2.8 直角三角形全等的判定 浙教版数学八年级上册学案

2.8直角三角形全等的判定课题直角三角形全等的判定单元第二章学科数学年级八年级学习目标掌握直角三角形全等的判定定理HL定理；2.理解并掌握角平分线的性质定理的逆定理．重点直角三角形全等的判定的方法“HL”难点直角三角形判定方法的说理过程.学法探究法教法讲授法教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图回顾旧知三角形全等的判定定理有哪些?SSS:三组对应边分别相等的两个三角形全等SAS:有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等ASA:有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等AAS:”有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等回忆思考回忆过去已经掌握的知识，为本课学习奠定基础思考探索有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？不全等.理由如下：如图△ABC与△ABD中，AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，但△ABC与△ABD不全等；如果这个角是直角呢?全等证明你的结论思考回答问题引导学生思考讲授新课已知Rt△ABC和Rt△A´B´C´中，AC’=AC’,AB=A’B’.证明Rt△ABC≌Rt△A´B´C´证明一∵Rt△ABC和Rt△A´B´C´∴BC2=AB2-AC2B´C´2=A´B´2-A´C´2又∵AC=AC,AB=AB.∴BC=B´C´在△ABC和△A´B´C´中AB=A´B´AC=A´C´BC=B´C´∴△ABC≌△A´B´C´(SSS)证明二∵∠ACB=∠A’B’C’=90°∴B，C，B’在同一直线上，AC⊥BB’∵AB=A'B'∴BC=B'C'（等腰三角形三线合一）∵AC=A'C'（公共边）∴RtΔABC≌RtΔA'B'C'（SSS）直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写：“斜边、直角边”或“HL”几何语言：在Rt△ABC与Rt△A´B´C´中AB=A´B´AC=A´C´（或BC=B´C´）观察发现通过学生观察发现得出即时演练如图，已知∠A=∠D=90°，E,F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF.求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE=OF证明：（1）∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF；即BF=CE.∵∠A=∠D=90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形

在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CEAB=CD∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE(已证).∴∠AFB=∠DEC∴OE=OF做练习及时练习，巩固所学做一做已知线段a，c(a﹤c)，用直尺和圆规画一个Rt△ABC,使∠C=90°，一直角边CB=a，斜边AB=c.画法：1.画∠MCN=90°.2.在射线CM上取CB=a.3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.4.连结AB.△ABC就是所要画的直角三角形.动手实践培养作图能力例题讲解例如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=Rt∠又∵OP=OP（公共边），PD=PE（已知）∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)∴∠1=∠2，即点P在∠AOB的平分线上听课思考讲解例题，明白题型讲授新知角平分线的性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴OP平分∠AOB（或∠1=∠2）（角平分线的性质）听课讲授角平分线的性质即时演练如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，且BE=CF.求证：AD平分∠BAC.证明：在Rt△DEB和Rt△DFC中，BE=CF，DB=DC，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）练习及时练习，巩固所学达标测评1.如图，△ABC与△ADC中，∠B=∠D=90°，要使△ABC≌△ADC，还需添加的一个条件是______________（写一个即可）．解：已知∠B=∠D，AC是公共边，故添加CB=CD.AB=AD.∠1=∠2.∠3=∠4后可分别根据HL，AAS，AAS能判定△ABC≌△ADC．2.现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（C）A．三角形三条中线的交点B．三角形三边的垂直平分线的交点C．三角形三条角平分线的交点D．三角形三条高所在直线的交点∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．故选C．3.三条公路两两相交，现在决定在三角形区内建立一个公路维修站，要求到三条公路的距离相等，请问维修站应该建立在何处？请画出图形如图所示：（1）作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1；（2）分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4，故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4．4.如图：在△ABC,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD，CE相交于F求证：AF平分∠BAC证明：∵BD⊥AC,CE⊥AB∴∠ADB＝∠AEC＝90∵∠BAD＝∠CAE,AB＝AC∴△ABD≌△ACE（AAS）∴AE＝AD∵AF＝AF∴△ADF≌△AEF（HL）∴∠BAF＝∠CAF∴AF平分∠BAC5.已知：如图，E，B，F，C四点在同一直线上，∠A=∠D=90°，BE=FC，AB=DF．求证：∠E=∠C．证明：∵BE=FC，∴BE+BF=FC+BF，即EF=BC，∵∠A=∠D=90°，在RT△ABC和RT△DFE中，EF＝CBAB＝DF∴△ABC≌△DFE（HL），∴∠E=∠C．做题通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识应用拓展如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B.C在DE的同侧（如图①所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；（2）若B.C在DE的两侧（如图②所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．解：（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，AB=ACAD=CE∴Rt△ABD≌Rt△ACE．

∴∠DAB=∠EAC，∠DBA=∠ACE．

∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°．

∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．

∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，∵∠CAE+∠ECA=90