2024版高考数学总复习：函数与方程

第八节函数与方程

考试要求：1.理解函数的零点与方程的解的联系.

2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.了解用二分法求方程的近似解的方法.

---------、必备知识•回顾教材重“四基”/----------

一、教材概念•结论•性质重现

1.函数的零点的概念

对于一般函数y=Ax）,把使Hx）=O的实数x叫做函数y=Ax）的零点.

2.函数的零点与方程的解的关系

方程Ax）=0有实数解=函数y=4x）的图象与x轴有公共点＜=＞函数y=/x）有零点.

3.函数零点存在定理

如果函数旷=4团在区间［a,句上的图象是一条连续不断的曲线，且有血）•40v0.那么，函

数y=《x）在区间（a,6）内至少有一个零点，即存在cE（a,b）,使得人。=0,这个c也就是方

程4x）=0的解.

微提醒・・・

1.函数《&）的零点是一个实数，是方程4x）=0的解，也是函数y=Hx）的图象与x轴交点的

横坐标.

2.函数零点存在定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件.判断零点个数还要根

据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

4.二分法

⑴函数y=在区间［a,句上的图象连续不断.

条件

（2）所在区间端点的函数值满足血）断＜0

不断地把函数片Hx）的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两

方法

个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值

5.常用结论

⑴若连续不断的函数7W在定义域上是单调函数，则Ax）至多有一个零点.

⑵连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

⑶连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

二、基本技能•思想•活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画7,错的画“x”.

⑴函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.（x）

⑵二次函数y=aV+bx+&aW0）在当毋-4acv0时没有零点.(V)

⑶若函数y=/U)在区间(a,加内有零点(函数图象连续不断)，则北处)<0.(x)

⑷若心)在区间［a,句上连续不断,且右)♦烦>0,则心)在(a,加内没有零点.

(x)

2.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()

A解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点.

3.函数心)=€'+*-3在区间(0,1)上的零点个数是()

A.0B.1

C.2D.3

B解析：由题知函数是增函数.根据函数零点存在定理及<0)=-2<0,XD=e-2>0,

可知函数Ax)在区间(0,1)上有且只有一个零点.故选B.

4.已知2是函数侬={%2"‘血)’XN2,的一个零点，贝lj"4))的值是

2*,x<2

3解析：由题意知Iog2(2+s)=0,所以切=-1,所以々(4))=mog23)=2狈23=3.

5.设<x)=lgx+x-3,用二分法求方程lgx+x-3=0在(2,3)内近似解的过程中得彩.25)<0,

X2.75)>0,X2.5)<0,X3)>0,则方程的根所在区间为

(2.5,2.75)解析：因为路25)<0,⑫75)>0,由零点存在定理知，在区间(2.25,2.75)内必

有根，利用二分法得彩.5)<0,由零点存在定理知，方程的根所在区间为(2.5,2.75).

--------\关键能力•研析考点强“四翼”/

考点1判断函数零点所在的区间一基础性

「多维训练」

1.函数me=Inx-《的零点所在的大致区间是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(-,7)和(3,4)D.(4,+8)

B解析：因为A2)=ln2-l<0,人3)=In3-->0,且函数心)的图象在(0,+8)上连续不

断，口)为增函数，所以标)的零点在区间(2,3)±.

2.若函数心)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),(7,｝上，则与人0)符号相同

的是()

A.X4)B.X2)

C.XDD.吗)

C解析：由题意知人力的零点在(7,｝上，可知《0)与《1)的符号相同.

3.曲线了=($*与/=乂向勺交点横坐标所在区间为()

A.(。，$B.£?

C.g令D.亭7)

B解析：设4x)=ex-x=,易知4x)单调递减，

因为名)=(y_(手>0,

题=(至_(芋<0,

所以姆姆<0,

所以函数零点所在区间为《，夕即所求交点横坐标所在区间为£夕

4.侈选题)已知函数仆)=//声-2,利用零点存在定理确定各零点所在的范围.下列区间

中存在零点的是()

A.(-3,-2)B.g7)

C.(2,3)D.(-7,今

AB解析：经计算《一3)=—2=]>0,《一2)=—J+2—2=_与0,

X-l)=-1+^-2=妗=2+、-2=\>0,%1)=1+三一2=—/,

42)=32-2=《0,43)="r2=g0.

