黄石市2024年中考四模数学试题（含解析）

黄石市2024年中考四模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1.菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm,则它的面积是()

A.6cm2B.12cm2C.24cm2D.48cm2

2.在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45。角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为(1,0),顶点A的坐

标为(0,2),顶点8恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲

线£上时停止运动，则此时点C的对应点。的坐标为()

oTc

35

A.(-,0)B.(2,0)C.(-,0)D.(3,0)

22

3.关于x的方程(a—5)d—4x—1=0有实数根，则。满足(

A.a>lB.4>1且C.QZI且D.〃w5

4.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧,交X轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M、

N为圆心，大于」MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.

若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关

2

系为()

y八

武。>A

A.a=bB.2a+b=-1C.2a-b=lD.2a+b=l

5.已知二次函数7=-7一4*5,左、右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上，则平移后的抛物线解析

式为（）

A.j=-x2-4x-lB.j=-x2-4x-2C.j=-x2+2x-lD.y=-x2+2x-2

6.如图，四边形ABCE内接于。O,ZDCE=50°,贝！|NBOE=（)

A.100°B.50°C.70°D.130°

7.下列运算正确的是（）

A.a2+a3=a5B.(a3)2va6=lC.a2*a3=a6D.(-+-)2=5

8.如图，在口ABCD中,AB=2,BC=1.以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P,交CD于点Q,再分别

以点P,Q为圆心,大于gPQ的长为半径画弧,两弧相交于点N,射线CN交BA的延长线于点E,则AE的长是（）

63

A.B.1C.1D.-

252

9.如图，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系

是（）

C.相离D.无法确定

10.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与。。相切于E,F,G三点，过点D作。。的切

线交BC于点M,切点为N,则DM的长为（）

1394713.£

AA.BR.C«--------Dn.2x/5

323

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

3

11.若点A(l,m)在反比例函数y=—的图象上，则m的值为.

x

12.如图，矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5,点P是边BC上的动点，现将纸片折叠使点A与点P重合，折痕与矩

形边的交点分别为E,F,要使折痕始终与边AB,AD有交点，BP的取值范围是.

13.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点4、。在坐标轴上，点3的坐标是(2,2).将AABC沿x轴向左

平移得到AAIBICI,点片落在函数y=-9.如果此时四边形A&GC的面积等于篁，那么点G的坐标是.

x2

14.如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90。的扇形048,且点0、4、5在圆周上，把它围成一

个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是cm.

15.如图：图象①②③均是以Po为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同

时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3,第二次移动后图形①②③的圆心依

次为P4P5P6...,依此规律，PoP2O18=个单位长度.

北

东北

13

16.双曲线％=—、y,=—在第一象限的图像如图，过y2上的任意一点A,作x

XX

BD

轴的平行线交yi于B,交y轴于C,过A作x轴的垂线交yi于D,交x轴于E,连结BD、CE,则k=

CE

三、解答题（共8题，共72分）

31

17.（8分）解分式方程：---1=—

x-33-x

18.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与一次函数y=kx—k的图象的交点坐标为A（m,

2）.

⑴求m的值和一次函数的解析式；

⑵设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B,求小AOB的面积；

（3）直接写出使函数y=kx—k的值大于函数y=x的值的自变量x的取值范围.

19.（8分）某中学采用随机的方式对学生掌握安全知识的情况进行测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级

进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请根据有关信息解答：

⑴接受测评的学生共有________人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为°,并补全条形统计图；

⑵若该校共有学生1200人，请估计该校对安全知识达到“良”程度的人数；

⑶测评成绩前五名的学生恰好3个女生和2个男生，现从中随机抽取2人参加市安全知识竞赛，请用树状图或列表法

求出抽到1个男生和1个女生的概率.

20.（8分）如图，在三个小桶中装有数量相同的小球（每个小桶中至少有三个小球），

第一次变化：从左边小桶中拿出两个小球放入中间小桶中；

第二次变化：从右边小桶中拿出一个小球放入中间小桶中；

第三次变化：从中间小桶中拿出一些小球放入右边小桶中，使右边小桶中小球个数是最初的两倍.

