《电路分析基础》课件 5 正弦稳态电路的分析、6 耦合电感电路与理想变压器、7 三相电路

第5章正弦稳态电路的分析5.1正弦量的基本概念5.2正弦量的相量表示法5.3两类约束的相量形式5.4无源单口网络的阻抗5.5正弦稳态电路的相量法分析5.6正弦交流电路的功率5.7电路的频率响应5.8谐振电路重点：

复阻抗

用相量法分析正弦交流电路

正弦交流电路中的功率分析设正弦电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的变化幅度

幅值、角频率、初相位成为正弦量的三要素。初相位：决定正弦量起始位置

Im

2TiO正弦量：

随时间按正弦规律变化的物理量。5.1正弦量的基本概念5.1.1频率与周期周期T：变化一周所需的时间（s）角频率：（rad/s）频率f：（Hz）TiO我国电力系统

f=50Hz(工频）,则

w=314rad/s5.1.2幅值与有效值有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。幅值：Im、Um、Em幅值必须大写,下标加m。∴有效值必须大写

有效值又叫方均根值则同理：只适用于正弦量交流电压表、电流表测量数据均为有效值如交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值各种电器的绝缘水平——耐压值，则按最大值考虑在工程上所说的正弦电压、电流的大小通常指有效值。注意：

给出了观察正弦波的起点或参考点。5.1.3初相位相位：

初相位：

表示正弦量在t=0时的相角。

反映正弦量变化的进程。iOi

>0一般

|

|初相为正时，起始位置位于纵坐标的正半周；初相为负时，起始位置位于纵坐标的负半周。

若电压超前电流

两同频率的正弦量之间的初相位之差。相位差

：规定如：uiu

ωtO或电流滞后电压

电流超前电压电压与电流同相

电流超前电压

电压与电流反相uiωtuiOωtuiuiOuiωtui

Ouiωtui90°O②不同频率的正弦量比较无意义。

①两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。注意:tO复数的表示形式Ab+1+ja0Ab+1+ja0

|A|

各形式之间的相互转换直角坐标指数形式极坐标形式极坐标形式直角坐标直角坐标极坐标形式5.2正弦量的相量表示例：将下列各式转换为极坐标形式A1=3+j4A2=3-j4A3=-3+j4A4=-3-j4+1+jA1A2A3A4一、二象限，取值：180°0°三、四象限，取值：0°-180°计算复数的幅角时，要注意所在象限。复数运算则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——采用代数形式若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2例解:(2)乘除运算——采用极坐标形式若A1=|A1|ψ1，A2=|A2|ψ2除法：模相除，角相减。乘法：模相乘，角相加。则:例解：设复指数函数有效值相量幅值相量复常数

定义

常写成旋转的复数一般所说的相量均指有效值相量

正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值或幅值相量的幅角表示正弦量的初相位注意：正弦量与相量一一对应，可以相互转换，但相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。瞬时值表达式相量已知例1.试用相量表示i,u

。解：幅值相量有效值相量解：例2.试写出电流的瞬时值表达式。相量运算(1)同频率正弦量相加减得：则：则：例：已知,试求:u=u1+u2解：（1）由已知正弦电压，得其相量形式（2）求相量和（3）由相量和的极坐标式，求出正弦量这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分析电路。频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。相量法：将正弦时间函数“变换”为相量后再进行分析,

属于频域分析。i1

i2=i3时域频域

相量图ψ

iψu注意：只有同频率的相量才允许画在一个相量图上。相量的加减运算满足平行四边形法则+1+j？+1+jUU

旋转因子因为复数

ejφ

=cosφ

+jsinφ

=1∠φA逆时针旋转一个角度φ，模不变则，Aejφ所以，Aejφ

=（|A|∠

）·1∠φ=|A|∠（

+φ）ψ

i+j,–j,-1都可以看成旋转因子。ReIm0几个特殊旋转因子？正误判断1.已知：？有效值？3.已知：复数瞬时值j45

•？最大值？？

负号2.已知：4.已知：KCL指出，任一时刻

电路中任一节点上所有支路电流的代数和为零。

在正弦交流电路中，所有支路电流都是同频率的正弦量，可以用相量表示。根据正弦量的相量运算性质，可得到KCL的相量形式：电路中任一节点上所有支路电流相量的代数和为零。

即5.3.1基尔霍夫定律的相量形式5.3两类约束的相量形式KVL的相量形式电路中任一回路的各支路电压相量的代数和为零。+_RuLCii1i2i3例1图示正弦交流电路，已知求电流i。分析：由KCL知，直接计算太麻烦！如果用KCL的相量形式：i简单多了！+_RuLCii1i2i3例1图示正弦交流电路，已知求电流i。解：根据KCL的相量形式：例2电路如图所示，已知，，，，求及。1I&解：由可得1I&由可得例电路如图所示，已知，，，，求及。对回路1对回路212+1+j电感元件Li+–u电容元件Ciu+–+–电阻元件Riu+u

