2025版新教材高中数学测评卷含解析苏教版选择性必修第一册

PAGEPAGE106第1章直线与方程(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024江苏宝应中学高二期末)过点(0,1)且斜率为12的直线在x轴上的截距是 (A.4B.-4C.2D.-22.(2024江苏启东中学高二月考)已知a,b∈R,则“a=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+(a2-2)y-1=0垂直”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.(2024江苏连云港潜质联盟校高二联考)直线l1的斜率是k1=34,直线l2经过点A(1,2),B(a-1,3),l1∥l2,则a的值为 (A.-3 B.1C.103 D.4.(2024江苏海头高级中学高一月考)已知点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,则线段OP的最小值为 ()A.4 B.23C.22 D.25.(2024山东郓城一中高二上第一次月考)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同始终线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为 ()A.x-2y+3=0 B.2x+y-3=0C.x-2y-3=0 D.2x-y-3=06.(2024江苏江宁高级中学高二期中)在直线l:xa+yb=1中,a∈{1,3,5,7},b∈{2,4,6,8}.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则这样的直线的条数为 (A.6B.7C.8D.167.(2024江苏南京田家炳高级中学高二月考)已知点A(1,1)和点B(4,4),P是直线l:x-y+1=0上的一点,则PA+PB的可能取值是 ()A.36 B.34C.5 D.258.(2024江苏靖江高级中学高二期中)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),若存在非零实数t,使得f(t)+f1t=-2成立,则a2+4b2的最小值为 (A.165 B.14C.16 D.4二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2024江苏无锡天一中学高二月考)下列说法中,正确的有 ()A.过点P(1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0B.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2C.直线x-3y+1=0的倾斜角为60°D.过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-5=010.(2024山东潍坊高二期中)已知直线l:3x-y+1=0,则下列结论正确的是()A.直线l的倾斜角是πB.若直线m:x-3y+1=0,则l⊥mC.点(3,0)到直线l的距离是2D.过(23,2)与直线l平行的直线方程是3x-y-4=011.(2024江苏西亭高级中学高二月考)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论错误的是 ()A.不存在k,使得l2的倾斜角为90°B.对随意的k,l1与l2都有公共点C.对随意的k,l1与l2都不重合D.对随意的k,l1与l2都不垂直12.(2024江苏南通启东中学高一开学考试)如图,已知直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,二次函数f(x)的图象过点A,B,交x轴于另一点C(3,0).若该图象的对称轴上存在点Q满意△ABQ是等腰三角形,则点Q的坐标可以是 ()A.(1,-6) B.(1,0)C.(1,1) D.(1,6)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2024江苏无锡高二期中)过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程是.

14.(2024江苏镇江三模)已知直线l1:x-2y+3=0,l2:2x+ky+k=0,且l1∥l2,则直线l1,l2间的距离为.

15.(2024江苏太仓高级中学高二月考)已知a,b∈R*,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2相互垂直,则ab的最大值等于.

16.(2024浙江效实中学高一期中)已知△ABC为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC中点为D(0,2),斜边上中线CE所在直线方程为3x+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024江苏苏州高一期中)已知两条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满意下列条件的a,b的值:(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直;(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.18.(12分)(2024江苏大桥试验学校高一期中)已知直线mx+y-3m-1=0恒过定点A.(1)若直线l经过点A且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程;(2)若直线l'经过点A,且坐标原点到直线l'的距离等于3,求直线l'的方程.19.(12分)(2024江苏东台中学高二期中)在路边安装路灯,灯柱OA的高为h米,路宽OC为23米,灯杆AB与灯柱OA成120°角,路灯采纳锥形灯罩,灯罩轴线BD与灯杆AB垂直,请你建立适当直角坐标系,解决以下问题:(1)当h=10米,AB=52米时,求灯罩轴线BD所在直线的方程(2)当h=2323-5米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时,

20.(12分)(2024江苏江宁高级中学高一月考)设直线l的方程为(a+1)x+y-5-2a=0(a∈R).(1)求证:无论a为何值,直线l必过肯定点P;(2)若直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点A(xA,0),B(0,yB),当△AOB面积最小时,求△AOB的周长;(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数时,求直线l的方程.

21.(12分)(2024山东泰安第一中学高二月考)一束光从光源C(1,2)射出,经x轴反射后(反射点为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5]上的N处.(1)若M(3,0),b=7,求光从C动身,到达点N时所走过的路程;(2)若b=8,求反射光线的斜率的取值范围;(3)若b≥6,求光线从C动身,到达点N时所走过的最短路程s.

22.(12分)(2024江苏海安高级中学高二月考)已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0.(1)求证:直线恒过定点,并求出定点P的坐标;(2)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在直线满意下列条件:①△AOB的周长为12?②△AOB的面积为6?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由;(3)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于M,N两点,当PM+32PN取最小值时,求直线的方程

第2章圆与方程(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024江苏沭阳高级中学高二月考)已知圆的方程为x2+y2+2x-4y=0,则圆的半径为 ()A.3B.5C.3D.42.(2024山东东营第一中学高二月考)圆(x+3)2+y2=4关于原点O(0,0)对称的圆的方程为 ()A.x2+(y-3)2=4 B.(x-3)2+y2=4C.x2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+y2=43.(2024江苏海门中学高二月考)以A(3,-1),B(-2,2)为直径端点的圆的方程是 ()A.x2+y2-x-y-8=0 B.x2+y2-x-y-9=0C.x2+y2+x+y-8=0 D.x2+y2+x+y-9=04.(2024江苏阜宁中学高二期中)已知圆x2+y2+2x-2y-2=0上的点到直线x+y+2a=0的最大距离为4,则实数a的值是 ()A.0或4B.-2或2C.-2D.25.(2024江苏南京田家炳高级中学高二上月考)已知过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆C:x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,则a= ()A.-1B.-2C.1或2D.-1或-26.(2024江苏淮阴中学高二上期中)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若存在圆C的弦AB,满意AB=23,且AB的中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的取值范围是 ()A.[-25,25] B.[-5,5]C.(-5,5) D.[-5,5]7.(2024河南郑州高一期末)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值为 ()A.17B.17-1C.6-22D.52-48.(2024江苏宿迁四校联考)已知圆C1:x2+y2+2x+4y+4=0,圆C2:x2+y2-4x+2y+1=0,M,N分别为圆C1和圆C2上的动点,P为直线l:y=x+2上的动点,则MP+NP的最小值为 ()A.210-3B.210+3C.10-3D.10+3二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2024全国高二课时练习)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是 ()A.圆M的圆心为(-3,4) B.x轴被圆M截得的弦长为8C.圆M的半径为5 D.y轴被圆M截得的弦长为610.(2024江苏镇江高二期中)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则m=()A.2B.4C.6D.1011.(2024江苏石榴高级中学高二月考)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-4x+2y+4=0相交于A、B两点,下列说法正确的是 ()A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y=2x+4C.线段AB的长为45D.全部过点A、B的圆系方程可以记为x2+y2-4+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R,λ≠-1)12.(2024江苏泰州中学高二期中)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1上存在点M满意MA·MB=3,则实数a的值可能为 ()A.-2B.-1C.2D.0三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2024山东济南第十一中学高二期中)若直线x-y+m=0与圆x2+y2=1相切,则实数m=.

