安徽省安庆市九一六学校2024-2025学年高一数学下学期3月月考试题

PAGEPAGE9安徽省安庆市九一六学校2024-2025学年高一数学下学期3月月考试题考试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设O是△ABC的外心，则eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))是()A．相等向量B．模相等的向量C．平行向量D．起点相同的向量2．设向量，均为单位向量，且||＝1，与的夹角θ为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(3π,4)3．已知，为平面对量，且＝(4,3)，2＋＝(3,18)，则，夹角的余弦值等于()A.eq\f(8,65)B．－eq\f(8,65)C.eq\f(16,65) D．－eq\f(16,65)4．已知||＝3，||＝5，＝12，则向量在向量上的投影向量的模为()A.eq\f(12,5)B．3C．4 D．55．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，则＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)6．在则（）A．B．C．D．7．在中，角所对的边分别为，则的周长为（）A．B．C．D．8．如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处须要的时间为()A.eq\f(1,2)小时B．1小时C.eq\f(3,2)小时 D．2小时9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bB．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b10.在△ABC中，分别为角的对边，，且sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)，则△ABC的形态为()A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形11.已知点P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围为（）A.（-2，6）B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)12．在△ABC中，点D满意BD＝eq\f(3,4)BC，当E点在线段AD上移动时，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，则＝(－1)2＋的最小值是()A.eq\f(3\r(10),10)B.eq\f(\r(82),4)C.eq\f(9,10) D.eq\f(41,8)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在中，则=．14.设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(BC,\s\up6(→))，则点D的坐标为．15.在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于．16.在中，分别为角的对边，若，则的取值范围为．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知是同一平面内的三个向量，其中＝(1,2)．(1)若||＝2eq\r(5)，且∥，求的坐标；(2)若||＝eq\r(10)，且与垂直，求与的夹角θ.18．(本小题满分12分).设向量a,b满意||=||=1及|3-2|=.(1)求，夹角的大小.(2)求|3+|的值.19．(本小题满分12分)在△ABC中，AC＝6，cosB＝eq\f(4,5)，C＝eq\f(π,4).(1)求AB的长；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))的值．20.(本小题满分12分）已知，是平面内两个不共线的非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2+eq\o(BE,\s\up6(→))＝－＋，eq\o(EC,\s\up6(→))＝－2＋，且A，E，C三点共线．(1)求实数的值；(2)若＝(2，1)，＝(2，－2)，求eq\o(BC,\s\up6(→))的坐标；(3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针依次构成平行四边形，求点A的坐标．21.（本小题满分12分）设的内角所对的边分别为且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的周长的取值范围． 22.(本小题满分12分)已知＝()=()，且|＋|＝eq\r(3)|－|(k>0)．(1)用表示；(2)求的最小值，并求出此时与的夹角θ.

3月月考答案1B，2C，3C，4A，5B，6B，7C,8B,9B,10D,11A,12C13,14,(2,16)15,16,(1,3)17.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|b|＝2eq\r(5)，且a∥b，求b的坐标；(2)若|c|＝eq\r(10)，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.解：(1)设b＝(x，y)，因为a∥b，所以y＝2x.①又|b|＝2eq\r(5)，所以x2＋y2＝20.②由①②联立，解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．(2)由(2a＋c)⊥(4a－3c)，得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，由|a|＝eq\r(5)，|c|＝eq\r(10)，解得a·c＝5，所以cosθ＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(\r(2),2)，θ∈[0，π]18.设向量a,b满意|a|=|b|=1及|3a-2b|=.(1)求a,b夹角的大小.(2)求|3a+b|的值.【解析】(1)设a与b夹角为θ,因为向量a,b满意|a|=|b|=1及|3a-2b|=,所以9a2+4b2-12a·b=7,所以9×1+4×1-12×1×1×cosθ=7,所以cosθ=.又θ∈[0,π],所以a与b夹角为.(2)因为==19.(本小题满分12分)在△ABC中，AC＝6，cosB＝eq\f(4,5)，C＝eq\f(π,4).(1)求AB的长；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))的值．解：因为cosB＝eq\f(4,5)＞0，所以0<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq\f(3,5)，由正弦定理知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，所以AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(6×\f(\r(2),2),\f(3,5))＝5eq\r(2).(2)在三角形ABC中A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)．于是cosA＝－cos(B＋C)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝－cosBcoseq\f(π,4)＋sinBsineq\f(π,4)，又cosB＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\f(3,5)，故cosA＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(\r(2),10)，因为0<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(7\r(2),10).因此coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝cosAcoseq\f(π,6)＋sinA·sineq\f(π,6)＝－eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(7\r(2),10)×eq\f(1,2)＝eq\f(7\r(2)－\r(6),20).20.(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋e2，eq\o(BE,\s\up6(→))＝－e1＋λe2，eq\o(EC,\s\up6(→))＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求eq\o(BC,\s\up6(→))的坐标；(3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针依次构成平行四边形，求点A的坐标．解：(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得eq\o(AE,\s\up6(→))＝keq\o(EC,\s\up6(→))，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2k＝0，,k－1－λ＝0，))解得k＝－eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(3,2).(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝－3e1－eq\f(1,2)e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因为A，B，C，D四点按逆时针依次构成平行四边形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).设A(x，y)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3－x，5－y)．因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－7，－2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x＝－7，,5－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝7，))即点A的坐标为(10，7)．21．（本小题满分12分）设的内角所对的边分别为且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的周长的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理可得整理可得，所以可得；（Ⅱ）只需求得的范围，因为，所以，即由不等式可得即可求得的范围试题解析：解法一：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理，得，∴，∴，∴，则，∵，∴．（Ⅱ），∴∴∴．∴．又∵，∴的周长．解法二：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得：，∴，∴，∵，∴．∵，∴．（Ⅱ）∵，∴．由正弦定理，得，∴，同理可得，∵，∴，∴，∴，故的周长．22.已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k>0)．(1)用k表示a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ.解：(1)由|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵|a|＝eq\r(cos2α＋sin2α)＝1，|b|＝eq\r(cos2β＋sin2β)＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝eq\f(2k2＋2,8k)＝eq\f(k2＋1,4k).(2)由(1)知，a·b＝eq\f(k2