ZZJZO

又xWO,所以根据零点存在定理可得区间(-3,-2),G，7),上存在零点.

解题通法

确定函数的零点所在区间的常用方法

⑴解决这类问题一般考虑利用函数零点存在定理：首先看函数y=《x)在区间[a,句上的图象

是否连续，再看是否有4a)•46)<0.若有，则函数y=4x)在区间(a,6)内必有零点.

⑵有些题目，如第3题也可以通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点的方法来

判断

考点2确定函数零点的个数——综合性

「典例引领」

例⑴函数场=lx-21-Inx在定义域内的零点的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

C解析：由题意可知7W的定义域为（0,+8）.在同一平面直角坐标系中作出函数y=lx-

2l（^>0）,y=lnxU>0）的图象如图所示.

由图可知函数7U）在定义域内的零点个数为2.

x?+x—2x<0

⑶函数口）={f,X；。的零点个数为（）

A.3B.2

C.7D.0

xv0x>0

B解析：由外）=。得J］：*产­。解得或….因此函数.

共有2个零点.

胴源异考/

将本例⑴中"KM=lx-2l-lnx”变为“人㈤=lx-21-lln另”，结果如何？

D解析：由题意可知《x）的定义域为（0,+8）.在同一平面直角坐标系中作出函数y=lx-

由图可知函数4x）在定义域内的零点个数为3.

解题通法

函数零点个数的判断方法

⑴直接求零点.令4x)=0,有几个解就有几个零点.

⑵函数零点存在定理.要求函数口)在区间［a,方上是连续不断的曲线，且&)侬<0,再结合

函数的图象与性质确定函数零点个数.

⑶利用图象交点个数.作出两个函数图象，观察其交点个数即得零点个数.

「多维训练」

1,设小，nEZ,已知函数《x)=k)g2(-3+8)的定义域是阿，n\,值域是［0,3］.当切取最小

值时，函数以x)=2丘"+m+1的零点个数为()

A.0B.1

C.2D.3

C解析：因为函数7U)=log2(-区+8)的值域是［0,3］,所以1W-区+8W8,即-7WxW7.

因为函数4Z=log2(-区+8)的定义域是㈤，n\,所以"的最小值为-7,此时式x)=-6.

令式x)=2E-6=0,解得x=2+log23或x=-logz3,即有2个零点.

00<x<l

2.已知心)是定义域为R的偶函数，当心0时，南)={‘一一’则函数y=/«Z)

-2x+4,x>7,

-1的零点个数为

8解析：函数y=也劝-1零点的个数等价于方程XXx))=1实数根的个数，令M=心)，则

A〃)=1.方程A〃)=1有3个实数根，且必1=-,,〃2=0,〃3=,.方程〃1=Ax)有2个实数

根，方程〃2=标)有2个实数根，方程〃3=3有4个实数根，故函数片有8个零

八占、、•

考点3函数零点的应用一应用性

「典例引领」

考向1根据零点所在区间求参数

例❷/⑴若函数7U)=2，-《-a的一个零点在区间(1,2)±,则实数a的取值范围是()

A.(1,3)B.(1,2)

C.(0,3)D.(0,2)

C解析:由条件可知以)42)<0,即(2-2-a)•(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得Ovav

3.

⑵若二次函数《团=炉-2》+0在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是

(-8,1］解析：由题意知切=-V+2x在(0,4)上有解.又-V+2x=-(x-l/+l,所以y

=(一x2)+2x在(0,4)上的值域为(-8,1］,所以-8<MWL

解题通法

根据函数零点所在区间求参数的步骤

把已知函数零点的存在情况转化

Wr-为方程的解或两函数图象的交点

的情况

根据函数零点存在定理或结合函

1列:式1-

数图象列式

求出参数的取值范围或根据图象

结1

1fel-得出参数的取值范围

考向2根据函数零点的个数求参数

例❸/⑴已知a是函数心）=2-logosx的零点，若0<x0<a,则心b）的值满足（）

A.兀的=0

B.4^b）>0

C.人加）<0

D.4蜀）的符号不确定

C解析：心）在（0,+8）上是增函数，若Ovxo〈a,则4xo）v4a）=O.