⑴若每个小桶中原有3个小球，则第一次变化后，中间小桶中小球个数是左边小桶中小球个数的倍；

（2）若每个小桶中原有a个小球，则第二次变化后中间小桶中有个小球（用a表示）；

（3）求第三次变化后中间小桶中有多少个小球？

21.（8分）“六一”儿童节前夕，某县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对红星小学的留守儿童人数进行

抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6名，7名，8名，10名，12名这五种情形，并绘制出如下的统计图①和图

②.请根据相关信息,解答下列问题:

全笛种情况留守儿童

人数班级数扇形统计图

图①

图②

（1）该校有个班级，补全条形统计图;

(2)求该校各班留守儿童人数数据的平均数，众数与中位数；

(3)若该镇所有小学共有60个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名留守儿童.

22.(10分)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，AABC的三个顶点的坐标分别为4(-

1,3),5(-4,0),C(0,0)

(1)画出将AABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的AAiBCi；

(2)画出将△ABC绕原点。顺时针方向旋转90。得到△4瓦。；

(3)在x轴上存在一点P,满足点尸到4与点4距离之和最小，请直接写出P点的坐标.

23.(12分)如图，矩形ABCD绕点C顺时针旋转90。后得到矩形CEFG,连接DG交EF于H,连接AF交DG于

M；

(1)求证：AM=FM；

DG

(2)若NAMD=a.求证：---=cosa.

AF

24.如图，AB是。O的直径，D是。O上一点，点E是AC的中点，过点A作。O的切线交BD的延长线于点F.连

接AE并延长交BF于点C.

(1)求证：AB=BC；

(2)如果AB=5,tanZFAC=-,求FC的长.

2

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积.

【详解】

根据对角线的长可以求得菱形的面积，

根据S=—ab=—x6cmx8cm=14cm1.

22

故选：C.

【点睛】

考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键.

2、C

【解析】

过点3作轴于点O,易证AAC。g△BCD(AAS),从而可求出3的坐标，进而可求出反比例函数的解析式,

根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点.

【详解】

解：过点3作轴于点O,

■:ZACO+ZBCD=90°,

ZOAC+ZACO=90°,

:.NOAC=NBCD,

ZOAC=ZBCD

在小ACO与^BCD中，＜ZAOC=NBDC

AC=BC

：.AACO^ABCD(AAS)

：.OC=BD,OA=CD,

,：A(0,2),C(1,0)

：.OD=3,BD=1,

：.B(3,1),

设反比例函数的解析式为y=8,

X

将5(3,1)代入

X

:・k=3,

：.y=~,

X

3

・••把y=2代入y=—,

x

._3

••X—,

2

当顶点A恰好落在该双曲线上时，

3

此时点4移动了一个单位长度，

2

3

.••C也移动了不个单位长度，

2

此时点C的对应点。的坐标为(工，0)

【点睛】

本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程

度较高，属于中等题型.

3、A

【解析】

分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当时5时，根据判别式的意义得到哈1且a声时，

方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围.

【详解】

当a=5时，原方程变形为-4x-l=0,解得x=--；

4

当a再时,△=(-4)2-4(a-5)x(-1)>0,解得*1,即吟1且时5时，方程有两个实数根，

所以a的取值范围为a>l.

故选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a邦)的根的判别式△=b2-4ac：当4>0,方程有两个不相等的实数根；当公=0,

方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.

4、B

【解析】

试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，

则P点横纵坐标的和为0,即2a+b+l=0,

2a+b=-1.故选B.

5、D

【解析】

把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数尸-x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平

移时，顶点的纵坐标不变，即可求得函数解析式.

【详解】

解：R-4x-5=-(x+1)1-1,.,.顶点坐标是(-1,-1).

由题知：把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数尸-x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反

数.