Ri它们的电压相量与电流相量之间满足什么关系呢？微分形式5.3.2

电路元件伏安特性的相量表示1.电阻元件伏安关系的相量形式有效值关系：U

=RI相位关系：u,i同相u

(t)i(t)R+-时域模型相量形式VCR相量图

u=

iu=Ri相量模型时域相量相量有效值关系:U=wLI相位关系:时域i(t)u

(t)L+-时域模型

i相量图

u2.电感元件伏安关系的相量形式u超前

i90°相量模型感抗的物理意义：表示电感元件限制电流的能力。当L一定时，感抗和频率成正比。wXL令

XL=

L，称为感抗，单位:ΩU=wLI∴

U=XLI∴电感具有通低频、阻高频的特征。相量有效值关系：I=wCU相位关系：时域时域模型i

(t)u(t)C+-相量图

i

u3.电容元件伏安关系的相量形式i超前u90°相量模型容抗的物理意义：

表示电容元件限制电流的能力。当C一定时，容抗和频率成反比。称为容抗，单位:ΩwI=wCU∴U=XCI∴电容具有通高频、阻低频的特征。例流过0.5F电容的电流。试求电容的电压u(t)。解：（1）由已知正弦电流，得其相量形式（2）利用相量关系式进行运算（3）由相量求出正弦量i

(t)u(t)C+-电感元件Li+–u电容元件Ciu+–电阻元件Riu+u

Ri时域相量引入相量后，将电路元件时域的微分关系转换为相量的比例关系，大大简化电路的计算。指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？在电阻电路中：在电感电路中：在电容电路中：【练习】5.4.1

阻抗(复阻抗）的概念正弦激励下Z+-无源线性+-纯电阻纯电感纯电容感抗容抗单位:Ω5.4

无源单口网络的阻抗无源线性+-阻抗模：阻抗角：端口电压和端口电流的有效值之比是由复阻抗的模决定的，端口电压与电流的相位差是由阻抗角决定的。阻抗模：阻抗角：|Z|RXj阻抗三角形电阻分量电抗分量无源线性+-导纳单位:S电阻、电感、电容的导纳为：等效jXR+-X>0jXR+-X<0X=0R+-无源线性+-若X>0、j>0阻抗呈感性若X<0、j<0阻抗呈容性若X=0、j=0阻抗呈电阻性阻抗的性质u

超前i

u

滞后i

u,i同相三种性质复阻抗的最简等效电路5.4.2

复阻抗的串联与并联阻抗的串联Zab分压公式等效阻抗阻抗的并联Z2Z1abZab等效阻抗分流公式Z1Z2ab5.4.3

相量模型

保持电路结构不变，将所有元件用阻抗表示，即

正弦量用相量表示，即可得相量模型。时域列写微分方程相量形式代数方程LRuSiL+-时域电路jwLR+-相量模型相量法是利用正弦量和复数的关系，将微分方程变成代数方程，从而将求微分方程的特解转变为求代数方程的解。因此，相量法使正弦稳态电路的求解也像直流电路的求解一样简单，快速！例1求图示电路的输入阻抗Z。已知30Ω1mH100Ω0.1uF解：画出电路的相量模型30Ωj100Ω100Ω-j100ΩZ注意：例2图示正弦稳态电路，已知u(t)=20sin103tV，i(t)=2sin103tA，求无源网络N内最简单的串联组合的元件值。

解：

设无源网络N的等效复阻抗为ZN,则6Ω0.5uF∴等效为一个电阻与一个电容的串联

其中R=6Ω，

ZZN解：例3

若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（

)表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。相量形式的基尔霍夫定律相量（复数）形式的欧姆定律

电阻电路纯电感电路纯电容电路一般电路5.5正弦交流电路的相量法分析

(1)作出相量模型

(2)运用直流线性电路中所用的定律、定理、分析方法进行计算。直接计算的结果就是正弦量的相量值。

(3)根据需要，写出正弦量的解析式或计算出其它量。用相量法分析正弦稳态电路一般步骤为：例:RLC串联电路中，已知电源电压u=311sin(314t+30°)V，

R=30Ω，L=127mH，C=40mF。求:(1)电路的电流i；(2)电压uR、uL和uC。解：RLC串联电路的相量图(

u超前i)XL

>

XC，感性参考相量电压三角形RjXL-jXC+_+_+_+_(u滞后i)XL

<

XC，容性RjXL-jXC+_+_+_+_(u，i同相）XL

=XC，电阻性在这两种情况下，仍有对R-L-C串联电路注意：？KVL瞬时值形式KVL相量形式例：已知图示电路中，电压表V1、V2、V3的读数分别为15V，80V，100V，求电压US。LR+-CV1V2V3解：在RLC串联电路中，有LR+-RLC并联电路显然：相量图？例:+_15Wu4H0.02Fi解:相量模型j20W-j15W+_15W例:已知:求:各支路电流。R2+_Li1i2i3R1CuR2+_R1解：画出电路的相量模型=102.20-j132.3=167.2-52.31oΩ瞬时值表达式为：R2+_R1LR+-解：例：设R=1Ω，L=1H，C=0.5F，ω=1rad/s。求端口的等效阻抗Z。若电流I=2∠300，求各支路电流。·例：如图所示为一个相位后移电路。如果C=0.01uF，正弦电源，要使输出电压相位向后移动，问应配多大电阻？此时输出电压等于多少？RC解：画出相量模型法一：R由题意得R法二：以电流为参考相量定性画出相量图R由相量图可知：|Z|RXj阻抗三角形相似三角形电压三角形

解：

已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz

求：线圈的电阻R2和电感L2。例2R1R2L2+_+_+_q2q解二：R1R2L2+_+_+_+_+_另解：例正弦交流电路如图所示。已知，，

，，且。试求+-+-+-解：利用相量图求解。解：列写网孔电流方程：解得：5.5.2复杂交流电路的分析R11im1+R12im2=uS11R21im1+R22im2=uS22直流电阻电路中，网孔电流方程的标准形式：正弦交流电路中，网孔电流方程的标准形式：例:电路的相量模型如图所示，列写节点电压方程。解：列写节点电压方程：直流电阻电路中，节点电压方程的标准形式：正弦交流电路中，节点电压方程的标准形式：Z2Z1ZZ3Z0Z+-解：（1）求开路电压：Z2Z1Z3（2）求等效阻抗：已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例解：ZZ1+_法一：电源变换解：例3.Z2Z1ZZ3Z2Z1