⑵已知一元二次方程/+ax+1=0的一个根在（0,1）上，另一个根在（1,2）上，则实数a的

取值范围为

（-1,一2）解析：设4入）=炉+公+1,作出y=4x）的图象，如图：

f（6>0,

由图知。（7）<0,解得

f（2）>0,

解题通法

利用函数零点个数求参数的方法

由函数零点个数求参数问题，可采用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初等函数

的方程，再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，通过数形结合求解.

「多维训练」

px-nXV。

1.已知函数[见={'—'(aER),若函数7U)在R上有两个零点，则实数a的取

2x-a,x>0

值范围是()

A.(0,1]B.[1,+8)

C.(0,1)D.(-co,1]

A解析：画出函数<x)的大致图象如图所示.

因为函数人力在R上有两个零点，所以7U)在(-8,0］和Q+8)上各有一个零点.当xWO

时，仙)有一个零点，需1-aNO,即awl；当x>0时，仆)有一个零点，需-a<0,即a>0.

综上，0<aWl.

2.若函数4x)=3x-7+Inx的零点位于区间(A,n+1)(/2EN)_t,则〃=

2解析：因为心)在(0,+8)上单调递增，且&)=-1+ln2<0,X3)=2+In3>0,所以

函数晚)的零点位于区间(2,3)内，故〃=2.

—x>2

3.已知函数7(x)={xT'若方程式x)-a=0有三个不同的实数根，则实数a的

\2X-7|,x<2,

取值范围是

(0,1)解析：画出标)的图象如图所示，要使方程4x)-a=0有三个不同的实数根，则需人力

的图象与直线y=a有三个交点，由图可知，实数a的取值范围是(0,1).

_X2_2x~f~1X0

4.已知函数4力={'~'若函数4x)=3有四个不同的解见X2,X&&,

|iog—x|,x>o,

且X1V&V匹V&,则之的最小值是________,x4(x7+X2)7■—%的最大值是____________

X3X4

14解析：作出函数/(x)的图象如图所示.

由图可知，要使方程Ax)=a有四个不同的解，则需lWa<2,故a的最小值是1.

由二次函数图象的对称性可知，为+至=-2,由对数函数的图象及性质可知，llogo_5阖=

llogo.sAl,即logo,赧=-1。9.5乂4,所以即i=l,所以X“(X7lx?)-以4+当又函数

y=-2x+”在[2,4)上单调递减，所以X4(x7+X2)+々的最大值为-2x2+5=4.

XXjX4Z

课时质量评价(十三)

A组全考点巩固练

1.已知函数;W=q-log2X,则的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,+8)

C解析：易知心)是单调函数，X3)=2-log23>0,X4)=1-log24=1-2=-^<0,故右)的零

点所在的区间是(3,4).

xW0,

2.已知函数仆)={1'则函数以工)=仆)-7的零点个数为()

|log2x|,x>0,

A.0B.1

C.2D.3

C解析：令奴x)=《x)-T=0，即有4x)=(

当xWO时，今=(解得x=l,不满足xWO,所以无解；

当x>0时，Ilog阂=；,解得x=，球x=与.

所以奴x)有2个零点.故选C.

Inxx>7

3.已知函数7(x)={,'7'若函数y=4x)-1恰有一个零点，则实数4的取

f(2—x)+k,x<1,

值范围是()

A.(1,+8)B.[1,+8)

C.(-8,1)D.(-8,1]

B解析：当口寸，若4x)=lnx=l,则”6,因此函数y=Rx)-1在xMl时有一个零点，

从而在x<l时无零点.当广1时，2-x>l,=42-x)+A=In(2-方+A,它是减函数，值

域为依+8),要使=1无解，则左》1.

4.二次函数4x)=/+6x+c,若心)>0,X2)<0,则Ax)在(1,2)上零点的个数为()

A,至多有一个

B.有一个或两个

C.有且仅有一个

D.一个也没有

C解析：因为41)>0,X2)<0,所以心)在(1,2)上必有零点，又因为函数为二次函数，所以

有且仅有一个零点.故选C.