14.(2024江苏高淳高级中学高二期中)直线l:x-y=0被圆C:(x-a)2+y2=1截得的弦长为2,则实数a的值为.

15.(2024天津滨海新区高二月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,直线l过点(1,3),且与圆C交于A,B两点,AB=23,则直线l的方程为.

16.(2024江苏梅村高级中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B为圆C:(x-m)2+(y-2)2=4上两个动点,且AB=23.若直线l:y=-2x上存在点P,使得OC=PA+PB,则实数m的取值范围为.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024广东深圳中学高二月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0.(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)过点A(1,0)作圆M的切线,求切线l的方程.18.(12分)(2024江苏淮安高一期中)已知圆C的方程为x2+y2-4x-12=0,点P(3,1).(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)求过点P的直线被圆C截得的弦长最大时的直线l的方程;(3)若圆C的一条弦AB的中点为P,求直线AB的方程.

19.(12分)(2024浙江温州十五校联合体高二上期中联考)已知圆C:x2+y2+2x-4y+m=0与y轴相切,O为坐标原点,动点P在圆外,过P作圆C的切线,切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)若点P运动到(-2,4)处,求此时切线l的方程;(3)求满意条件PM=2PO的点P的轨迹方程.20.(12分)(2024江苏扬州中学高一期中)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x+2y-5=0相切.(1)求圆O的方程;(2)若过点(-1,3)的直线l被圆O所截得的弦长为4,求直线l的方程;(3)若过点A(0,5)作两条斜率分别为k1,k2的直线交圆O于B、C两点,且k1k2=-12,求证:直线BC恒过定点,并求出该定点的坐标21.(12分)(2024江苏响水中学高二月考)已知以动点E为圆心的☉E与直线l:x=-12相切,与定圆F:(x-1)2+y2=14(1)求动圆圆心E的轨迹C1的方程;(2)点D是曲线C2:y2=4x-4上的点,若在C1上存在A,B,C三点,使得四边形ABCD是平行四边形,求△ACD面积的最小值.22.(12分)(2024江苏南京师大附中高二期中)已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,与x轴正半轴相切,且直线l:x-y=0被圆C截得的弦长为27.(1)求圆C的方程;(2)设点A在圆C上运动,点B(7,6),且点M满意AM=2MB,记点M的轨迹为Γ.①求Γ的方程,并说明Γ是什么图形;②在直线l上是否存在定点T(异于原点O),使得对于Γ上随意一点P,都有POPT为一常数?若存在,求出全部满意条件的点T的坐标;若不存在,说明理由

第3章圆锥曲线与方程(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024江苏苏州八校联盟适应性检测)已知双曲线的方程为x2-y23=1,则该双曲线的渐近线方程为 (A.y=±3xB.y=±2xC.y=±33xD.y=±32.(2024江苏涟水中学高二期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若其长轴长为6,离心率为A.x236+y232=1B.x236+y24=1C.x23.(2024江苏锡山高级中学高二期中)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率为3,则实数a的值为A.22B.12C.14.(2024江苏扬州高校附属中学高二期中)若过椭圆x24+y22=1内一点P(1,1)的弦被该点平分,A.x-2y+1=0B.x-2y-3=0C.x+2y-3=0D.x+2y+3=05.(2024江苏奔牛高级中学高二期中)若直线l过抛物线y2=8x的焦点,与抛物线相交于A,B两点,且AB=16,则线段AB的中点P到y轴的距离为 ()A.6B.8C.10D.126.(2024江苏镇江中学高二期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P,若AP=A.32B.22C.137.(2024江苏连云港中学调研)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,两条渐近线分别为l1:y=bax,l2:y=-bax,过F作l1的垂线,垂足为M,该垂线交l2于点N,O为坐标原点,若OF=A.2B.322C.38.(2024山东烟台第一中学高二月考)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A、B两点,直线AF,BF分别与抛物线交于另一点C,D,设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,则k1k2=A.-12B.2C.1D.二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2024江苏南通高二期中)已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的是 ()A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0,则C是圆,其半径为nC.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mD.若m=0,n>0,则C是两条直线10.(2024广东联考)已知F1、F2分别是双曲线C:y24-x22=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,A.双曲线C的渐近线方程为y=±2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为±2 D.△MF1F2的面积为2311.(2024江苏徐州第一中学高二月考)设F是抛物线C:y2=4x的焦点,直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列结论正确的是 ()A.AB≥4 B.OA+OB>8C.若点P(2,2),则PA+AF的最小值是3 D.△OAB的面积的最小值是212.(2024山东淄博试验中学高二月考)已知椭圆C:x2a+y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2且F1F2=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,A.QF1+QP的最小值为2a-1B.椭圆C的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为0D.若PF1=F1Q,则椭圆C三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2024江苏泗洪中学高二月考)已知椭圆x2a2+y24=1(a>0)与双曲线x29-y214.(2024江西南昌高校附属中学高二期中)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x216-y2915.(2024江苏南通高二月考)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则1e12+16.(2024江苏泰州中学高二期中)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后经过抛物线的焦点F,射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,若两条平行光线间的最小距离为6,则此抛物线的方程为.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024江苏南通高二期中)已知命题p:x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆,命题q(1)若命题p是真命题,求m的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求t的取值范围.18.(12分)(2024江苏扬州仪征中学高二期中)已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为23,焦距为25.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若直线l:y=33x-1与双曲线C交于A,B两点,求弦长19.(12分)(2024江苏扬州高二期中)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点52(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线y=x+1与椭圆交于A、B两点,求线段AB的中点坐标和AB的长度.

