5d+耳d=0％+5d=4<0,qH——d+§d=%>0,

则等差数列｛4｝中满足4<。，%>。，且d>0，

数列｛%｝为递增数列，且当1W〃W6,〃£N*时，。〃<。，当〃27,〃EN*时，。〃>°，

所以当S“取得最小值时，〃的值为6.

故选：B.

3.已知数列｛%｝中，％=25,4%+]=4%-7,若其前刀项和为$7,则S?的最大值为（）

「765「705

A.15B.750C.---D.——

42

【答案】C

7

【分析】由题意可得数列｛见｝是以首项为25,公差d=-（的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前〃

项和的性质分析运算.

7

【详解】由4q+1=4氏一7,可得。〃+1=%—a，

7

所以数列｛4｝是以首项为25,公差d=的等差数列，且｛%｝为单调递减数列,

其通项公式为4=25+5-1*[,一7小、=一工7〃+丁107.

当—[20且。]=—■-n-\■—厂＜。时，Sn最大，

“4444

解得正叫且心吗贝心=15,

77

即数列｛④｝的前15项均为非负值，第16项开始为负值，

"「同一c~oc15x14（7、765

故S/5取大，几=15x25+---xl--1=-^—.

故选：C.

4.若｛%｝是等差数列，首项％＞0,。2021+。22＞。，。21，%022＜。，则使前〃项和3＞。成立的最大自然数

〃是（）

A.2021B.2022C.4042D.4043

【答案】C

【分析】根据题意得。2021＞。，“2022〈°，再结合$4043=4043。2022＜°，S蛆?=2021（%021+%022）＞。，求解即可.

【详解】根据q>o,出⑼.«2022<。得«2021>0，?侬<0,所以s破=40437+喙）=4043^<0,

因为/。21+/。22>0,所以品以=4°42（,+041M2）=2021（%⑶+嗫2）>0，

所以使前〃项和S“>。成立的最大自然数〃是4042.

故选：C

5.设｛%｝是等差数列，S,是其前〃项和，且55<品，$=$7>',则下列结论正确的是（）.

A.d>0B.%=0

C.59>S5D.臬与跖均为S”的最大值

【答案】BD

【分析】对于B：根据题意结合前〃项和分析可得4>0，%=。，如<。；对于A：根据等差数列的定义分析判

断；对于C：根据等差数列的性质分析可得％+%+4+%<。，进而可得结果；对于D：根据等差数列的正

负性结合前n项和的性质分析判断.

【详解】因为s5Vs6,S6=S7>S8,

则。6=$6—S5>。，。7=S7-$6=0,%=Sg—邑<0,故B正确；

设等差数列｛%｝的公差为d,则d=%-4<。，故A错误；

可知数列｛%｝为递减数列，可得4>。2>…>%=。>%>…，

可得％+%+氏+为=2（%+q）=20g<0,

所以59=55+%+%+%+。9<55，故C错误；

因为R为最后一项正数，根据加法的性质可知：$6为S”的最大值，

又因为$6=$7,所以$6与S?均为S“的最大值，故D正确；

故选：BD.

6.设等差数列｛〃"｝的前”项和为S"，公差为d.已知出=的，品,>。，几<0,则下列结论正确的是（

24

A.%<°B.---vd<-3

7

C.跖=84D.设的前〃项和为小则（>。时，〃的最大值为27

【答案】BC

【分析】由已知求得“8<0，«7>0,解公差为d的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质

逐个选项判断正误即可.

【详解】岳5<0,...14"%4）=7（%+4）>0,'（a；/）=15/<0,

9+。8>0,“8<0，.，・%>。，A选项错误；

又•:%=12,即4=12-3d,

1%+/=。4+3d+/+4d=24+7d〉0

解得-亍<1<一3,B选项正确;

=%+4d=12+4d<0

•*"；%）=7%=84,故C选项正确;

Sn—1,

因为等差数列｛%｝的前n项和为S“，所以S.=呷+妁泸4,n卬n—=qH----d,

n2

数列为等差数列，设2=彳=%+，1”，

因为当时，Sn>0,当〃>15时，5n<0,

所以当"W14时，3>0,当〃>15时，么<0,

所以心7=^^'27=27々4>0,T2i=^^x28=14^2a1+y^=14^24+y6/

?4

因为-3</<-3,所以品可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确.