•.•左、右平移时，顶点的纵坐标不变，，平移后的顶点坐标为(1,-1),.•.函数解析式是：尸-(x-1)

-1,即：y=-xJ+lx-1.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的

纵坐标不变.同时考查了二次函数的性质，正比例函数尸-X的图象上点的坐标特征.

6、A

【解析】

根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求出NA,根据圆周角定理计算即可.

【详解】

四边形ABCE内接于。O,

:.ZA=NDCE=50。,

由圆周角定理可得，ZBOE=2ZA=100°,

故选：A.

【点睛】

本题考查的知识点是圆的内接四边形性质，解题关键是熟记圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它

相邻的内角的对角）.

7、B

【解析】

利用合并同类项对A进行判断；根据塞的乘方和同底数塞的除法对B进行判断；根据同底数幕的乘法法则对C进行

判断；利用完全平方公式对D进行判断.

【详解】

解：A、a?与a3不能合并，所以A选项错误；

B、原式=a6+a6=l,所以A选项正确；

C、原式=a5,所以C选项错误；

D、原式=2+2«+3=5+2个所以D选项错误.

故选:B.

【点睛】

本题考查同底数幕的乘除、二次根式的混合运算,：二次根式的混合运算先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二

次根式的乘除运算，再合并即可.解题关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性

质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

8、B

【解析】

分析：只要证明BE=BC即可解决问题；

详解：；由题意可知CF是NBCD的平分线，

,\ZBCE=ZDCE.

•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,

/.ZDCE=ZE,ZBCE=ZAEC,

/.BE=BC=1,

VAB=2,

/.AE=BE-AB=1,

故选B.

点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键.

9、B

【解析】

首先过点A作根据三角形面积求出AM的长，得出直线5c与OE的距离，进而得出直线与圆的位置关系.

【详解】

3x412

解：过点4作4/_15。于点M,交OE于点N,：.AMxBC=ACxAB,=y=2.1.

；£）、E分别是AC、A5的中点，：.DE//BC,DE=-BC=2.5,：.AN=MN=-AM,:.MN=1.2.

22

•.•以OE为直径的圆半径为1.25,.,.r=1.25>1.2,.•.以OE为直径的圆与3C的位置关系是：相交.

故选B.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理得出3C到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键.

10、A

【解析】

试题解析：连接OE,OF,ON,OG,

在矩形ABCD中,

VZA=ZB=90°,CD=AB=4,

VAD,AB,BC分别与。。相切于E,F,G三点,

NAEO=NAFO=NOFB=NBGO=90。，

二四边形AFOE,FBGO是正方形，

；.AF=BF=AE=BG=2,

，DE=3,

；DM是。O的切线，

.,.DN=DE=3,MN=MG,

.*.CM=5-2-MN=3-MN,

在RtADMC中，DM2=CD2+CM2,

(3+NM)2=(3-NM)2+42,

4

3

413

・・DM=3H—=—9

33

故选B.

考点：1.切线的性质；3.矩形的性质.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、3

【解析】

3

试题解析：把A(1,m)代入y=—得：m=3.

x

所以机的值为3.

12、1<X<1

【解析】

此题需要运用极端原理求解；①BP最小时，F、D重合，由折叠的性质知：AF=PF,在R3PFC中，利用勾股定理

可求得PC的长,进而可求得BP的值，即BP的最小值;②BP最大时，E、B重合，根据折叠的性质即可得到AB=BP=1,

即BP的最大值为1；

【详解】

解：如图：①当F、D重合时，BP的值最小；

根据折叠的性质知：AF=PF=5；

在RtAPFC中，PF=5,FC=1,贝！|PC=4；

•*.BP=Xmin=l；

②当E、B重合时，BP的值最大；

由折叠的性质可得BP=AB=L

所以BP的取值范围是：IWxWl.

故答案为：lWxWL

【点睛】

此题主要考查的是图形的翻折变换，正确的判断出x的两种极值下F、E点的位置，是解决此题的关键.