20.(12分)(2024江苏田家炳中学高二期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,F1F2=2,点P为椭圆短轴的端点,且△PF(1)求椭圆的标准方程;(2)点B1,32是椭圆上的一点,B1,B2是椭圆上的两动点,且直线BB1,BB2关于直线x=1对称,试证明:直线B1B

21.(12分)(2024江苏淮安、连云港、徐州、宿迁四市联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,点(3,2)在椭圆C上.A、B分别为椭圆C的上、下顶点,动直线l交椭圆C于P、Q两点,满意AP⊥AQ(1)求椭圆C的标准方程;(2)求△ABH面积的最大值.

22.(12分)(2024江苏南京高二期中)已知点P是抛物线C1:y2=4x的准线上随意一点,过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB,其中A、B为切点.(1)证明:直线AB过定点,并求出定点的坐标;(2)若直线AB交椭圆C2:x24+y23=1于C、D两点,S1、S2分别是△PAB、△PCD的面积,

第4章数列(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024江苏苏州星海中学高二期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则数列{nan}的前5项和为 ()A.126B.127C.128D.1292.(2024江苏苏州高三期中)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若an>0,a1=12,Sn<2,则等比数列{an}的公比的取值范围是 (A.0,34 C.0,343.(2024江苏南通平潮高级中学高二期中)等比数列{an}的前n项积为Tn,且满意a1>1,a102a103-1>0,a102-1a103-1<0,则使得TnA.102B.203C.204D.2054.(2024江苏无锡第一中学高二期中)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所探讨的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的探讨,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为 ()A.184B.174C.188D.1605.(2024江苏无锡第一中学高二期中)已知数列{an}满意a1=12,an+1=12an(n∈N*).设bn=n-2λan,n∈N*,且数列{bn}是递增数列A.(-∞,1)B.-1,326.(2024浙江温州中学高三第一次模拟考试)已知数列{an}满意a0=1,a2n+1=an,a2n+2=an+an+1(n∈N),则a1+a2+…+a128= ()A.1024B.1101C.1103D.11287.(2024广东汕头金山中学四校高三联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,对随意的n∈N*有Sn=23an-23,且1<Sk<12,则k的值为 (A.2或4B.2C.3或4D.68.(2024浙江湖州高三期末)已知数列{an}中,a1=2,若an+1=an2+an,设Sm=2a1a1+1+2a2a2+1+…+2amA.1009B.1010C.2024D.2024二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2024江苏宿迁修远中学高二月考)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N*),则下列说法正确的是 ()A.a5=-16B.S5=-63C.数列{an}是等比数列D.数列{Sn+1}是等比数列10.(2024江苏扬州邵伯高级中学高二月考)设单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则 ()A.Sn+1-Sn=2n+1 B.an=2n-1C.Sn=2n-1 D.Sn=2n-1-111.(2024福建福州第一中学高一期末)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满意条件a1>1,a6a7>1,a6-1a7A.0<q<1 B.0<a6a8<1C.Sn的最大值为S7 D.Tn的最大值为T612.(2024江苏盐城响水中学高二学情分析)设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),则 ()A.Sn=3n-1 B.{Sn}为等比数列C.an=2·3n-1 D.an=1三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2024江苏苏州陆慕高级中学高二期中)在等比数列{an}中,已知a3·a8=10,则a53·a7的值为14.(2024江苏镇江吕叔湘中学高三月考)设Sn为数列{an}的前n项和,若2Sn=5an-7,则an=.

15.(2024湖南三湘名校教化联盟高二期中)已知数列{an}满意an=1,n=1,logn+2(n+3),n≥2,n∈N*,定义使a1·a2·a3·…·ak(k∈N16.(2024江苏张家港外国语学校高三期中)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=0,Sn=an+1-2,则Sn=,若Sn+1S2n<an四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024江苏如皋中学高一月考)已知数列{an}的前n项和Sn满意Sn=aa-1(an-1)(a为常数,且a≠0,a(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2Snan+1,若数列{bn}为等比数列,18.(12分)(2024四川内江高一期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=7,S4=40.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=3anan+1,Tn是数列{bn}的前n项和,若2Tn≤λ-2025对全部n∈N*都成立19.(12分)(2024江苏连云港赣榆高级中学阶段测试)已知数列{an}满意a1=2,(n+1)an+1=2(n+2)an.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn是数列{an}的前n项和,求证:Sn<2an.20.(12分)(2024安徽阜阳太和第一中学高三开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n+1,Sn+3)在抛物线y=x2上.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an-9|}的前n项和Tn.

