吉林省BEST学校联合体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省BEST学校联合体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷客观题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选〖答案〗中，只有一个是符合题意的．1.“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，即，得到或，所以得不出，当时，有，即可以得出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：A.2.设集合是4与6的公倍数，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12，所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误.故选：B.3.已知，则的最小值为（）A.8 B.10 C.12 D.14〖答案〗C〖解析〗因为,,当且仅当，即时取得等号，即的最小值为12，故选：C4.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于选项A，易知函数的定义域为，又在上恒成立，得到的减区间为，，所以选项A错误，对于选项B，由，得到，关于原点对称，又，所以为奇函数，又，得到在区间上恒成立，即在其定义域上是增函数，所以选项B正确，对于选项C，因为的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，所以选项C错误，对于选项D，由性质知，在其定义域上不具有单调性，所以选项D错误，故选：B.5.设等差数列的公差为，前项和为，若，则（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗，故，故选：C6.已知函数则下列说法正确的是（）A.是上的增函数 B.的值域为C.单调递减 D.若关于的方程恰有一个实根，则〖答案〗D〖解析〗因为，其图象如图所示，对于选项A，由图知，时，，所以选项A错误，对于选项B，由图知，当时，，所以选项B错误，对于选项C，由图知，在区间上单调递增，在区间上单调递增，所以选项C错误，对于选项D，由，得到，令，，因为关于的方程恰有一个实根，所以与的图象恰有一个交点，由图知，故选：D.7.若，，，则正数大小关系是（

）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，则为与交点的横坐标，由，则为与交点的横坐标，由，即，则为与交点的横坐标，作出，，，的图象如下所示，由图可知，.故选：B8.已知，，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗由，得到，令，得到所以为函数与交点的横坐标，由，得到，所以为函数与交点的横坐标，又与互为反函数，故它们的图象关于直线对称，又关于对称，由，得到，所以，得到，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选〖答案〗中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分．9.下列求导运算正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗BD〖解析〗因为，所以错误；因为，所以正确；因为，所以错误；因为，所以D正确.故选：BD10.已知函数，的定义域均为，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，，则下列说法正确的是（）A.函数的一个周期是B.函数的一个周期是C.若，则D.若当时，，则当时，〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A，因为为奇函数，所以，令，得到，即有，故可得，又为偶函数，所以，即有，所以，得到，所以，即函数的一个周期是，所以选项A错误，对于选项B，因为为奇函数，所以，又，所以，即，所以函数的一个周期是，所以选项B正确，对于选项C，由选项A和B知，，又，，所以，故选项C正确，对于选项D，因为当时，，所以当时，，所以，所以选项D正确，故选：BCD.11.已知数列满足，，则（）A.是递减数列 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A：易知，否则与矛盾，由，得，所以，所以数列是递增数列，故A错误；对于B：由选项A的判断知，所以，由，得，所以，，即，故B正确；对于C：由，得，则所以，故C错误；对于D：由，得，即，所以，，故D正确.故选：BD第Ⅱ卷主观题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分．12若，则__________.〖答案〗1〖解析〗因为，所以，所以.故〖答案〗为：1.13.已知定义在上的偶函数满足，当时，，则________〖答案〗〖解析〗因为，所以函数的周期，所以，又为偶函数，所以，所以.故〖答案〗为：.14.已知集合，A是M的子集，当时，，则集合A元素个数的最大值为_______．〖答案〗1895〖解析〗先构造抽屉：．使前100个抽屉中恰均只有2个数，且只有1个数属于A，可从集合M中去掉前100个抽屉中的数，剩下个数，作为第101个抽屉．现从第1至100个抽屉中取较大的数，和第101个抽屉中的数，组成集合A，于是，满足A包含于M，且当时，．所以的最大值为．故〖答案〗为：1895.四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程.15.已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设数列的公差为，由已知有，即，解得（舍），，；（2），.16.已知函数．（1）若，求在上的最值；（2）若在R上单调递减，求a的值．解：由时，可得，则，当时，；当时，；当时，，所以函数在单调递增，在上单调递减，在单调递增，又由，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.（2）由函数，可得，因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，则满足，整理得且，解得.17.医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少．（1）求k的值；（2）患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1）（3）患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，）解：（1）依题意，，解得，所以k的值为.（2）血液中的A药含量达到后，经过x小时患者血液中A药含量为．由，得，两边取对数得：，解得，所以患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持.（3）设第一次注射开始后经过患者血液中A药的含量为，即，记第二次注射完成后患者血液中A药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间，则，由，得，即，两边取对数得：，解得，又，所以经过两次注射后，患者血液中A药的含量不低于的时间可以维持．18.对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和．（1）求的值：（2）若，求数列的前项和（3）对互不相等的质数，证明：，并求的值．解：（1）因为的所有正因数为，所以，得到.（2）因为共有个正因数，它们为，所以，得到，所以，令①，则②，由①②得到，所以，故.（3）因为是互不相等的质数，则的正因数有个，它们是，的正因数均为个，分别为和，的正因数有个，分别为，所以，，因为，所以.19.已知函数在上的极小值点从小到大排列成数列，函数．（1）求在处切线方程；（2）求的通项公式；（3）讨论的零点个数．解：（1）因为，所以，得到，又，所以在处的切线方程为.（2）因为，令，则，当时，，当时，，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，又，，，，这里，结合的单调性知，当时，，对，存在唯一的，使得，且在上取正值，在上取负值，对，存在唯一的，使得，且在上取负值，在上取正值，这表明对，在和上递增，在和上递增，从而上递增，在和上递减，从而，在上递增，在上递减，在上递增，且，将以上讨论与结合，即可得到在上全部的极小值点就是，且是递增数列，所以，又注意到，，结合的定义，知一定有，所以的通项公式为.（3）由已知有，而，故，设，则我们只需要讨论的零点个数，又，令，则，由零点存在定理知存在唯一的，使得，故当时，有，从而，当，有，从而，即在上单调递增，在上单调递减，又，，则存在唯一的，使得，且当或时，，当时，，所以在或上递增，在上递减，又，当时，由于，，故，又因为，所以根据的定义可知此时，故在上递增，在上递减，再由，可知当时，，而当时，