新教材苏教版必修第二册1 3 . 2 基本图形位置关系

第13章立体几何初步

13.2基本图形位置关系

13.2.4平面与平面的位置关系

第1课时两平面平行

基础过关练

题组一两个平面平行的判定

1.（2021江苏连云港海头高级中学高一月考）六棱柱ABCDEAABCDER的底面是正

六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有（）

对对对对

2.（2021山东泰安第二中学高一期中）若表示两个不同的平面，/表示一条直

线，且lua，则“/〃£”是“a//£”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.设a,£是两个不同的平面，力是直线，且忙。,勿〃£，若使a〃£成立,则需增

加的条件是（）

A.77是直线且〃Ua,77〃£

B.〃,勿是异面直线且77〃£

C.77,勿是相交直线且〃uaB

D.77,勿是平行直线且〃ua,nil3

4.（2020江苏盐城射阳中学月考）如图所示，在正方体中小人尸分别是

GC4GG〃的中点.求证:平面仞花〃平面A.BD.

题组二两个平面平行的性质

5.（2021江苏如皋第一中学高一阶段检测）如图，已知平面a〃平面£，点尸为

。，£外一点，直线例如分别与a,£相交于46和C〃则力。与切的位置关系为

A.平行B.相交

C.异面D.平行或异面

6.（2020江苏海门中学高一期中）如图所示的三棱柱山心4夕4,过46的平面与平

面力a1交于直线/次则应与力£的位置关系是（深度解析）

A.异面

B.平行

C.相交

D.以上均有可能

7.（2020江苏口岸中学阶段检测）如图，在长方体ABChB1aBi中，过微的中点£作

一个与平面力方平行的平面交力£于点M,交况1于点儿则当=.

8.（2021江苏睢宁李集中学高一期中）如图，在正方体ZMMJK〃中,£为棱回的

中点，过点瓦£,〃的平面与棱CQ交于点F.

⑴求证:四边形亚刃归为平行四边形；

（2）试确定点夕的位置.

题组三距离问题

9.（多选）若平面a〃平面£，且a,£之间的距离为4则在平面£内（）

A.有且只有一条直线与平面a的距离为d

B.所有直线与平面a的距离都等于d

C.有无数条直线与平面a的距离都等于d

D.所有直线与平面a的距离都不等于d

10.若不共线的三点到平面£的距离相等,则这三点确定的平面a与£之间的关

系是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.以上都不对

n.两平行平面a,£之间的距离为18cm，直线,与平面£分别交于46两点，

点PR，，若用双则点P到平面£的距离为.易错

能力提升练

题组一两个平面平行的判定

1.（多选）（*?）已知a/表示两条不重合的直线，a,£,7表示三个不重合的平面，给

出下列命题,其中正确的是（）

A.若aCy-a,£n/=4且a〃6则a〃£

B.若a力相交且都在a,£外/〃a,6〃a,a〃£/〃£,贝」a〃£

C,若a//a,a//£，则a〃£

D.若aua,a〃£,aC£="贝Ua//b

2.（多选）（*?）如图是一几何体的平面展开图淇中四边形/£切为正方形,£,£G,〃分

别为PA,PD,PC,PB的中点.在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是

（）

A.平面EHGF//平面ABCD

B,直线山〃平面BDG

C,直线用〃平面PBC

D,直线用〃平面BDG

3.（2020湖南长沙第一中学高三下月考,*0如图，在长方体ABCD-AMD,

中,2仄的尸1,2左次,分别为羽6CG〃的中点，点P在平面力aP内,若直线以P

〃平面跖G,则线段〃月长度的最小值是_______.