21.(12分)(2024福建厦门双十中学高一期末)已知数列{an}中,a1=1,a2=14,且an+1=(n-1)a(1)求a3,a4的值;(2)设bn=1an+1-1(n∈N*),试用bn表示bn+1,并求{bn(3)设cn=sin3cosbn·cosbn+1(n∈N*),求数列{c

22.(12分)(2024江苏南通启东中学高二上期中)已知数列{an}的首项a1=a,其中a∈N*,an+1=an3,an为3的倍数,an+1,an不为(1)若a=4,写出集合A中的全部元素;(2)若a≤2024,且数列{an}中恰好存在连续的7项构成等比数列,求a的全部可能取值构成的集合;(3)求证:1∈A.第5章导数及其应用(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024江苏张家港高二下期中)函数f(x)=x2-sinx在[0,π]上的平均改变率为 ()A.1B.2C.πD.π22.(2024河南部分重点中学四联)设limΔx→0f(2+Δx)-f(2-Δx)A.π4B.π3C.3π43.(2024江苏淮安中学高三上期中)若幂函数f(x)的图象过点22,12,则函数g(x)=fA.(0,2) B.(-∞,0)和(2,+∞)C.(-2,0) D.(2,+∞)4.(2024江苏苏州中学高三上期初调研)若函数f(x)=ex-(a-1)x+1在(0,1)上不单调,则a的取值范围是 ()A.(2,e+1) B.[2,e+1]C.(-∞,2]∪[e+1,+∞) D.(-∞,2)∪(e+1,+∞)5.(2024江苏扬州高邮一中高三上段测)对随意x∈R,函数f(x)=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是 ()A.0≤a≤21 B.0<a<21C.a≤0或a≥21 D.a<0或a>216.(2024江苏南菁、泰兴、常州一中、南京二十九中四校高三上11月联考)已知函数f(x)=x+cosx,x∈R,设a=f(0.3-1),b=f(2-0.3),c=f(log20.2),则 ()A.b<c<a B.c<a<bC.b<a<c D.c<b<a7.(2024江苏盐城高三上期中)函数f(x)=xx-sinx,x∈[-π,0)∪(0,π]8.(2024江苏徐州铜山高三上一联)若函数y=f(x)的定义域为R,对于随意x∈R,f'(x)<f(x),且f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为 ()A.(2,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,2)二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2024江苏扬州高二下期末联考改编)下列结论错误的是 ()A.若y=x2+ln2,则y'=2x+1B.若y=(2x+1)2,则y'=3(2x+1)2C.若y=x2ex,则y'=2xexD.若y=lnxx,则y'10.(2024江苏镇江中学高二上期末)如图是y=f(x)的导数的图象,对于下列四个推断,其中正确的是 ()A.f(x)在[-2,-1]上是增函数B.当x=-1时,f(x)取得微小值C.f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数D.当x=3时,f(x)取得微小值11.(2024江苏南通高三上期中)北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,可在全球范围内为各类用户供应全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务,2024年7月31日上午,北斗三号全球卫星导航系统正式开通,北斗卫星导航系统能实现“天地互通”的关键是信号处理,其中某语言通讯的传递可以用函数f(x)=cosx+cos5x5+cos9x9近似模拟,A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)的图象关于点-πC.对随意x∈R,都有f'(π-x)=f'(x)D.函数f'(x)的最小值为-312.(2024江苏南通四校高三上二联)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且(x+1)f'(x)-f(x)<x2+2x在x∈(0,+∞)上恒成立,则下列结论正确的是 ()A.2f(2)-3f(1)>5B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+12x+C.f(3)-2f(1)<7D.若f(1)=2,0<x<1,则f(x)>x2+12x+三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2024江苏泰州姜堰中学、南通如东中学、宿迁沭阳如东中学高三上联考)曲线f(x)=xex+x2-1在x=0处的切线方程为.

14.(2024安徽皖江名校联盟二联)已知f(x)=x3+2xf'(0),则f'(1)=.

(2024江苏淮安五校高三上一联)已知三个函数h(x)=x2-2lnx,f(x)=h'(x)-5lnx-5ln2,g(x)=h(x)+2lnx-bx+4.若∃x1∈(0,1],∀x2∈[1,2],都有f(x1)≥g(x2)成立,则实数b的取值范围为.

16.(2024江苏无锡高三上期中)已知函数f(x)=lnx,x≥1,-x3+x,x<1,令g(x)=f(x)-kx,当k=-2e2时,有g(x0)=0,则x0=四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024江苏苏州常熟高三上阶段性检测)已知函数f(x)=13x3-x2+ax,g(x)=2x+b,当x=1+2时,f(x)取得极值(1)求a的值,并推断f(1+2)是函数f(x)的极大值还是微小值;(2)当x∈[-3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求实数b的取值范围.

18.(12分)(2024江苏淮安淮阴中学高三上阶段检测)已知函数f(x)=lnx-x-(1)当a=1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(2,e)上存在零点,求实数a的取值范围.

19.(12分)(2024江苏无锡梅村高级中学高三上期初检测)已知函数f(x)=x2-alnx-2x,a∈R.(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调,求a的取值范围;(2)若函数f(x)存在两个极值点x1,x2,求f(x1)

20.(12分)(2024江苏南通启东高三上期中联考)如图所示的容器的体积为18πdm3,它由半球和圆柱两部分组成,半球的半径与圆柱的底面半径都为rdm,圆柱的高为hdm.已知顶部半球面的造价为3a元/dm2,圆柱侧面的造价为a元/dm2,圆柱底面的造价为2a3元/dm(1)将圆柱的高h表示为底面半径r的函数,并求出定义域;(2)当容器的总造价最低时,圆柱的底面半径r为多少?21.(12分)(2024江苏南京六校联合体高三上11月联考节选)已知函数f(x)=ax-xlnx,g(x)=2x1+x2,a,(1)探讨f(x)的单调性;(2)已知函数f(x)的极大值为1,设1<n<m,证明:f(m)<g(n).

22.(12分)(2024江苏扬州中学高三上10月月考)设函数f(x)=mx-ex+3(m∈R).(1)探讨函数f(x)的极值;(2)若a为整数,m=0,且∀x∈(0,+∞),不等式(x-a)[f(x)-2]<x+2恒成立,求整数a的最大值.

