理论力学第二章

2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法2.3平面力对点之矩的概念与计算2.4平面力偶1武汉大学出版社

第二章平面汇交力系和平面力偶系一.平面汇交力系的概念§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系：各力在同一平面内，作用线交于一点的力系。TT1T2例：起重机的挂钩。图2.1力多边形3设有一个平面汇交力系、、、作用于汇交点，如图2-1a所示。我们可以依次地应用力三角形法则来求该平面汇交力系的合力。即先将力与合成为一个力，再将力与合成为一个力，最后将力与合成，即得该平面汇交力系的合力，且合力的作用线通过汇交点，如图2-1b所示。

(a)(b)(c)二、平面汇交力系合成的几何法从图2—1b可见，在合成该平面汇交力系的合力时，也可不必将中间力矢量、一一求出。只需从力的终点B作出与力相等的矢量，再从的终点C作出一个与力相等的矢量，最后从的终点D作出一个与力相等的矢量力相等的矢量。连接的始点A与最后一个矢量的终点E，即矢量即为平面汇交力系的合力。如图2-1c所示。多边形称为力多边形，称为力多边形的封闭边。这种求合力的方法称为力多边形法，也称几何法。上述求合力的方法可以推广到任意个平面汇交力系的情况，于是得到如下结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力等于力系中各力的矢量和。即：（2-1）从图2—1b可见，在合成该平面汇交力系的合力时，也可不必将中间力矢量、一一求出。只需从力的终点B作出与力相等的矢量，再从的终点C作出一个与力相等的矢量，最后从的终点D作出一个与力相等的矢量力相等的矢量。连接的始点A与最后一个矢量的终点E，即矢量即为平面汇交力系的合力。如图2-1c所示。多边形称为力多边形，称为力多边形的封闭边。这种求合力的方法称为力多边形法，也称几何法。三、平面汇交力学平衡的几何条件当力多边形自行闭合，即合力，于是平面汇交力系平衡；反之，若平面汇交力系平衡，即合力。所以，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：力多边形自行闭合，或平面汇交力系的合力等于0，即

(2-2)求解平面汇交力系平衡问题的几何法的解题步骤：（1）选取研究对象；（2）画受力图；（3）作封闭力多边形；（4）求解未知量。用比例尺和量角器在图上量出未知量的大小和方向角，或者用三角公式或者用平面几何知识来计算未知量。前者称为几何作图法，后者称为半几何法，统称几何法。

解（1）取销钉C为研究对象；（2）画销钉C的受力图，如图2-2（b)示；（3）作封闭力三角形，如图2-2(c)示。图2-2由于封闭的力三角形与三角形ABC相似，故解得也可给P一定比例，量出FCA和FCB的大小，如取比例尺为1cm=5kN，作出封闭的力三角形后，由比例尺量得

例2.1

AC和BC两杆用铰链C连接，两杆的另一端分别铰支在墙上，如图2-2(a)示。在点C悬挂重10kN的物体，已知AB=AC=2m,BC=1m,如杆重不计，求两杆所受的力。例2-2

已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。①选碾子为研究对象②取分离体画受力图解：rFNA又由几何关系：当碾子刚离地面时NA=0,这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。F=11.5kN,NB=23.1kN所以此题也可用力多边形方法用比例尺去量。已知：

,各杆自重不计；求：

杆及铰链

的受力.例2-3按比例量得用几何法，画封闭力三角形.解：为二力杆，取

杆，画受力图.§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解（1）二.平面汇交力系合成的解析法(a)(b)(c)将（b）代入（a）式，并注意i和j为常矢量，则有(d)（今后为了便于书写，将下标“i”省略。）比较(c)、(d)等式两边，可得上式即为合力投影定理，即合力在任一轴上的投影，等于其各分力在同一轴上投影的代数和。上述投影定理不仅对力矢适用，对于其它矢量也同样成立。根据式（1）可求得合力矢的大小和方向余弦为（2）三、平面汇交力系的平衡方程平衡条件平衡方程（3）即平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。式（3）称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

这里要指出，为了避免利用式（3）解联立方程，在选择投影轴时，最好使两投影轴其中之一垂直一个未知量，这样可以使方程求解未知量简化；另外，受力图中的未知力的指向未知，可以假设，若计算结果为正值，表示假设指向与力的实际指向相同，反之，若计算结果为负值，表示假设指向与力的实际指向相反；同时，在后面计算中，则不必更正力的负值符号，直接以负值代入方程计算。