题组二两个平面平行的性质

4.（2021江苏扬州中学高一月考,简）如图，在三棱柱Z於4AG中圈"分别是A^AB

的中点，点2在线段6c上,则W与平面力船的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.NPa平面AMQD.不确定

5.（多选）（2021山东威海高三期末,小）在棱长为2的正方体力式》46K〃中,£/分

别为力£,4〃的中点，贝IJ（）

A.BDLB.C

B.鳍〃平面DB.B

C.平面BMC

D.过直线鳍且与直线做平行的平面截该正方体所得截面面积为企

6.（2021山东昌乐二中高一期中,箱）如图,四棱锥FZ因力的底面是边长为1的正方

形，点£是棱阳上一点，哙3皿若两=几近,且满足麻〃平面Z细则

A=

7.（2021江苏石榴高级中学高一期中，箱）如图，在三棱柱Z册46K中，点〃〃分别为

ZC4G上的动点,若平面加〃〃平面问券是不是定值？若是定值，求出该值;若

不是定值,请说明理由.

题组三距离问题

8.（2020江苏丹阳高级中学阶段测试,*：）在长方体Za》〃中,有一过皿且与

平面4〃田平行的平面a,棱刈=5,股12,则平面a与平面的距离

是.

9.（2020江苏新浦高级中学阶段测试，婚）不共面的四个点到平面a的距离都相等,

这样的平面a共有个.

10.（2020江苏靖江第一高级中学期中，箱）如图所示，三棱柱力叱的各棱长均

为4,侧棱垂直于底面分别为4?,力C4G4笈的中点.求:

⑴笈G到平面比阳的距离；

（2）平面4鳍与平面比'组之间的距离.

4

题组四面面平行的综合应用

11.（2021江苏泰兴中学高一月考,封）平面a过正方体叱〃的顶点4。〃

平面CBM,an平面ABC庐垣,an平面94=小则m,n所成角的正弦值为

（）

A.—B.—C.—D.i

2233

12.（2021广东中山第一中学高一调研，箱）如图，在棱长为1的正方体心

中4N分别是4笈的中点，过直线班的平面。〃平面力觇则平面a截该正方

体所得截面的面积为

A.V2C.V3D.

82

13.（2020江苏黄桥中学阶段检测,封）如图，在正方体4况》4£4〃中,£是力£的中

点/在CG上，且层26G,点，在侧面4以4（包括边界）上，必i〃平面如逸JtanN

/"的取值范围是（）

B.[0,1]

呜手］。心用

14.（2020江苏明达中学期中,"）如图，在棱长为1的正方体/况〃中,£/分

别是棱BC,CC\的中点/是侧面比1G8上一点，若42〃平面Z硒则线段4尸长度的取

值范围是（）

C.[l,串D.(0,

15.（多选）（2020山东枣庄第三中学高三月考,*）如图，在四棱锥降力四中，底面

力aP为正方形，顶点S在底面力aP的射影为底面中心O,E,M,N分荻是BC,CD,SC忸中

点，动点,在线段脉上运动，则下列四个结论中恒成立的有（）

A.EPLACB.EP//BD

C.EP〃平面SBDD.平面必。

16.（2020江苏张家港高级中学学情检测,不）如图所示,£为所在平面外一

点题儿G分别为△力期△aP的重心.

⑴求证:平面仞历〃平面ACD,

⑵求S[\MNG•Sl\ADC・

答案全解全析

第13章立体几何初步

13.2基本图形位置关系

13.2.4平面与平面的位置关系

第1课时两平面平行

基础过关练

1.D由于六棱柱"6WL46的底面是正六边形，

所以上下底面平行,侧面有3对相互平行的面,故共有4对互相平行的面.

故选D.

2.C若/ua,l//£，则平面a和平面£可能平行,也可能相交;若ka,a//£,

则1//£，所以“/〃£"是“a//£”的必要不充分条件.故选C.

3.C要使。〃£成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

当勿,〃是相交直线，且77Ua,勿〃£时，由平面与平面平行的判定定理

可得a〃£.故选C.

4.证明如图，连接4〃.

因为分别是〃G,4G的中点，

所以PN//BM.

因为如A&Ba,

所以四边形3砌为平行四边形,

所以£4〃能所以PN//BD.

因为平面A,BD,BDa平面4做

所以/W平面4做

同理助V〃平面A.BD.