期中学业水平检测一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024江苏新海高级中学高二月考)两条平行直线6x-4y+5=0与y=32x间的距离是(A.1313B.1326C.5132.(2024江苏淮安高一期末)直线l1:x+my+4=0与l2:(2m-15)x+3y+m2=0垂直,则m的值为 ()A.3B.-3C.15D.-153.(2024江苏如东高级中学、泰州高级中学高二联考)已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-2ay-11=0对称,则圆C中以a2,-a2A.1B.2C.3D.44.(2024江苏扬州中学高二月考)正确运用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20cm,灯深10cm,则光源到反光镜顶点的距离是 ()A.2.5cmB.3.5cmC.4.5cmD.5.5cm5.(2024江苏淮阴中学高一期末)大约在2000多年前,我国的墨子给出了圆的概念:“一中同长也”.其意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给出的圆的定义要早100年.已知O为原点,OP=1,若M14,-34,则线段PMA.12B.54C.346.(2024江苏南通高二期中)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,其渐近线上横坐标为12的点P满意PF1A.14B.12C.27.(2024江苏连云港高二期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1∠F1PF2=60°,则该椭圆的离心率是 ()A.3B.32C.128.(2024山东莱州一中高二期中)已知椭圆C:x28+y24=1的下顶点为A,点B是C上异于点A的一点,若直线AB与以M0,-13为圆心的圆相切于点P,且AP=14ABA.12B.23C.53二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2024江苏南京第九中学高二期中)下列说法正确的是 ()A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件B.直线xsinα-y+1=0的倾斜角的取值范围为0,πC.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切D.离心率为3的双曲线的渐近线方程为y=±2x10.(2024江苏扬州高校附属中学高二期中)过抛物线y2=4x的焦点F作直线,交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则 ()A.以线段AB为直径的圆与直线x=-32B.以线段BM为直径的圆与y轴相切C.当AF=2FB时,AB=9D.AB的最小值为411.已知F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0且a≠b)的左、右焦点,P为双曲线右支上异于顶点的随意一点,OA.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上B.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上C.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上D.△PF1F2的内切圆必经过点(a,0)12.(2024山东德州一中高二月考)已知F1,F2是椭圆x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和双曲线x2a22-y2∠F1PF2=π3,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则以下结论正确的是 (A.a12-b12=a22-C.14e12+14e22=1三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2024江苏太湖高级中学高二期中)在y轴上的截距为-1且倾斜角为135°的直线的方程为.

14.(2024江苏江浦高级中学高二期中)过P(2,2)作圆C:(x-1)2+y2=1的切线,则切线方程为.

15.(2024江苏木渎高级中学高二月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,若以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=16.(2024山东平度九中高二月考)已知圆C1:(x-1)2+(y-1)2=2,C2:(x-4)2+(y-2)2=1,过原点O作一条射线与圆C1相交于点A,在该射线上取点B,使得OA·OB=2,圆C2上的点到点D的距离的最小值为12,则满意该条件的点D所形成的轨迹的周长为,BD的最小值为四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024江苏如东高级中学、泰州高级中学高二联考)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.(1)若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)若直线l过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程.18.(12分)(2024江苏句容高级中学高二期中)已知F1、F2分别是双曲线x212-y24=1的左、右焦点,曲线C是以(1)求曲线C的方程;(2)动点P在曲线C上运动,点M满意F1M=MP,求点M19.(12分)(2024江苏启东中学高二月考)树林的边界是直线l(图中CD所在的直线),一只兔子在河边喝水时发觉了一只狼,兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处,AB=BC=a(a为正实数),若兔子沿线段AD(或AE)方向以速度2μ(μ为正实数)向树林逃跑,同时狼沿BM(点M在线段AD上)方向或BN方向(点N在线段AE上)以速度μ进行追击,若狼到达点M(或点N)的时间不多于兔子到达点M(或点N)的时间,狼就会吃掉兔子.(1)求兔子的全部不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a);(2)兔子要想不被狼吃掉,求锐角θ(θ=∠DAC或∠EAC)的取值范围.20.(12分)(2024广东佛山一中高二月考)如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于两点M,N(点M在点N的左侧),且MN=3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作始终线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:kAN+kBN为定值.21.(12分)(2024江苏天一中学高二月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且直线xa+yb=1(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,O为坐标原点,射线OM与椭圆C相交于点P,且OP=15OM,求△ABO的面积.22.(12分)(2024江苏苏州八校联盟联考)如图,已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0),且离心率为12,抛物线C2:y2=2px(p>0).点P1,(1)求曲线C1和曲线C2的方程;(2)过点P作斜率为k(k<0)的直线l1交椭圆C1于点A,交抛物线C2于点B(A,B均异于点P).①若PB=3PA,求直线l1的方程;②过点P作与直线l1的倾斜角互补的直线l2,且直线l2交抛物线C2于点C,交椭圆C1于点D(C,D异于点P).记△PAC的面积为S1,△PBD的面积为S2.若S1S2∈121,

期末学业水平检测一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024江苏南京航空航天高校附中高二上期中)直线x+3y+1=0的斜率为 ()A.3B.-3C.33D.-2.(2024江苏启东高二上期中联考)已知1,a,x,b,16这五个实数成等比数列,则x的值为 ()A.4B.-4C.±4D.不确定3.(2024江苏镇江八校高三上期中)曲线y=x-x2在点(1,0)处的切线方程是 ()A.x-2y-1=0B.x+2y-1=0C.x-y-1=0D.x+y-1=04.(2024江苏启东中学高二上期中)圆C1:x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-1=0的公切线有 ()A.1条B.2条C.3条D.4条5.(2024江苏苏州高新第一中学高二上期中)“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、三角垛等.现有100根相同的圆柱形铅笔,某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛,要求第一层为1根且从其次层起每一层比上一层多1根,并使得剩余的圆形铅笔根数最少,则剩余的铅笔的根数是 ()A.9B.10C.12D.136.[2024新高考八省(市)1月联考]已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为 ()A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=07.(2024江苏盐城东台中学高二上阶段测试)如图,椭圆C的两个焦点是F1,F2,过点F1的直线与椭圆C交于点P,Q,若PF2=F1F2,且2PF1=3QF1,则椭圆C的离心率等于 ()A.35B.12C.328.(2024江苏南京高校附中高三上阶段测试)已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f'(x)+f(x)x>0,若F(x)=f(x)+1x,则函数F(xA.0B.1C.2D.0或2二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2024江苏连云港高二上期中)下列有关双曲线2x2-y2=8的性质的说法正确的是 ()A.离心率为3 B.顶点坐标为(0,±2)C.实轴长为4 D.虚轴长为4210.(2024江苏常州教化学会高三上学业水平监测)已知等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn,若S6=S12,则下列结论中正确的有 ()A.a1∶d=-17∶2 B.S18=0C.当d>0时,a6+a14>0 D.当d<0时,|a6|>|a14|11.(2024福建龙岩高二上联考)若直线y=x+b与曲线x=1-y2恰有一个公共点,则b的可能取值是A.-1B.0C.1D.212.(2024江苏南通天星湖中学高三上二调)已知函数f(x)=3-2sinx+sin2x,则下列结论正确的是 ()A.函数f(x)是周期函数B.函数f(x)在[-π,π]上有4个零点C.函数f(x)的图象关于(π,3)对称D.函数f(x)的最大值为5三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2024江苏扬州新华中学高三上月考)已知直线l1:2x-y+a=0与直线l2:-4x+2y+1=0,且直线l1与直线l2的距离为7510,则实数a的值为14.(2024江苏无锡一中高三上检测)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)内不单调,则k的取值范围是.