Z3Z+-由平衡条件：Z1/Z2=Zx/

Z3R1/R2=(Rx+jwLx)/(R3+jwL3)

∴Rx=R1R3/R2Lx=L3R1/R2已知平衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

求：Zx=Rx+jwLx。例.解：Z1Z2ZxZ3

法一：电源等效变换解：例Z2Z1ZZ3Z2Z1

Z3Z+-法二：戴维南等效变换Z0Z+-Z2Z1Z3求开路电压：求等效电阻：5.6正弦稳态电路的功率5.6.1

瞬时功率5.6.2平均功率(有功功率)P5.6.3无功功率Q5.6.4视在功率S5.6.5复功率5.6.6功率因数的提高5.6.7正弦交流电路中的最大功率传输无源一端口网络吸收的瞬时功率:5.6.1瞬时功率无源+ui_φ为u与i的相位差正弦稳态电路的瞬时功率随时间周期性变化。单位：W（瓦）p=uip<0，网络发出功率p>0，网络吸收功率这说明：无源二端网络和电源之间有能量往返交换的过程。这是因为电容与电感的储能作用，无源二端网络在一段时间内对外释放能量。5.6.2平均功率(有功功率)P

：功率因数角，即端口电压和端口电流的相位差角。

对无源网络，也为其等效阻抗的阻抗角。定义：λ=

cos

为功率因数。P的单位：W（瓦）无源+ui_平均功率表示电路实际消耗的功率，反映电路消耗电能的速率.

φ为u与i的相位差一般地,有0

cosj

1X>0,j>0,感性，滞后功率因数X<0,j<0,容性，超前功率因数例：cosj=0.5(感性)，则j=60ocosj1,纯电阻0，纯电抗功率因数λ又如：cosj=0.5(容性)，则j=-60o纯电感

=90°纯电容

=-90°PC=0PL=0纯电阻

=0°PR若二端网络为以下单一元件：无源+ui_电感和电容的平均功率为0，说明电感和电容本身不消耗电能。结论：在无源网络中，只有电阻元件才消耗平均功率。电阻的瞬时功率：

i

tup0电阻的平均功率：电感的瞬时功率：p可正可负，表明电感可以吸收能量，也可以发出能量

i

tu0p电感的平均功率：P=0，说明电感本身不消耗电能。电感从电源吸收的能量一定等于它归还给电源的能量。电容的瞬时功率：p可正可负，表明电容可以吸收能量，也可以发出能量

u

tip0电容的平均功率：P=0，说明电容本身不消耗电能。电容从电源吸收的能量一定等于它归还给电源的能量。5.6.3

无功功率Q无源+ui_单位：乏（var)纯电阻：

=0o则QR=UIsin0=0纯电感：

=90o则QL=UIsin90o=UI=I2XL>0纯电容：

=-90o则

QC=UIsin(-90o)=-UI=-I2XC

<0定义：无功的物理意义-----反映二端网络与电源之间能量交换的速率

为u与i的相位差感性负载

：∵

>0,则

Q>0容性负载：∵

<0,则

Q<0结论：1）在无源网络中，只有电容、电感元件才消耗无功功率。（2）电容与电感的无功符号相反，在同一电路中可相互抵消。电感的瞬时功率：电容的瞬时功率：电容与电感的瞬时功率相差一个负号，说明它们和电源进行能量交换过程刚好相反，说明在同一电路中可相互抵消。电感的无功功率电容的无功功率R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR=UI=I2R=U2/RiuL+-PL=0QR=0QL=UI=U2/XL=I2XL>0iuC+-PC=0QC=-UI=

-U2/XC=-I2XC<0RX|Z|

无源+-对于任意一个无源网络，有Z+-电阻分量电抗分量有功功率和无功功率的其他计算公式：5.6.4视在功率S——反映电力设备的容量电力设备额定视在功率

SN=UNIN

电力设备能对外提供多大的有功功率取决于所接负载的功率因数cosφ

（P=SN

cos

）

∵cosφ最大为1，∴

P最大=SNSN表示该电力设备允许提供的最大有功功率。若SN=10000kVA当负载的cosφ=0.6时，可提供P=6000kW当负载的cosφ=0.9时，可提供P=9000kW定义:视在功率的物理意义负载的功率因数越高，设备的利用率也越高！负载+_有功功率、无功功率、视在功率的关系：有功功率:P=UIcos

单位：W无功功率:Q=UIsin

单位：Var视在功率：S=UI

单位：V·A

P=ScosQ=Ssin

jSPQjZRXjUURUX功率三角形阻抗三角形电压三角形相似三角形5.6.5复功率负载+_为复功率，单位VA复功率也可表示为+_+_+_有功功率、无功功率、复功率守恒，视在功率不守恒！例1

三表法测线圈参数。已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。求R和L。RL+_ZVAW**又解方法一RL+_ZVAW**解方法二例1

三表法测线圈参数。已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。求R和L。RL+_ZVAW**解方法三例1

三表法测线圈参数。已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。求R和L。0.5H2Ω1Ω2Ω0.5FiS(t)例2

