2024历年高考数学真题汇编：复数

历年高考数学真题精编

20复数

一、单选题

1.（2023•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（一1,6），则z的共辗复数7=

A.1+V3zB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

2.(2023・全国)2+i2+2i3=()

A.1B.2C.V5D.5

3.(2023•全国)设a£R,(a+i)(l-ai)=2,,贝！J。=()

A.-1B.0C.1D.2

1-i_

4.(2023•全国)已知z=丁二y,贝Uz=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

5.（2023•全国）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.（2022・全国）若z=-1+曲，贝!=()

ZZ-1

r1V3.n1也.

A.-1+V3iB.-1-V3iD.-----------1

3333

二、填空题

7.（2023•天津）已知i是虚数单位，化简学”■的结果为

2+31--------------

8.（2020•全国）设复数4,Z2满足阂=邑|=2,Z[+z2=V3+i,贝!||Z]-Z2|=

5-z

9.（2019•天津）i是虚数单位，则「的值为

l+i

10.（2019・江苏）已知复数3+2。（1+。的实部为0,其中[为虚数单位,则实数。的值是

参考答案：

1.D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数Z,然后利用共辗复数的定义计算.

【详解】Z在复平面对应的点是（—1,行），根据复数的几何意义，z=-1+Gi，

由共轨复数的定义可知，z=-l-V3i.

故选：D

2.C

【分析】由题意首先化简2+i?+2i3,然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2+i?+2i3=2-1-2i=l-2i，

则|2+i2+2i31=|1-2i|=+(-2)2=6.

故选：C.

3.C

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

［详解］因为(Q+i)(l_Qi)=Q_q2i+i+Q=2Q+1-Q2)=2,

2a=2

所以-2=0,解得…=1.

故选：C.

4.A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共飘复数的概念得到底从而解出.

1-1(l-i)(l-i)_-2i_1-1

【详解】因为z=『-----------------------———］所以z即z—z=­i

2(l+i)(l-i)42

故选：A.

5.A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为(l+3i)(3—i)=3+8i—3i?=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

6.C

【分析】由共辗复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】z=-l-V3i,zz=(-l+V3i)(-l-V3i)=l+3=4.

z-1+V3i一1+且I

zz333

故选:C

7.4+//Z+4

【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2-3i,然后计算其运算结果即可.

【详解】由题意可得空(5+14i)(2-3i)52+13i

=4+i

(2+3i)(2-3i)13

故答案为：4+i.

8.2c

【分析】方法一：令Zi=a+bi,(awR,bwR),z?=c+力,(cee&,根据复数的相等可

求得ac+bd=-2,代入复数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数21/2所对应的点为2],22,而=应]+应2,根据复数的几何意义及复数的模，

判定平行四边形。乙尸22为菱形，|赤卜|04|=|022卜2,进而根据复数的减法的几何意义用

几何方法计算匕―2|.

【详解】方法一.a+bi,(aGR,bGR),z2=c+di,(cGR,deR),

/.+z2=a+c+(b+d)i=V3+i,

•t-I'，又片|=|Z21=2,所以/+62=4,c2+t/2=4,

[b+d=1

二.(a+0)?+(b+d)2=/+/_|_d?_|_2(ac+bd)—4

/.ac+bd=-2

「•匕1_?21=|(〃-C)+S-d)i\=yl(a-c)2+(b-d)2=^-2(ac+bd)

=78+4=273.

故答案为：26.

方法二：如图所示，设复数Z],Z?所对应的点为4,22,而=应1+无2,

由已知I赤卜后T=2=|OZj=|OZ2|,

•••平行四边形。乙尸乙为菱形，且AOPZBOPZ2都是正三角形，NZQZ?=120°,

22222

|Z/；,|=|OZjI+1OZ2I-2\OZt||OZ2|COS120°=2+2-2-2-2-(--)=12

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算

求解能力，是一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解

9.V13

【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模.

【详解】—=(5-；)(1-0=|2-3z|=J13.

1+z(1+0(1-/)11

【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.

16.2.

【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得Z,然后根据复数的概念，令实部为0即得。

的值.

【详解1,/(a+2z)(l+i)=a+ai+2i+2z2=a-2+(a+2)z,

令。-2=