15.(2024江苏徐州高三上期中)某学习小组探讨一种卫星接收天线(如图①所示)时发觉其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处(如图②所示),已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为m.

16.(2024湖南长沙雅礼中学高三上月考)被人们经常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例:一对幼兔正常状况下一年后可长成成兔,再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔,新幼兔又如此方式成长,若不考虑其他意外因素,按此规律繁殖,则每年的兔子总对数可构成一个奇异的数列,兔子数列具有很多好玩的数学性质,该数列在西方又被称为斐波那契数列,它最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中.现有一兔子数列{Fn}:F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>2),则F9=;若将数列{Fn}的每一项除以2所得的余数按原来项的依次构成新的数列{an},则数列{an}的前2024项和为.(第一空2分,其次空3分)

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024江苏盐城响水中学高二上期中)在①Sn=3n+1-32;②2Sn=an+1-3,问题:在数列{an}中,Sn为{an}的前n项和,且.

(1)证明{an}为等比数列;(2)设bn=log3an,且Tn=1b1b2+1b2b3+1b3注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)(2024湖南长沙长郡中学高二上期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b(1)求C的标准方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标19.(12分)(2024江苏扬州一中高三上月考)已知函数f(x)=x-ln(x+1),g(x)=ex-1.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x∈[2,+∞)时,证明:g(x

20.(12分)(2024吉林蛟河一中高三上月考)新冠肺炎疫情期间,某企业生产的口罩能全部售出,每月生产x万件(每件5个口罩)的利润函数为p(x)=-13x2+4x(1)当每月生产5万件口罩时,利润为多少万元?(2)当月产量为多少万件时,生产的口罩所获月利润最大?最大月利润是多少?

21.(12分)(2024江苏徐州一中、兴化中学高三上联考)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线C:x2=2py(p>0),一平行于y轴的光线从上方射向抛物线上的点P,经抛物线2次反射后,又沿平行于y轴的方向射出,已知两平行光线间的最小距离为8.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l:y=x+m与抛物线C交于A,B两点,以点A为顶点作△ABN,使△ABN的外接圆圆心T的坐标为3,498,求弦