已知试求电路吸收的P、Q、S及cosφ。对电源而言的无源单口网络等效为阻抗Z：

j1Ω2Ω1Ω2Ω-j1Ω5∠0相量模型解1：(感性)+U-·0.5H2Ω1Ω2Ω0.5FiS(t)对电源而言的无源单口网络等效为阻抗Z：解2：(感性)

j1Ω2Ω1Ω2Ω-j1Ω5∠0相量模型jSPQ例2

已知试求电路吸收的P、Q、S及cosφ。例：图示电路，已知，i14Ω4mH1mF+—i2iu1—+uI14Ωj4Ω-j1Ω+—I2IU1—+U相量模型一.功率因数的概念二.提高功率因数的意义三.提高功率因数的方法5.6.6电路功率因数的提高一、功率因数的概念功率因数N+_j有功功率:P=UIcos

无功功率:

Q=UIsin

视在功率：S=UIjSPQ=

cosj功率三角形实际负载的性质及其功率因数电动机空载满载

日光灯二、提高功率因数的意义:电源负载r电源对外输出的有功功率：

所以提高可使发电设备的容量得以充分利用。电源容量(1)提高电源设备的利用率（2）减小输电线路上的功率损耗设输电线路的等效电阻为r

:当Ｕ、Ｐ为定值时所以提高可减小线路上的功率损耗。(费电)(导线截面积)（1）原则：（2）方法:

在负载端并联电容。uiRLC三、提高功率因数的方法

必须不影响设备原有的工作状态。即：加至负载上的电压U不变。并联电容后:

P不变、Q减小jSPQ分析:∵

2<

1

∴cos

2>cos

1LRC+_j1j2j1为并联电容前端口电压与电流的相位差；j2为并联电容后端口电压与电流的相位差；呈容性呈感性补偿后的三种情况:呈电阻性欠补偿全补偿过补偿功率因数补偿成感性好，还是容性好？IC较小IC较大结论：在cos

相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。∵IC=ωCU补偿容量的确定：j1j2代入上式分析依据：补偿前后P、U不变。（即在已知R、L的情况下，把功率因数从补偿到需并联多大的电容C？）LRC+_补偿容量也可以用功率三角形确定：j1QLQCj2PQ例1

已知交流发电机的额定容量S=10kVA,U=220V,f=50Hz。所接负载为日光灯，功率因数为0.6，总功率P=8kW。（1）试问负载电流是否会超过发电机的额定值？（2）欲将线路功率因数提高到0.9，应并联多大的电容？（3）功率因数提高到0.9以后，负载电流是多少？（4）由电容器提供的无功功率为多少？解：（1）发电机额定电流为

I=S/U=10000/220=45.5A

日光灯电路总电流为

可见负载总电流已超过发电机额定电流（2）利用公式（3）功率因数提高到0.9以后，负载电流此电流小于发电机的额定电流45.5A，发电机尚有余力再接一些负载，提高了它的利用率（4）未接电容时电路的无功功率为

并联电容后电路的无功功率为由电容提供的无功功率为：问题1:并联电容补偿后，原负载(R-L)的功率因数有没有改变？答：没有。ui1RLCi2i发电厂用户、工厂用电设备(R-L)的功率因数没有改变。但是对发电厂来说，用户总的负载的功率因数提高了。

L问题2:并联电容补偿后,电路(R-L||C)的有功功率是否改变了？uiLRLCiCi定性说明：因为电容不消耗有功功率，所以并联电容前后电路的有功功率也不会改变。定性分析：从公式看，似乎，会引起。实际上，还会带来，结果P不变。小结：(1).电路功率因数提高的方法：在负载两端并接电容(2).并接电容的容量补偿前的功率因数角补偿后的功率因数角5.6.7正弦交流电路中的最大功率传输其中RS,XS,US是固定的ZSZ

+_US含源单口负载Z取何值时可获得最大功率？Z=R+jX2.负载的阻抗角φ固定而模可变当|Z|=|ZS|时，负载可获得最大功率。显然，在这种情况下负载获得的最大功率并不是负载可能获得的最大功率。只有在共轭匹配下，负载才获得了可能获得的最大功率。1.负载的电阻R和电抗X可以独立变化当Z=ZS*=RS

-jXS,

P最大Pmax=US2/(4RS)共轭匹配模匹配例:（1）Z为何值时，它可获得最大功率，最大功率为多少？（2）若Z为电阻，求Z获得的最大功率。Z1000oA2Ω2Ωj4Ωab解：将ab以左的含源单口用戴维南等效电路代替。开路电压等效阻抗Z0Z+_UocZ2Ω2Ωj4ΩZ0(2)负载为纯电阻时，当Z=|Z0|=2.83Ω时，可获最大功率。Z0Z+_Uoc共轭匹配模匹配频率特性电路响应随激励信号的频率而变化的特性。网络函数电路的响应相量与电路的激励相量之比。

一般情况下，含动态元件电路的网络函数H(jω)是频率的复函数。网络函数取决于电路的结构和参数，而与输入无关。5.7.1

网络函数和频率特性

5.7

电路的频率响应|H(jω)|称为网络函数的模

反映了响应与激励的幅值比和ω的关系频率特性包括幅频特性和相频特性两个方面幅频特性相频特性网络函数称为网络函数的辐角反映了响应与激励的相位差和ω的关系根据幅频特性，可将网络分成低通、高通、带通、带阻网络，相应地构成低通、高通、带通、带阻滤波器。滤波器使所需要频率的信号通过，而其他频率的信号被抑制的电路。滤波网络中，能顺利通过的频率范围称为通带

