8.6.3平面与平面垂直-高一数学下学期课件检测卷(人教A版2019必修第二册)

8.6.2平面与平面垂直

问题1

前面我们研究了空间直线、平面的平行关系，还研究了直线与平面的垂直关系。你能归纳一下这些位置关系的研究路径吗？现实背景位置关系、表示（三种语言）判定性质

追问1

你认为接下来要研究什么位置关系？按什么路径展开研究？现实背景位置关系、表示（三种语言）判定性质追问2

你能回顾一下空间直线与直线垂直的定义过程吗？受此启发，你认为应如何给出平面垂直的定义如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作

a，b的平行线a′和b′，abPa′b′O

则这两条线所成的锐角θ(或直角)，θ

称为异面直线a，b所成的角(或夹角)。Oa′若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。异面直线a与b垂直也记作a⊥bθ的取值范围：

θ∈(0°,90°]因此，空间直线与直线垂直的定义以平面内两条直线互相垂直为基础，而平面内两条相交直线的定义又以两条相交直线所成的角的定义为基础：O

在平面内,条直线相交成四个角,其中不大于90°的角称为它们的夹角,如图.可以发现，上述定义过程是“同构”的。类似地，应该先定义“两个平面所成角”，再“特殊化”，用“两个平面所成角为直角”定义“平面与平面互相垂直”。若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。

问题2

为了定义空间两个平面互相垂直，需要先定义“空间两个平面所成角”。类比平面内两条相交直线所成角的定义，我们应该先干什么？我们通过分析两个平面相交的一般情况，类比角的定义，确定先要定义二面角。

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

这条直线叫做二面角的棱,

这两个半平面叫做二面角的面.如图,ablABPQ记作二面角a-l-b,或二面角a-AB-b,二面角P-l-Q,二面角P-AB-Q.面1－棱－面2或点1－棱－点2结构：

追问1

能根据定义画出各种类型的二面角吗？l

AB

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCD∠AOBABCEFDOBA二面角

－AB－二面角F－AB－D二面角F－AB－C

问题3

根据角的研究经验，再定义了二面角的概念后，你认为接下来应该做什么？类比异面直线所成的角、直线与平面所成角的定义，总结出思想方法：利用“平面角”定义“空间角”。

追问1

你认为应该如何度量二面角的大小呢？前面的学习中有没有类似的经验？

追问2

根据已有经验，用“平面角”度量二面角的大小时，应满足什么条件？唯一确定

追问3

如何才能做到“唯一确定”？（1）“平面角”应该和二面角的组成要素有内在联系；（2）因为棱是联系两个半平面的桥梁，所以平面角的顶点应该再棱上；（3）角的两边应该分别在两个半平面内，而且与棱的位置关系是“唯一确定”的。

追问4

二面角的平面角需要满足哪些条件？你能证明如此定义的二面角的平面角是唯一确定的吗？③角的边都要垂直于二面角的棱①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内

AOlBA'B'O'如图，

，则∠AOB成为二面角的平面角.

它的大小与点O的选取无关.二面角的平面角ablABO·abl

要研究和度量二面角的大小,我们把它转化成从一点出发的两条射线的夹角.

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图,以棱l上任一点O为端点,在半平面a

内作OA⊥l,在半平面b

内作OB⊥l,则∠AOB就是二面角a-l-b的平面角.∠AOB的大小就是二面角a-l-b的大小.二面角的大小就由它的平面角确定.ABO·卫星轨道平面68.5º我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5º.赤道平面即卫星轨道平面与赤道平面所成的二面角是68.5.二面角的范围：[0o,180o]．①二面角的两个面重合：

0o；②二面角的两个面合成一个平面：180o；③平面角是直角的二面角叫直二面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角.

问题4.

观察教室中的物体,哪些二面角是直二面角?两个平面垂直的定义

一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面a

与平面b

垂直,记作:a⊥b.

画两个平面垂直,一般应把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直.abab建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？应用于生活铅垂线→直线墙面→平面水平面→平面BAC

问题5.

请同学们用一支铅笔垂直于你坐的桌面,再用书面或硬纸板紧靠铅笔,请问:书面与桌面构成直二面角吗?书面与桌面是否垂直?两个平面垂直的判定定理:

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号表示:abll⊥a,l

b,⇒b⊥a.两个平面垂直的判定如何证明？例1.如图，在正方体中，求证：平面证明：是正方体又例2如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.⇑⇑⇑⇑AB是圆O直径PA⊥面ABCBC⊂面ABCBC⊥ACBC⊥PABC⊥面PAC平面PAC⊥平面PBC证明:设已知⊙O平面为α平面与平面垂直的性质问题6：如图，设a

⊥b，

a∩b=m,则b内任意一条直线l与m有什么关系？相应的l与a有什么位置关系？

显然l与m平行或相交，当l//m时，l//

a;当l与m相交时，l与a也相交。而当l垂直m时，l也垂直a。abmlabml两平面垂直的性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示:a⊥b,a∩b=m,l⊥m,l

b,⇒l⊥a.abml

问题7.

如图,a⊥b,点P∈a,PQ⊥b.请问,PQ是否一定在a

内?你能说出理由吗?RPQablPQ一定在a

内.其理由:设a∩

b

=l,过点P

作PR⊥l,R∈l,a

⊥

b,⇒PR⊥b,∵过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,∴PQ与PR重合为同一条直线,即PQ必在a

内.

例3.

已知平面a,

b,a⊥b,直线a

满足a⊥b,a

a,试判断直线a

与平面a

的位置关系.mabab解:∵a⊥b,设a∩

b

=m,在a

内作b⊥m,

b⊥b.∵a⊥b,⇒

a∥b,b

a,a

a,⇒a∥a.即直线a

与平面a

互相平行.

例4已知平面a,b,直线a,且a⊥b,a∩b=AB,a//a,a⊥AB,能判断直线a

与平面b

的位置关系吗?AabBa解:b∵a//a,g过a

作平面g∩a=b,则a//b.而a⊥AB,则b⊥AB,而a⊥b,交线是AB,∴b⊥b,则a⊥b.

两平面垂直,平行于一平面的直线垂直于另一平面.例5.如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB.EPABCE∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC,∴PA⊥BC.故BC⊥平面PAB证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，∴AE⊥平面PBC.∵BC平面PBC,∴AE⊥BC1.在空间中，下列命题正确的是(

)A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行D同步检测解析

A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(

)A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l D.m⊥nC解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形.解析设P在平面ABC上的射影为O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，∴△ABC是直角三角形.直角4.如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.a5.

已知平面a,b,g,且a⊥g,b//g,求证a⊥b.证明:在g

内作直线a⊥m,∴a⊥a.∵

a⊥g,过a

作平面d∩b=

b,∵b

//g,∴a//b,b

b,⇒

b⊥a.bbgad如图,设a

与g

的交线为m,m而a⊥a.

b⊥a.6.

已知平面a,b,g满足a⊥g,b⊥g,a∩b=l.求证l⊥g.agbl证明:如图,设a

∩

g

=m,b

∩

g

=n.取P∈g,P

m,P

n,mnP·AB作PA⊥m,PB⊥n.∵

a⊥g,b⊥g,∴PA⊥a,PB⊥b.又∵

a∩b

=l,∴PA⊥l,PB⊥l.PA

g,PB

g,PA∩PB=P,⇒l⊥g.

7.

如图,四棱锥ABCD的各条棱长都等于a,E是AD的中点.