11

13、（-5,—）

【解析】

分析：依据点5的坐标是（2,2）,BB2//AA2,可得点电的纵坐标为2,再根据点此落在函数尸-9的图象上，即

X

可得到352=AA2=5=CC2,依据四边形AA2C2C的面积等于至，可得0。=口,进而得到点C2的坐标是（-5,-）.

222

详解：如图，I•点3的坐标是（2,2）,刖2〃442,.,.点万2的纵坐标为2.又点此落在函数y=-&的图象上，.I

x

当y=2时，x=-3,：.BB2=AA2=5=CC2.又；四边形也42c2c的面积等于生，：.AA2xOC=—,：.0C=—,...点C2

222

的坐标是（-5,—）.

2

故答案为（-5,—）.

2

点睛：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的性质.在

平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数0,相应的新图形就是把原图形向右（或

向左）平移a个单位长度.

14、正

2

【解析】

设圆锥的底面圆的半径为r,由于44。3=90。得到AB为圆形纸片的直径，则03=1A5=2点皿，根据弧长公式

2

计算出扇形。43的弧A3的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算.

【详解】

解：设圆锥的底面圆的半径为r,

连结A3,如图，

•.,扇形045的圆心角为90。，

ZAOB=9Q°,

•••A3为圆形纸片的直径，

J.AB=4cm,

：.OB=^AB=2啦cm,

2

二扇形0AB的弧AB的长=9。•兀-2逝=0小

180

A2nr=yf2瓦,

.・r-...{cm）.

2

故答案为正.

2

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线

长.也考查了圆周角定理和弧长公式.

15、1

【解析】

根据PoPi=LPoP2=l,PoP3=l；POP4=2,POP5=2,POP6=2；POP7=3,POP8=3,POP9=3；可知每移动一次，圆心离中心

的距离增加1个单位，依据2018=3x672+2,即可得到点P2018在正南方向上，POP2OIS=672+1=1.

【详解】

由图可得,PoPl=l,PoP2=l,PoP3=l;

POP4=2,POPS=2,POP6=2；

PoP7=3,PoPs=3,POP9=3;

72018=3x672+2,

...点P2018在正南方向上，

：•PoP2oi8=672+l=l,

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形变化，应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的

变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.

2

16、-

3

【解析】

_333

设A点的横坐标为a,把x=a代入y。=—得y,=—，则点A的坐标为（a,-）.

x"aa

；AC_Ly轴，AE_Lx轴，

33

•••C点坐标为（0,-）,B点的纵坐标为一，E点坐标为（a,0）,D点的横坐标为a.

aa

•••B点、D点在丫1=二一上,・••当y=一时,X=—；当x=a,y=—.

xa3a

点坐标为（二，3

•••B一）,D点坐标为（a

3aa

32a312322

..AB=a——=—,AC=a,AD=———=AE=-.AAB=-AC,AD=-AE.

a3aaaa33

„BDAB2

XVZBAD=ZCAD,/.AABAD^ACAD.:.——=—=-.

CEAC3

三、解答题（共8题，共72分）

17、7

【解析】

根据分式的性质及等式的性质进行去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1即可.

【详解】

31

--------1=---------

x~33—x

3-(x-3)=-l

3-x+3=-l

x=7

【点睛】

此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是正确去掉分母.

18、(1)y=lx-1(1)1(3)x>l

【解析】

试题分析：(1)先把A(m,1)代入正比例函数解析式可计算出m=l,然后把A(1,1)代入y=kx-k计算出k的

值，从而得到一次函数解析式为y=lx-1；

(1)先确定B点坐标，然后根据三角形面积公式计算；

(3)观察函数图象得到当x>l时，直线y=kx-k都在y=x的上方，即函数y=kx-k的值大于函数y=x的值.

试题解析：(1)把A(m,1)代入y=x得m=l,则点A的坐标为(1,1),

把A(1,1)代入y=kx-k得Ik-k=l,解得k=l,

所以一次函数解析式为y=lx-l；

(1)把x=0代入y=lx-1得y=-1,则B点坐标为(0,-1),

所以SAAOB=-xlxl=l；

(3)自变量x的取值范围是x>l.