又因为MNCP照N,PN,MNu平面腕所以平面仞仍〃平面A.BD.

易错警示

利用两个平面平行的判定定理证明两个平面平行时，必须具备两个条件:①一个平

面内的两条直线平行于另一个平面;②这两条直线必须是相交直线.

5.A由题意知五,4£,C〃在同一平面内，且平面2切C平面a4c平面力切n平面

8=BD.

'：a〃被故选A.

6.B因为平面46C〃平面眼平面48项n平面461G=4凡平面4笈旗n平面

ABC=DE,所以48〃龙.又因为44//仍所以DE//AB.

解题模板

由面面平行，可得线线平行,它提供了证明线线平行的一种方法，应用的关键是找到

与两个平行平面都相交的第三个平面.

7.答案|

解析•.•平面小〃平面力细，

由两个平面平行的性质定理可得EN〃&C£M〃BA

又为阳的中点，

分别为胡，比的中点，

.,.好|阳即翳苫.

8.解析⑴证明:在正方体心G〃中，因为平面力阳4〃平面小G〃，平面

BF1XEC平面ABBJEBE平面BFD\EC平面戊匕〃=〃£所以BE//D.F,

同理可证EDJ/FB,

所以四边形位为平行四边形.

(2)由⑴知四边形物〃£为平行四边形，

所以FB-E1X,

由于宏式后后

所以

所以C户EA\,

而£是24的中点，所以尸是CG的中点.

9.BC因为平面a〃平面£，且a,8之间的距离为d所以平面£内任意一条直

线与平面a的距离都为d.故选BC.

10.C当三点在平面£的同侧时，

设4月。到平面£的射影分别为DEF,

由点4月。到平面£的距离相等，

可构成三个长方形ADEB,BEFC,CADF,如图①,

于是有AB//DE,BC//EF,

因为之平面a,庞，到七平面8,ABCBOB,DECE产E,

所以平面a〃平面£.

图①

当三点在平面£的异侧时,如图②，设力以。到平面£的射影分别为显然平

面a与平面J3相交.

故平面a与平面£之间的关系是平行或相交.

11.答案12cm或36cm

解析设点尸到平面a的距离为&cm,到平面£的距离为&cm.

当尸在平面。，万之间时，&》X18=12(cm)；

当尸在平面a,£同侧时，

•.•序三必.•麦W，介d=18,

8cm,&=2X18=36(cm).

点尸到平面£的距离为12cm或36cm.

易错警示

两个平行平面间的公垂线段有无数条,长度都相等.

能力提升练

l.BDA错误，a与£也可能相交;B正确，设确定的平面为/,依题意彳导了〃

a,7〃£，故a〃万;C错误，a与£也可能相交;由线面平行的性质定理可知,D正

确.故选BD.

2.ABC作出立体图形如图所示.连接四点构成平面EFGH.

因为£/分别是44题的中点，

所以鳍〃被

又硒平面ABCD,ADci平面ABCD,

所以厮〃平面ABCD.

同理,〃平面ABCD,又EFCE田E,EFu平面EHGREHu平面EHGF,

所以平面EHGF〃平面ABCD做A正确；

连接AC,BD,DG,BG,设〃的中点为网连接解所以MGIIPA、又肱上平面如G,/W平面

加G,所以直线力〃平面BDG做B正确；

由A中的分析易知EF〃呢因为£用平面PBC,BCu平面分C所以直线斯〃平面PBC,

故C正确；

根据C中的分析再结合图形可得，直线鳍与平面劭G不平行，故D错误.故选ABC.

3.答案S

解析如图,连接〃

FR

因为分别为更况居〃的中点，所以EF"AC、又砒平面ACD\,ACu平面AC4,所

以朋〃平面ACDi.易得£G〃皿,所以同理可得£G〃平面ACDi,又EFCEG^E,EF,Eg

平面EFG,

所以平面4曲〃平面EFG.