故选：BC.

7.已知数歹!]｛4｝的前W项和s“满足S"=a〃2+ii〃+Ma,6eR,〃eN*）,则下列说法正确的是（)

A.人=0是｛叫为等差数列的充要条件

B.｛%｝可能为等比数列

C.若a>0,6eR,则｛4｝为递增数列

D.若。=一1,则S,中，S-S6最大

【答案】ABD

【分析】计算4=。+8+11,当〃22时，an=lan+11-«,验证知A正确，当a=b=0时是等比数列，B正

确，举反例知c错误，计算“6=。得到D正确，得到答案.

2

【详解】S〃=an+lln+b,ax=Sx=a+b+11；

2

当时，an=Sn-Sn-1=an+lln+b-a(^n-lf=2«n+ll-a,

当人=0时，%=。+11,满足通项公式%=2即+11-〃，数列为等差数列；

当｛4｝为等差数列时，=2。+11-〃=11+。+力，6=0，故A正确；

当々=/?=0时，是等比数列，B正确；

%=3〃+11,取Z?=2a,贝！J〃2=4，C错误；

当，=-1时，从第二项开始，数列递减，且为=-2〃+12,故。6=。，故S5,臬最大，D正确.

故选：ABD

8.已知数列｛。,｝的前〃项和S“=f2+9M〃eN*),则下列结论正确的是()

A.｛%｝是等差数列B.%+%=。

8]

C.D.s“有最大值-

4

【答案】AB

【分析】由“”与S.的关系求出数列｛%｝的通项，从而可判断AB,根据数列性质可判断C,根据前"项和S”的

函数性质可判断D.

【详解】当”=1时，%=1=8,

当“22时，

22

a”=Sn—S._[=-n+9n—[—(«—I)+9(“-1)]=10—2n,符合q=8,

故4=10-2〃,5eN*),

所以4+i=1。-2("+1)=8—2",an+l-an=-2,

所以数列｛。“｝是等差数列，首项为q=8,公差d=-2,A正确；

“4+“6=2%=。，B正确；

因为公差』=-2<0,所以数列｛可｝是递减数列，所以色>6。，C错误；

22

sn=-n+9n=-(n--)+—,

易知当"=4或5时，S“有最大值邑=Ss=20,D错误.

故选：AB

9.数列｛%｝的前〃项和为已知5“=-/+7〃，则下列说法正确的是()

A.｛%｝是递增数列B.a10=-14

C.当">4时，a„<0D.当”=3或4时，S.取得最大值

【答案】CD

【分析】根据S“表达式及〃22时，4=S,-Sa的关系，算出数列｛%｝通项公式，即可判断A、B、C选项

的正误.S“=-"2+7〃的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.

【详解】当“22时，4=S“-S,T=-2"+8,又q=H=6=-2xl+8,所以%=-2〃+8,则｛%｝是递减数

列，故A错误；

%o=T2,故B错误；

当”>4时，an=8-2«<0,故C正确;

7

因为'=-"+7〃的对称轴为“=],开口向下，而〃是正整数，且"=3或4距离对称轴一样远，所以当〃=3

或4时，S“取得最大值，故D正确.

故选：CD.

10.等比数列｛%｝中％=16,牝=2,则数列｛log?q｝的前"项和的最大值为.

【答案】21

【分析】先求得数列｛%｝的通项公式，由此求得数列｛log/』的通项公式，可知数列｛log?%｝是等差数歹U，

然后根据通项公式的特征求得前〃项和的最大值.

【详解】由于等比数列｛%｝中，%=16,&=2,

所以‘“"5解得q=64应=:,

a1q~=22

所以=64x所以1叫4=7-〃，

所以数列｛log24｝是首项为6,公差为-1的等差数列,

当时，log24>。；当〃=7时，log2an=0；当〃>7时，log2"〃<°，

则当〃=6或〃=7时，数列｛log?的前〃项和取得最大值，最大值为6+5+4+3+2+1=21.