受到衰减或抑制的频率范围称为阻带

C低通通带阻带

C高通通带阻带

带通带阻

阻带阻带通带通带通带阻带5.7.2

RC低通滤波电路

RCR

为激励相量，

为响应相量，则网络函数为幅频特性相频特性具有低通滤波特性，称为低通滤波器；具有移相特性，相移范围为0°~-90°(滞后网络)。截止角频率通带

C通带阻带理想低通滤波器CR5.7.3

RC高通滤波电路

为激励相量，

为响应相量，则网络函数为幅频特性相频特性具有高通滤波特性，称为高通滤波器；具有移相特性，相移范围为90°~0°(超前网络)。截止角频率通带5.8正弦稳态电路的谐振

在同时含有L和C的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。串联谐振：L

与C

串联时u、i

同相并联谐振：L

与C

并联时u、i

同相

研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。谐振的概念：

当

，L，

C满足一定条件，恰好使XL=XC

，此时

=0，电路中电压、电流出现同相，电路的这种状态称为谐振。Rj

L+_5.8.1串联谐振谐振时一、串联谐振的条件1.LC

不变，改变w2.电源频率不变，改变L或C(常改变C)，使XL=XC

。谐振角频率(resonantangularfrequency)谐振频率(resonantfrequency)Rj

L+_二、RLC串联谐振的特点Rj

L+_1、电压与电流同相，电路呈电阻性谐振时的相量图

电阻消耗能量，能量互换只发生在电容和电感之间，电路无功功率为零。2、电路复阻抗的模最小，电流最大3、串联谐振时，、可能大于电源电压串联谐振又称电压谐振三、品质因数QQ大Q小不同的Q值对电路有何影响？Q值越大，谐振曲线在附近越尖锐。谐振曲线越尖锐，选择性就越强，但通频带(BW)越窄。从多频率的信号中取出w0的那个信号，即选择性。UL0和UC0是外施电压的Q倍，如w0L=1/(w0C)>>R，则Q很高，L和C上出现高电压,这一方面可以利用，另一方面要加以避免。例：某收音机C=150pF，L=250mH，R=20

但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。如信号电压10mV,电感上电压650mV这是所要的。五、串联谐振的应用举例–++–uLe’RLCuCL’LL’RC+++–––e1e2e3f1f2f3e’收音机调谐电路例.一接收器的电路参数为：L=250mH,R=20W,C=150pF(调好),U1=U2=U3=10mV,w0=5.5

106rad/s,f0=820kHz.+_+_+LCRu1u2u3_f(kHz)北京台中央台北京经济台

L8206401026X1290–166010340–660577129010001612I0=0.5I1=0.015I2=0.017I=U/|Z|(mA)I0=0.5I1=0.015I2=0.017I=U/|Z|(mA)小得多∴收到台820kHz的节目。8206401200I(f)f(kHz)0例

一接收器的电路参数为：U=10V

w=5

103rad/s,调C使电路中的电流最大，Imax=200mA，测得电容电压为600V，求R、L、C及Q+_LCRuV解

一、R、L

、C

并联电路+_R发生谐振的条件：即谐振角频率谐振时的相量图5.8.2并联谐振二、并联谐振的特点：（1）谐振时电源电压与电流同相，电路成电阻性;（2）谐振时导纳模最小，阻抗模最大当外加电压一定时，总电流最小（3）谐振时各并联支路的电流为:故并联谐振又叫电流谐振品质因数Q:

对于不是R、L

、C

串联电路和R、L

、C

并联电路的其他电路，在满足一定条件下也可能发生谐振。

通过写出电路的复阻抗或者复导纳的表达式，令其虚部为0，从而求得其谐振频率。求得谐振角频率例如：电感线圈与电容并联CLR本章小结：1.正弦量三要素：Im,w,

电阻电容电感2.时域u=Ri频域(相量)有效值U=RIU=XLIXL=wLU=XCIXC=1/(wC)有功P=I2R=U2/R00无功0Q=ILULQ=-ICUC能量W=Li2/2W=Cu2/2相位单一参数正弦交流电路电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系3.相量法计算正弦稳态电路①先画相量模型电压、电流

相量复阻抗②相量形式KCL、KVL定律，欧姆定律③网络定理计算方法都适用④相量图4.功率jSPQ

第6章耦合电感和理想变压器6.1耦合电感6.4理想变压器6.3空心变压器6.2含耦合电感的正弦稳态电路的分析重点:

含耦合电感的正弦稳态电路的分析

理想变压器的伏安特性和性质载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为互感现象，所产生的感应电压称为互感电压。此时称这两个电感线圈发生了磁耦合，这两个线圈称为一对耦合线圈。互感现象在工程实际中应用十分普遍。变压器就是利用互感实现变压。互感还有电隔离和阻抗变换的作用。什么是互感现象？Φ1Φ2i1i26.1耦合电感6.1.1互感互感系数（互感）定义：M12

为线圈2对1的互感系数，单位亨(H)M21为线圈1对2的互感Φ1Φ2i1i2互感的大小反映一个线圈的电流在另一个线圈中产生磁链的能力。------自感磁链-------互感磁链对于线性电感:

M12=M21=M

一对耦合电感可以用L1、L2和M这三个参数来表征。

耦合系数0

k

1全耦合:k=1k反映两线圈磁耦合的紧密程度k值的大小取决于两个线圈的相对位置及磁介质的性质。如果两个线圈紧密地缠绕在一起，如图(a)所示，则k值就接近于1，即两线圈全耦合；若两线圈相距较远，或线圈的轴线相互垂直放置，如图(b)所示，则k值就很小，甚至可能接近于零，即两线圈无耦合。磁场相互增强磁场相互消弱磁场增强还是消弱取决于线圈的绕向和电流的方向实际线圈往往是封闭的，看不出线圈的绕向。通常采用在线圈端钮处标记*的方法来表示两个线圈的绕向关系，这种方法叫同名端标记法。6.1.2耦合电感的同名端