因为直线〃尸〃平面夕&所以点尸在直线NC上，

故当ZC时，线段〃〃的长度最小.

在△板中,力〃=传心2。=2,

所以S△皿c苫XV2XJ22一⑵W，

V7L

所以线段〃/长度的最小值为心邛.

1x22

4.A如图，连接8人制

R

•.•可〃分别为2旦4笈的中点，

:.AN〃B朋旦A2风M,

，四边形AN&M为平行四边形，

：.B,N//AM,

,.•笈/平面AMQ,AMa平面AMQ,

...周V〃平面AMQ.

同理可得CN//MCx,

,：©Q平面AMQ,MQ^平面AMQ,

.♦.GV〃平面AMQ,

'：瓦vnC中N,：.平面笈av〃平面AMG,

,舷t平面4M.•.2〃平面AMQ.

故选A.

5.BC选项A中，易知劭〃4〃,所以〃（或其补角）是直线班与4。所成的角.

因为BMROBC

所以为等边三角形，所以N组〃=60°,所以如与4c所成的角为60°,

故A错；

选项B中，记2〃的中点为G,连接FG,GE,易知FG//B&,GE//微则可知FG//平面

DBBGE〃平面DBB又产GAG序G,FG,GEu平面分笫所以平面£曲〃平面DB.B,

因为哥t平面刀必，所以跖〃平面DBB故B正确；

选项C中，连接阳，因为四边形BCCB为正方形，所以B.CLBQ,

又平面4aQ所以26,夕。因为BCCAB=B,BC,ABu平面力园,所以6c，平面

Z6G,所以B^CLAa,

同理笈〃，ZG,因为SCO合〃笈〃u平面所以4G，平面BDC.故C正

确；

选项D中，取4A的中点。，连接闻£Q由选项B可知，平面6G£0〃平面DBBM,

所以必〃平面FGEQ,

又夕七平面FGEQ,

所以过9且与直线做平行的平面为如图所示的平面R而0,其面积S=FQ-陷2或.

故D错误.

故选BC.

6.答案|

解析如图，连接BD,交AC于点0,连接0E,则B0=0D,

在线段PE上取一点G,使得GE=ED,

因为PE=3ED,所以PE=3GE,所以黑金连接BG,FG,则BG〃OE,

又因为OEu平面AEC,BG。平面AEC,

所以BG〃平面AEC.

因为BF〃平面ACE,又BGABF=B,BG,BFu平面BGF,

所以平面BGF〃平面AEC.

因为平面PCDn平面BGF=GF,平面PCDn平面AEC=EC,所以GF〃EC,

所以巴=02,故入=2.

PCPE3J3

7.解析称是定值.如图，连接AB交AB】于点0,连接0及由棱柱的性质，可知四边形

AiABBi为平行四边形，所以0为AiB的中点，

因为平面BGD〃平面ABD,且平面A1BGA平面ABQ尸DQ,平面AiBGA平面BGD=BG,

所以BCi〃O»,

所以Eh为线段AC的中点，

所以C1D1=|A1C1,

因为平面BC1D〃平面ABD,平面AAQCn平面BDODG,平面AACCA平面ABJ）尸A»,

所以ADi〃DG,

因为AD〃CD,所以四边形ADCD是平行四边形，

所以AD=CD带AC苫AC,

所以梦1.

R

8.答案,

解析因为平面a〃平面ADCB,ADu平面a,所以AD到平面ADCB的距离即为平

面a与平面ADCB间的距离，易知AD〃平面ADCB,从而点A到平面ADCB的距离

即为所求的距离.

如图，过点A作AHLAiB于点H.

易证AHL平面ARCB,则AH即为所求.

在R心卜鼠中,AB=12,AAi=5,贝！]A[B=JAB2+AA：=13,

因为AH•AiB=AiA•AB,

所以AH=35=".

A】B13

故平面a与平面ADCB的距离为骨.

