2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下面四个图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）一个三角形的两边长分别为3和5，则下列数据中，不能作为第三边长的是（）A．3 B．4 C．5 D．93．（3分）如图，已知∠1+∠2+∠3＝240°，那么∠4的度数为（）A．60° B．120° C．130° D．150°4．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（）A．75° B．95° C．105° D．115°5．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．36．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm7．（3分）阅读下面材料：已知线段a，b．求作：Rt△ABC，使得斜边BC＝a，一条直角边AC＝b．作法：（1）作射线AD、AE，且AE⊥AD．（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线AE于点C．（3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线AD于点B．（4）连接BC．则△ABC就是所求作的三角形．上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（）A．HL B．SAS C．AAS D．SSA8．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（3分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（）A．36° B．30° C．45° D．40°10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝60度，则△ABC的周长为．12．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，则∠B＝°．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD＝．14．（3分）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝°．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是．16．（3分）如图，在等腰△ABC中，底边BC的长为5cm，面积是20cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为cm．17．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是．18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，再以点B为圆心，BC长为半径作呱，交直线MN于点E，则∠BEC的度数为．三、解答题（本大题共8个小题，19-23每题5分，24-26题每题7分，共46分）19．（5分）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．20．（5分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．21．（5分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，AB＝5，AE＝2，求ED长度．22．（5分）如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．23．（5分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）直接写出点C1的坐标；（3）若P（a，a﹣1）是△ABC内部一点，点P关于y轴对称点为P'，且PP′＝6，求点P'的坐标．24．（7分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．25．（7分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：①等边△ABC边长为2，如图2当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．求DE的长并证明．②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，请在图3中补全图形，并证明DE长度保持不变．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，作直线l垂直x轴于点P（a，0），已知点A（1，1），点B（1，5），以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限△ABC关于直线l对称的图形是△A'B'C'．给出如下定义：如果点M在△A'B'C'的内部或边上，那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”．（1）当a＝0时，在点D（﹣，3），E（﹣2，2），F（﹣3，4）中，△ABC关于直线l的“称心点”是；（2）当△ABC的边上只有1个点是△ABC关于直线l的“称心点”时，直接写出a的值；（3）点H是△ABC关于直线l的“称心点”，且总有△HBC的面积大于△ABC的面积，求a的取值范围．

2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下面四个图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】利用轴对称图形概念进行分析即可．【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．（3分）一个三角形的两边长分别为3和5，则下列数据中，不能作为第三边长的是（）A．3 B．4 C．5 D．9【分析】由三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可判断．【解答】解：设这个三角形第三边长是x，由三角形三边关系定理得：5﹣3＜x＜5+3，∴2＜x＜8，∴9不能作为这个三角形第三边长，故选：D．【点评】本题考查三角形三边关系定理，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．3．（3分）如图，已知∠1+∠2+∠3＝240°，那么∠4的度数为（）A．60° B．120° C．130° D．150°【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，∠1+∠2+∠3＝240°，∴∠4＝360°﹣（∠1+∠2+∠3）＝360°﹣240°＝120°，故选：B．【点评】本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．4．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（）A．75° B．95° C．105° D．115°【分析】根据一副三角板可知∠B＝45°，∠A＝60°，∠ADE＝90°，进一步求出∠ACF，再根据外角的性质即可求出∠1．【解答】解：如图所示：根据题意，得∠B＝45°，∠A＝60°，∠ADE＝90°，∴∠ADB＝90°，∴∠BCD＝∠ACF＝45°，∴∠1＝∠A+∠ACF＝60°+45°＝105°，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．5．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】先根据角平分线的性质得到DC＝DE＝4，然后计算BC﹣CD即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE＝4，∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【解答】解：连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝NC，∵BC＝15cm，∴MN＝5cm．故选：A．【点评】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．7．（3分）阅读下面材料：已知线段a，b．求作：Rt△ABC，使得斜边BC＝a，一条直角边AC＝b．作法：（1）作射线AD、AE，且AE⊥AD．（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线AE于点C．（3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线AD于点B．（4）连接BC．则△ABC就是所求作的三角形．上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（）A．HL B．SAS C．AAS D．SSA【分析】由作法可知，根据HL即可判定三角形全等．【解答】解：题干尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是HL．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形全等的判定．8．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据等边对等角可得∠DAC＝40°，根据角的差可得∠BAE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE的长．【解答】解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝40°，∵∠BAC＝70°，∴∠BAE＝70°﹣40°＝30°，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∴BE＝AB＝×6＝3．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解本题的关键是得出∠BAE＝30°．9．（3分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（）A．36° B．30° C．45° D．40°【分析】根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等，所以∠ABC＝＝108°，∵正五边形的每个条边相等，∴△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC＝（180°﹣108°）÷2＝36°．故选：A．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④【分析】因为∠CAD＝2∠BAE，且∠ABC＝90°，故延长EB至G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EAD，且AE＝AG，接着证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断③是正确的，当∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故②是错误的．【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，综上所述：其中正确的有①③④．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝60度，则△ABC的周长为12．