求：此力系的合力.解：用解析法例2-3已知：图示平面共点力系；已知：求：系统平衡时，杆AB、BC受力。例2-4系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；解：AB、BC杆为二力杆，取滑轮B（或点B），画受力图。用解析法，建图示坐标系解得：解得：解析法求平面汇交力系反力的步骤：（1）取研究对象，画研究对象的受力图；反力方向若不确定，可以假设。（2）建立直角坐标系：使其中一个坐标轴垂直于一个未知力；若平面汇交力系中反力是对称的，则沿对称方向建立坐标轴。（3）列出平面汇交力系的平衡方程，求出未知反力。注意：根据平面力系平衡方程求反力，一定要先考虑思路后列方程，尽量做到一个方程含有一个未知量，避免解联立方程。例2-5

图示四连杆机构，在A、B点分别作用FA、FB，求：机构平衡时FA与FB力的关系。解:ABCD300600450B300600FBA=FAB[A]A450[B]例2-6

已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力ND=？滑轮的大小、自重与绳的摩擦不计。解：研究球受力如图，选投影轴列方程为由①得①②由②得例2-7

已知：P，a

求：A、B处约束反力。2a

PaABCD解：（1）取刚架为研究对象（2）画受力图

FBxy解上述方程，得（3）建立坐标系，列方程求解

FA

BMFAC

FBCFBAFBCFCBFMFNC

已知：F，

例2-8求：物块M的压力。解：（1）取销钉B为研究对象（2）取挡板C为研究对象解得解得力对物体可以产生移动效应--取决于力的大小、方向；

转动效应--取决于力矩的大小、方向。一、力对点的矩+-§2-3平面力对点之矩的概念和计算力矩：力绕某一点转动效应的度量。AFBd①是代数量。当F=0或d=0时，=0。③是影响转动的独立因素。⑤

=2⊿AOB=F

d,2倍⊿形面积。说明：②F↑,d↑转动效应明显。④单位N

m或kN

m

定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和 即：二、合力矩定理由合力投影定理有： [证]Od=Ob+Oc又∵解:直接按定义按合力矩定理例2-7求:已知:例2-8已知：如图F、Q、l,求：和 解：①用力对点的矩法

②应用合力矩定理

例

求F对A点的矩。解一：应用合力矩定理解二：由定义三、力矩与合力矩的解析表达式·力矩的平衡力矩的平衡方程，该方程最多解一个未知力。例2-9求：已知：平衡时，

杆的拉力.由力矩平衡条件解得解：

为二力杆，取踏板由合力矩定理得解：取微元如图例2-10求：已知：合力及合力作用线位置.例2-11求：3.力

沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力

多大？？2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力

至少多大？1.水平拉力

时，碾子对地面及障碍物的压力？已知：解:1.取碾子，画受力图.用几何法，按比例画封闭力四边形2.碾子拉过障碍物，应有用几何法解得解得

3.§2-4平面力偶理论一.力偶和力偶矩1.力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作两个要素a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩力偶中两力所在平面称为力偶作用面.力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.2.力偶矩+— 二、平面力偶的性质性质1：力偶既没有合力，力偶在任意坐标轴上的投影等于零，力偶不能和力平衡，力偶只能和力偶平衡。性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。注意：O点是任取的FF'dOxAB性质3：平面力偶等效定理作用在同一物体同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。两个推论：①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。=已知：任选一段距离d三.平面力偶系的合成和平衡条件=====平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。平面力偶系的平衡方程最多解一个反力。平面力偶系平衡的充要条件，有如下平衡方程结论：平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。解得解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为例2-12求：光滑螺柱

所受水平力.已知：例2-13求：平衡时的及铰链

处的约束力.已知解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.解得解得

取杆

，画受力图.例2-14：图示杆BC上固定销子可在杆AD的光滑直槽中滑动，已知：L=0.2m，M1=200N·m，a=300，求：平衡时M2。解：[BC]:

Mi=0,FCLsin300–M1=0,

得:FC=FB=2000N[AD]:Mi=0,M2–FC’L/sin300=0, 得：M2=800N·m。M1aBADLCM2FCFC’FBFA[BC]M1BCA[AD]M2D[例2-15]图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。解：1、研究对象二力杆：AD2、研究