等差数列的概念与通项公式 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，能力提升解析

∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，4.2.1等差数列的概念与通项公式1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一元一次函数的关系.学习目标情境导入问题1

观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986.②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，…③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.以上数列有什么共同特征？你能预测哈雷彗星下一次出现的时间吗？情境导入问题1

①1682,1758,1834,1910,1986.对于数列①：从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数②275,270,265,260,255,250，…③10,10,10,10,10.1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)

“从第2项起”(2)差必须是同一个常数（可以是正数、负数、零）；一、等差数列的概念例1

判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.①1,3,5,7,9,…；②9,6,3,0,-3,…；③1,0,1,0,1,…；④7,7,7,7,7,…；①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是，1-0=1,0-1=-1；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是.1.思考辨析，判断正误(1)等差数列{an}的单调性与公差d有关.(

)(2)常数列是等差数列.(

)(3)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(

)提示

差都是同一个常数.(4)数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.(

)提示{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.√√××组成一个等差数列至少需要几项？问题2

如果在数列a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？提示由定义可知A－a＝b－A，即2A＝a＋b，A＝

二、等差中项此时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b.a和b的等差中项的是它们的算术平均数.例2

在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.解因为－1，a，b，c,7成等差数列，所以b是－1与7的等差中项，又a是－1与3的等差中项，又c是3与7的等差中项，所以该数列为－1,1,3,5,7.思维升华问题3

如何推导等差数列的通项公式？设一个等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知：an－an－1＝d(n≥2)，三、等差数列的通项公式追问

你能通过递推公式，推导出等差数列的通项公式？设一个等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，故有a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，……于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).问题3

如何推导等差数列的通项公式？首项为a1，公差为d的等差数列的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d（n∈N*）由an－an－1＝d有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d，追问

你能通过递推公式，推导出等差数列的通项公式？一共有n-1个等式，将它们进行累加，有an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).n=1时，a1也符合上式.an＝a1＋(n－1)d（n∈N*）3、等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.三、等差数列的通项公式例3

你能写出这些等差数列的通项公式吗？①5,9,13,17,21，…；②9,7,5,3，1，-1，…；③7,7,7,7,7；问题4

观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？

追问

可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？d＞0，数列{an}单调递增d＜0，数列{an}单调递减d=0，数列{an}为常数列例4

在等差数列{an}中，(1)已知等差数列的通项公式an＝5-2n，求a1与d；(2)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(3)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.等差数列的任意条件

等差数列的任意问题基本量法跟踪训练4

在等差数列8,5,2,……的通项公式an和第20项并判断-289是否是数列中的项，若是，是第几项？(1)等差数列的首项与公差是等差数列的“基本量”，由这两个基本量，可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项；(2)根据已知条件，列出关于通项公式中未知变量的方程或方程组，求得未知变量，是解决等差数列相关问题的常用方法.思维升华本课小结：本节课我们学习了：一、等差数列的有关概念：（1）等差数列及等差中项的定义（2）等差数列的通项公式

（3）通项公式的应用二、研究方法：递推公式→通项公式→应用

递推公式、归纳和累加法函数与方程思维提升

已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.解法一根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.法二由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.等差数列项的常见设法如果三个数成等差数列，可根据项的对称性把这三个数设为a－