故答案为：21.

11.记等差数列｛。“｝的前〃项和为S,，若4>0,a2+a2O23=O,则当工取得最大值时，n=.

【答案】1012

【分析】由出+出。23=。求出生和d的关系，结合等差数列前〃项和公式即可求解.

【详解】设等差数列｛0｝的公差为d,由%+电。23=。可得：%一笺d,

r-r-p,c_,n(n-l)2023ndn(n-V)d2、

\以Sn=4——d=--------1---——d=~(7?-2024〃)，

因为弓>0,所以d<o,则s“是关于"的二次函数，开口向下，对称轴“=1012,

由二次函数的图象和性质可得：当〃=1012时，S"取最大值，

故答案为：1012.

易错点二：忽视两个“中项”的区别(等比数列利用中项求其它)

1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母4表示。

数学语言表达式："二q(«>2,4为非零常数).

2、等比中项性质：如果三个数a,G,b成等比数列，那么G叫做。与力的等比中项，其中G=±J法.

注意：同号的两个数才有等比中项。

3、通项公式及前〃项和公式

(1)通项公式：若等比数列｛4｝的首项为对,公比是4,则其通项公式为

nm

通项公式的推广：an=amq-.

(2)等比数列的前几项和公式：当4=1时，5“=眄；当qwl时，=")=，

1-q1-q

已知｛见｝是等比数列，S,,是数列｛4｝的前几项和.(等比中项)

1、等比数列的基本性质

（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即%,%+,“，%+2,“，…仍是等比数列，公比为

⑵若&｝,但｝（项数相同）是等比数列，则｛久｝co）,卜］,｛4｝，｛见同，书］仍是等比数

列.

（3）若左+/=根+”（左,/,私"eN*）,则有&y=q

口诀：角标和相等，项的积也相等推广：a：=a『k•a“+k（n,kwN*,且n—kNY）

（4）若｛4｝是等比数列，且a”〉O,贝ij｛log〃4｝（。＞0且awl）是以log°q为首项，log"为公差的等

差数列。

（左€7^）构成公比为/）的等比数歹I］。

（5）若｛%｝是等比数列，ak,则

lk12k

易错提醒：若a,b,c成等比数列，则6为a和c的等比中项。只有同号的两数才有等比中项，“b2=ac

仅是“b为。和c的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。

三9

例.已知各项均为正数的等比数列｛%｝中，+2。3a5+a4a6=25,则%+%等于（）

A.5B.10C.15D.20

【详解】解：由等比数列的性质可得如丛=2算a4a6=a/,

••a2a4+2a385+a4a6=+2a3a5+3.5—（a?+a。=25,

又等比数列｛0｝各项均为正数，；.a3+a5=5,选项A正确

变式1.已知等差数列｛g｝的公差dwO,且％,«3,旬成等比数列，则3;=（

Vi-nICd'AIc

A13n10八11n15

A.—D.—C.—D.—

16131316

【详解】由题意可知，。；二6%得（4+2d）2=4（q+8d）,解得d=O或％=d,

因为d。0,故卬=d,

+%+为34+10d_13d13

所以

%+4+〃103q+13d16d16,

故选：A.

变式2.已知。，仇ccR,如果-1,。，b,。，-9成等比数列，那么（）

A.b=3,ac=9B./?=-3,ac=9

C.b=3fac=—9D.b=-3,ac=-9

【详解】因为》是-1和-9的等比中项，所以"=(-1)x(—9)=9,设公比为心则6=-二,

所以6与首项T同号，所以6=-3.又a,。必同号，所以〃=〃=9.

故选：B

变式3.已知等比数列｛g｝中，a2+a6=5,a3-a5=4,贝ijtan］等/()

A.73B.-V3C.晶或-垂＞D.

【详解】解：由等比数列性质可知%q=%・%=4=d,所以。4=2或。4=-2,

=「an等-技

但〃2+〃6>0,可知的>。，所以。4=2,贝！Jtan

故选：B

,,S.-S,

1.已知等差数列｛%｝的前n项和为S“，公差不为0,若满足％、的、%成等比数列，则的值为(

A.2B.3C.1D.不存在

【答案】A

【分析】根据题意，利用等比中项公式列出方程求得％=-41,结合即可求解.

