人教版九年级数学上册《解一元二次方程（第7课时）》示范教学设计

解一元二次方程（第7课时）教学目标1．了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用．2．在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律．教学重点一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用．教学难点发现一元二次方程根与系数的关系．教学过程新课导入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式，不仅表示了由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系．一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？新知探究一、探究学习【问题】由因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？【师生活动】学生独立思考，通过将(x－x1)(x－x2)＝0的左边展开，化为一般形式进行观察，得出结论．【答案】把方程化为x2＋px＋q＝0的形式后，得到方程：x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，可以发现，这个方程的二次项系数为1，一次项系数p＝－(x1＋x2)，常数项q＝x1x2．于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：x1＋x2＝－p，x1x2＝q．【设计意图】通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为1的方程中发现一元二次方程根与系数的关系．【问题】一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？【师生活动】教师带领学生复习求根公式：x1＝，x2＝．为探究根与系数的关系奠定基础．【答案】x1＋x2＝＋＝＝－．x1x2＝·＝＝．【问题】把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两边同除以a，能否得出前面的结论？【答案】方程两边同除以a，则二次项系数变为1，此时方程可化为x2＋px＋q＝0的形式，根据前面的探究，可以得到：一次项系数是两根和的相反数，常数项是两根之积，满足所得出的结论．【设计意图】通过讨论，让学生经历从特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程的根与系数的关系．【新知】方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝．这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．【特别提醒】1．在使用两根之和关系式时，不要漏写“－”；2．能用根与系数的关系的前提条件为b2－4ac≥0；3．方程不是一般式的要先化成一般式．二、典例精讲【例1】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：（1）x2－6x－15＝0；（2）3x2＋7x－9＝0；（3）5x－1＝4x2．【师生活动】学生在解决问题时可能会出现先求一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积的情况，也可能出现根与系数关系记忆不准确的情况，教师要及时引导学生进行订正．【答案】解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15．（2）x1＋x2＝－，x1x2＝＝－3．（3）方程化为4x2－5x＋1＝0．x1＋x2＝－＝，x1x2＝．【归纳】利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意（1）一元二次方程必须有两个实数根(Δ≥0)．（2）两根之和中的负号与方程中a，b的符号不要混淆．【设计意图】加强对一元二次方程的根与系数关系的认识，并进一步熟悉根与系数关系的应用．【例2】关于x的方程3x2＋mx－4＝0有一个根是2，求另一个根及m的值．【师生活动】学生独立解决问题，组内交流纠错．【答案】解：设方程的另一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，得2x1＝－，解得x1＝－．x1＋2＝－，得－＋2＝－，解得m＝－4．所以，方程的另一个根是－，m的值是－4．【追问】还有其他解法吗？【答案】解：把x＝2代入3x2＋mx－4＝0，得12＋2m－4＝0，解得m＝－4．设方程的另一个根为x1，则2＋x1＝－＝，解得x1＝－．所以方程的另一个根是－，m的值是－4．【归纳】已知一元二次方程的一个根，求另一个根的方法方法1(利用根与系数的关系)：当方程的二次项系数、一次项系数已知，常数项未知时，利用两根的和求另一个根；当方程的二次项系数、常数项已知，一次项系数未知时，利用两根的积求另一个根．方法2(利用根的定义)：先把方程的已知根代入方程求出未知系数或常数项，再解方程求另一个根．【设计意图】考查一元二次方程根与系数的关系的应用：已知一根求另一根和待定字母的值．指导学生按两种方法解答，对已经学过的知识进行复习．【例3】设x1，x2是方程2x2＋5x＋1＝0的两个根，求下列各式的值：（1）(x1＋1)(x2＋1)； （2）．【师生活动】教师引导学生对所给两个式子进行分析，变形，得到可以利用两根之和及两根之积解决的式子再进行求解．【答案】解：由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝．（1）(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－1；（2）【归纳】巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值（1）计算：计算出x1＋x2，x1x2的值；（2）变形：将所求的代数式变形为用x1＋x2和x1x2表示的式子；（3）代入：代入所求的代数式计算．【设计意图】解决本题，考查学生利用根与系数的关系求与两根有关的代数式的值的能力，进一步巩固对两根之和、两根之积的熟练应用．【例4】已知方程x2＋kx＋k＋2＝0的两个实数根是x1，x2，且，求k的值．【师生活动】学生独立解决问题，教师巡视纠错．【答案】解：由根与系数的关系得，x1＋x2＝－k，x1x2＝k＋2．又，即(x1＋x2)2－2x1x2＝4，所以k2－2(k＋2)＝4．化简，得k2－2k－8＝0，解得k＝4或k＝－2．因为Δ＝k2－4k－8，所以当k＝4时，Δ＜0；当k＝－2时，Δ＞0．所以k＝－2．【归纳】使用根与系数的关系的前提——Δ≥0ΔΔ【设计意图】考查学生能否利用根与系数的关系确定方程中字母参数的