2024年高考数学专项硬解定理（解析版）

2024年高考数学专项硬解定理(解析版)

硬解定理

在解析几何中，我们通常会涉及直线和圆锥曲线相交弦长的问题，我们前面的一般思路是联立方程，结合韦达

定理,带入弦长公式，这样计算会相对较麻烦,我们在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时发现了可消项

的存在,整体消除并整理后可得到一般的弦长求解公式,该公式即为硬解定理.

硬解定理及其证明

若曲线/+支-=1与直线4%+3+。=0相交于石、尸两点,则

mn

工-2ACmm(C2-B2n)ig创2/(疥d)1@代

劣1+62=--------，力便2=------------，△=mn(s-C),\EF\=------n-----'^^OEF——r7—，

££同同

其中e=4机+B2n,△'为一与△同号的值，△'=工△.

4B2

定理简证

设曲线——F—1与直线Ax+By+C—0相交于两点.

mn

［二+j

联立m十。一1得最终的二次方程：

Ax+By+c=0

(A2m+B2n)a^+2ACmx+C2m—mnB2—0

应用韦达定理可得

,_—2ACm

力］+力2——F9~，

Am+Bn

C2m—mnB2

力巡2二^-----9，

Am+Bn

A=4mnB2(A2m+B2n-C2).

22

由\EF\=V(iCi-®2)+(yi-y2)=1+(血+电/一4c巡2,

V4mn(A2+B2)(A2m+B2n-C2)

可得\EF\=

|A2m+B2n\

原点到直线EF的距禺：d_=一

oEF日J味।炉

1|C|J4mn(4+B2)(429+所一02)\C\y/mn(^m+B2n—C2)

S、OEF=~^^O-EF9旧F|

|A2m+B2n\|A2m+B2n\

令e=4m+B2rl,△'=工A,则得到硬解定理:

4B2

电+，尸二^一皿二处*2J(4+&)A，q_\C\4^

，bbOEF_77,

8S同

定理说明

应用该定理于椭圆三+耳=1时，应将［机代入.

a2b2In=b2

应用于双曲线£-£=1时，应将｛；二:代入，同时(A2m+B2n)不应为零，即e不为零.

•M

^__i__y_—i

求解%+统，%敌即是求解《馆n，只需将A与8的值互换且m与n的值互换，可知£与△'的值

Ax+By+C=0

不会因此而改变.

注意：由于在高考中硬解定理不可直接应用，学生应如此解答才可得全步瞰分：

联立两方程得……（二次式子）

21+12=...①，X2X2—.....②

••I$l_1=J（21+22）2—4力便2=...

（此时代入①②式得到一个大式子，但不必化简）

化简得山-电|=,21（偷偷地直接套公式，不必真化简X

\n+mk\

下面就可求弦长I=Vl+e\X1-x2\了.

硬解定理求弦长

制1斜率为1的直线I与椭圆C：-y+/=1相交于P、Q两点，求\PQ\的最大值.

硬解定理求面积

ill过椭圆C*口=1的右焦点，倾斜角为6。。的直线交椭圆。于4B两点，求"OB的面机

•M

血13设过点4(0,—2)的直线I与E]+*=1相交于P、Q两点，当AOFQ的面积为1时,求直线I的方程.

同]4设直线I的倾斜角为冷，且与椭圆C-.^~+壬=1交于A、B两点，求AAOBl。为坐标原点)面积的最大

O/U4

值.

•••

硬解定理

在解析几何中，我们通常会涉及直线和圆锥曲线相交弦长的问题，我们前面的一般思路是联立方程，结合韦达

定理,带入弦长公式，这样计算会相对较麻烦,我们在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时发现了可消项

的存在,整体消除并整理后可得到一般的弦长求解公式,该公式即为硬解定理.

硬解定其证明

若曲线/+支-=1与直线人工+3+。=0相交于石、尸两点,则

mn

22

工-2ACmm(C-Bn)„2.2A/(疥…@氏

,+力2=--------，力1力2=------------，△=mn(s-c),\EF\=------n-----'S^OEF-—rn-，

££同同

其中e=4机+B2nM为一与△同号的值，△'=工△.

4B2

定理简证

设曲线——F=1与直线Ax+By+C-0相交于两点.

mn

［二+j

联立m十。一1得最终的二次方程：

Ax+By+c=0

(A2m+B2n)^-\-2ACmx+C2m—mnB2—0

应用韦达定理可得

—24Cr7z

力i+力2=

A2?n+B2n

Gm一rrmB~

xx=

12A2m+B2n

A=4mnB2(A2m+B2n-C2).

22

由\EF\=V(iCi-®2)+(yi-y2)=

J4nm(&+B?)(4馆+B2n-C?)