同名端表明了线圈的相互绕法关系。****3i1–41234i112

当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入时，所产生的磁场相互增强，则这两个对应端子称为同名端。i11'22'11'22'3'3注意：线圈的同名端必须两两确定。

判断图示线圈的同名端？

i11'22'**11'22'3'3**

i1**L1L2+_u1+_u2i2M耦合电感的图形符号**L1L2+_u1+_u2i2Mi1

由同名端及u,i

参考方向确定互感电压i1**u21+–Mi2**u21–+M

因为互感电压是由另一线圈的电流引起的,与本线圈的电流无关,因此互感电压与引起该互感电压的电流的参考方向对同名端一致。i1与的参考方向对同名端一致；i2与的参考方向对同名端一致；对单个电感：iuiu关联参考方向下：L非关联参考方向下：L6.1.3耦合电感的电压、电流关系法拉第电磁感应定律：变化的磁场产生电场。对耦合电感：取决于u1、i1是否关联自感电压互感电压关联参考方向下：非关联参考方向下：如何确定自感电压和互感电压的符号?

自感电压项前的符号取决于端口电压与端口电流参考方向是否关联：

关联，取正非关联，取负

互感电压项前的符号取决于端口电压与引起互感电压的电流的参考方向对同名端是否一致：一致，取正相反，取负u1和i2的方向对同名端一致u2和i1的方向对同名端一致u1和i2的方向对同名端相反如何列写电压方程?

自感电压项前的符号取决于端口电压与端口电流参考方向是否关联：

关联，取正非关联，取负

互感电压项前的符号取决于端口电压与引起互感电压的电流的参考方向对同名端是否一致：一致，取正相反，取负如何确定自感电压和互感电压的符号?u2和i1的方向对同名端一致u2、i2非关联

在线圈绕向和相对位置无法辨认的情况下，可以用实验的方法来判断同名端。开关闭合，若电压表正偏，则表示1和2为同名端;反之，1和2’为同名端。开关闭合时，di1/dt>0若1和2为同名端，则u2=Mdi1/dt>0若1和2’为同名端，则u2=-Mdi1/dt<0i1L1L2+_u1+_VME+-11’22’u2j

L1j

L2+––++–+–相量形式：时域形式：**j

L1j

L2+_j

M+_相量模型i1**L1L2+_u1+_u2i2M在正弦交流电路中6.1.4耦合电感的等效电路模型计算含有耦合电感的电路通常有两种方法：（1）直接列写方程法；（2）去耦等效分析法，等效成无互感的电路；注意：含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。6.2含耦合电感的正弦稳态电路的分析M+_+_

L1L2L3R1R2R3例.求图示电路的各支路电流。6.2.1直接列写方程法不改变电路结构，直接对含有耦合电感的电路采取支路电流法或者回路电流法，列写电路方程求解。M+_+_

L1L2L3R1R2R3方法1：支路电流法M+_+_

L1L2L3R1R2R3方法2：回路电流法注意互感电压的表示式及正负号。M+_+_

L1L2R1R2例

已知:求其戴维南等效电路。+_Zeq–++–M

L1L2R1R2去耦等效：R1R2（2）求等效阻抗：ZeqZeq1.耦合电感的串联等效iL=L1+L2+2Mu+–i**u2+–ML1L2u1+–u+–(1)顺接（异名端相接）:两个线圈的电流均从同名端流入6.2.2去耦等效分析法i**u2+–ML1L2u1+–u+–iL=L1+L2-2Mu+–2.反接(同名端相接）：两个线圈的电流一个从同名端流入，另一个从非同名端流入*

顺接一次，反接一次，就可以测出互感：互感的测量方法：2.耦合电感的T形等效(1)同名端为共端的T形去耦等效比较系数得：i1+i2**Mi2L1L2+_u1i1+u2-ºLaLbLc+u1+u2--i1i2ML1

-ML2

-M(2)异名端为共端的T形去耦等效**Mi2L1L2+_u1i1+u2-ºLaLbLc+u1+u2--i1i2i1+i2比较系数得：-ML1

+ML2

+M**Mi2i1L1L2ui+–L1－MML2－M3.耦合电感的并联等效(1)同侧并联（同名端相连）(2)异侧并联（异名端相连）L1+M-ML2+M*Mi2i1L1L2ui+–*法一：去耦等效ººL1-ML2-MMRC同名端为共端的T形去耦等效计算举例：1.已知如图所示，求入端阻抗Z=?••L1L2MRC••L1L2MRC法二：外加电源法U1I1I2••L1L2MRC相量模型••jωL1jωL2jωMRM+_+_

L1L2L3R1R2R3去耦等效分析法：例.求图示电路的各支路电流。+_+_L1-ML2-ML3+MR1R2R3+_+_L1-ML2-ML3+MR1R2R3再根据求出各支路电流。列写回路电流方程：根据线圈芯柱的不同，变压器可以分为：空心变压器：非铁磁材料作为芯柱铁心变压器：铁磁材料作为芯柱松耦合紧耦合6.3空芯变压器

