2024年高考数学总复习 基本初等函数与函数的零点 周测卷三

考案［四］周测卷(三)基本初等函数与函数的零点

(本试卷满分120分，测试时间90分钟)

一、单选题(本题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

2

1.(2024•广西百色期末)已知幕函数f(x)=(忧-0+l)/+i在(0,+8)上单调递减,

则小的值为(A)

A.0B.1

C.0或1D.—1

［解析］依据塞函数的定义，求得"=0或勿=1,结合嘉函数的性质，即可求解.由题

2

意,事函数f(x)=Gz/—〃+l)x"可得02一0+1=1,解得必=0或0=1,当勿=0时，

可得f(x)=x2,可得/U)在(0,+8)上单调递减，符合题意；当必=1时，可得/'(x)=x。,

可得f(x)在(0,+8)上无单调性，不符合题意，综上可得，实数〃的值为0.故选：A.

PX—I-P-X

2.(2024•江西南昌高校附属中学期末)函数Ax)=三丁丁的图象大致是(D)

D

XI-X

［解析］由指数函数的增长是“爆炸性增长”知，对于函数f(x)P=—IM-P7而言，当

X-8时，f(x)-+8,故解除B,C；然后依据特别值比较出/UXHO),解除A,从而得

XI—X

出结论.由指数函数的增长是“爆炸性增长”知，对于函数/1(X)p=-4—7pR而言，当L8

时，f(x)—+8,故解除B,C；又/'(0)=2,<^-<2=/(0),故函数先减后增，

解除A,故选：D.

3.(2024•全国模拟预料)若a=log62,6=logi55,c=log2i7,则(A)

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.a>b>c

[解析]依据对数的运算将a,b,c化简，然后构造函数，推断该函数的单调性，由此

推断a,b,c的大小关系.由题意可得鲁],c=/7令f(力

l+log32l+log35l+log37

x]

=百金=1一3力，x>0,则f(x)在(0,+8)上是单调增函数，又0〈log32〈log35〈log37,

所以a=f(log32)〈6=F(log35)<c=F(log37),即以仅c,故选：A.

4.(2024•全国专题练习)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区

间是[—3,5],则第三次所取的区间可能是(C)

A.[1,5]B.[-2,1]

C.[1,3]D.[2,5]

[解析]由第一次所取的区间是[—3,5],取该区间的中点，可得其次次所取的区间，

利用同样的方法得到第三次所取的区间.因为第一次所取的区间是[-3,5],所以其次次所

取的区间可能是[—3,1],[1,5],则第三次所取的区间可能是[—3,-1],[-1,1],[1,

3],[3,5],故选：C.

X2,Xd(—8,Q)

5.(2024•河南高三阶段练习)已知函数f(x)={lnx,xd(0,1),

、一V+4X-3,xG[l,+8)

若函数g(x)=f(x)—加恰有两个零点，则实数0不行能是(D)

A.-1B.0

C.1D.2

[解析]依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)—/的零点，转化为函数y=f(x)与函

数y=R的交点，数形结合即可求出参数⑷的取值范围；解：因为/<x)=

'X1,xG(―0°,0)

<lnx,xe(0,1),画出函数图象如下所示，

、一卡+4矛一3,xG[1,+0O)

函数g(x)=F(X)一0的有两个零点，即方程g(x)=F(x)一勿=0有两个实数根，即广(X)

=m,即函数y=F(x)与函数y=R有两个交点，由函数图象可得"W0或%=1,故选：D.

6.(2024•天津市西青区杨柳青第一中学期末)设函数f(x)=ln(1+|引)一击，则

使得f(x)〈/X2x—1)成立的x的取值范围是(B)

A.R1)

B.(-8,(1,+oo)

c-

D.(一8,f,+8)

[解析]先利用定义推断f(x)的奇偶性，再由函数单调性的性质推断单调性，利用函

数的单调性和函数的奇偶性脱掉f解不等式即可求解.函数f(x)=ln(1+Ix|)一击的定

义域为R,『(一x)=ln(l+|x|)—4=f(x),可得F(x)是偶函数，所以F(x)〈F(2x—1)

等价于f(|x|)〈f(|2x—11)；当x>0时，f(x)=ln(1+x)—因为y=ln(1+x)单调

递增，y=G单调递减，所以f3=ln(1+x)一击为单调递增函数，所以|x|<|2x—

1|,即x、(2x—1M,整理可得3f—4x+l〉0,解得：x>l或器，所以使得/'(王)"3—1)

成立的x的取值范围(一8,Ju(l,+8),故选：B.