9.答案7

解析把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面a可以分为两类：

第一类:如图1,四个定点分布在平面a（即过共顶点的三条棱的中点的平面）的两侧,

其中一侧有1个顶点，另一侧有3个顶点，此类中满足条件的a共有4个.

第二类:如图2,四个定点分布在平面a（即过两组相对棱的中点的平面）的两侧，每

一侧均有2个顶点，此类中满足条件的a共有3个.

综上，这样的平面a共有4+3=7（个）.

10.解析⑴分别取BC,BC的中点Di,D,

连接AD交HG于M,连接DD1,DM,如图所示.

由题意易得HGXAiD^HGXDDj,

ADnDD1=D1,...HG,平面M»D.

过点Di作DFLMD,垂足为P,易知DxPXHG,

又HGnMD=M,

；.DiP上平面BCGH,

.•.DP的长就是点口到平面BCGH的距离.

易知HG〃BC,HGu平面BCGHBGC平面BCGH,

.\BC〃平面BCGH,

.•.»到平面BCGH的距离与BC到平面BCGH的距离相等,

.••DP即为所求.

在7?tADDiM中,DDI=4,DIM=V3,

.\MD=V19,

.•.DF=22IJ_DIM_4V3_4V57

MD919'

.•.BC到平面BCGH的距离是噜.

R

⑵由题意易知AF〃HB,

'.,AiE。平面BCGH,HBc平面BCGH,

，AiE〃平面BCGH,

同理AF〃平面BCGH,

又AiEnAF=Ai,AiE,AFu平面A】EF,

，平面AiEF〃平面BCGH,

平面AiEF到平面BCGH的距离等于点Ai到平面BCGH的距离.

又H,G分别是AB,AC的中点，

.•.点Ai到平面BCGH的距离等于BC到平面BCGH的距离.

...平面AiEF与平面BCGH之间的距离为噜.

11.A如图，a〃平面笫4aA平面2兆次加,aA平面力即4=4

可知n//CDx,m//BM,：.m,n所成的角为N切由（或其补角）.

•.•△曲〃是正三角形,.♦./勿a=60:

，力,A所成角的正弦值为:

故选A.

12.B如图，取BC的中点EM的中点内连接硒龙，诙则EF〃BD,BD〃BD,

所以EF〃BD散硒即在同一平面内,

连接您因为瓶£分别为A.DM的中点，所以ME〃AB,且M&AB,

所以四边形力“是平行四边形，

，斤以AM〃班.

因为庞u平面BDFE,A以平面BDFE,

所以平面BDFE.同理4V〃平面BDFE.因为AMCyA^A,AM,AN^平面AMN,

所以平面匈W〃平面BDFE,

所以平面a截该正方体所得截面为等腰梯形皮理

因为正方体ABOhABCD的棱长为1，所以盼近，炉飘〃考，叱班考，

故所得截面的面积为衿住+⑹X1囹-囹=1-

故选B.

13.D如图，在刈上取点必使得闻号阴，连接£幽取C〃的中点儿连接4人感则

B、M〃DF,&N〃DE,

■:BMNu平面B、MN,DF,DEu平面DEFRMCB^B、,DFCD所D,

，平面与的〃平面DEF.

过点N作NG〃DF交加于点G,连接隔贝I」为可6”四点共面，且D*DD\.

,.•阁〃平面DEF,

.•.点,在线段如上运动.

当点尸分别与点重合时,tanNZ即取得最小值和最大值.

连接AG,BM,BG,

设正方体的棱长为1,贝IJZ游今〃39,

则力依祟

.,.在RSZ四中,tanNZ归，

在R3Z6G中,tanNZ吐手，

tanNZ即的取值范围为他,目.

故选D.

14.B如图所示，分别取棱阳的中点瓶儿连接AMN,MN,BG,NE,

,：耳儿£/分别为所在棱的中点，则MN//Ba,EF//Ba,：.MN//EF.

又仞W平面AEF,EFu平面AEF,

.•.也V〃平面AEF.

'：AAJ/NE,AAX=NE,

：.四边形/以见为平行四