2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步章末检测卷含解析北师大版必修2

PAGE其次章章末检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．倾斜角为45°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0解析：直线的斜率为k＝tan45°＝1，所以满意条件的直线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0，选B.答案：B2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：l1与l2之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|1－－1|,\r(2))＝eq\r(2)，故选B.答案：B3．关于空间直角坐标系O－xyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(3,2)))；②点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；③点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；④点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确说法的个数是()A．2B．3C．4D．1解析：①明显正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故②错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故③错；④明显正确．答案：A4．已知两点A(－2,0)，B(0,4)，则线段AB的垂直平分线的方程为()A．2x＋y＝0B．2x－y＋4＝0C．x＋2y－3＝0D．x－2y＋5＝0解析：kAB＝eq\f(4－0,0－－2)＝2，AB的中点为(－1,2)，∴所求直线方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x＋1)，即x＋2y－3＝0.答案：C5．从直线l：x－y＋3＝0上一点P向圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，记切点为M，则|PM|的最小值为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(\r(14),2)C.eq\f(3\r(2),4)D.eq\f(3\r(2),2)－1解析：由题意，知圆心为C(2,2)，半径为1，当CP⊥l时，|PM|取最小值．圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|2－2＋3|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，则|PM|min＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2－12)＝eq\f(\r(14),2).答案：B6．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3两圆的圆心距离为eq\r(－2－22＋0－12)＝eq\r(17)，则R－r<eq\r(17)<R＋r，所以两圆相交，选B.答案：B7．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝eq\r(2)⇔eq\f(|a＋1|,\r(2))≤eq\r(2)⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1.答案：C8．(2024·重庆第一次适应性测试)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝()A．－eq\r(6)B．±eq\r(6)C．－eq\r(5)D．±eq\r(5)解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝eq\r(2)可知，圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是eq\f(|2×1－2＋b|,\r(5))＝1，解得b＝±eq\r(5).答案：D9．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：因为圆心到直线的距离为eq\f(|9＋12－11|,5)＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．答案：C10．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是()A.eq\f(9,5)B．1C.eq\f(4,5)D.eq\f(13,5)解析：圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝eq\f(|－3－4－2|,5)＝eq\f(9,5)，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝eq\f(4,5).答案：C11．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必需使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．又已知点P(1,1)，则kOP＝1，故所求直线的斜率为－1.又所求直线过点P(1,1)，故由点斜式得，所求直线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.故选A.答案：A12．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满意的关系式是()A．a2－2a－2bB．a2＋2a＋2bC．a2＋2b2＋2a＋2bD．3a2＋2b2＋2a＋2解析：依题意，当两圆的公共弦所在直线经过圆心(－1，－1)时，满意题意，而公共弦方程为2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0，又过(－1，－1)点，∴a2＋2a＋2b答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．解析：由点到直线的距离公式可知eq\f(|3a＋2＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|－a＋4＋1|,\r(a2＋1)).解得a＝－4或eq\f(1,2).答案：－4或eq\f(1,2)14．若直线l1：y＝k(x－6)与直线l2关于点(3,1)对称，则直线l2恒过定点________．解析：直线l1：y＝k(x－6)恒过定点(6,0)，定点关于点(3,1)对称的点为(0,2)．又直线l1：y＝k(x－6)与直线l2关于点(3,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．答案：(0,2)15．过直线x＋y－2eq\r(2)＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析：如图，由题意可知∠APB＝60°，由切线性质可知∠OPB＝30°，在直角三角形OBP中，OP＝2OB＝2，又点P在直线x＋y－2eq\r(2)＝0上，所以不妨设点P(x,2eq\r(2)－x)，则OP＝eq\r(x2＋2\r(2)－x2)＝2，即x2＋(2eq\r(2)－x)2＝4，整理得x2－2eq\r(2)x＋2＝0，即(x－eq\r(2))2＝0，所以x＝eq\r(2)，即点P的坐标为(eq\r(2)，eq\r(2))．答案：(eq\r(2)，eq\r(2))16．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相切，则m的值为________．解析：设圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，两圆圆心间的距离为d.两圆外切时，满意r1＋r2＝d，即5＝eq\r(m＋12＋－2－m2)，解得m＝2或－5；两圆内切时，满意r1－r2＝d，即1＝eq\r(m＋12＋－2－m2)，解得m＝－1或－2.答案：2或－5或－1或－2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2024·揭阳高一检测)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(0,3)，C(2,4)，边AC的中点为D，求AC边上中线BD所在的直线方程并化为一般式．解析：因为A(4,1)，C(2,4)，所以AC边的中点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,2)))，又B(0,3)，由直线两点式，得中线BD所在的直线方程为eq\f(x－3,0－3)＝eq\f(y－\f(5,2),3－\f(5,2))，即x＋6y－18＝0.18．(12分)(2024·赣州高一检测)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，AC与BD交于点G.(1)试建立适当的空间直角坐标系，求P，A，E，G的坐标；(2)求|EG|.解析：(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)．因为E是PC的中点，所以E点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(a,2))).因为在正方形ABCD中，G是AC的中点，所以G点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，0)).(2)由空间两点间的距离公式可知，|EG|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)a.19．(12分)(2024·宝鸡高一检测)过原点O的圆C，与x轴相交于点A(4,0)，与y轴相交于点B(0,2)．(1)求圆C的标准方程；(2)直线l过B点与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式．解析：(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则分别代入原点和A(4,0)，B(0,2)得到，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝r2，,4－a2＋b2＝r2，,a2＋2－b2＝r2))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,r＝\r(5).))则圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)由(1)得到圆心C为(2,1)，半径r＝eq\r(5)，由于直线l过B点与圆C相切，则设直线l：x＝0或y＝kx＋2，当l：x＝0时，C到l的距离为2，不合题意，舍去；当l：y＝kx＋2，由直线与圆相切，得到d＝r，即有eq\f(|2k－1＋2|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝2，故直线l：y＝2x＋2，即为2x－y＋2＝0.20．(12分)(2024·兰州二十七中高二上期末)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)设直线ax－y＋5＝0与圆相交于A，B两点，求实数a.解：(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z)，由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切且半径为5，所以eq\f(|4m－29|,5)＝5，即|4m－29|＝25.因为m为整数，故m＝1.故所求的圆的方程是(x－1)2＋y2＝25.(2)直线ax－y＋5＝0，即y＝ax＋5，代入圆的方程消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，故Δ＝4(5a－1)2－4(a2即12a2－5a>0，解得a<0或a>eq\f(5,12).所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，＋∞)).21．(12分)(2024·上饶县校级月考)已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0(1)试推断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线的方程；(3)求公共弦的长度．分析：(1)将两圆化成标准方程，得到它们的圆心和半径，用两点距离公式求出圆心距，最终用圆心距离与两圆的半径和与差进行比较，即可得到两圆的位置关系；(2)两圆的一般式方程相减，再化简整理得到3x－2y＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程；(3)求出第一个圆的圆心到直线3x－2y＝0的距离，再结合垂直于直径的弦的性质，即可得到两圆的公共弦长．解析：(1)圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，化为(x－3)2＋y2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径为；eq\r(15)圆C2：x2＋y2－4y－6＝0化为x2＋(y－2)2＝10，圆心坐标(0,2)，半径为eq\r(10).圆心距为：eq\r(32＋22)＝eq\r(13)，因为eq\r(15)－eq\r(10)＜eq\r(13)＜eq\r(15)