【详解】由等差数列｛%｝的前〃项和为S",公差不为0,若满足%,“4成等比数列，

可得a；=%%，即(％+2dy=%(%+3d),整理得(q+4d)•d=0,

因为dwO,所以q=-4d,

—2d

又由S5—S3%+。52q+7d

故选：A.

2.已知公差不为零的等差数列｛%｝中，4+。5=14,且％,电，〃5成等比数列，则数列｛4｝的前9项的和

为()

A.1B.2C.81D.80

【答案】C

【分析】由题知%=7,肉=%为，进而根据等差数列通项公式解得。=2,再求和即可.

【详解】因为%+%=14,所以24=14,解得q=7.

又％,a2,%成等比数列，所以婚=4限.设数列｛““｝的公差为d,

则(%—2d)2=(g-3d)(%+d)，即(7—2d)2=(7—3d)(7+d),整理得屋_2d=o.

因为dwO,所以d=2.

所以9x(q+3=9x(l+17)=8i.

922

故选:C.

3.已知a=5+2#,c=5-2y/6,则使得4),。成等比数列的充要条件的》值为()

A.1B.±1C.5D.±2^/6

【答案】B

【分析】根据等比中项的性质求解即可.

【详解、若a，b,c成等比数列，则b2=ac,即6=+4ac=土«5+2痢(5-2屈=±1，

当。=±1时,满足〃=农,。，仇。成等比数列,

故使得"c成等比数列的充要条件的人值为±1.

故选：B

4.已知等差数列｛%｝的公差不为0,卬=1且%，/，4成等比数列，则错误的是()

A.^±^=2B.幺＞％C.A±L=WD.S,2a“

出+%/〃4几+12

【答案】C

【分析】设出公差，根据题干条件列出方程，求出公差，求出通项公式4=",再利用通项公式和前〃项和

公式对四个选项一一计算，进行判断.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d(dwO).

因为q=1且％,%，。8成等比数列，所以(l+3d)2=(l+d)(l+7d).

解得：d=1,所以aa=4+(〃T)d=l+(MT)x：l=〃.

Q]+〃91+9

对于A=2.故A正确;

%+为2+3

对于氏因为mH＞。,所以„故B正确;

(”+1)5+2)n+2

对于c：，《一•故C错误;

n+12(H+1)2

对于D：因为s.一a”=当@一〃=若4,所以当“21时，S"一见=若420,即S“2%.故D正确.

故选:C

5.正项等比数列｛〃〃｝中，4%是。5与-2%的等差中项，若。2=；，则。3。5=（）

A.4B.8C.32D.64

【答案】D

【分析】依题意4%是。5与-2g的等差中项，可求出公比9,进而由的=g求出。4,根据等比中项求出％为

的值.

【详解】由题意可知，4%是生与-2%的等差中项,

所以为-22-8%，即//-2a3q=8%，

所以/_2q_8=0,q=4或q=-2（舍），

所以&=a?q=8,

a3a5~〃4=64,

故选：D.

6.已知实数4,〃,9构成一个等比数列，则圆锥曲线工+/=1的离心率为（）

m

A.典B.77C.叵或近D.9或7

666

【答案】C

【分析】根据等比中项可求加=±6,然后代入曲线方程分别得到曲线为椭圆和双曲线，根据离心率的公式

即可求解.

【详解】实数4,加，9构成一个等比数列，可得加=±6,

当机=6时，圆锥曲线直+丁=1为椭圆，则其离心率为：$=我.

mV66

当机=-6时，圆锥曲线二+产=1为双曲线,其离心率为：工币.

m1

故选：C.

a

7.数列｛〃〃｝为等比数列，=1,%=4,命题p:a3=2,命题q：%是为、5的等比中项，则。是4的（)

条件

A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.

【详解】因为数列｛%｝为等比数列，且4=1,%=4,若%=2,则%=%，

则%是生、。5的等比中项，即pnq；

若%是％、%的等比中项，设｛%｝的公比为加，则的=%小>。，

因为。；=%%=4,故%=2,即P<=4.