22.(12分)(2024江苏南通中学高三月考)中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分钟)满意5≤t≤25,t∈N*,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20≤t≤25时,高铁为满载状态,载客量为1000人;当5≤t<20时,载客量会在满载基础上削减,削减的人数与(20-t)2成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车时间间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t)(单位:人).(1)求P(t)的表达式;(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2000(单位:元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益Q(答案全解全析第1章直线与方程1.D过点(0,1)且斜率为12的直线方程为y-1=12(x-0),即y=1令y=0,则x=-2,即该直线在x轴上的截距是-2.故选D.2.A两直线方程可化为y=-ax+1,y=-xa2-2+1a2-2则a+(a2-2)=0,解得a=-2或a=1.所以“a=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+(a2-2)y-1=0垂直”的充分不必要条件,故选A.3.C∵直线l2经过点A(1,2),B(a-1,3),∴k2=1a∵l1∥l2,∴1a-2=34,解得a=4.C因为点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,所以要使线段OP最小,只需OP和直线垂直即可,所以OPmin=|0+0-4|1+15.D∵线段AB的中点为M(2,1),kAB=-12∴线段AB的垂直平分线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0,∵AC=BC,∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,∴△ABC的欧拉线方程为2x-y-3=0,故选D.6.B因为a>0,b>0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=12ab,于是12ab≥10,ab≥20.当a=1时,没有这样的b满意条件;当a=3时,b=8;当a=5时,b∈{4,6,8};当a=7时,b∈{4,6,8},所以这样的直线的条数为故选B.7.D如图所示,直线l:x-y+1=0与y轴的交点为C(0,1),且倾斜角为π4因为A(1,1),所以AC∥x轴,所以∠ACy的平分线在直线l上,所以A(1,1)关于直线l:x-y+1=0的对称点在y轴上,设为点D,则D(0,2)所以直线l为AD的中垂线,则PD=PA,所以PA+PB=PB+PD,连接BD,当B,P,D三点共线时,PB+PD最小.此时PA+PB的最小值为BD=16+4=25.故选D.8.A因为函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),所以f(t)=t2+at+b,f1t=1t2+a因为存在非零实数t,使得f(t)+f1t所以存在实数t≠0,使t+1t2+at+a2+4b2的几何意义为坐标原点与点(a,2b)的距离的平方,记2b=m,u=t+1t,则u2≥4故t+1t2+at+1t+2b=0可化为ua+m+u2=0,其表示动点(a,m)的轨迹,设为直线l,则原点与点(a故a2+4b2≥u2u2+12=u2+1-1u2因为y=s+1-1s+1在所以y=s+1-1s+1所以a2+4b2≥165,当且仅当t=±1时,取等号故选A.9.BD对于A,点P(1,2)在直线y=2x上,且该直线在x,y轴截距都为0,故A错误;对于B,令x=0,则y=-2,所以直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B正确;对于C,x-3y+1=0可化为y=33x+33,则该直线的斜率k=tanα=33,所以倾斜角α=30°,故对于D,过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线上的全部点的横坐标为5,故D正确.故选BD.10.CD对于选项A,直线l:3x-y+1=0的斜率k=tanθ=3,故直线l的倾斜角θ是π3,故A错误对于选项B,因为直线m:x-3y+1=0的斜率k'=33,kk'=1≠-1(k为直线l的斜率),故直线l与直线m不垂直,故B错误对于选项C,点(3,0)到直线l的距离d=|3×3-0+1对于选项D,过(23,2)与直线l平行的直线方程是y-2=3(x-23),整理得3x-y-4=0,故D正确.故选CD.11.AC存在k=0,使得l2的方程为x=0,其倾斜角为90°,故A错误;直线l1:x-y-1=0过定点(0,-1),直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R)⇒k(x+y+1)+x=0过定点(0,-1),故B正确;当k=-12时,直线l2的方程为12x-12y-12=0,即x-y-1=0,l1与l2重合,两直线垂直,则1×(k+1)+(-1)×k=0,方程无解,故对随意的k,l1与l2都不垂直,选项D正确.故选AC.12.ABC直线y=3x+3与x轴交点为A(-1,0),与y轴交点为B(0,3),又C(3,0),故可设f(x)=a(x+1)(x-3),将B(0,3)代入,得3=a×1×(-3)⇒a=-1,所以f(x)=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,其图象的对称轴为直线x=1.设Q(1,a),当AB=AQ时,(-1-0)2+(0-3)2=(-1-1)2+(当AB=BQ时,(-1-0)2+(0-3)2=(0-1)2+(3-a)2,解得a=0当QA=QB时,(-1-1)2+(0-a)2=故选ABC.13.答案2x+y-1=0解析与直线x-2y+3=0垂直的直线斜率为-2,又直线过点P(-1,3),则所求直线方程为y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.14.答案5解析由题意可得l1:y=12x+3,l2:y=-2k∵l1∥l2,∴12=-2k,解得当k=-4时满意条件,故直线l2为x-2y-2=0,故直线l1,l2间的距离d=|3-(-215.答案1解析依据题意,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2相互垂直,则a-1+2b=0,变形可得a+2b=1,则ab=12(a×2b)≤12×a+2b22=18,当且仅当a=2即ab的最大值为1816.答案x-3y+1=0解析因为中线CE所在直线方程为3x+y-7=0,所以可设C(a,-3a+7),E(b,-3b+7)(a<b),由AC中点为D(0,2),可得A(-a,3a-3),所以kAE=-3b-因为CE为等腰△ABC斜边上的中线,所以CE⊥AB,故kAB=13因为A、E、B三点在同一条直线上,所以kAE=-3+10a+b=kAB所以a+b=3①,又CE=AE,D是AC的中点,所以AC⊥DE,所以kCD·kDE=-1,即-3a+5a×-3b+5b=-1,由①②解得a=1,b=2(a=2,b=1舍去),所以点E(2,1),又因为kAB=13所以直线AB的方程为y-1=13(x-2),即x-3y+1=017.解析(1)因为l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0,①又因为l1⊥l2,所以a(a-1)-b=0,② (3分)由①②解得a=2,b=2. (5分)(2)因为l1∥l2,所以a×1=-b(a-1),所以l2:ax-by-b2=0,又因为坐标原点到l1,l2的距离相等,所以|4|a2+b2=|-b当b=2时,a=23;当b=-2时,a=2所以a=2,b=-18.解析直线mx+y-3m-1=0可化为m(x-3)+y-1=0,由x-3=0,y-1=0可得x=3,(1)设直线l的方程为x-2y+n=0,将点A(3,1)代入方程可得n=-1,所以直线l的方程为x-2y-1=0. (5分)(2)①当直线l'的斜率不存在时,因为直线过点A,所以直线l'的方程为x=3,符合原点到直线l'的距离等于3; (8分)②当直线l'的斜率存在时,设直线l'的方程为y=kx-3k+1,即kx-y-3k+1=0,因为原点到直线的距离为3,所以|-3k+1|k2所以直线l'的方程为4x+3y-15=0. (10分)综上,直线l'的方程为x=3或4x+3y-15=0. (12分)19.解析(1)以灯柱底端O点为原点,灯柱OA所在直线为y轴,路宽OC所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,则A点的坐标为(0,h),C点的坐标为(23,0). (2分)因为灯杆AB与灯柱OA成120°角,所以AB的倾斜角为30°,则B点的坐标为52cos30°,h因为BD⊥AB,所以kBD=-3, (4分)当h=10时,B点的坐标为534,454,此时BD所在直线的方程为y-454=-3x-故当h=10米,AB=52米时,灯罩轴线BD所在的直线的方程为3x+y-15=0. (6分(2)易知点D的坐标为232可求得B32AB,23所以直线BD的斜率k=2332-5+12AB3所以当h=2332-5米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时,AB=5220.