【分析】由条件易证△ABC是等边三角形，由此可得到BC的值，即可求出△ABC的周长．【解答】解：∵AB＝AC＝4，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC＝4，∴△ABC的周长为12．故答案为12．【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质，突出了对基础知识的考查．12．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，则∠B＝60°．【分析】直接利用三角形的外角性质进行求解即可．【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝130°，∴∠B＝∠ACD＝∠A＝60°．故答案为：60．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD＝6．【分析】求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC＝2AD，AB＝2AC．14．（3分）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝12°．【分析】根据三角形内角和定理得∠ACB＝100°，再由角平分线定义得∠ACE＝50°，利用三角形外角的性质得∠CED＝78°，再利用角的和差关系得出答案．【解答】解：∵∠A＝28°，∠B＝52°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣28°﹣52°＝100°，∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠ACB＝50°，∴∠CED＝∠A+∠ACE＝28°+50°＝78°，∵CD是高，∴∠CDE＝90°，∴∠DCE＝90°−∠CED＝90°−78°＝12°，故答案为：12．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是2．【分析】直接利用角平分线的性质得出D到AB的距离，进而利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DC＝DE＝1，∵AB＝4，∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确得出D到AB的距离是解题关键．16．（3分）如图，在等腰△ABC中，底边BC的长为5cm，面积是20cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为8cm．【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×5×AD＝20，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△CDM周长的最小值＝（BM+MD）+CD＝AD＝8．故答案为：8．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．17．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是（1，4）．【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴DC＝BE，AD＝CE，∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6，∴CD＝OD﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，∴BE＝4，∴则B点的坐标是（1，4），故答案为：（1，4）．【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线各种全等三角形．18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，再以点B为圆心，BC长为半径作呱，交直线MN于点E，则∠BEC的度数为72°或36°．【分析】分两种情形：画出图形分别求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，由作图可知MN垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝72°，∴∠BDC＝∠BCD＝72°，∴BD＝BC，当点E与D重合时，满足条件，此时∠BEC＝72°，当点E在AB的左侧时，BE＝BD，∴∠ABD＝∠ABE＝36°，∴∠CBE＝108°，∴∠BEC＝∠BCE＝36°，综上所述，满足条件的∠BEC的度数为72°或36°．故答案为：72°或36°．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共8个小题，19-23每题5分，24-26题每题7分，共46分）19．（5分）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．【分析】由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD可证明△ABD≌△ACD，从而可得BD＝CD．【解答】证明：在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性质．20．（5分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．【分析】根据垂直的定义得到∠AFC＝∠EFC，根据角平分线的定义得到∠ACF＝∠ECF，由三角形的内角和定理得出∠EAC＝∠CEA，再根据三角形的外角定理即可求解．【解答】解：∵AE⊥CD交CD于点F，∴∠AFC＝∠EFC＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF，∵∠AFC+∠EAC+∠ACF＝180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF＝180°，∴∠EAC＝∠CEA，∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠B＝37°，∠BAE＝33°，∴∠CEA＝70°，∴∠EAC＝70°．【点评】此题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和是180°得出∠EAC＝∠CEA是解题的关键．21．（5分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，AB＝5，AE＝2，求ED长度．【分析】先根据线段的和与差得BE的长，由角平分线和平行线的性质得：∠EDB＝∠EBD，从而得结论．【解答】解：∵AB＝5，AE＝2，∴BE＝5﹣2＝3，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝BE＝3．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点的理解和掌握，能得出DE＝BE是解此题的关键．22．（5分）如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．【分析】延长AE，BC交于点F，根据AAS证明△ADE与△FCE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：延长AE，BC交于点F，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠CFE，∵点E是DC的中点，∴ED＝CE，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AD＝CF，∵AE平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠F，∴∠BAF＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ADE≌△FCE．23．（5分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）直接写出点C1的坐标；（3）若P（a，a﹣1）是△ABC内部一点，点P关于y轴对称点为P'，且PP′＝6，求点P'的坐标．【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）结合（1）即可写出点C1的坐标；（3）根据点P关于y轴对称点为P'，且PP′＝6，即可求点P'的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）点C1的坐标为（﹣5，1）；（3）∵点P关于y轴对称点为P'，∴P′（﹣a，a﹣1），∵PP′＝6，∴a﹣（﹣a）＝6，∴a＝3，∴点P'的坐标为（﹣3，2）．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．24．（7分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论：NE﹣ME＝CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN，由△DEF≌△CEM，推出ME＝EF，CM＝DF，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠ABC＝∠DCB＝45°，∴BD＝DC，∵∠BDC＝∠MDN＝90°，∴∠BDN＝∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）结论：NE﹣ME＝CM．证明：由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF＝FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME＝EF，CM＝DF，∴CM＝DF＝FN＝NE﹣FE＝NE﹣ME．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．25．（7分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：①等边△ABC边长为2，如图2当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．求DE的长并证明．②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，请在图3中补全图形，并证明DE长度保持不变．【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），即可求DE的长；（2）①过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC+AF），即可求DE的长；②过点P作PF∥BC交BC的延长线于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），即可求DE的长．【解答】（1）解：如图，过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠Q＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，∵PE⊥AC，∴EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠PDF＝∠CDQ，∠Q＝∠FPD，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+AF＝AC