人教版九年级数学上册《解一元二次方程（第1课时）》示范教学设计

解一元二次方程（第1课时）教学目标1．会用直接开平方法解一元二次方程．2．理解直接开平方的实质是通过“降次”，把一元二次方程转化为一元一次方程．教学重点能通过开平方，将一元二次方程转化为一元一次方程求解．教学难点熟练运用直接开平方法解一元二次方程．教学过程知识回顾1．如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．当a为正数时，a有两个平方根，即x的值有两个，分别为_________；当a为0时，a的平方根为±0＝0，即x的值有两个，均为_________；当a为负数时，a没有平方根，即x的值不存在．2．若一个数的平方等于9，则这个数是______；若一个数的平方等于7，则这个数是________．【答案】1．02．±3新课导入【问题】一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？【师生活动】教师引导学生对问题进行分析，列出方程．【分析】设其中一个盒子的棱长为xdm，则这个盒子的表面积为6x2dm2．根据一桶油漆可刷的面积，列出方程：10×6x2＝1500．【设计意图】列出一元二次方程，为后面新课讲解作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】怎样利用学过的知识，解方程10×6x2＝1500？【师生活动】教师先引导学生判断这个方程是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数和常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程．【答案】解：整理，得x2＝25．根据平方根的意义，得x＝±5，即x1＝5，x2＝－5．【追问】盒子的棱长是多少？【答案】因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm．【设计意图】让学生通过解特殊形式的一元二次方程，初步意识到解一元二次方程的基本思路是降次．另外通过追问，提醒学生注意，用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义．【问题】解下列方程，并归纳出这类方程的解的特点．（1）x2－1＝0；（2）x2＝0；（3）x2＋1＝0．【师生活动】学生口答解方程的过程，并能归纳出这类方程的一般形式x2＝p，根据p的取值范围得到方程的解的三种情况，教师板书．【答案】解：（1）x2＝1，x＝±1，所以x1＝1，x2＝－1．（2）x1＝x2＝0．（3）x2＝－1，没有一个数的平方为负数，方程无解．方程解的特点：对于方程x2＝p，（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1＝－，x2＝；（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根．【设计意图】根据平方根的意义解一元二次方程x2＝p，并根据p的取值讨论出方程的解的三种情况，为后面配方法的学习奠定基础．【新知】利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，其依据是平方根的意义．【思考】对照前面归纳的解方程x2＝p的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5？【师生活动】学生独立思考，并给出解法．教师可引导学生将解方程的过程叙述为：对方程(x＋3)2＝5两边开平方，将它转化为两个一元一次方程进行求解．【分析】根据归纳的结果，可以由方程x2＝25得x＝±5．由此想到：由方程(x＋3)2＝5得x＋3＝±．即x＋3＝，或x＋3＝－．所以，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝－3＋，x2＝－3－．【归纳】上面的分析中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．【设计意图】让学生体会方程结构的特征，为后续新课的学习奠定基础．【新知】解一元二次方程的基本思想是“降次”，通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程．直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”，转化为两个一元一次方程．二、典例精讲【例1】用直接开平方法解下列方程．（1）x2－81＝0； （2）4x2－64＝0．【师生活动】学生独立解决此题，教师提问．【答案】解：（1）移项得x2＝81，根据平方根的定义得x＝±9，即x1＝9，x2＝－9．（2）移项得4x2＝64，于是x2＝16，所以x＝±4，即x1＝4，x2＝－4．【设计意图】巩固学生对新知识的掌握，考查学生是否能够熟练运用直接开平方法解简单的一元二次方程．【归纳】用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．【例2】用直接开平方法解下列方程：（1）(2y－3)2＝16； （2）9(x＋1)2＝25．【师生活动】小组合作交流解答本题，教师巡视纠错．【答案】解：（1）根据平方根的定义，得2y－3＝±4，所以y1＝，y2＝－．（2）两边同除以9，得(x＋1)2＝，根据平方根的定义，得x＋1＝±，所以x1＝，x2＝－．【设计意图】考查学生对解形如(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)的一元二次方程的掌握程度，进一步巩固对直接开平方法解一元二次方程的应用．【归纳】解形如(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)的关于x的一元二次方程时，运用整体思想，把mx＋n看作一个整体，直接开平方降次，得mx＋n＝±