5.(2023•青岛模拟)已知定义在R上的函数心)满足：①<x)=44-x),②氏+2)=依)，③在

［0,1］上表达式为Hx)=2X-1,则函数以x)=4x)—log3区的零点个数为()

A.4B.5

C.6D.7

A解析：由口)=44-方可得函数仆)关于直线x=2对称，由心+2)=仆)可知函数人力是周

期为2的函数，结合函数在［0,1］上的解析式和性质可绘制函数的图象如图，函数以力的零

点满足《X)=log3区，在同一个坐标系中绘制函数y=log3区的图象，观察可得，函数4x)=次x)

-log3区的零点个数为4.

6.若函数Ax)=必-"+1在区间C，y上有零点，则实数a的取值范围是

［2§解析：由题意知方程数=*+1在£3)上有解，即a=x+(在巳3)上有解.设

t=x&xeg3),贝L的取值范围是［2,苧，所以实数a的取值范围是［2,9.

7.方程1。80.5g-2")=2+*有解，贝lja的最小值为

1解析：若方程log0.5(a-2')=2+x有解，则(今2+x=2,有解，即Ixgx+2、=a有解.因

为;*今+2、3/+202%=1,当且仅当x=-l时，等号成立，故a的最小值为1.

8.已知函数&)=必+*-6的零点为A+1)(AEZ),其中常数a,6满足生=3,3、2,

贝II刀=_________

-1解析：5=log23>l,0<5=log32Vl.令7(x)=0,得1/=-x+5.在同一平面直角坐标系中画

出函数夕=寸和y=-x+Z?的图象，如图所示.

由图可知，两函数的图象在区间(-1,0)内有交点，所以函数在区间(-1,0)内有零点,

所以72=-1.

9.设函数加)={''

4(x-67)(x-2a),x>7.

⑴若a=l,求4x)的最小值；

⑵若心)恰有2个零点，求实数a的取值范围.

0—7x<1

解⑴若2=1,则<X)={''

4(x-7)(x-2),x>7.

作出函数侬的图象如图所示，由图可得人X)的最小值为-1.

(2)当£<1时,7U)E(-a,2-a),所以当心1时，要使心)恰有2个零点，需满足2】-aW0,

即心2；

当时，要使心)恰有2个零点，需满足解得二Wa<L

21-a>0,2

综上，实数a的取值范围为g,7)U[2,+oo).

10.已知二次函数Hx)=/+5x+c满足力>c,且41)=0,函数4x)=/x)+5x.

⑴证明：函数y=/x)必有两个不相等的零点；

⑵设函数y=4x)的两个零点为百，亚，求出-对的取值范围.

⑴证明：由k1)=0得a+8+c=0,所以5=-(a+c),g^x)=f^x)+bx=+2Z?x+c.

令双才=0,即HA2+2Z?x+c=0,贝！Jd=4妤-4ac=4(a+。产-4ac=4(才+2ac+c2—ac)=4(a"+

ac+如2)+3天=4(a*C)2+3/>O,即/+26x+c=0有两个不相等的实数根.所以函

数y=奴x)必有两个不相等的零点.

⑵解：由⑴知尸奴x)有两个不相等的零点，即方程/+26x+c=0有两个不相等的实数根，

X7+X2=-也

所以｛0

C

XX=一.

72a

所以区-照1=“*7+X》2-4XjX2

=2,=2厘警

az=a，=a，

=21/(-)2+-+1=2y/(.-+^2+-.

aaaz4

因为XI)=3+〃+C=0,且2>5>C,

所以2>0,C<0.

当a>0,CVO且?=一夕寸，由一X2lmin=，3

所以由-初的取值范围为W3+OO).

B组新高考培优练

11.设函数7U)的定义域为R,4—x)=Kx),《x)=42-X).当xE[0,1]时，4x)=H则函数

4x)=lcosFJVI-TU)在区间[一T，§上零点的个数为()

A.3B.4

C.5D.6

C解析：由4-x)=Ax),得4x)的图象关于y轴对称.由4x)=A2-x),得Rx)的图象关于直

线x=l对称.当xC［O,1］时，XA-)=Z所以7(x)在［-1,2］上的图象如图.

令4X)=Icos1T兄-4x)=0,得IcosTT兑=4x),函数了=4X)与/=IcOSTT弁的图象在j上

的交点有5个.