因此，〃是q的充要条件.

故选：A.

8.在数列｛%｝中，4=2,%=2q,+](〃eN*),则弓生+%4+…+即)。12=().

A.1x(410-l)B.|x(4"-l)

c-畀/1D-

【答案】D

【分析】由等比数列定义可知数列｛4｝为等比数列，结合等比数列性质可知数列｛码是以4为首项，;为公

比的等比数列，结合等比数列求和公式可求得结果.

【详解】.弓=2,an=2an+1(neN*),即a"+i=g。"，

数列｛4｝是以2为首项，g为公比的等比数列，

_2_2_2_2

又数列｛〃；｝是以4为首项，：为公比的等比数列，

..q/+a2a4+,,,+〃10%2—(q+%+/+，,,+41)q—4

1--

4

16rl1)/4414.(1Y°^

kF一声尸『寸六一⑺!

故选:D.

9.已知｛4｝是等差数列，公差d<0,前〃项和为s“，若〃3，〃4，。8成等比数列，贝！K)

A.4>0,S4>0B.%<0,S4<0C.。1>0,S4<0D.q<0,54>0

【答案】A

【分析】首先由。3，。4，“8成等比数列可得42=。3%，然后计算得出％=-(1，再由/<0可得外>0,最

后由等差数列的前“项和公式即可得出S,的表达式，进而得出所求的答案.

【详解】因为生，〃4，。8成等比数列，所以。「二生必，

5

即(/+3d>9=(6+2d)(〃i+Id),即q=——<7,

因为d<0,所以4>0；

4x3S9

而邑=4q+-^—tZ=44+6d=4x(-§d)+6d=一1>。，

故选：A.

10.数1与4的等差中项，等比中项分别是()

5555

A.±—j±2B.一,±2C.—,2D.i—,2

2222

【答案】B

【分析】利用等差、等比中项的性质求对应中项即可.

【详解】若等差中项为如则2m=1+4=5,可得m=|；

若等比中项为〃，则〃2=ix4=4,可得"=?2；

故选：B

11.已知数列｛4｝是等差数列，4=2,其中公差若应是%和1的等比中项，则几=(

A.398B.388

C.189D.199

【答案】C

【分析】数列｛%｝是等差数列，%=2,其中公差d/O,由。5是％和W的等比中项，可得

(2+4d)2=(2+2d)(2+7d),解得《即可得出.

【详解】解：数列｛4｝是等差数列，4=2,其中公差dwO,火是附和网的等比中项,

(2+4dy=(2+2d)(2+Id),

化为d(d-1)=0,d^0.

所以d=l,

1817

则S18=18x2+^xl=189.

故选：C.

易错点三：忽略等比数列求和时对4讨论(等比数列求和)

等比数列前八项和的性质

(1)在公比qw—1或4=-1且〃为奇数时，sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……仍成等比数列，其公比为/；

(2)对Vm,peN*,有S*p=Sm+qmSp；

(3)若等比数列｛%｝共有2〃项，则觌=4,其中S偶，S奇分别是数列｛”,｝的偶数项和与奇数项和；

3奇

(4)等比数列的前几项和s“=拦一一A-q",令左=3,则S,=k—hq"(左为常数，且4W0,1)

1-q1-q1-q

?26Z],q=1

易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：s“=-0",所以在利用等比数列求和公式

—：-----，#]

Ii-q

求和时要先判断公比是否可能为1,,若公比未知，则要注意分两种情况°=1和讨论..

例•设等比数列｛4｝的前〃项和为S,.已知S向=2S,+g,〃eN*,则$6=.

【详解】当｛%｝的公比为1时，由S同=2S“+；可知显然不成立，故公比不为1,

由S“+i=2Sn+—^Sn+l-S„=Sn+—^>an+l=Sn+—,

所以"22时，a“=S._i+g,相减可得为+i-%=SM—SL]=a“na“+[=2%,故公比q=2,又

a2=%+；?2%a1+g?Q]g,

故&j(l一2‘)63,故答案为：W

o=------=—2

61-22

变式1.记S“为等比数列｛%｝的前A项和，若邑=-5,$6=21邑，则$8=.