变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。**j

L1j

L2j

M+–R1R2Z=R+jX1.空心变压器电路原边回路副边回路原线圈副线圈j

M••j

L1j

L2+–R1R2RL

原边回路自阻抗Z11=R1+jL1

副边回路自阻抗Z22=(R2+RL)+jL2RLj

L1j

L2+–R1R2+–+–解得2.空心变压器电路的分析Zref(反映阻抗）：

副边回路阻抗通过互感反映到原边回路的等效阻抗+–Z11原边等效电路输入阻抗j

M••j

L1j

L2+–R1R2RLj

M••j

L1j

L2+–R1R2RLRLj

L1j

L2+–R1R2+–+–••j

L1j

L2j

M+–R1R2RL注意:初级电流与耦合电感同名端的位置无关,但次级电流却与耦合电感的同名端及初级、次级电流的参考方向有关。RLj

L1j

L2+–R1R2+–+–解：思路：利用反映阻抗的概念求解。输入阻抗**L1L2M+–R1RL已知L1=5H,L2=0.2H,M=0.5H,R1=10Ω,R2=20Ω。求初级电流i1和次级电流i2。R2i1例2.

已知US=20V,次级回路在初级回路中的引入阻抗Zref=10–j10.求ZX以及负载获得的有功功率.此时负载获得的功率：实际是最佳匹配：解：**j10

j10

j2+–10

ZX+–10+j10

Zref=10–j10

••j10

j10

j2+–10

ZL例3.

已知,，问负载阻抗ZL取何值时可获得最大功率，最大功率为多少？解:求出ZL支路以外部分的戴维南等效电路••j10

j10

j2+–10

+–(1)求(2)求等效阻抗j2••j10

j10

10

(3)原电路等效为+–ZL由共轭匹配得:由可得:1.理想变压器的三个理想化条件（2）全耦合（1）无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。（3）参数无限大理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。6.4理想变压器

i11'22'N1N22.理想变压器的主要性能（1）变压关系**n:1+_u1+_u2**n:1+_u1+_u2理想变压器模型若（2）变流关系i1**L1L2+_u1+_u2i2M考虑到理想化条件：0若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：n:1理想变压器模型理想变压器的伏安关系**+–+–n:1**+–+–n:1若电压的方向对同名端一致，取+；若电流的方向对同名端一致，取-；

(a)功率**+–n：1u1i1i2+–u2

由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能，它将能量由原边全部传输到副边，在传输过程中，仅将电压、电流按变比作数值变换。3.理想变压器的性质：理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。

(b)阻抗变换**+–+–n:1ZL+–理想变压器的阻抗变换作用只改变阻抗的模，不改变阻抗角。利用理想变压器的阻抗变换作用可以实现最大功率传输。例1.图示电路，已知电源内阻RS=1k

，负载电阻RL=10

。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比n。**n:1RL+–uSRS当n2

RL=RS时，RL上获得最大功率。即

10n2=1000

n=10+–uSRS解：根据理想变压器的阻抗变换作用，原电路可用右图等效。例2.**+–+–1:1050

+–1方法1：列方程解得方法2：阻抗变换+–+–1**+–+–1:1050

+–1方法3：戴维南定理**+–+–1:10+–1求R0：**1:101R0R0=1021=100戴维南等效电路：+–+–10050第7章三相电路7.1

三相电源7.2对称三相电路7.4

三相电路的功率7.3不对称三相电路三相电路是由三相电源、三相负载和三相输电线组成的电路。三相电路相对于单相电路在发电、输电、用电方面有很多优点，所以三相制得到广泛的应用。目前，世界上大多数国家的电力系统主要采用三相制。

三相电路实际上是一种特殊的交流电路。正弦交流电路的分析方法对三相电路完全适用。由于三相电路的对称性，可采用一相电路分析，以简化计算。7.1.1三相电源的产生NSººIwAZBXCY三相同步发电机示意图

当转子以角速度w顺时针旋转时，则在三个定子绕组A-X,B-Y,C-Z上感应出随时间按正弦规律变化的电压。A+–XuAB+–YuBC+–ZuC三个感应电压的关系角频率、幅值相同相位互差120

对称三相电源7.1三相电源相量表示120°120°120°对称三相电源的特点正序(顺序)：A—B—C—A负序(逆序)：A—C—B—AABCDABC123DACB123正转反转相序：各相电源经过同一值(如正最大值)的先后顺序ABC相序的实际意义：对三相电动机，如果相序反了，就会反转。7.1.2

三相电源的连接A+–X+–+–BCYZ三角形连接(接）+–+–+–A+–X+–+–BCYZ星形连接(Y接）+–X+–Y+–ZABC三相电源连接时，始端末端要依次相连。正确接法时：错误接法时（假设uc接反）：I=0I很大

注意：A+–X+–+–BCYZNABCABCBCA+–X+–+–YZA+–X+–+–BCYZ(1)相线(火线)(2)中线（零线）(7)三相三线制与三相四线制。(3)线电流(5)相电流(4)线电压(6)相电压名词介绍：(1)Y连接

对称三相电源线电压与相电压的关系A+–X+–+–BCYZABCN30o30o30o相电压：线电压：线电压对称(大小相等，相位互差120o)一般表示为：结论：对Y接法的对称三相电源(1)

相电压对称，则线电压也对称。(3)线电压相位超前相应的相电压30o。

30o30o30o(2)