12.侈选题)已知心)是定义域为R的偶函数，在(-8,0)上单调递减，且A-3)26)<0,

那么下列结论中正确的是()

A.小)可能有三个零点

B.43)•4一4)三0

C.X-4)<X6)

D.X0)<X-6)

AC解析：因为侬是定义域为R的偶函数，又4-3)•46)<0,所以X3)-X6)<0.又G)在(0,

+8)上单调递增，所以函数<x)在(0,+8)上有一个零点，且《3)<0,X6)>0,所以函数人力

在(-8,0)U(0,+8)上有两个零点.但是加)的值没有确定，所以函数4组可能有三个零

点，故A正确；又<-4)=<4),4£(3,6),所以4-4)的符号不确定，故B不正确；C项显

然正确；由于40)的值没有确定，所以40)与4-6)的大小关系不确定，所以D不正确.

—7x三2.

13.(多选题乂2023•烟台质检)已知函数7(x)={，'一'(RCR),奴x)=《x)-s,

-x2+6x-8,x>A

则下列说法正确的是()

A.当R=0时，函数&)有3个零点

B.若函数心)恰有2个零点,则入日2,4)

C.当a=2时，若函数/X)有三个零点Xi,x2,23,则X1+热+X3C(6,6+In2)

D.若存在实数s使得函数4x)有3个零点，则八以-8,3)

,,ex-1,x<0,

ACD解析：对于A,当4。时’.二｛./"Xi,x>。,

x<0,x>0,

令4x)=0,得｛或｛

ex—1=0,-x2+6x—8=0,

解得x=0或x=2或x=4,故应才有3个零点，A正确.

PX—7xv为

作出函数仆)={，'一'(|CR)的大致图象，如图所示,

-x2+6x-8,x>2

O/2小

>»=-%2+6%-8

对于B,当4<0时，函数y=e，-l没有零点，函数y=-必+6x-8有两个零点；

当aNO时，函数y=e，-1的零点只有一个，要使7(x)恰有2个零点，则必须满足2W4<4,

故4E(-8,0)U[2,4),故B错误.

对于C,若函数式X)有三个零点几X2,题，即方程7W="有3个不同的实数根，

也即/=4方的图象与直线了=必有3个不同的交点，止匕时Ovm<1,

当4=2时，y=e，-l单调递增，y=-V+6x-8的图象为心>2的部分，函数在(2,3)上单调

递增，在(3,+8)上单调递减，所以直线y=s与函数y=-必+6x-8(x>2)的图象有2个交

点，与函数y=e*-l(xW2)的图象有1个交点，设直线y=s与函数y=-*+6x-8(x>2)的

图象的2个交点的横坐标为为，物与/=6，-1(十忘2)的图象的1个交点的横坐标为品，由

二次函数的对称性可知M+至=6,当砂-1=1吐x=ln2,所以。<不<In2,所以为+用

+为6(6,6+In2),故C正确；对于D,结合人力的图象，当八=3时，y=e—l单调递增，

y=(-xD+6x-8单调递减，此时最多有2个零点，所以若存在实数m使得函数双x)有3

个零点，则4<3,故D正确.故选ACD.

|2X-7|,x<7,

14.(多选题)已知函数7U)={4,，若存在实数力使得方程式x)=m有四个互不

x+一—4,x>7.

X

相等的实数根Xi,X2,匹，X4(X1<X2<X3<X4),则下列叙述中正确的有()

A.Xi+J^<0

B.电1=4

C.X3)</77

D.4&)+不有最小值

ABD解析：作出函数标)的图象如图：

234%

由条件知Ov及vl,1<X3<2,2<X4,0<277<l.

由&1)=兀及)=山得啰7—[=12X2—II,

即7—2X7=2X2—L得2X7+2X2=2,

得2>2^2X7・2X2=2^2X7-2,

则2X7—2V1,即为+奥VO成立，故A正确；

由4毛)=《%)=277知匹，蜀是方程X+：—4=777,即A2—(4+m)x+4=0的两个根，贝！J=4,

故B正确；

43)=3+：-4=一，而Ovmvl,两者无法比较大小，故C错误；

•二4奥)=《品)=m,<奥)+玛=4玛)+玛=七+2-4+吊=2吊+<-4^2V^x5---4=N2-4,

x3x3x3

当且仅