八年级数学下册 讲义（北师大版）第二章第04讲 解题技巧专题：一元一次不等式(组)中含参数问题(7类热点题型讲练)（解析版）

第04讲解题技巧专题：一元一次不等式(组)中含参数问题(7类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一根据一元一次不等式的定义求参数的值】 1【考点二根据一元一次不等式的解集求参数】 2【考点三利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】 3【考点四利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 4【考点五根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 8【考点六整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 10【考点七整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】 12【考点一根据一元一次不等式的定义求参数的值】例题：（2023下·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是.【答案】【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可．【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式，∴且，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝．【答案】-3【详解】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式,∴k-3≠0且|k|-2=1,解得k=-3.2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为．【答案】【分析】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数为1次列式求解即可得到答案．【详解】解：是关于的一元一次不等式，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义列出方程与不等式求解是解决问题的关键．【考点二根据一元一次不等式的解集求参数】例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（

）A．m>0 B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解．【详解】解：根据题意得，∴，故选C．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变．【变式训练】1．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为．【答案】【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可．【详解】解：∵不等式的解集为∴∴a的取值范围为：故答案为：．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键．2．（2023下·七年级课时练习）如果不等式的解集是，那么a必须满足．【答案】【分析】根据两边同时除以a-2，不等号的方向改变，可得a-2＜0．【详解】解：∵不等式（a-2）x＞a-2的解集是x＜1，∴a-2＜0，解得，a＜2．故答案为：a＜2．【点睛】本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数．3．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了不等式的基本性质2及解一元一次不等式．根据题意可得，然后进行计算即可解答．熟练掌握不等式的基本性质2“给不等式两边同时乘（或除以）一个负数，不等号的方向要发生改变”是解题的关键．【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，，，故答案为：．【考点三利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】例题：（2023下·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）已知关于x的不等式有且仅有2个正整数解，则a的取值范围是．【答案】【分析】先解不等式得，再根据关于的不等式只有2个正整数解，得出不等式的正整数解为1，2，据此得到答案．【详解】解：∵，∴，∵关于x的不等式只有2个正整数解，∴不等式的正整数解为：1，2，∴，即故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式及其正整数解的情况，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·江苏南京·七年级统考期末）已知关于的不等式的正整数解有且只有2个，则的取值范围为．【答案】【分析】先解不等式，再根据题意列出不等式组求解．【详解】解：解关于的不等式得：，由题意得：不等式的正整数解为：1，2，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，掌握解不等式的方法是解题的关键．2．（2023下·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）已知不等式的正整数解只有1，2，3，那么a的取值范围是．【答案】/【分析】根据题目中的不等式可以求得x的取值范围为，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而得到，继而求得a的取值范围．【详解】∵，∴，∵原不等式的正整数解只有1，2，3，∴，解得故答案为：【点睛】本题考查一元一次不等式的正整数解问题，能根据题意确定的取值范围是解题的关键．【考点四利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】例题：（2023·浙江·模拟预测）已知关于的不等式组恰好有四个整数解，则实数的取值范围是．【答案】【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解：解不等式组得，则，∵该不等式组的解集恰好有四个整数解，∴四个整数解为4、5、6、7，∴，故答案为：．【点睛】本题考查解不等式组及不等组的整数解，难度中等，正确解出不等式组的解集，确定a的范围是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023下·河南驻马店·七年级统考期末）不等式组只有两个整数解，则的取值范围是．【答案】【分析】先解不等式组，得出，根据有两个整数解，得出，整数解为，，进而即可求解．【详解】不等式组整理得：，∵不等式组只有两个整数解，∴，整数解为，，则m的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了解不等式组，求不等式组的整数解，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．2．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）关于的不等式组恰有个整数解，那么的取值范围为【答案】【分析】先解出每个不等式的解集，再根据不等式组恰有个整数解，可以得到的取值范围．【详解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，∵不等式组恰有个整数解，∴这三个整数解为、、，∴的取值范围为，故答案为：．【点睛】本题考查求一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法．3．（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是_________．【答案】【分析】先求出的不等式组的解集，然后根据的不等式组只有3个整数解进行列不等式作答即可．【详解】解：，①：，，解得；②：解得；所以的不等式组的解集为，因为的不等式组只有3个整数解，即，4，5，那么，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解，正确掌握解一元一次不等式组是解题的关键．4．（2023下·安徽滁州·七年级校考阶段练习）若实数使关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是．