可得\EF\=

A2m+B2n|

原点到直线EF的距离：do.EF=

a—1jIT-，7pi—1J4nm(4+R2)(4加+p2n—⑺_+B2n-C?)

S&OEF=^d_-\EF\=-.../,,

oEF2222

22+B2|Am+Bn||Am+Bn\

令e=4m+B2n,A'=工A,则得到硬解定理：

4B2

2ACm

Xl+x2=~,X1X2=-9*九),△，=mn(£_。2)，旧理=2邛毋)”,=匹婆.

££同同

定理说明

应用该定理于椭圆三+¥=1时，应将［机=/代入.

a2b2In=b2

应用于双曲线£-£=1时，应将二:代入，同时(A2m+B'%)不应为零，即e不为零.

^__i__y_—i

求解%+统，%敌即是求解《馆n，只需将A与8的值互换且m与n的值互换，可知£与△'的值

Ax+By+C=0

不会因此而改变.

注意：由于在高考中硬解定理不可直接应用，学生应如此解答才可得全步瞰分：

联立两方程得……（二次式子）

21+12=...①，X2X2—.....②

••I$l_1=J（21+22）2—4力便2=...

（此时代入①②式得到一个大式子，但不必化简）

化简得山-电|=,21（偷偷地直接套公式，不必真化简X

\n+mk\

下面就可求弦长I=Vl+e\X1-x2\了.

硬解定理求弦长

制1斜率为1的直线I与椭圆c：-y+y2=1相交于P、Q两点，求\PQ\的最大值.

【解析】设P、Q两点的坐标分别为（xi,%）,（g,纺），直线/的方程为g=力+力，

联立｛；+t4，消去"得5x，2+8tx+4（——1）=0,

洞I8+4（廿一1）

贝力1+42=--t,力何2=--P----.

55

由△>（）得。</<5,

\PQ\—4山一处|=Vl+fc2•J（g+/2）2—4/逆2=V2-y（―|-/；）2—4x4（\I）=4f.V5—t2

v0<t2<5

・，.当力=0时，

炉Qmax=4A

5

用硬解定理验证答案：

2

椭圆。:子+y—1,直线/的方程为力一g+力=0,

带入结论：\PQ\=，4馆［4+.）（4M+杼九—02）①

=J5T,

|A2m+B2n|5

0<t2<5

•.•当1=。时，四£=咿.

硬解定理求面积

22

网12过椭圆。：,+与=1的右焦点，倾斜角为60°的直线交椭圆。于4B两点，求^AOB的面积.

【解析】过右焦点0）,斜率/:;=同的直线方程为y=V3x-3,

空+宣■=1

联立《6+3一,，消去力化简得7婿+6y一9=0.

,y—Vix—3

设点A（xlt明），点B（22,仇），

则yi+y2=--,仇坊=一名，•M

\yi-yi\=d⑶+纺)J4夕曲='2,

x

S&AOB=yXA/3X|yi-y2|=yV3X.j

用硬解定理验证答案：

\C\y/mn(^m+B2n—C2)_6^6

SAOAB：

|A2m+B2n\7

血］3设过点A（0,-2）的直线l与E:亨+*=1相交于p、Q两点，当AOPQ的面积为1时，求直线I的方程.

【解析】当，的斜率不存在或等于0时，不合题意，

故设直线l:y=kx—2,点P（61,7/1）,点Q（62,统）.

y=kx—2

联立22+2_]得(1+4fc2)x2—16fcrr+12=0.

由A=16(4fc2-3)>0可得fc2>y|.

16k12

又,/力i+电：--------,6112=--------7

1+4*1+4k2

4J肥+1•J4k2一3

从而IPQ|=Vfc2+11力1—021=+1J(61+62)2—4/口2

4彦+1

又点O到直线PQ的距离d=—/2,

Vfc2+i

4A/A:2+1•V4fc2—3_4A/4fc2—3

•*-'OPQ的面积为S^pQ--^-d•\PQ\=4"x/：x1,

O

/NVfc+14fc2+l4k2+1

整理得16k4—56肥+49=0,

即（4后-7）2=0,解得肥二看，

.・.左=±等且满足4>0.

・,•直线/的方程为y—~^~x—2或g——^~x—2.

用硬解定理验证答案：

|C|V^(A2m+B2n-C2)_|一2卜4(4*-3)l^k=±^­

SAOPQ：

|A2m+B2n||4fc2+l|

刷4设直线，的倾斜角为字，且与椭圆。器+壬=1交于A、B两点，求^AOB（O为坐标原点）面积的最大

值.

【解析】依题意可设直线Z的方程为夕=代工+

联立</y2_，消去g整理得16/+10后3:+5馆2-20=0