连接A+–X+–+–BCYZABC即线电压等于对应的相电压。注意：（1）凡三相设备（包括电源和负载）铭牌上所标的额定电压

都是指线电压。（2）工程上说的三相电路的电压都是指线电压。对称三相电路：三相电源和三相负载都对称的电路。三相负载对称：ZA=ZB=ZC=Z三相电源对称：uA,uB,

uC有效值相同，相位依次滞后120

7.2对称三相电路三相负载不对称三相负载：不满足ZA=ZB

=

ZC

如由单相负载组成的三相负载对称三相负载：ZA=ZB=

ZC

如三相电动机三相负载分类负载三个各自独立的单相负载：如照明负载、家用电器三相负载：如三相电动机等星型连接N’ZAZBZC三相负载的连接

三相负载采用哪种连接，取决于负载的额定电压。三角形连接ZBCZABZCAABC三相负载的连接原则负载的额定电压=电源的线电压应作连接负载的额定电压=

电源线电压应作Y连接

应使加于每相负载上的电压等于其额定电压，而与电源的联接方式无关。AB电源C保险丝三相四线制380/220伏N

额定相电压为220伏的单相负载

额定相电压为380伏的三相负载ZZZN’ZAZCZB+_++N--7.2.1三相负载Y连接电流电压三相四线制+_++NN’ZZZ--ZN不论原来有无中线，也不论中线阻抗多大，都可以将N、N’短接。当ZA=ZB=ZC=Z时，电路为对称三相电路-+NN’ZA相等效电路线电压与相电压的关系线电压相位超前相应的相电压30o。N’ZZZ+_++N--相电流：线电流：中线电流：对称中线可断开N’ZZZ+_++N--对称对称

线电流与相电流的计算对称三相电路负载Y连接的分析方法∵相电压、相电流、线电压、线电流均对称，∴可通过计算其中一相，根据对称推出其他两相。N’ZZZ+_++N---+NN’Z取A相可将N、N’短接三相化一相+_++NN’ZZZ--例1已知对称三相电源的线电压为380V，对称负载Z＝10030求线电流。解：连接中线NN’，取A相为例计算-+NN’Z由对称性，得三相三线制正误判断对称负载Y连接

+ZBZCZAN'N++–––对称负载Y连接

正误判断+ZBZCZAN'N++–––+_+__+NZBCZCAZABABCABC7.2.2三相负载Δ连接电流电压若ZAB=ZBC=ZCA=Z，即为对称三相负载时，则令则相电流：线电流：线电流对称30o30o30oIC相电流对称ABCZABZCAZBC结论：对称三相电路，负载

接法：(3)相电流对称，则线电流也对称。参考方向(1)线电压等于相应的相电压。相位上滞后对应的相电流30o。三相化一相例2已知对称三相电源的线电压为380V，对称负载Z＝10030求线电流。解：由对称性，得

取A相+_+__+NZ

Z

ZABCABC-+BBZAA例3.ABCZZZ一对称三相负载分别接成Y接和接。分别求线电流。解：ABCZZZnABCZZZ+___++NACBZ1Z2ZNN'+_Z1解：

三相化一相例4如图对称三相电路，电源线电压为380V，|Z1|=10

，cos

1

=0.6(感性)，Z2=–j50

，ZN=1+j2

。求：线电流、相电流。+_Z1根据对称性，得B、C相的线电流、相电流：+___++NACBZ1Z2ZNN'有中线，且中线阻抗为0(1)负载上的相电压仍为对称三相电压；各相负载仍能正常工作(2)由于三相负载不对称，则三相电流不对称；(3)中线电流不为零。+_+__+NN'ZaZbZc7.3不对称三相电路UN’N=07.3.1不对称负载Y连接

不对称三相电路示例负载各相电压：三相负载Za、Zb、Zc不相同。2.无中线相电压不对称线(相)电流也不对称+_+__+NN'ZaZbZcABC中点位移电压负载中点与电源中点不重合，这个现象称为中点位移。N'NACB此时各相负载电压不对称，所以各相负载不能正常工作。三相负载不对称时，必须采用三相四线制，且中线上的阻抗应尽量减小。总结：

接上中线可强使尽管电路不对称，但各相保持独立性，各相工作互不影响。

负载不对称时，当中性点位移较大时，使负载端电压严重不对称，负载工作不正常。另外，负载变动时各相工作相互关联，彼此互相影响。有中线无中线三相四线制三相三线制不对称三相电路负载星型连接对称三相电路不对称三相电路负载工作不正常负载工作正常负载工作正常负载工作正常中线无用，可去掉中线有用，不可去例.照明电路:(1)正常情况下，三相四线制，中线阻抗为零。ACBNN'NACBN

380220每相负载独立工作，不受其它二相负载的影响。(2)假设中线断了(三相三线制),A相电灯没有接入电路(三相不对称)灯泡未在额定电压下工作，灯光昏暗。ACBNN'NACB380N

190190灯泡电压超过额定工作电压，烧坏了。(3)假设中线断了(三相三线制),A相短路ACBNN'NACBN

380380结论：(a)照明中线不装保险，并且中线较粗。一是减少损耗，二是加强强度(中线一旦断了，负载就不能正常工作)。(b)要消除或减少中点的位移，尽量减少中线阻抗，然而从经济的观点来看，中线不可能做得很粗，应适当调整负载，使其接近对称情况。例

相序仪电路。已知1/(wC)=R

三相电源对称。求：灯泡承受的电压。解：若以接电容一相为A相，则B相电压比C相电压高。B相灯较亮，C相较暗(正序)。据此可测定三相电源的相序。ACBN'RCR+_+__+NZBCZABZCAABCABC负载相电压(即线电压）对称7.3.2不对称负载三角形连接相电流：线电流：各相电流不对称，各线电流也不对称，且不再为相电流的倍。例

ZZZA1A2A