[Iog2x,x>0

7.(2024•全国高三专题练习)若函数f(x)=…_有且只有一个零点，则

[-2~a,xWO

a的取值范围是(B)

A.(―0°,—1)U(0,+°°)

B.(一8,—1)U[0,+°°)

C.[-1,0)

D.[0,+°°)

[解析]由f{x)=0可知当x>0时，因为log21=0,所以有一个零点，进而可知当W0

时，函数『(x)没有零点即可，进而结合指数函数的性质探讨得出结果.解：当x〉0时，因

[log2x,x>Q

为log?1=0,所以有一个零点，所以要使函数/1(x)=X1有且只有一个零点，

[-2-3,xWO

则当WO时，函数/'(x)没有零点即可，当良0时，O〈2*W1,1W—2'<0,—1—aW—

2'—a<—a,所以一aWO或一1—a>0,即a2O或a<—1.即a的取值范围是(-8,-1)U［0,

+8).故选：B.

8.(2024•黑龙江期中)定义在实数集R上的奇函数F(x)恒满意『(1—x)=F(x+l),且

C.1D.——

［解析］依据函数的奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的

周期性进行转化求解即可.解：二.奇函数『5)恒满意f(l—x)=f(x+l),.•./(x+l)=-F(x

-1),即f(x+2)=—f(x),则f(x+4)=-f(x+2),即f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为

二、多选题(本题共4个小题，每个小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中

有多项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分)

9.(2024•全国课时练习)下列说法中正确的是(BD)

A.函数/1(x)=x+l,xe［—2,0)的零点为(一1,0)

B.函数/<x)=2'—1的零点为0

C.函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点

D.函数f(x)的零点即方程f(x)=0的实数根

［解析］依据函数的零点的学问确定正确选项.函数的零点是数，不是点，A错误；由

2'—1=0,得x=0,f(x)=2'—1在R上递增，所以B正确；函数f(x)的零点是方程f(x)

=0的实数根，是函数Hx)的图象与x轴的公共点的横坐标，D正确，C错误，故选：BD.

10.(2024•福建期末)已知函数f(力=2"+*，则(BC)

/、4

A.Alog23)=-

B.Ax)的最小值为2

C.F(x)为偶函数

D._f(x)在(-8,+8)上单调递增

［解析］A干脆代入计算并验证；B利用换元法得到g(t)=t+\,结合基本不等式确定

最值；C依据奇偶性的定义推断即可；D由B中换元法，所得对勾函数的性质可干脆推断单

1OE3

调区间.A：Alog23)=22+-i^-3=3+^=7r,错误；B：令6=2”〉0,则/1(x)=g(t)=什

1•；=2当且仅当1=1,即x=0时取等号，正确；C：_f(—x)=2^+六=2"+］=

。\/L/乙乙

/'(x)且xdR,/'(x)为偶函数，正确；D：由B,若力=2'>0,f(x)=g(t)=则g㈤在

(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，所以『(x)在(一8,0)上递减，(0,+8)上递增，错

误；故选：BC.

11.(2024•广东汕头期末)已知函数/'(x)=log5(x2—2x—3),则下列结论正确的是

(BCD)

A.函数F(x)的单调递增区间是［1,+8)

B.函数f(x)的值域是R

C.函数『(x)的图象关于x=l对称

D.不等式f(x)<l的解集是(一2,-l)U(3,4)

［解析］依据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依

次推断即可得出结果.对于A：因为/U)=log5x为增函数，所以求/'(x)=log5(x2—2x—

3)的单调递增区间即求力=f—2x—3的单调递增区间，即［1,+8).又对数函数的定义域

有2x—3>0,解得xe(3,+8).故函数f(x)的单调递增区间是(3,+8).A错误；对

于B：力=V—2x—3,由对数函数的定义域解得：xG(—8,—1)U(3,+8),则y=log5力,

由于1>0,所以y£R,即函数F(x)的值域是R,B正确；对于C：2=9—2x—3=(x—1)」一2,

关于x=l对称，所以函数Ax)的图象关于x=l对称，故C正确;对于D：log5(/-2^-3)<l,

笈一2x—3〉0

即2，解得：入£(-2,-1)U(3,4),故D正确；故选：BCD.