解析(1)证明:由(a+1)x+y-5-2a=0得a(x-2)+x+y-5=0,则x-2=0所以无论a为何值,直线l必过肯定点P(2,3). (4分)(2)由题意得a≠-1.当x=0时,yB=5+2a,当y=0时,xA=5+2a由yB=5+2a>0,所以S△AOB=12·(5+2a)·5+2a≥12当且仅当4(a+1)=9a+1,即a=12时所以A(4,0),B(0,6),所以△AOB的周长为OA+OB+AB=4+6+42+62=10+213(3)直线l在两坐标轴上的截距均为整数,即5+2a,5+2aa因为5+2aa+1=2+3a+1,所以又当a=-52时,直线l在两坐标轴上的截距均为零,也符合题意所以直线l的方程为3x-y-3=0,x-y+1=0,x+y-5=0,3x+y-9=0,3x-2y=0. (12分)21.解析(1)C(1,2)关于x轴的对称点C'(1,-2),直线C'M的方程为y=x-3,由y=x-3,y=-所以光所走过的路程C'N=42. (4分)(2)对于线段y=-x+8,x∈[3,5],令其端点为A(3,5),B(5,3),则kC'A=72,kC'B=54,所以反射光线斜率的取值范围是54,(3)若反射光线与直线y=-x+b垂直,光所走过的路程最短,则由y=-x+b,y=x-3得x=b①当x=b+32∈92,5,即6≤b≤7时,光所走过的最短路程为点C'到直线y=-x+b的距离,此时s=|1-2②当x=b+32∈(5,+∞),即b>7时,光所走过的最短路程为线段C'B',其中B'(5,此时s=(5-1综上,s=2(b+122.解析(1)依题意,直线方程为3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,即(3x+y-6)m+3x-y-2=0,所以3x+y-6=0,3x-(2)依题意设直线方程为xa+yb=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,将P43,2代入得43a+2由题易得a+b+a2+b其中a=3,b=4不满意(*),a=4所以存在直线x4+y3=1,即3x+4y-12=0满意条件. (8(3)由(1)知直线过定点P43,2,若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于M,N两点,则直线的倾斜角α所以PM=2sinα,PN=-所以PM+32PN=2sinα-32×43cosα=2sinα令t=cosα-sinα=2cosα+由于α∈π2,π,所以α+π4∈3π4,5π所以t=2cosα+π4∈[-2,-1).则①可化为PM+32PN=2×t1-t22=41t-t,由于y=1t-t在[-2,-1)上为减函数,所以y=41t-t在[-2,-1)上为增函数,故当t=-2,即α=3π4时,PM+32PN取得最小值,为41第2章圆与方程1.B将方程x2+y2+2x-4y=0化为标准形式,得(x+1)2+(y-2)2=5,∴圆的半径r=5.故选B.2.B由圆的方程可知,圆心(-3,0),半径r=2,圆心(-3,0)关于原点对称的点的坐标为(3,0),则圆(x+3)2+y2=4关于原点O(0,0)对称的圆的方程为(x-3)2+y2=4.故选B.3.A设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得圆心(a,b)为AB的中点,依据中点坐标公式可得a=3-22=12,b=易知r=AB2=(3+2)所以圆的标准方程为x-122+化简整理得x2+y2-x-y-8=0.故选A.4.B由题意可得圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=4,则圆心(-1,1),半径为2,圆心到直线x+y+2a=0的距离为d=|2a|由圆x2+y2+2x-2y-2=0上的点到直线x+y+2a=0的最大距离为4,可得|a|+2=4,解得a=±2.故选B.5.A因为过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆C:x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,所以点P(2,1)在圆上,则22+12+4a+a+2a2+a-1=0,解得a=-2或a=-1.又x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0为圆的方程,所以(2a)2+a2-4(2a2+a-1)>0,即-2<a<23,故a=-1故选A.6.D由题意知圆C的圆心为(-1,2),半径r=2,因为M为线段AB的中点,所以CM=r2所以M在以C(-1,2)为圆心,1为半径的圆上,又M在直线2x+y+k=0上,所以直线2x+y+k=0与圆(x+1)2+(y-2)2=1有公共点,于是|-2+2+k|5≤1,解得k∈[-5,57.D如图所示,圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为C'1(2,-3),半径为1,点M关于x轴对称的点为M',圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3,由图可知,当P,M',N三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,且PM+PN的最小值为圆C'1与圆C2的圆心距减去两个圆的半径之和,即C'1C2-3-1=(3-2)2+8.A圆C1化为标准方程为(x+1)2+(y+2)2=1,圆心C1(-1,-2),半径R=1,圆C2化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,圆心C2(2,-1),半径r=2,设点(-1,-2)关于直线l:y=x+2对称的点为(a,b),则b+2a设圆C1关于直线l:y=x+2对称的圆为圆C',则C'(-4,1),半径R'=1,则其方程为(x+4)2+(y-1)2=1,设圆C'上的点M'与圆C1上的点M关于直线l对称,则有PM=PM',原问题可以转化为P到圆C'和圆C2上的动点距离之和的最小值,如图,连接C2C',与直线l交于点P,此时点P是满意PN+PM'最小的点,此时PN+PM'=C2C'-3=210-3,即MP+NP的最小值为210-3.故选A.9.BCD圆M的一般方程化为标准形式为(x-4)2+(y+3)2=52,故圆心为(4,-3),半径为5,故A错误,C正确;令x=0,得y=0或y=-6,故y轴被圆M截得的弦长为6,故D正确;令y=0,得x=0或x=8,故x轴被圆M截得的弦长为8,故B正确.故选BCD.10.AD∵直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,∴圆心到直线的距离等于半径的13由题意知圆心为C(3,3),半径为r=62,∴|3+3-m|2=22,解得m故选AD.11.AC选项A中,因为圆O和圆M相交于A、B两点,所以两圆有两条公切线,故A正确;选项B中,圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-4x+2y+4=0的方程相减得y=2x-4,所以直线AB的方程为y=2x-4,故B错误;选项C中,圆心O到直线AB的距离d=|-4|1+4=455,所以线段AB的长为2r2-d2选项D中,因为λ∈R,λ≠-1,所以x2+y2-4=0,x2+y2-4x+2y+4=0恒成立,即过A、而-4λ1+λ2+2λ1+所以方程(x2+y2-4)+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R,λ≠-1)表示圆,但此圆系不包括圆M,故D不正确.故答案为AC.12.BD设点M(x,y),则MA=(-1-x,-y),MB=(1-x,-y),所以MA·MB=(-x-1)(-x+1)+y2=3,即x2+y2=4,所以M的轨迹方程为x2+y2=4,圆心为(0,0),半径为2,由此可知圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1与x2+y2=4有公共点,又因为圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1的圆心为(2a-1,2a+2),半径为1,所以1≤(2a-1)2+(2故选BD.13.答案±2解析圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,由题意得|0-0+m|1+114.答案±1解析由题意得圆心C(a,0),半径r=1,故圆心C(a,0)到直线l:x-y=0的距离d=|a因为直线l:x-y=0被圆C:(x-a)2+y2=1截得的弦长为2,所以2=2r2-d2=21-15.答案x=1或3x+4y-15=0解析圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的圆心C(2,1),半径r=2,设圆心C到直线l的距离为d,则d=r2-AB当直线l的斜率不存在时,直线l:x=1,满意d=1;当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-