【答案】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．【详解】解：，解①得，解②得，∵不等式组有解集，∴，∵不等式组有且只有两个整数解，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）对x，y定义一种新运算M，规定：（其中m，n均为非零常数）．例如：，已知，．(1)求m，n的值；(2)若关于t的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意得关于，二元一次方程组，解之即可；（2）根据题中新定义得不等式组，解不等式组后再根据不等式组恰好有3个整数解，求出的范围即可．【详解】（1）解：由题意得，解得，，；（2）由（1）知，由题意得，，解不等式①得，，解不等式②得，，不等式组的解集为，恰好有3个整数解，，解得．【点睛】本题考查二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解决本题的关键．【考点五根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】例题：（2023下·湖南永州·八年级校考期末）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是.【答案】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．先把a当作已知条件表示出不等式的解集，再由不等式组无解即可得出结论．【详解】解：解得：，∵不等式组无解，∴，故答案为：．【变式训练】1．（2023上·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）不等式组的解集是，则a的取值范围是．【答案】【分析】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键．根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式组得到关于a的不等式进行求解即可．【详解】解：因为这个不等式组的解集为，则，解这个不等式得故答案为：．2．（2023下·江西吉安·八年级校考期中）若关于的一元一次不等式组无解，则a的取值范围.【答案】/【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解进行求解即可．【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，因为不等式组无解，所以，解得；故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式组无解的问题，正确求出两个不等式的解集，理解不等式组无解是关键．3．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）若数使关于的不等式组的解集为，则符合条件的数的取值范围为．【答案】/【分析】先解不等式组，再根据已知解集确定出的取值范围即可．【详解】解：解不等式组得：，不等式组的解集为，．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．4．（2023下·新疆伊犁·七年级统考期末）已知关于x的不等式组的解集是，则．【答案】【分析】分别解两个不等式，根据解集为确定和的值，再代入求值即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，不等式组的解集是，，，，．．故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，根据解集确定参数的值是解题的关键．【考点六整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】例题：（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）关于、的方程组的解与满足条件，则的最大整数值是．【答案】【分析】解方程组得到，由得出关于的不等式，解之可得的取值，即可得出的最大整数值．【详解】解：解方程组，①②得，即，，，解得：，则的最大整数值是，故答案为：．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足，且满足条件的正整数a仅有4个，则b满足的条件取值范围是．【答案】/【分析】首先解关于，的方程组，求得，的值，代入，即可解答．【详解】解：，①②得：，把代入①得：，，∵，∴，，满足条件的正整数仅有4个，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．2．（2023下·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考阶段练习）若关于和的二元一次方程组，满足，求整数的最小值．【答案】0【分析】直接将方程组中两方程相减，进而得出关于m的不等式，进而得出答案．【详解】解：，∴①②得：，，解得：．∴整数m的最小值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，掌握解二元一次方程组的方法步骤是解题的关键．3．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）关于、的方程组的解、满足，那么的取值范围是．【答案】/【分析】先根据，得，再结合已知条件可得，解不等式即可．【详解】，，得，∵，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．【考点七整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】例题：（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的个数为．【答案】5【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得a的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有非负整数解，即可求出a的值，从而可以解答本题．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∵关于x的一元一次不等式组的解集是，∴，由方程可得，∵关于y的方程有非负整数解，∴或或或或，∴符合条件的所有整数a的个数为5，故答案为：5．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）若关于的不等式组的解集为，且关于的方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是．【答案】22【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据方程的解为非负整数，进而确定a的所有可能的值，再求和即可．【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，由于不等式组的解集为，∴，解得，关于y的方程的解为，由于方程的解是非负整数，∴整数a可能的值为或3或8或13，∴符合条件所有的整数a的和为：．故答案为：22．2．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为．【答案】【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答．【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得，，不等式组有4个整数解，∴，∴，解方程组，得：，解得，将代入②得：，解得方程组的解为：，∵，∴，关于的方程组的解为整数，，当时，，符合题意；所有满足条件的整数的值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键．3．（2023下·全国·七年级专题练习）从，，0，1，2这5个数中，选一个数，使关于的不等式组有解，且使关于的一元一次方程的解为负数，求的值．【答案】或0或1【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有解确定出的范围，再表示出方程的解，由方程的解为负数确定出的范围，找出的具体范围，进而确定出的值即可．【详解】解：不等式组整理得：，要使不等式组有解，可得，解得：，不符合题意，舍去；此时不等式组的解集为，方程去分母得：，解得：，方程的解为负数，，解得：，不符合题意，舍去，的范围是，的值可以为或0或1．【点