12.(2024•全国高三专题练习)已知函数f^x)=|log2(^—1)|—zz?(zz7>0)的两个零点为

xx,x2(xi<X2),贝lj(ABD)

1।1

A.XI〈2<EB.—+—=1

矛1X2

C.XIX2<4D.2XI+X2>3+2^\^

［解析］函数_f（x）=Ilog2（x—1）|一勿（苏0）即为函数y=Ilog2（x—1）|,y=m,交点的

横坐标，作出函数图象，依据图象，易推断A；依据人荀）=#加=0,化简整理即可推断B；

结合基本不等式将和化为积的形式即可推断C；利用整体代换结合基本不等式即可推断D.

解:令广（X）=|log2（x—1）|一勿=0,（入＞1）则|log2（x—1）|=如令y=|log2（x—1）|,y=m,

则函数f{x）=|log2（x—l）|一血力＞0）的两个零点为xx,x2（x《X2）,即为函数y=Ilog2（x—

1）1，y=加交点的横坐标，作图如下图所示：

故1＜荀＜2〈如故A正确；依据题意得F（xi）=F（X2）=0,即|log2（xi—l）|=Ilog2（X2一

1）1，因为所以log2（xi—1）＜0,log2（色一l）＞0,故log2（xi—1）+log2（①-1）=0,

即log2［（^i—1）（A2—1）］=0,所以（为一1）（①一1）=1,即xix2—（X1+X2）=0,所以，+,=1,

故B正确；因为矛1+£222为矛1生，所以矛1可一（荀+入2）Wxi/2-2,布太2,即矛i/一2/荀上220,

所以XIX224,当且仅当不=上2时取等号，又因1〈XK2〈X2,所以XIX2＞4,故C错误；2荀+毛

=（2覆+总）•0+口=3+上+法23+2/，当且仅当上=跄，即.=第荀时，取等号，

v

VIX2JXiXiVXiXz

故D正确.故选：ABD.

三、填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）

13.（2024•全国课时练习）若alog&3=；,则3"+9"=.6.

［解析］首先利用换底公式表示a=logs2,再代入3"+9'求值.由条件得a=》og34

=log32,所以3"+9a=3"332+9段2=3%2+3吗4=2+4=6.故答案为：6.

14.（2024•全国课时练习）若函数f（x）=3—ax+1在区间g3）上有零点，则实数a

的取值范围是_2,号）.

［解析］通过参变分别，转化为a=x+，在j，3）上有解，转化为求函数t=x+±x

士3）的值域.由题意知方程ax=3+l在$3）上有解，即@=为+}在生3）上有解.设

力=x+：3）,则力的取值范围是2,多，所以实数a的取值范围是2,日.故答

案为：2,

［x+l9xWO.

15.(2024•江苏盐城中学高三开学考试)已知函数f(x)=।则函数尸

Llog2x,x>0

Z［f(x)］的全部零点之和为一

［解析］利用分段函数，分类探讨，即可求出函数y=f［f(x)］的全部零点，从而得

解.解：xWO时，x+l=0,x=~l,由_f(x)=-l,可得x+l=-l或log2牙=一1,1.x

=-2或x=5；x>0时，log2x=0,x=l,由_f(x)=l,可得x+l=l或log2x=l,x=

0或x=2；.•.函数尸丹f(x)］的全部零点为一2,I，0,2,所以全部零点的和为―2+^+0

+2=~故答案为：­.

5^—1,0<^<1

16.(2024•全国专题练习)已知函数/<x)=，设力>〃>0,若f(ri)=

2H1,

广(㈤，则刀•a加的取值范围是

［解析］画出，x)的图象，数形结合求得力的范围，将刀・A㈤转化为关于〃的函数,

再求函数的值域即可.画出函数图象如图所示，由图象可知要使力>刀>0,/(〃)=/1(血同时成

4(n\(1112

立，贝!|三4水1.刀•/*(%)=刀•=刀(5〃-1)=5刀2-〃=5=5〃一行——,所以yW

5\by\107205

-12\

〃・“血<4.故答案为：y,4J.