【详解】等比数列｛〃"｝中，$4=5,$6=2电，显然公比4W1,

设首项为生,则牛心=_5①，*£1=生卢©②，

\-q1-ql-q

化简②得/+/-20=0,解得d=4或/=-5(不合题意，舍去)，

代入①得詈-=T，

l-q3

所以58=叩或=片(1一/)(1+/)=:'(-15”(1+16)=—85.

1-q\-q3

故答案为：-85

变式2.在等比数列｛叫中，6=g,a4=-4,令2=⑷，求数列也｝的前〃项和S..

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,%=g,%=-4，

所以%=一4,解得：＜/=-2,

所以。"=4,'(-2)"1,

又勿=①|=；(-2)"T=2"，所以§/(I")4——.

2〃1-22

变式3.数列｛氏｝前〃项和S"满足%=25.+3吗=3,数列也｝满足6,=logs系.

⑴求数列｛吗和色｝的通项公式;

(2)对任意小eN*,将数列也,｝中落入区间(4,。,“+J内项的个数记为％,求数列｛%｝前机项和Tm.

【详解】（1）q=3,〃〃+i=2S〃+3①，当〃=1时，％=2SI+3=9,

当〃22时，册=2S〃_]+3②,

两式①-②得an+\~an=2册,即。用=3%,

其中%=9=3%,也满足上式，

故｛g｝是以3为首项，3为公比的等比数歹U，

故4=4.3〃一1二3〃；

〃333n

^-log3y=log3—=3^-2；

(2)4,%)=(3"',3叫，

令3”<3〃-2<3叫解得产+白”中+:又“eN*,

33

故刀=3〃T+1,3*1+2,,3―则％=3"-3小=2・3力,

「23m

故3=歹行=3,所以｛%｝为等比数列，首项为。=2,公比为3,

Cm

1.已知｛4｝为等比数列，其公比q=2,前7项的和为1016,贝fJlogzQ%）的值为（）

A.8B.10C.12D.16

【答案】C

【分析】根据等比数列的前〃项和公式求出首项外,进而可得册，再结合对数运算即可得答案.

【详解】依题意，s,=3gl=1016，127a,=1016,解得4=8,因此㊃=2"+2,

71-2

5712

所以log2（G3«5）=log2（2X2）=log22=12.

故选：C

2.已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为S,，若4=1,9邑-1052=0,则$5=（）

,1340121n80

A.—D.—C.—D.—

9278127

【答案】C

【分析】由等比数列的前〃项和公式直接计算即可.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4，

当4=1时，9s4-IOS?=36q-20%=16q*0,不符合题意，（注意对q=1情况的讨论），

所以qwl,由9s「IO邑=0得9X°*一44）=10义1（1-"）得4=:，（注意等比数歹£4｝为正项数歹U,故

l-q\-q3

"0),

3

故选：C.

3.已知。i=l,%=1,an=an_x+2an_2+l(H>3,〃EN*),S〃为其前〃项和，贝!JSe。=()

A.230-31B.430-31C.230-30D.430-30

【答案】B

【分析】利用递推关系构造得｛q+为7+1｝是一个以3为首项，2为公比的等比数列，再赋值，结合等比数

列的前〃项和公式求答案.

【详角军】由+2。〃一2+1Cn>3,neN*)可得为+4_i+1=2q_[+2aA2+2=2(%_]+4_2+1),

已知4=1,a2=l,所以%+%+1=3,

即｛q+4T+1｝是一个以3为首项，2为公比的等比数列，

所以%+%_i+1=3x2”一2,即%+*=3x2n-2-l(n>2,neN*),

%+6?2=3x2°—1,%+“4=3x2?—1,%+4=3x2，—1,L,%9+Ro=3x—1,

§60=%+。2++”60=3(2°+2?++2^8)—30

1-430

=3x------30=43。-31,

1-4

故选B.

4.在等比数列｛〃〃｝中，%=1，%=8,则()

A.｛a/小｝的公比为4B.｛k&q｝的前20项和为170

C.｛%｝的前10项积为235D.｛4+%｝的前〃项和为I『-1)

【答案】ABC

【分析】利用