高中数学人教A版选修2-3课件2-3-1离散型随机变量的均值

2.3.1离散型随机变量的均值1.离散型随机变量的均值(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.(2)意义:离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.(3)性质:若X为离散型随机变量,则Y=aX+b(其中a,b为常数)也是随机变量,且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.【思考1】

若随机变量X等可能地取1,2,3,…,n,其均值为多少?【思考2】

离散型随机变量的均值与分布列有什么区别?提示:离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的,但二者有所不同.分布列只给了随机变量取所有可能值的概率,而均值却反映了随机变量取值的平均水平.【做一做1】

已知随机变量X的分布列如下:则E(X)=

,E(2X-1)=

.

2.两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p;(2)若X~B(n,p),则E(X)=np.【做一做2】

已知一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击3次中靶次数X的均值为(

)..83

.4解析:射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布,即X~B(3,0.8),所以E(X)=3×0.8=2.4.答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析求离散型随机变量的均值例1在10件产品中,有3件一等品、4件二等品、3件三等品.从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望.思路点拨:明确随机变量X的取值→计算每个取值的概率→列其分布列→计算E(X)当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.求离散型随机变量均值的步骤(1)确定离散型随机变量X的取值;(2)写出分布列,并检查分布列的正确与否;(3)根据公式求出均值.2.随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,只要找清随机变量及相应的概率即可计算.求数学期望(均值)的关键是求出其分布列,然后套用数学期望(均值)公式求解.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练1某游戏射击场规定:①每次游戏射击5发子弹;②5发全部命中奖励40元;命中4发不奖励,也不必付款;命中3发或3发以下,应付款2元.现有一游客,其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率;(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.

当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析离散型随机变量的均值的性质例2已知随机变量X的分布列为:若Y=-2X,则E(Y)=

.

当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析

反思感悟若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为常数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,关键由X的取值计算ξ的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(ξ).当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析答案:A当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析两点分布、二项分布的均值例3

某运动员的投篮命中率为p=0.6.(1)求投篮一次时命中次数X的均值;(2)求重复投篮5次时,命中次数Y的均值.思路分析:第(1)问中X只有0,1两个结果,服从两点分布;第(2)问中Y服从二项分布.解:(1)投篮一次,命中次数X的分布列为,则E(X)=p=0.6.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6).则E(Y)=np=5×0.6=3.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p(p为成功概率).2.若随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练3春节期间,小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩,每位朋友在每一个景点下车的概率均为,用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数,求:(1)随机变量ξ的分布列;(2)随机变量ξ的均值.解:(1)这是4次独立重复试验,当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析均值的实际应用例4随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X.(1)求X的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即X的均值);(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析解:(1)X的所有可能取值有6,2,1,-2,故X的分布列为

(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元).(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29),依题意,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟解决与生产实际相关的概率问题时,首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练4某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为

.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.解:记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},(1)记H={至少有一种新产品研发成功},当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,所以所求的分布列为

当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析因审题不清而致错典例

某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行.每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为

.(1)求选手甲可进入决赛的概率;(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X,试写出X的分布列,并求X的均值.易错分析:选手进入决赛有多种形式,要分清楚累计答对三题可分答了3题、4题或5题三种情况.若不能审清题意,则可能致错.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析因此X的分布列为纠错心得1.甲答4题进入决赛指的是前3题中答对2题,答错1题,第4题答对.只有前3次答题事件满足独立重复试验,同理答5题进入决赛指的是前4题答对2题,答错2题,第5题答对.只有前4次答题事件满足独立重复试验,不是全部满足独立重复试验.2.甲答4题结束比赛,指答对前3题中的2题,第4题答对进入决赛,或前3题中有2题答错,第4题答错.甲答5题结束比赛,指答对前4题中的2题.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析跟踪训练甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).思路分析:(1)先把甲在4局以内赢得比赛的情况进行列举,再用独立事件和互斥事件概率公式求概率.(2)先写出X的所有取值,再分析相应X的值下对应比赛结果的情况,求出相应的概率,列出分布列,运用公式求均值.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析解:用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)·P(B2)P(A3)P(A4)当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析(2)X的可能取值为2,3,4,5.故X的分布列为

当堂检测1.已知随机变量X的分布列为则X的均值是(

)A.2 .1.3 D.随m的变化而变化解析:∵0.2+0.5+m=1,∴m=0.3.∴E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.答案:B探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.设随机变量X~B(40,p),且E(X)=16,则p等于

(

)....4解析:∵X~B(40,p),E(X)=