四、解答题(本题共4个小题，每个小题10分，共40分)

2__

17.(2024•山西沁县一中阶段练习)已知幕函数/<x)=(着一3〃+3)X,2T,且在(0,

+8)上为增函数.

⑴求函数Ax)的解析式;

(2)若f(a+l)〈£(3—2a),求a的取值范围.

士「2、

［答案］(1)『(入)=/(2)［—1,gj

［解析］(1)因为函数是募函数，求出0=1或卬=2,再分别验证是否满意函数在(0,

1

+8)上是增函数；(2)由(1)知f(x)=M,依据函数的定义域和单调性解不等式.

(1)病-30+3=1,即苏-30+2=0,则(0一1)(0一2)=0,解得0=1或7=2,

31

当m=1时,f{x)=x~=xx,

1±

当m=2时，f(^x)=嵬2—3—

1

•・・f(x)在(0,+8)上为增函数，・・./V)=西.

(2)由(1)得Hx)定义域为［0,+8)且y(x)在(0,+8)上为增函数，

fa+1^0

9「2、

：A3—,解得：一IWaq,所以a的取值范围为：一1，鼻.

U［_Oy

/+1<3—2a

18.某化工厂每一天中污水污染指数Ax)与时刻x(时)的函数关系为f(x)=|log25(x+

1)~a\+2a+l,［0,24］,其中a为污水治理调整参数，且(0,1).

(1)若@=今求一天中哪个时刻污水污染指数最低；

(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数

不超过3,则调整参数a应限制在什么范围内？

［答案］(1)一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.

(2)调整参数a应限制在(0,|内.

［解析］⑴因为a=；时，则f(x)=log25(^+l)—|+222,

当广(x)=2时，log25(x+l)—］=0,得x+l=252=5,

即x=4.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.

(2)设方=log25(x+l),则当0WxW24时，0WZW1.

设g(1)=I力一+2女+1,方£［0,1］,

贝"=lf—+a方+3la,+la,g0WtWa

明显g(力在［0,目上是减函数，在［41］上是增函数,

则f(x)max=max{g(O),g⑴}.

因为g(0)=3a+l,g(l)=a+2,

g(0)=3己+1W39

则有，,解得

g⑴=a+2W3

又ae(0,1),故调整参数a应限制在(0,|内.

19.(2024•四川射洪中学阶段练习)已知函数f(x)=log2(2,+4)(46R)的图象过点

尸(0,2).

⑴求k的值并求函数『(x)的值域;

(2)若函数Mx)=2'®-a•2加，则是否存在实数a,对随意xP［0,4］,存在［0,

2］使|尔z)|Nf(X2)+2成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

［答案］⑴A=3(log23,+8)⑵存在，即aWO或a》4

［解析］(1)因为函数f(x)=log2(2*+4)(AGR)的图象过点?(0,2),把点产(0,2)代

入由『(0)=2即可求解.(2)对随意荀丘［0,4］,存在至e［0,2］使历⑸|》f(xz)+2成立,

X

则|方(不)］2F(X2)ndn+2,由/1(x)=log2(2，+3)单调递增，求出/"(X2)屈n=2,令1=221

4］,贝！］//(6)=/—2at+3,4］,即f2—2a1+324或者f—2at+3W—4恒成立在

te［l,4］上，分别参数即可求解.

(1)因为函数/(x)=log2(2*+A)(AGR)的图象过点尸(0,2),

所以f1(以=2,即log2(l+«)=2,所以A=3,

所以F(x)=log2(2*+3),因为尸2,单调递增，所以汽x)=1。82(2,+3)单调递增，

因为2*+3〉3,所以汽为=1。故(2*+3)>1烟3,

所以函数f(x)的值域为(10g23,+8).

(2)由题意对随意xie［0,4］,存在兹昼［0,2］使|尔xi)(莅)+2成立，

则2,由(1)知,当X2G［0,2］时，f(x)=log2(2*+3)单调递增，

所以/(^2)min=2,

XXX

又力(x)=2'*——•2加=2"+3—a•2^+1=2x—2a•2^+3，荀£［0,4］

X

令t=22£［1,4］,贝|力(方)=干—2al+3,力£［1,4］,

所以|力(1)［=|1—2/方+3|24,方e［l,4］恒成立，

所以d—2a1+3