考点：两条直线相交或平行问题

3

19、(1)80,135°,条形统计图见解析；(2)825人；(3)图表见解析，P(抽到1男1女)=j.

【解析】

试题分析：(1)、根据“中”的人数和百分比得出总人数，然后求出优所占的百分比，得出圆心角的度数；(2)、根据题意

得出“良”和“优”两种所占的百分比，从而得出全校的总数；(3)、根据题意利用列表法或者树状图法画出所有可能出现

的情况，然后根据概率的计算法则求出概率.

试题解析：(1)80,135。；条形统计图如图所示

，金的曹金*辍■■温

金舒嫌计■

⑵该校对安全知识达到“良”程度的人数：1200x吗”=825(人)

80

(3)解法一：列表如下:

所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种,

123

所以P(抽到1男1女)

女1女2女3男1男2

女1—女2女1女3女1男1女1男2女1

女2女1女2—女3女2男1女2男2女2

女3女1女3女2女3-"男1女3男2女3

男1女1男1女2男1女3男1--男2男1

男2女1男2女2男2女3男2男1男2--

解法二：画树状图如下:

所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种，

123

所以P(抽到1男1女)

205

20、(1)5；(2)(a+3)；(3)第三次变化后中间小桶中有2个小球.

【解析】

⑴⑵根据材料中的变化方法解答；

⑶设原来每个捅中各有a个小球，根据第三次变化方法列出方程并解答.

【详解】

解：(1)依题意得：(3+2)+(3-2)=5

故答案是：5；

⑵依题意得：a+2+l=a+3；

故答案是：(a+3)

⑶设原来每个捅中各有a个小球，第三次从中间桶拿出x个球，

依题意得：a-l+x=2a

x=a+l

所以a+3-x=a+3-(a+l)=2

答：第三次变化后中间小桶中有2个小球.

【点睛】

考查了一元一次方程的应用和列代数式，解题的关键是找到描述语，列出等量关系，得到方程并解答.

21、(1)16；(2)平均数是3,众数是10,中位数是3；(3)1.

【解析】

(1)根据有7名留守儿童班级有2个，所占的百分比是2.5%,即可求得班级的总个数，再求出有8名留守儿童班级

的个数，进而补全条形统计图；

(2)将这组数据按照从小到大排列即可求得统计的这组留守儿童人数数据的平均数、众数和中位数；

(3)利用班级数60乘以(2)中求得的平均数即可.

【详解】

解：(1)该校的班级数是：2+2.5%=16(个).

则人数是8名的班级数是：16-1-2-6-2=5(个).

条形统计图补充如下图所示：

全校五种情况留守儿童

(2)每班的留守儿童的平均数是：(1x6+2x7+5x8+6x10+2x2)4-16=3

将这组数据按照从小到大排列是：6,7,7,8,8,8,8,8,10,10,10,10,10,10,2,2.

故这组数据的众数是10,中位数是(8+10)+2=3.

即统计的这组留守儿童人数数据的平均数是3,众数是10,中位数是3；

(3)该镇小学生中，共有留守儿童60x3=1(名).

答：该镇小学生中共有留守儿童1名.

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了平均数、

中位数和众数以及用样本估计总体.

22、(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)尸(1,0).

【解析】

(1)分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；(2)根据网格结构找出点A、B、

C以点O为旋转中心顺时针旋转90。后的对应点，然后顺次连接即可；(3)利用最短路径问题解决，首先作Ai点关于

x轴的对称点A3,再连接A2A3与x轴的交点即为所求.

【详解】

解：(1)如图所示，△AiBiG为所求做的三角形；

(2)如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；

(3)；A2坐标为(3,1),A3坐标为(4,-4),

A2A3所在直线的解析式为：y=-5x+16,

.16

令y=0,则*=二，

考点：平移变换；旋