辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意，.故选：D.2.已知，则的值为（）A. B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗，.故选：B.3.已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为圆锥的底面半径是1，高为，所以圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为.故选：D.4.下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对A，，其定义域为，设，因为，故其为偶函数，故A错误；对B，，其定义域为，设，则，则其为奇函数，且最小正周期为，故B正确；对C，，其最小正周期为，故C错误；对D，，其最小正周期为，故D错误.故选：B.5.将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，，令，得，当时，.故选：A.6.设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗对A，若，，则或与异面，故A错误；对B，若，，则与可能相交、平行或，故B错误；对C，若，，则，又因为，则，故C正确；对D，若，，，当都与的交线平行时，满足题设条件，此时，故D错误.故选：C.7.已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗线段中点纵坐标为，则点在第二象限，而，则有点的横坐标为，点在角的终边上，则点在角的终边上，，，所以.故选：A.8.已知中，，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（）A. B. C.0 D.〖答案〗D〖解析〗在中，，由，得，则，即，以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系，则，设，，，由，得，解得，，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知复数，，则下列说法正确的是（）A.若，则的共轭复数为B.若为纯虚数，则C.若，则D.〖答案〗ABD〖解析〗对A，根据共轭复数的概念知的共轭复数为，故A正确；对B，若为纯虚数，则，解得，故B正确；对C，举例，满足，但，故C错误；对D，设，，其中，则，则，，所以.故选：ABD.10.已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（）A.B.函数的最小正周期为，其图象的对称轴为C.（其中和的取值使各项都有意义）D.在锐角中，角，，的对边分别为，，，则〖答案〗AC〖解析〗依题意，，当时，，对于A，，A正确；对于B，函数，的最小正周期为，其图象的对称轴为，B错误；对于C，，C正确；对于D，由余弦定理得，D错误.故选：AC.11.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（）A.该三棱台的体积为B.若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为C.若点在棱上，则的最小值为D.该三棱台内半径最大球的体积为〖答案〗BC〖解析〗对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，连接，则，高，三棱台的体积，A错误；对于B，在上分别取点，使，连接，而，则四边形均为平行四边形，即，，而平平面，平面，则平面，同理平面，又，因此为平面截该三棱台所得的截面，而，又，则为正三角形，，截面面积，B正确；对于C，把等腰梯形与展开置于同一平面，连接，由选项B知，等腰底边，而边的中点到点的距离，因此当点为线段与的交点时，的最小值为，C正确；对于D，体积为的球半径，，解得，该球的直径，则此球不可能在正三棱台内，D错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.）12.已知向量，，若，则实数____.〖答案〗3〖解析〗由题意得，解得.故〖答案〗为：3.13.已知函数在上单调递增，则的最大值为____.〖答案〗〖解析〗因为，则，由函数在区间上单调递增，可得，求得，则，故的最大值为.故〖答案〗为：.14.已知矩形中，，，将沿折至，得到三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为____；该三棱锥外接球的表面积为____.〖答案〗〖解析〗过作于，过在平面内作，则平面，又平面，于是平面平面，平面平面，因此在平面内的射影为，而，点到平面的距离，当且仅当时取等号，三棱锥的体积；取的中点，连接，由，得，因此三棱锥的外接球的球心为，半径为，所以三棱锥的外接球的表面积.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知，角，，的对边分别为，，，满足.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，即，因此，即有，又，所以.（2）由余弦定理，得，又，则，所以的面积.16.如图，在直三棱柱中，，.（1）求证：平面平面；（2）求证：.解：（1）在直三棱柱中，因为平面平面，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）连接，由（1）可知平面，因为平面，所以，因为，所以，又因为在正方形中，平面，，所以平面，又因为平面，所以，即.17.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元.（1）求，两点间距离；（2）设铺设电缆总费用为.①求的表达式；②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度.解：（1）在中，由，得，解得，则，由正弦定理，得，所以，两点间的距离.（2）①在中，由正弦定理得，解得，，所以.②令，则，则，其中锐角由确定，于是，则有，而，解得，当且仅当时取等号，即当时，有最小值，所以总费用的最小值为万元，此时的长度为.18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为中点.（1）证明：平面；（2）若，.①求二面角的余弦值；②求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）连接，交于点，连接，因为底面为菱形，所以为的中点，因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）①因为，所以为等边三角形，取的中点，连接，则，在中，作交于点，所以为二面角的平面角，在中，因为，所以，所以，在中，，所以，在中，，由余弦定理得，在中，由余弦定理，所以二面角的余弦值为.②设点在平面内的射影为点，则为直线与平面所成的角，因为，所以，所以，所以，又因为平面，平面，，所以平面，又因为平面，平面，所以平面，且，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.（1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由；（2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；（3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由.解：（1）是R上的“完美三角形函数”，，因为，所以，所以，因为“”是“为上的“完美三角形函数”的